Исследование течения вязкого газа в соплах гиперзвуковой аэродинамической трубы при ламинарном режиме движения в пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 № 3-4

УДК 533.6.071.4.011.55

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В СОПЛАХ ГИПЕРЗВУКОВОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

В. И. Богомазов, А. П. Быркин, В. А. Жохов, В. В. Кулинич, С. С. Сидоров

Приведены результаты расчетного и экспериментального исследований течения вязкого газа в соплах гиперзвуковой аэродинамической трубы,

отвечающие ламинарному (Яе £ 106) режиму движения в пограничном слое.

Получено удовлетворительное согласие расчетных и экспериментальных данных.

Целью настоящей статьи является получение численных решений прямой задачи о течении вязкого газа в гиперзвуковых соплах с заданным контуром yw(x) при заданных параметрах торможения и

сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.

1. Расчет течения газа в исследуемых осесимметричных соплах проводился на основе упрощенных уравнений Навье—Стокса методом [1]. Переходя от исходной цилиндрической системы координат х, у к новым независимым переменным \ = х, ц = y/yw(x), упрощенные

уравнения Навье—Стокса получаем из полных уравнений при отбрасывании в них вязких членов со вторыми производными по £ и смешанными производными по ^ и г). Полученные таким образом уравнения содержат полностью все члены уравнений Эйлера и вязкие члены с производными по т| и имеют вид

—+ —= я+^-г, (1)

8% дх\ Rej

где F, G, И, Г — векторы-столбцы:

* = УУ*

ри р(а - Л л»)

ри2 +/» р(» - У*чи) -У’м>^Р

рЫ1» II <3 р(°-У»Ци)+р

Г ц2 + у2 *) Р“*+ 2 V / р(« - У»ли) ( 2 2 Л . и + V *+ 2 ,

0 Тх

0 , т = Т2

Р Ту

0 Т4

Н = Уу>

В уравнениях все величины безразмерные и связаны с размерными соотношениями:

х =

х° «° »° А0

А’ у = о > и = 7’ ” И? ’ («!°)2

"О II =1"°° и-4. о„о1;о

Р1 Н

Р =

где х , у — расстояния, измеряемые вдоль оси и по нормали к оси сопла; н°, к0 — продольная и нормальная составляющие скорости; Л°, р°, р°, ц° — соответственно энтальпия, давление, плотность, динамическая вязкость; и®, р®, — значения соответствующих величин

на оси сопла в критическом сечении, индекс н» отвечает стенке сопла; Ле — число Рейнольдса, Рг — число Прандтля; — производная

контура ун(х); ^ = 0, составляющие Т2, Г3, Г4 учитывают вязкие члены с производными по г). Газ предполагается совершенным, т. е. уравнение состояния имеет вид

ае -1

р =------рА (ае — показатель адиабаты),

ае

зависимость ц ( Т) считается заданной.

Граничные условия для системы уравнений (1) следующие:

Р = р(л), « = «(л), » = »(л)> * = Мл) при § = 0,

= 0

др _ ди д А _ д

дг\ Эт| дг\ ’

и = V = 0, или

_ _ I ае п ц-ц, со5 9ц, ди

И" V ае -1 2А Ри, у„ Ке1 дг\

Н-К - I х п ^эе ^ Шу созЭц,

V ае -1 2А ае +1 Рг р„, Ие1

при г) = 0, при Г| = 1

ь = иу'У), 1^ = 0,

дк

дц

(2)

где сове*, = -7=1=, Иу, — энтальпия газа при температуре стенки. у!1 + У»

Выписанные граничные условия соответствуют заданию профилей газодинамических величин в начальном сечении % = О (являющемся в расчетах критическим сечением сопла), условию симметрии течения относительно оси прилипанию газа на стенке при заданной температуре либо условию скольжения газа и скачка температуры на стенке.

Для численного решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2) применяется метод глобальных итераций, когда на каждой итерации используется маршевый алгоритм, а аппроксимация продольного градиента давления строится с учетом найденных на предыдущей итерации величин давления вниз по потоку от рассматриваемого по % сечения. Применение такого подхода сводится к тому, что при Мх < 1 + е (Мх — число М в расчетной точке, определенное по продольной составляющей скорости, е > 0) член д/дЕ,(ууМ1р) в уравнении движения в направлении %, ответственный за передачу возмущений вверх по потоку, представляется в разностном виде следующим образом:

ИЛ"

згг * р)ч' а% '

где /, У — номера узловых точек расчетной области в направлении \ и т1 , и — номер текущей глобальной итерации.

В схеме глобальных итераций необходимо, кроме того, задание граничного условия для давления на части правой границы расчетной области, отвечающей участку пограничного слоя, где величина Мх ^ 1.

Практически в расчетах это осуществлялось заданием изменения статического давления р в выходном сечении сопла в зависимости от расстояния от стенки (до первой расчетной узловой точки, где величина Мх становится больше единицы) по полиному третьей степени. При

этом коэффициенты полинома определялись заданным значением давления рк, нулевой производной др/ду на срезе сопла и значениями давления и производной р(у), найденными в предыдущей глобальной итерации в первой узловой точке, где Мх >1. В узловых точках границы расчетной области, где Мх > 1, характеристики течения определялись по маршевой схеме.

При дискретизации уравнений (1) предварительно осуществлялось сгущение узлов в пристеночной области, достигавшееся преобразованием переменной г) и введением новой поперечной координаты £:

_И1±М, а,сопя

1п(1 + а)

с последующим построением равномерной сетки по переменной £.

2. Проведены расчеты течения азота в двух конических и профилированном соплах гиперзвуковой аэродинамической трубы, результаты которых сопоставляются с полученными экспериментальными данными.

Первое коническое сопло имело радиус критического сечения Ун,! = 1,63 мм, полуугол раствора 0*, = 7°, радиус выходного сечения Уу> в = 75,17 мм. Течение газа в нем рассчитывалось при параметрах торможения Ро — 9 ■ 105 Па, 7д = 900 К и р$ = 15 • 105 Па, Г0 = 980 К, температура стенки принималась близкой к комнатной (7^ = 300 К, длительность пуска в эксперименте не превышала 1 с). По оценкам, проведенным согласно [2] применительно к азоту, газ при указанных параметрах торможения рассматривался как совершенный (ае = 1,4). Последнее соответствует замороженным колебательным степеням свободы молекул газа. Предполагалось также, что при реализации в эксперименте на выходе из сопл больших гиперзвуковых чисел М не происходит конденсации азота при низких температурах из-за эффекта переохлаждения потока [3]. Данные экспериментов, полученные авторами с применением исследуемых сопл, подтверждают это предположение: признаки конденсации потока в виде пульсаций давлений р'§ зафиксированы при существенно более низкой температуре торможения (Г0 ~ 600 К при М = 12 и Т0~ 800 К при М = 20) по сравнению с рассматриваемым диапазоном температур.

На основании экспериментальных данных на выходе рассматриваемого конического сопла при р$ = 9 • 105 Па реализован невязкий поток с числом М на оси ядра Мо = 11,6, при р§ = 15 • 105 Па Мо ® 12. Экспериментальные значения чисел М при этом определялись на основании измерений давления р’ц насадком полного давления.

Для указанных параметров торможения и чисел М0 на выходе из сопла числа Яе, вычисленные по параметрам газа на оси в выходном сечении и длине сопла, соответственно равны ~ 0,3 • 106 и 0,46 106. При таких числах Ые < 106 можно предполагать ламинарный режим течения в пограничном слое на стенке сопла, которому и отвечают выполненные расчеты. (О правомерности сделанного предположения будет свидетельствовать полученное удовлетворительное согласие результатов расчетов и экспериментов.) При проведении расчетов принималось, что в критическом сечении сопла пограничный слой отсутствует и имеет место однородное течение газа с числом М = 1,01. Причем граничные условия на стенке при 0 < х £ 1 задавались как для невязкого течения газа, при 1 < х й 5 задавались плавные изменения величин и(%, 1), й(|, 1) от получившихся в сечении х = 1 до своих номинальных

значений в сечении х = 5, начиная с которого уже использовались условия скольжения и скачка температуры газа на стенке.

Значение параметра а = 100, число узлов расчетной сетки в поперечном направлении N = 80. Число Рг = 0,71, закон ц(7т) задавался по

формуле Сазерленда при постоянной С = 110 К.

На рис. 1 для рассматриваемого сопла приведены контур у„,(х) и полученные в результате расчетов распределения чисел М по оси М0(х)

Коническое сопла; у-1,63мм і вш-7°

Рис. 1. Распределения чисел М по оси сопла —

М0(х) и в поперечных его сечениях — М (у)

и в поперечных сечениях М (у), сопоставленные с данными эксперимента. Результаты расчетов отвечают трем глобальным итерациям при задании значения давления на срезе сопла рк, найденного в первой итерации, когда полагалось д/д£,(у„ур) = 0 (расчетные данные для разных итераций практически совпадают между собой). При этом, хотя физическая длина сверхзвуковой части сопла составляла -600 мм, в расчетах она полагалась равной 700 мм.

Экспериментальные точки без крестика соответствуют положениям насадка выше оси сопла, точки с крестиком — положениям насадка ниже оси сопла. Отметим, что экспериментальные профили чисел М, представленные на рисунке, определялись по отношению давления р$ перед насадком полного давления к давлению газа в форкамере р0. Указанная процедура определения чисел М формально применялась как в невязком ядре потока, так и в пограничном слое. По этой причине опытные значения чисел М в пограничном слое при приближении к стенке возрастают.

Из приведенного сопоставления расчетных и экспериментальных полей чисел М в поперечных сечениях можно сделать вывод об удовлетворительном их согласии. Для примера на рис. 2 приведены рассчитанные распределения газодинамических параметров и, и, А, р, М в по-

рй=9Ю!Па; х-бООмм

Г 1 , , , 5 ■ 1 и ю \ I .. . м

, . ' ? I «

, , 0,5 1,0 1,5 р -ю*, ь.

0,1 0,2 V

Рис. 2. Распределения величин и, V, Л, р, М по у в выходном сечении сопла

перечном сечении х = 600 мм при параметрах торможения Ро = 9- 105Па, Т0 = 900 К, которые позволяют сделать заключение о структуре потока и размере невязкого ядра струи газа на выходе из сопла.

Второе коническое сопло имело радиус критического сечения у*,! = 0,88 мм, полуугол раствора 8Ш = 15°, радиус выходного сечения У\»ъ = 161,5 мм. Исходные данные для расчета следующие: давление

р$ = 30-105 Па, температура Т0 = 1120 К, значение температуры стенки задавалось, как и в предыдущем случае (Г*, = 300 К). При реализации в

эксперименте течения азота в данном сопле при указанных параметрах торможения число М в ядре потока на срезе составляло М0 = 21,1, число Ее - 0,21 • 106.

На рис. 3 и 4 приведены результаты расчета течения газа в рассматриваемом сопле, полученные по аналогии с предыдущим вариантом и сопоставленные с экспериментальными данными. Видно, что в данном случае также имеет место удовлетворительное согласование результатов расчета и эксперимента.

Далее было рассчитано течение в профилированном сопле, имеющем радиус критического сечения у^ = 2 мм и радиус выходного сечения у*в = 76,6 мм. Сопло укорочено по сравнению с полной его

Рис. 3. Распределения чисел М по оси сопла — М0(х) и в поперечных его сечениях — М (у )

Рис. 4. Распределения величин и, о, Л, р, М по у в выходном сечении сопла

длиной, как показано на рис. 5. Расчет и эксперимент проведены для параметров торможения Т0 = 900 К, рц = 10 • 105 и 45 • 105 Па, Г* = 290 К. Числа Яе соответственно равны ~ 0,45 • 106 и ~ 1,6 • 106.

Поскольку экспериментальные данные о полях чисел М получены в рабочей части на расстоянии ^100 м от среза сопла, для сопоставления результатов расчета с экспериментом расчеты производились при длине сверхзвуковой части ~900 мм, на которой задавалось значение рк.

> сопло; М-12 ^ у„,-2мм

М

12

10-

Мо

“ ^сщитт}ь‘К'В%

ТТ эксперимент}

Характеристики Л-гв семейстба

1__і__11_і__1_

01112 1112

Х.ММ

101112 М

Рис. 5. Распределения чисел М по оси сопла — М0(х) и в поперечных его сечениях — М (у)

На рис. 5 для обоих вариантов по давлению торможения р0 приведены расчетные распределения чисел М по оси и в поперечных сечениях, сравниваемые с экспериментальными. Видно удовлетворительное их согласие по значениям чисел М на оси. Однако по сравнению с течениями в конических соплах в данном случае расчетные и экспериментальные значения размеров невозмущенного невязкого ядра потока при х = 700 и 893 мм заметно

Рис. 6. Распределения величин и, V, А, р, М по у в сечении х = 700 мм

иЛ1----------________________I-------------1.

0,5 1,0 П^Ю

отличаются между собой. Последнее можно объяснить тем, что истечение газа из сопла происходит в рабочую часть (в виде камеры Эйфеля), в которой имеется большое разрежение (р = 0,01-4-0,001 мм ртутного столба). Поэтому на границе невязкого ядра струи газа происходит дальнейшее его расширение. На рисунке приближенно показаны характеристики, идущие от границы невязкого ядра на срезе сопла. Можно видеть область течения, которая не зависит от давления в рабочей части. Именно в пределах этой области расчетные профили М(у) удовлетворительно согласуются с экспериментальными.

В случае конических сопл разгон потока газа за срезом продолжается и на оси рабочей части, поэтому в данном варианте вышеназванный эффект практически незаметен.

На рис. 6 для значения /\) = 10-105 Па при х=700 мм показаны поперечные профили газодинамических величин и, V, А, р и М.

ЛИТЕРАТУРА

1. Быркин А. П., Тимофеева Т. А., Толстых А. И. Применение компактных схем третъего-четвертого порядка для расчета течения газа в соплах с большими сверхзвуковыми числами М на основе упрощенных уравнений Навье—Стокса // Ученые записки ЦАГИ.—1988. Т. 19, № 6.

2. Комаров В. Н., Полянский В. Ю. Методика определения параметров неравновесного потока воздуха в гиперзвуковых аэродинамических установках по данным измерения Т0, р0 и РІ) (^о - 2000 К) // Ученые записки ЦАГИ.—1987. Т. 18, № 5.

3. Долгушев С. В., Друкер И. Г., Коробейников Ю. Г., Сапогов Б. А., Сафронов Ю. А. Конденсация азота в гиперзвуковом сопле // ИФЖ.-1985. Т. ХІЛХ, № 2.

Рукопись поступила 28/ГУ 1993 г.