CC BY
1
https://doi.org/10.62669/17270227.2024.1.4
УДК 519.6
1.1.9 - Механика жидкости, газа и плазмы (физико-математические науки)
Исследование сжимаемых ламинарных потоков в трехмерном прямоугольном канале
1 2 А. М. Липанов , С. А. Карсканов
1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4
2 Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
Аннотация. Сформулирована задача протекания сжимаемых ламинарных потоков газа сквозь трехмерный канал с внезапным расширением, имеющим форму квадратного параллелепипеда. Рассмотрен диапазон чисел Рейнольдса от 100 до 600. Показаны изменения координат точек присоединения в различных плоскостях в зависимости от числа Рейнольдса. Величины малых отрывных зон сперва увеличиваются, а затем уменьшаются, тогда как большие зоны только увеличиваются с увеличением числа Рейнольдса. Проанализировано поле вектора вихря для разных чисел Рейнольдса. Центр вращения смещается, а возмущения дальше проникают вглубь канала. Представлены профили продольной скорости в различных точках канала. Выявлена тенденция стремления к симметричному состоянию для всех чисел Рейнольдса, рассматриваемых в работе.
Ключевые слова: метод правых частей, уравнения Навье-Стокса, ламинарное течение, вектор вихря, отрывная зона, профиль скорости.
И Сергей Карсканов, e-mail: ser@udman.ru
Investigation of Compressible Laminar Flows in a Three-Dimensional Rectangular Channel
12 Alexey M. Lipanov , Sergey A. Karskanov
1 Keldysh Institute of Applied Mathematics (4, Miusskaya Sq., Moscow, 125047, Russian Federation)
2 Udmurt Federal Research Center UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)
Summary. The problem of the flow of compressible laminar gas flows through a three-dimensional channel with a sudden expansion in the shape of a square parallelepiped is formulated. The Navier-Stokes equations are solved. When solving equations, spatial derivatives are approximated with a high order of accuracy. The pseudo-implicit right-hand side algorithm is used to integrate equations over time. The computational process is parallelized using MPI technology and is carried out on the Uran supercomputer. The range of Reynolds numbers from 100 to 600 is considered. The changes in the coordinates of attachment points in various planes depending on the Reynolds number are shown. With increasing Reynolds number, the magnitudes of small separation zones are first increasing and then decreasing, while large zones only increase. The field of the vortex vector is analyzed for different Reynolds numbers. The center of rotation shifts, and disturbances penetrate further into the channel. The profiles of the longitudinal velocity at various points of the channel are presented. A tendency towards a symmetrical state is revealed for all Reynolds numbers considered in the work.
Keywords: right-hand side method, Navier-Stokes equations, laminar flow, vortex vector, separation zone, velocity profile. И Sergey Karskanov, e-mail: ser@udman.ru
ВВЕДЕНИЕ
Миниканалы (или трубки) с сечением в несколько миллиметров часто используются в промышленной технике и индустриальных установках. Теплообменники, радиаторы, обогреватели, кондиционеры могут иметь частью своей конструкции миниканалы. Ввиду поперечного сечения небольшого размера число Рейнольдса в таких миниканалах невысокое и часто соответствует ламинарному режиму течения.
Ламинарные несжимаемые потоки жидкости достаточно хорошо, можно сказать полностью, изучены. Однако это не относится к сжимаемым трехмерным газовым потокам. Несмотря на ламинарный режим течения, они могут содержать вихревые структуры, а наличие сжимаемости приводит к более сложным физическим процессам.
В данной работе рассматриваются трехмерные потоки вязкого газа в прямоугольном трехмерном канале при низких числах Рейнольдса, соответствующих ламинарному режиму течения.
Цель работы - выявить закономерности течения в зависимости от числа Рейнольдса, представить поля распределения параметров, проанализировать процесс установления ламинарных потоков в трехмерном канале.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривалось протекание вязкого газа сквозь трехмерный канал с резким расширением. Канал имеет форму квадратного параллелепипеда с входным отверстием (рис. 1). Входное отверстие находится ровно в центре поперечного сечения. Линейные размеры отверстия в два раза меньше линейных размеров поперечного сечения. Таким образом, площадь вдува составляет четверть площади поперечного сечения.
Рис. 1. Вычислительная область
Fig. 1. Computational domain
Для моделирования течения в канале численно интегрировалась система уравнений [1]. Это уравнение неразрывности, три уравнения импульса и уравнение энергии. Ниже, решаемые уравнения гидромеханики приведены в безразмерном виде.
1 Re
Re
д_ dx
ф SpU SpV SpW _ St dx Sy Sz
SpU d ( P
—v+pU dt dx \ kM
2 | dpUV dpUW
dy
dz
4 dU_ 3 dx
2
dV dW — +-
dy dz
Y
+ —
d (dU dV|
dpV dpVU _d_( dt
dx dy V kM2
dy V Sy dx
+ pV2
dW
dz dx
f
dx
m + sv_
dy dx
\
d + —
dy
4 8V_ 3 dy'
dW
dx Sz
(1)
(2)
(3)
v
дрЖ дрЖи дрЖУ д ( Р
- +
- +
д дх ду дг \ кШ2
1 [ д (ди дЖЛ д(дУ дЖЛ д
Яе \дх У дг дх ) ду кдг ду у
+— дг
4 дЖ 2 (ди дУЛ +
дрЕ д д1 дх
2 д 3 дх
2 д
Р кШ2
+ рЕ \и
д +—
ду
Р кШ2
+ рЕ \У
д +—
дг
3 дг 3 Р
кШ
дх ду, 2 +рЕ \Ж
и
(ди дУ дЖ Л — + — +-
дх ду дг
д +—
дх
ди т/ди дУЛ ди дЖ
2и— + У дх
- +
ду дх)
+ Ж\ — + -I дг дх
з ду
2 д 3 дг
т/ ди дУ дЖ Л
У -+ — +-
Кдх ду дг
',(ди дУ дЖ Л
Ж — + — +-
дх ду дг
д + —
ду
д + —
дг
.дУ (ди дУ Л тт/дУ дЖ Л
—+и —+— + Ж —+-
ду дх) удг ду )
2У— + и ду
2Ж
дЖ
ди дЖ Л
(
+и\ —+-1+У
дг у дг дх )
дУ дЖ
V
дг ду )
+
1
( д Т д Т д 2Т Л
+-;--7 + —7 + —;
(к - 1)Ш2 Рг \ дх ду дг2
(5)
Здесь р - плотность, и = {и,У,Ж) - вектор скорости, E - внутренняя энергия. Давление определяется из выражения:
(ри)2 + (рУ)2 + (рЖ )2'
Р = к (к - 1)Ш2 а температура T - из выражения:
Т = к (к - 1)Ш2
рЕ -
2р
рЕ_ (ри)2 + (рУ)2 + (рЖ)2 р 2р2
На обтекаемых поверхностях задаются условия непротекания и прилипания:
и = У = Ж = 0.
Кроме того, твердые поверхности считаем адиабатическими, то есть на них выполняется условие
дТ=0.
дп
Граничные условия на входной и выходной границах корректировались согласно рекомендациям работы [2]. Профиль скорости на входе был параболическим. На выходе давление считалось постоянным, равным давлению окружающей среды.
Поток отклонялся от центрального положения вверх и влево так, что
Уо 0, Жо =ц-ио.
Коэффициент принимался равным 0.1, а п - 0.05. Вверх поток отклоняется сильнее, чем влево. Таким образом,
Уо = 0.1 -и0,
Ж = 0.05 -и0.
Для аппроксимации частных производных по пространству использовались алгоритмы WENO пятого порядка. Счет по времени велся на основе псевдонеявной схемы [3].
Вычислительный процесс распараллеливался и велся на суперкомпьютере «Уран» (ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург).
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Рассматривались течения в канале при числах Рейнольдса от 100 до 600. Число Маха во всех случаях равнялось 0.3. Отклоненная струя после прохождения начального участка и последующего резкого расширения образовывает две неравные отрывные зоны с возвратным течением. На графиках (рис. 2 и 3) представлены координаты х точек присоединения.
х
3 2.5 2 1.5
z=0,y=1 y=0,z=1
0.5
100 200 300 400 500
Рис. 2. Координаты точек присоединения за малым вихрем
Fig. 2. Coordinates of attachment points behind a small eddy
600 Re
1
0
х 25
20
15
10
5
0
100 200 300 400 500 600 Re
Рис. 3. Координаты точек присоединения за большим вихрем
Fig. 3. Coordinates of attachment points behind a large eddy
Величина малых отрывных зон в центральных проекциях (y = 0 и z = 0) при числах Рейнольдса от 100 до 200 возрастает, а затем, при увеличении Рейнольдса уменьшается. При меньшем отклонении струи длина малой отрывной зоны, находящейся над струей, оказывается больше. Длина большой отрывной зоны (под струей), наоборот, меньше, чем меньше отклонение от центрального состояния. Очевидно также, что размеры зон зависят от отклонения нелинейно.
z=0,y= y=0,z=
Линии тока в плоскости г = 0 (для половины канала, х < 15 ) для двух вариантов чисел Рейнольдса представлены на рис. 4. Отчетливо визуализируется увеличение нижней отрывной зоны и отдаление точки присоединения от начала координат.
— =1 rotu = — 2 2
Рис. 4. Линии тока в плоскости z=0
Fig. 4. Streamtraces in a plane z=0
Далее, проследим за вектором вихря поля u. Вектором вихря или ротором является величина, определяемая как
1 V U- dW-dV-dUл
к dy dz' dz dx ' dx dy j
Соответственно, модулем вектора вихря будет величина
q=|Q|=^Q2+--2+--2 .
Смысл вектора вихря в том, что это угловая скорость вращения частицы, которую частица имела бы, если бы мгновенно затвердела.
На рис. 5 - 10 показаны проекции вектора вихря на различные плоскости X (поперечные сечения).
0,5
-0,5
-1 -0,5 0 0,5 1Z -1 -0,5 0 0,5 1 , '-1 х=1.0 х=5.0
х=10.0
Рис. 5. Проекции й для Re=100
Fig. 5. Projections fl for Re=100
-0,5
0,5 1z -1 -0,5
x=20.0
-1 -0,5 0 0,5 -\z и -0,5 0 0,5 1z"'-1 -0,5 0 0,5 1 -0,5 0 0,5
x=1.0 x=5.0 x=10.0 z x=20.0
Рис. 6. Проекции й для Re=200
Fig. 6. Projections fl for Re=200
Рис. 7. Проекции й для Re=300
Fig. 7. Projections fl for Re=300
Рис. 8. Проекции й для Re=400
Fig. 8. Projections fl for Re=400
Рис. 9. Проекции й для Re=500
Fig. 9. Projections fl for Re=500
Рис. 10. Проекции й для Re=600
Fig. 10. Projections fl for Re=600
Видно, что при числе Рейнольдса равном 100 поле & в проекции на плоскости X представляет собой вихрь, почти не смещенный от центра сечений. Причем уже при х = 5.0 вихревое поле сильно ослабевает и вырождается.
При Яе = 200 картина для & уже несколько иная. Центр вращения смещается, нарушается симметрия, возмущения дальше проникают вглубь канала. Далее, с увеличением числа Рейнольдса указанные тенденции только усиливаются. В сечении х = 1.0 круговой вихрь сильно деформируется, а в остальных сечениях картина далека от симметричной. В угловых точках начинают зарождаться более мелкие вихревые структуры. Данные структуры с ростом числа Рейнольдса также увеличиваются в размерах, занимая большее пространство и деформируясь. Тем не менее, стоит отметить, что в сечении х = 20.0 только при Яе = 600 имеют место мелкие вихри в угловых точках. В остальных случаях возмущения до данной плоскости не доходят.
-1 -0.5 О j 0.5 1 У
Re=100 -Re=200 -Re=400 -Re=600 "
0.7 U 0.6 0.5 0.4
_:
1 -0.5 0 0.5 1 у
С
Рис. 11. Профили продольной скорости при z=0: a - x=10, b - x=20, c - x=30
Fig. 11. Longitudinal velocity profiles at z=0: a - x=10, b - x=20, c - x=30
Профили продольной скорости при z = 0.0 и различных значениях x представлены на рис. 11. Для Re = 100 профиль скорости симметричен для всех x. Незначительные изменения по длине канала происходят лишь в области изменения максимума.
Уже при Re = 200 четко визуализируется несимметричность при x = 10, однако, далее по течению в канале имеет место тенденция приобрести профилем симметричную параболическую форму. При x = 20 для всех чисел Рейнольдса продольная скорость приобретает лишь положительные значения. Данные рис. 3 свидетельствуют об этом же, координаты точек присоединения не превосходят двадцати.
Несмотря на то, что поток стремится к симметричному состоянию, при Re = 600 длины канала не хватает для достижения симметричного состояния.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе рассмотрены течения в трехмерном канале, имеющем форму квадратного параллелепипеда с резким расширением. Рассмотрен диапазон чисел Рейнольдса, соответствующий ламинарным стационарным потокам. При увеличении числа Рейнольдса увеличиваются отрывные зоны под отклоненной струей. Анализ поля вектора вихря показал, что несимметричность, вносимая отклонением потока, начинает проявляться только при числах Рейнольдса больших 200. Кроме того, выявлена тенденция стремления течения к симметричному состоянию, которое при увеличении длины канала будет достигаться для любого характерного числа Рейнольдса из выбранного диапазона изменения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Липанов А. М. Теоретическая гидромеханика ньютоновских сред. М.: Наука, 2011.551 с.
2. Федорченко А. Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1988, № 4. C. 32-41.
3. Lipanov A. M., Karskanov S. A. Right-hand side method for the numerical solution of nonlinear partial differential equations // Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2023, vol. 35, pp. 1671-1678. https://doi.org/10.1007/s00161-023-01185-0
REFERENCES
1. Lipanov A. M. Teoreticheskaya gidromekhanika n'yutonovskikh sred [Theoretical hydromechanics of Newtonian fluids]. Moscow: Nauka Publ., 2011. 551 p.
2. Fedorchenko A. T. Numerical Investigation of Unsteady Subsonic Viscous Gas Flows in a Plane Channel with a Sudden Expansion. Fluid Dynamics, 1988, vol. 23, no. 4, pp. 509-517. https://doi.org/10.1007/BF01055072
3. Lipanov A. M., Karskanov S. A. Right-hand side method for the numerical solution of nonlinear partial differential equations. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2023, vol. 35,
pp. 1671-1678. https://doi.org/10.1007/s00161-023-01185-0
Поступила 23.01.2024; после доработки 05.02.2024; принята к опубликованию 20.02.2024 Received January 23, 2024; received in revised form February 5, 2024; accepted February 20, 2024
Информация об авторах
Липанов Алексей Матвеевич,
академик РАН, главный научный сотрудник, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Российская Федерация, e-mail: aml35@yandex. ru
Information about the authors Alexey M. Lipanov,
academician of RAS, Chief Researcher, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russian Federation, e-mail: aml35@yandex. ru
Карсканов Сергей Андреевич,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация, е-mail: ser@udman.ru
Sergey A. Karskanov,
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Senior Researcher, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, е-mail: ser@udman.ru
