CC BY
24
УДК 531.01
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ САМОПОДОБИЯ
© А.В. Крутов, А.С. Лабузов, Д.С. Мухоедов, В.И. Тасенко, Д.В. Семенюта, А.В. Глазков
Krutov A.V., Labuzov A.S., Muhoedov D.S., Tasenko V.I., Semenjuta D.V., Glazkov A.V. Research of properties of natural objects on the basis of model correlation of self-similarity. Some properties of objects of a gravitational astronomy are esteemed on the basis of model correlation of self-similarity.
Исследование свойств небесных объектов всегда было актуальной задачей, особенно в связи с выявлением и изучением общеприродных закономерностей [1-4]. Синергетические подходы и принципы самоподобия открывают здесь новые возможности.
Обобщенные пропорции самоподобия. Простейшей, нулевой пропорцией является дихотомия. Следующей, первой пропорцией является золотое сечение: отношение меньшего к большему, равное отношению большего к целому. Уже в ней заключена сущность самоподобия.
Обобщенной рп-пропорцией называют отношение фрп меньшего к большему, равное п-й степени отношения большего к целому. Обобщенной ^-пропорцией ф?п называем отношение ф?п меньшего к большему, равное корню п-й степени из отношения большего к целому [5].
Дальнейшим обобщением естественно считать Ри/и-пропорцию как отношение фт!п меньшего к большему, равное степени m/n отношения большего к целому: (a/b)n = (b/c)m, где а - меньшее, b - большее, с = a + b - нечто целое.
Пропорция фр, удовлетворяет приведенному уравнению £n+1 + £, - 1 = 0, а пропорция ф?п - уравнению ^п+1+^П-1=о, при этом обратная величина 1/ф?п удовлетворяет также приведенному уравнению ^п+1 - £, - 1 = 0.
Известно [6, 7], что ф?2 = фр4 = 0,754877666, т. е. что это число удовлетворяет одновременно характеристическим уравнениям соответствующих пропорций х5 + х - 1 = 0, х3 + х2 - 1 = 0, (1/х3 - 1/х - 1 = 0), а следовательно, и уравнению х5 + х4 + х3 - 1 = 0, которое получается в результате умножения второго на х и сложения результата с первым. В этом можно убедиться путем вычислений корней характеристических уравнений современными стандартными компьютерными средствами. Этот факт нетрудно доказать и аналитически. Действительно, будем считать меньшее для дп-пропорции катетом а, а большее - гипотенузой с треугольника с противолежащим острым углом а, причем с + а есть нечто целое. Тогда имеем ф?2 = х = а/с = sina, (с2-а2)/с2 = cos2a, и из характеристического уравнения х3 + х2 - 1 = 0 ^-пропорции получим
32
sin а = cos а,
или
(а/с)3 = (с2-а2)/с2; (а/с)3 = [(с-а)/с][(а+с)/с];
(а/с)3 = (1-а/с)(а+с)/с.
Отсюда, с учетом того, что по определению дп-пропорции (а+с)/с = 1/[с/(а+с)] = 1/(а/с)2, получим уравнение (а/с)5 + а/с - 1 = 0, имеющее вид приведенного характеристического уравнения для р4-пропорции.
Если ео8а есть абсцисса, а 8ша - ордината некоторой точки, соответствующей д2-пропорции, то в силу равенства 8ш3а = ео82а она лежит на полукубической параболе у3 = х2 и является точкой пересечения этой параболы с единичной окружностью.
Пропорция фрп обладает почти очевидным из ее определения свойством
(1/фрИ)п = (1/фрИ)п-1 + (1/фрИ)п-га"1, т, пеМ.
При р = т =0, (ф0т = 1/2) отсюда получаем тождество, определяющее основное свойство двоичных чисел
2п = 2п-1 + 2п-1.
(При этом оказывается логически целесообразно положить фр„ = 1“ = 1/2).
Пропорции и их обобщения наряду с рядами типа Фибоначчи ныне широко используются в научных исследованиях. Убедительным примером являются двоичные системы счисления на основе чисел Фибоначчи, используемые для повышения помехоустойчивости компьютеров, численные методы золотого сечения и Фибоначчи, являющиеся одними из самых эффективных. Кроме этого, обобщенные пропорции все больше проявляются в самых различных природных закономерностях, в частности, касающихся и небесной механики.
Модификация правила Тициуса-Боде. В научных исследованиях зачастую эффективно применяются «ненаучные» методы, в частности, так называемая цифрология, подбор чисел. Так, Иоган Бальмер -швейцарский школьный учитель, таким способом нашел формулу для спектра линий водорода, на основе которой впоследствии Лайманом, Пашеном и Н. Бором была разработана теория, отражающая фундаментальную физическую закономерность [8].
(В настоящее время благодаря компьютерным технологиям подбор нужных чисел может производиться автоматически, поэтому цифрология может получить новый импульс и занять полноправное место среди других методов исследования, наряду с компьютерным методом доказательства теорем и пр.).
В некоторой степени подобным же способом была получена формула или правило Тициуса-Боде [9] в астрометрии. Это эмпирическая закономерность, приблизительно описывающая расстояния между планетами Солнечной системы и Солнцем (средние радиусы орбит). Правило было предложено И.Д. Тициусом и получило известность благодаря работам И.Э. Боде. Оно и поныне не имеет убедительного физического объяснения, хотя верно, т. к. подтверждается астрономическими измерениями и, следовательно, говорит о том, что, кроме законов Кеплера и закона всемирного тяготения существуют другие закономерности, связанные с неизвестными пока явлениями природы. Правило заключается в следующем.
1. Берется последовательность чисел в виде геометрической прогрессии (кроме первого числа) А = 0, 3, 6, 12,.... Или Б_1 = 0; Д = 3-2!', I > 0.
2. К каждому элементу последовательности прибавляется 4, затем результат делится на 10.
Полученное число считается радиусом в астрономических единицах
Я = (А + 4)/10 = (3-2* + 4)/10. (1)
Из результатов вычислений по этой формуле было видно, что в закономерность попадает место, где, как теперь известно, находится пояс астероидов, который и был открыт благодаря этому правилу. Нептун же из этой закономерности выпадает.
Это правило оказывается возможным представить также в виде
Рх = (3/5)(2г_1_1) + 1 * ф1(2г-1 _ 1) + 1 = ф1(2г-1 _ ф1) = ф1(фр0г _ ф1) = ф12[(фр0)!/ф1 _ 1]>
где / = _1; 0; 1; 2... - номер планеты, начиная с Меркурия.
меньше, b - больше, с - нечто целое, для ф2-пропорции будем иметь
фЧ23 = 1 - фЧ22; (a/b)3 = (b2-a2)/b2 = [(b-a)c]/b2 = 0,43015970.
Куб меньшей части относится к кубу большей, как квадрат среднеквадратичного разности частей и целого к квадрату большей части. Если a, b - катет и гипотенуза треугольника, состоящие во второй ^-пропорции, то отношение их кубов равно отношению квадратов другого катета и гипотенузы.
Из соотношения (2) с учетом известных законов Кеплера следует, в частности, что существование двух планет с большими полуосями a1, a2, состоящими во второй ^-пропорции, как будто, невозможно.
Кривые как характеристики ньютонова поля. В целях исследования связи пропорций и общих закономерностей представляются интересными
результаты по исследованию оптимальных орбит при Л-импульсных переходах. В частности, при 2-импульсном переходе наиболее целесообразны эллипсы Гомана (рис. 1). В [10] имеется график функциональной зависимости у = у(р) импульса от средних расстояний р, ограниченный сверху при асимптотическом поведении. Здесь он приведен на рис. 2.
у = (И1 + u2)/v1 = у1 + у2 = [(р-1)/р] ^/2р /(1 + р) +
(1)
+ 1/^ - 1, у(0) = 1.
Видно, что в этой формуле содержится золотая пропорция и нулевая, как частные случаи п = 1 и п = 0 обобщенной ^-пропорции (фр0 = 1/2) или обобщенной #п^-пропорции. (Выше отмечалась связь пропорций с основным свойством двоичных чисел). Таким образом, правило Боде представляет собой частный случай обобщенных пропорций. Здесь может оказаться полезным также учет того, что двойка может быть представлена значением тангенса
2 = = І§2осі2 = 1§[2аг^(1/фі)], 1/фі = tgal2,
«12 = аг^(1/ф1)
или
2 = ф^іпл/Ю, а также значением функции ф-х + фх в нуле.
Связь пропорций со свойствами объектов небесной механики. Обозначая меньшее буквой а
Рис. 1.
Здесь на рис. 3 приведен точный график функциональной зависимости (1), выражающей величину оптимального алгебраически суммарного двойного импульса для перехода на орбиту любой из планет в зависимости от отношения средних радиусов орбит планет до притягивающего центра, которое равно отношению полуосей орбит уша* = 0,53625 Ршд = 15,58000, р = г2/гь у = (И1 + И2)/У1.
При Р стремящемся к бесконечности величина у(Р)
как и у1 стремится к 42 - 1 = 0,4142 = 1£л/8. Этому значению у на графике соответствуют также Р = 3,034. Это как раз между Марсом и Юпитером, где находится астероидный пояс, который возможно раньше был планетой и возможно теперь он эквивалентен некоторой замещающей планете с таким средним расстоянием.
На рис. 2 изображены также положения планет в соответствии со значениями отношения полуосей их орбит. Это свидетельствует о том, что полуоси всех планет, кроме Плутона и новой (номер 2003 ив 313), орбита которых выходит за плоскость эклиптики (для новой угол отклонения составляет 45°), связаны не только известными законами небесной механики, но другими, в частности, законом, определяемым соотношением, график которого представляет данная кривая. Вид этой кривой практически не зависит от того, с орбиты какой планеты рассматривается переход и, следовательно, эта кривая является характеристикой Солнечной системы в целом. В частности, недавно открытая десятая планета, как и любая другая, если она существует, должна была бы укладываться в эту зависимость, если бы ее орбита лежала в той же плоскости, что и орбиты основной массы планет.
Скорее всего в данную закономерность не будут укладываться гипотетические планеты, полуоси которых состоят во 2-й обобщенной ^-пропорции. Т.е. действует запрет на «золото» в космологии замкнутых орбит. Для гиперболических орбит, условно замкнутых (с возвращением из бесконечности), характерными будут вторые ^-пропорции, для параболических - соответственно, параболические функции и соответствующие пропорции [11]. Гипотетическая закономерность должна быть связана с эксцентриситетом, а не с радиусом орбиты.
Закон всемирного тяготения он как бы статически действующий, детерминированный, и не может учитывать все факторы и условия, в которых он действует. Так, данная закономерность отражает оптимальность управляемого перемещения тел при действии закона всемирного тяготения.
у(р) := (р ~ 1 • Р2^ + — - 1 р := -15,-15 + 0.001.. 100 р \ 1 + р -/р
Так как задача о переходе на другие орбиты оптимизационная, то мы вправе ожидать, что в ней проявятся как-то р, ^-пропорции. Сразу отметим, что оптимальные значения управляющего суммарного импульса как целевой функции лежат в интервале (-“; 0,536), который не содержит первую и вторые пропорции, но может содержать их доли или степени. Значения расстояния как аргумента изменяются в широком интервале от нуля до бесконечности.
Точки на рис. 4 можно аппроксимировать кривой-графиком например кубической параболой или еще лучше циссоидой, которая более точно соответствуют форме данного дискретного ряда точек и на которой расположены точки, соответствующие всем типам рассмотренных пропорций (рис. 5).
Как бы ни были массивные тела в ньютоновом поле, в частности, планеты солнечной системы, помещены на свои орбиты при учете оптимальности энергозатрат перелета на орбиты соседних планет, необходимый для этого оптимальный импульс в соответствии с кривой Гомана не должен превышать величины 0,536. Ближе всего к этому пределу 1-0,57571 из всех известных соседних планет, включая новые, находится перелет с орбиты Меркурия на орбиту Венеры.
Рис. 5.
Перегиб кривой Гомана практически находится в бесконечности, т. е. соответствующее перегибу значение полного оптимального импульса, равно предельному экстремальному значению а/2-1 = 0,414, которому отвечает кроме р = “ также значение р = 3,304.
Возможно, что астероидный пояс образовался потому, что именно на него легче всего попадать разным телам при получении ими некоторого первого импульса, может быть даже случайного.
Величина рМе/рВе = 0,5352*1/(фч21/2+1) означает, что Меркурий делит среднее расстояние рВе Венеры как целое, в таком отношении, при котором квадрат относительного отклонения большей части (т. е. рМе) от целого равен ф?2. Аналогичной закономерности отвечают и другие планеты при соответствующем номере п пропорций ф?2, фр2.
Этот пример является предпосылкой для целесообразности введения разновидности обобщенного способа деления целого на части: деление в отношении, равном рациональной степени отношения большей части к целому при исходном делении в некоторой базовой пропорции меньшего к большему, например, при делении в обобщенных р, ^-пропорциях.
Обратный переход. До сих пор мы рассматривали перелет с орбиты с г1 на орбиту с г2, при этом р = г2/гь импульс вычислялся через функцию как у = у1 + у2 = = (и1 +и2.)/^ 1.
Теперь будем рассматривать перелет обратно с орбиты с радиусом г2 на орбиту с радиусом г1. Тогда для подсчета импульса вместо р = г2/г1 будем брать р* = г1/г2 = 1/р, а под импульсом будем понимать у* = у1* + у2* = (щ + м2)/у2. Получим, опуская звездочки у1 = 21/2/(1+р)1/2, у2 = р1/2-21/2р/(1+р)1/2, у = у1 + у2 = 21/2/(1 + р)1/2 + р1/2 + 21/2(1 - р)/(1 + р)1/2.
- 21/2р/(1 + р)1
р1/2 +
= /— VI + р
Х1 (р) := / х2(р) :=- 1
у/р V р •(1 + р)
, , 1 (р -1) 2р „
х(р) :=^ +--------------- ------------1
у/р р V 1 + р
х1( р) х2( р) х( р) У1( р) У2( р) У( р)
2
р
На рис. 6 вместе изображены кривые для всех импульсов в прямом и обратном переходе. Кривые разноименного перехода пересекаются в определенных точках: (1;1), (1;0) и (2,74; 0,38). Последнее значение р находится внутри общепринятого для пояса астероидов промежутка [2,2; 3,6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Планеты и спутники: пер. с англ. М.: Мир, 1974.
2. Чечельницкий А.М. Экстремальность, устойчивость, резонансность в астродинамике и космонавтике. М.: Машиностроение, 1980.
3. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
4. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике /
В.К. Абалакин, Е.П. Аксенов, Ю.А. Рябов и др.; под ред. Г.Н. Ду-бошина. 2-е изд. М.: Мир, 1974.
5. Даринский Б.М. Гребенников Ю.Д., Крутов А.В., Чаплыгин М.Н., Шершнев С.В. Свойства геометрических моделей профилей волны солитонов в нелинейных процессах в кристаллах // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, Математика. 2006. № 1. С. 17-20.
6. Крутов А.В. Геометрические модели на основе гармонической
пропорции // Математические модели и операторные уравнения.
Т. 2. Воронеж: Воронеж. ун-т, 2003. С. 90-93.
7. Крутов А.В. Геометрические аспекты задач небесной механики и космического полета // Информационные технологии и системы. науч. изд. Вып. 4 / Воронеж. гос. технол. акад. Воронеж, 2001.
С. 172-178.
8. Орир Дж. Популярная физика. М.: Мир, 1964. С. 327.
9. Коробко В.И. Золотое сечение и проблемы гармонии систем. М.:
Изд-во Ассоциации строительных вузов стран СНГ, 1998. С. 198.
10. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика: учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. С. 125.
11. Крутов А.В. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кине-матические модели. М.: Изд-во РУДН, 2001.
Поступила в редакцию 20 ноября 2006 г.
