Исследование свойств фрактальных квазидеревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 719.71

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ФРАКТАЛЬНЫХ КВАЗИДЕРЕВЬЕВ

СЕРГЕЕВА Л.Н., ЗАДОРОЖКИНА Я.С.__________

Рассматривается проблема определения свойств особого класса графов — фрактальных квазидеревьев и возможность их применения для решения оптимизационных задач. Предлагаются числовые характеристики фрактальных квазидеревьев, проводится сравнительный анализ их и р-адических деревьев.

1. Актуальность исследования

Аппарат теории графов в современных условиях широко используется для моделирования и оптимизации структуры сложных систем в различных областях человеческой деятельности — в управлении, инженерном деле, химии, электротехнике, экономике, социологии [1]. Так, в электротехнике графы могут использоваться для исследования электрических цепей, проверки электрических линий, в проблемах оборудования или сетей связи они позволяют изучить вопрос о надежности системы.

Анализ моделей структуры сложных систем показал, что их структура часто обладает свойством самоподобия — части структуры подобны целому. Для моделирования самоподобных объектов используется аппарат теории фракталов. Поэтому объединение результатов теории графов и теории фракталов, а также разработка методов теории фрактальных графов для построения моделей самоподобной иерархической структуры является новым, перспективным направлением исследований. Изучению фрактальных графов посвящены работы [2,3].

2. Цель работы

С точки зрения моделирования структуры сложных систем и процессов интерес представляет класс фрактальных графов специального вида — фрактальные квазидеревья. Фрактальное квазидерево является асимптотическим геометрическим объектом, т.е. выполнив конечное число этапов построения, мы получим предфрактальное квазидерево, а при стремлении числа этапов к бесконечности получаем фрактальное квазидерево.

Целью данной работы является исследование свойств данного класса фрактальных графов.

3. Постановка задачи

Пусть G(V,E) — граф (бесконечный или конечный), где V — множество вершин графа, а E — множество его ребер [4]. В качестве затравки при построении фрактальных квазидеревьев [2,5] рассмотрим однородный граф Hh = (W, Q), частным случаем которого является полный n-вершинный граф [4].

В качестве образующего правила используем операцию «замещение вершины затравкой» (ЗВЗ), введенную в [6]. Суть этой операции в следующем.

1. В данном графе G(V,E) выберем вершину и

выделим ее окружение, т.е. множество всех вершин u, смежных с вершиной v0 . Обозначим это множество Uq :u є Uq . Множество всех ребер, инцидентных вершине Vq , обозначим

Rq = {e = (Vq,u) :u Є Uq} .

2. Из множества вершин V удалим вершину Vq и добавим множество вершин затравки W.

3. Из множества ребер E удалим множество Rq и добавим множество

Rq = {e = (w, u): w Є Wq,U Є Uq } ,

определяемое некоторым взаимно-однозначным отображением ф :Rq ^ R (каждое ребро из Rq замещается ребром, соединяющим вершину u є Uq из «старого» ребра с некоторой вершиной затравки), кроме того, добавим ребра затравки Q.

Таким образом, операция ЗВЗ может быть представлена как отображение:

G(V,E) ^ G*(V/v0 u W,E/Rq uRuQ).

Так как в исходном графе были пронумерованы вершины и ребра, то в графе G * не изменившиеся вершины и ребра сохраняют свои номера. Номер вершины Vq переходит к одной из вершин затравки, остальные новые вершины нумеруются с учетом уже имеющихся номеров вершин исходного графа. Ребра из R получают номера удаленных ребер из R о , новые ребра (ребра затравки) нумеруются аналогично новым вершинам.

Определим поэтапный процесс построения фрактального квазидерева. На этапе s = 1 в заданной затравке Hh = (W, Q) нумеруем вершины и ребра, полученный граф обозначим через G1(V1,E1) и назовем предфракталом первого поколения. На втором этапе построения каждая вершина затравки подвергается операции ЗВЗ, причем все старые ребра, инцидентные замещаемой вершине, присоединяются к одной произвольной новой вершине, которая после этого замораживается (в дальнейшем не подвергается операции ЗВЗ). На последующих этапах операции ЗВЗ подвергаются все не замороженные вершины.

Пусть выполнены этапы s = 1,2,3...,l и получено предфрактальное квазидерево l-го поколения G(1)(V(1),E(1)). На этапе s = 1 +1 к каждой не замороженной вершине v є V(1) применяется операция ЗВЗ, в результате чего получается G(1+1)(V(1+1),E(1+1)) — предфрактал (1+1) -го поколения. При выполнении бесконечного числа этапов (1 ^ да)) получаем фрактальное квазидерево.

РИ, 2005, № 2

107

4. Оценки диаметра и радиуса фрактального квазидерева

Длина наикратчайшей цепи (количество ребер), которая соединяет пары вершин v, w є V , называется расстоянием между вершинами v и w и обозначается p(v, w). Для фиксированной вершины v є V величина e(v) = max p(v, w) называется

weV

эксцентриситетом вершины V є V [5]. Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин графа G(V,E) называется диаметром графа G

и обозначается d(G), т.е. d(G) = max e(v). Если пара

veV

вершин v, w є V соединяется наикратчайшей цепью длины p(v, w) = d(G), то эта цепь называется диаметральной.

Радиус графа G обозначается как r(G) и вычисляется по формуле r(G) = min e(v). Вершина, на кото-

veV

рой достигается этот минимум, называется центром графа.

Поскольку в качестве затравки используется n-вершинный однородный граф, то фрактальное квазидерево обладает следующей особенностью — оно имеет n центров, соответствующих количеству вершин с минимальным эксцентриситетом.

Теорема 1. Диаметр предфрактального квазидерева определяется формулой

d(G(1)) = (2l - 1)d(Hh).

Доказательство. Доказательство проводим по индукции по числу этапов построения предфрактального квазидерева.

k= 1: на первом этапе G(1) = Hh. Затравкой является однородный граф, диаметр которого равен d(Hh) = dH . Тогда d(G(l)) = dH.

Пусть выполнено k этапов построения и диаметр d(G(k)) = (2k - 1)dH . Концами диаметральной цепи являются не замороженные вершины. Определим процесс построения диаметральной цепи на этапе k+1. Пусть операция ЗВЗ применяется к вершине, являющейся концом диаметральной цепи графа G . Это не противоречит процедуре построения фрактального квазидерева. Из всех новых вершин выбираем вершину с максимальным расстоянием до замещаемой вершины. Эта вершина будет новым концом диаметральной цепи. Расстояние от новой вершины до замещаемой не превышает dH , таким образом, длина диаметральной цепи увеличится на dH . Применяя операцию ЗВЗ к другому концу диаметральной цепи, увеличиваем диаметр еще на dH. Таким образом,

d(G(k+1)) = d(G(k)) + 2d(Hh) = (2k -1 + 2)dH. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Диаметр предфрактального квазидерева, затравкой которого является полный n-вершинный граф, определяется формулой

d(G(1)) = (21 -1).

Теорема 2. Радиус предфрактального квазидерева определяется формулой

r(G(1)) = 1 • r(Hh).

Доказательство. Доказательство проводим по индукции по числу этапов построения предфрактального квазидерева.

k= 1: на первом этапе G(1) = H h. Затравкой является однородный граф, радиус которого равен rH . Поэтому r(G(1)) = r(Hh) = rH .

Пусть выполнено k этапов построения и радиус r(G(k)) = k • rH . Радиальная цепь связывает центр графа с новой вершиной. Выберем новую вершину с максимальным расстоянием до центра графа. Определим процесс построения радиальной цепи на этапе k+1. Пусть операция ЗВЗ применяется к вершине, являющейся концом радиальной цепи

графа G(k). Это не противоречит процедуре построения фрактального квазидерева. Расстояние от новой вершины до замещаемой не превышает rH, значит, длина радиальной цепи увеличится на rH. Таким образом,

r(G(k+1)) = r(G(k)) + r(Hh) = (k + 1)rH. Теорема 2 доказана.

Следствие 2. Радиус предфрактального квазидерева, затравкой которого является полный n-вершинный граф, определяется формулой

d(G(1)) = 1.

Теорема 3. Размерность Хаусдорфа-Безиковича для фрактального квазидерева равна

D = 1ogx (n -1), где x = — при (n - 1)у > 1

У

Доказательство. Пусть a = b = 1 (ребра графа-затравки имеют единичную длину), тогда длина предфрактального квазидерева 1-го ранга равна

L1 = Q • l = n • l = n ;

длина предфрактального квазидерева 2-го ранга равна

L2 = QI • l + QI • |W| -у = n• l + n• n-y = n(1 + n-y) ;

длина предфрактального квазидерева 3-го ранга равна

L3 = |Q • і+|Q • |W-y+IQ-I W2 x2 =

2

= n • l + n • n - y + n • n • (n -1) - y =

= n(-l + n - y + n • (n -1) - y ) ;

длина предфрактального квазидерева k-го ранга равна

108

РИ, 2005, № 2

Lk = n(1 + n -y + n • (n -1) -y2 +... + n(n - 1)k 2уk ^ . Выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию с bi = ny, q = (n -1) • у. Если (n -1) • у < 1, то это бесконечно убывающая прогрессия и длина ребра фрактального квазидерева при k конечна, т.е. он не является фрактальным квазидеревом. Пусть (n -1) • у > 1, тогда

ny +n(n-1) у 2+...+ n(n - 1)k_2 у k-1 =

Фрактальное квазидерево является самоподобным, поскольку размерность подобия совпадает с размерностью Хаусдорфа- Безиковича.

Каждому фрактальному квазидереву может быть поставлено в соответствие фрактальное (n- 1)-ади-ческое дерево так, чтобы вершинам дерева соответствовали затравки в квазидереве, а ребрам — выполненные операции ЗВЗ. Такое фрактальное (n-1)-адическое дерево будем называть порождающим деревом.

ny(n - 1)k 1 уk 1 -1 (n - 1)у-1 :

Lk = n + n

ny((n - 1)k-1 у k-1 -1) (n - 1)y-1

= n(1 + nT((n-1)k~1 У k-1 -1))

(n -1)y-1

При k ^ да

Lt , n(1 + "ГНТС-ВД"-1) .n(| + „T ((n-1)T)k-2).

(n -1) у

На рисунке представлено фрактальное квазидерево, затравкой которого является полный 4-вершин -ный граф, выполнено три этапа построения, и соответствующее ему порождающее дерево.

кк

Пример фрактального квазидерева и порождающего его 3-адического дерева

Константа перед скобкой определяется видом затравки, и для симметрического графа равна n (мощности множества ребер затравки). Она не влияет на значения размерности Хаусдорфа- Безиковича, поэтому в дальнейших выкладках ее можно опустить:

Проведен сравнительный анализ числовых характеристик p-адических фрактальных деревьев [6] и числовых характеристик фрактальных квазидеревьев.

5. Выводы

5 = у k-2,k-2 = ™.

ln у

Lk(S) = (n - 1)y)k_2 = exp{(k-2)ln((n-1)y} =

= exp{----(ln((n -1) + lny} =

ln у

Из таблицы видно, что числовые характеристики данных классов фрактальных графов похожи. Это позволяет сделать вывод о структурном сходстве этих классов графов, что и оправдывает название «квазидеревья» для выделенного класса фрактальных графов.

= exp{ln5(1 +

ln(n -1) ln у

)} = 5

1+

ln(n-1) ln у

= S1-D;

D = - ln(n 1 = log 1 (n -1) = logx(n -1) ln у - .

У

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Размерность подобия фрактального ква-

зидерева равна Ds

logx (n -1), где х

1 У '

Доказательство. В соответствии с определением размерности подобия масштабный множитель для фрактального квазидерева равен у (у < 1). Сжав 1

исходный граф в ~ раз, получим уменьшенную

копию исходного фрактального квазидерева. Чтобы покрыть исходное дерево этими уменьшенными копиями, их потребуется (n-1) штук. Тогда

D

s

ln(.n 1 = log 1 (n - 1) = logx (n - 1) х = I

ln у - , „

Наличие внутренней структуры, сходной со структурой фрактальных деревьев, позволяет строить для фрактальных квазидеревьев полиномиальные алгоритмы нахождения решений многокритериальных оптимизационных задач, в то время как на произвольных графах эти задачи имеют экспоненциальную сложность определения решения.

Числовые характеристики p-адических фрактальных деревьев и фрактальных

квазидеревьев

Класс d Г D Ds

p-адическое фрактальное дерево 2l L logx p, 1 где х = — У при py>1 logxp> где 1 х = — Y

Фрактальное квази- дерево (2l - 1)d(Hh) lr(Hh) logx (n -1), 1 где х = — У при (n-1)y > 1 logx(n -1) где 1 х = — Y

Теорема 4 доказана. РИ, 2005, № 2

109

Научная новизна. Впервые исследованы свойства класса фрактальных квазидеревьев как класса фрактальных графов, на основании чего доказано структурное сходство р-адических фрактальных деревьев и фрактальных квазидеревьев.

Практическая ценность. Аппарат фрактальных квазидеревьев, развитый в данном исследовании, является конструктивным средством моделирования сложных систем, обладающих самоподобной иерархической структурой.

Сравнение с существующими аналогами. Наличие внутренней структуры, сходной со структурой фрактальных деревьев, позволяет строить для фрактальных квазидеревьев полиномиальные алгоритмы нахождения решений многокритериальных оптимизационных задач, в то время как существующие методики решения таких задач на произвольных графах имеют экспоненциальную сложность определения решения.

Литература: 1. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков ДА. Теория графов в управлении организационными системами. М.: СИНТЕГ, 2001. 124с. І.Перепелица В.А., Позднякова А.Ю., Сергеева Л.Н. Фрактальный граф как средство моделирования структурного хаоса // Тр. Междунар. конф. “Математика. Компьютер. Образование”. Пущино, 1997. С.203-210. 3. Сергеева Л.Н. Моделирование структуры экономических систем и

УДК 621.3 "

ОЦЕНКА ПОЖАРНОЙ ОПАСНОСТИ РЕЗЕРВУАРА С

НЕФТЕПРОДУКТОМ ПРИ ЕГО НАГРЕВЕ ОТ ПЛАМЕНИ СОСЕДНЕГО ГОРЯЩЕГО РЕЗЕРВУАРА

АБРАМОВ Ю.А., БАСМАНОВ А.Е._____________

Строится математическая модель нагрева резервуара с нефтепродуктом под действием излучения от пламени горящего соседнего резервуара. Модель позволяет определить время достижения взрывоопасной температуры.

1. Постановка проблемы

Резервуарные парки являются основным местом хранения нефти и нефтепродуктов. В случае пожара в одном из резервуаров возникает опасность нагрева и взрыва соседних резервуаров. Поэтому для практики важной является оценка времени, через которое резервуар может нагреться до взрывоопасной температуры. Наиболее широко распространены вертикальные стальные резервуары (РВС) со стационарной крышей.

В работе [1] была построена модель нагрева стенок, крыши резервуара и поверхностного слоя нефтепродукта. При этом предполагалось, что равномерно нагревается обращенная к факелу сторона резер-

процессов. Запорожье: ЗГУ, 2002. 88 с. 4. Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с. 5. Perepelitsa V.A., Pinchuk V.P., SergeevaL.N., Pozdnjakova A.J. Fractal Graphs and Their Properties // IKM’97, Bauhaus - Universitat Weimar, 26.2.1.3.1997, Digital Proceedings. 8 p. 6. Перепелиця В. О., Позднякова А.Ю., Сергеева Л.Н. Роль індуктивного визначення фрактального графа в оцінці його числових характеристик / / Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. 1999.№ 2. С.83-93.

Поступила в редколлегию 24.12.2004

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. НовожиловаМ.В.

Сергеева Людмила Нильсовна, д-р эконом. наук, проф. кафедры системного анализа и высшей математики Гуманитарного университета «Запорожский институт государственного и муниципального управления». Научные интересы: нелинейная динамика, многокритериальные задачи дискретной оптимизации. Адрес: Украина, 69002, Запорожье, ул. Жуковского, 70-б, email: sergeeva@optima.com.ua

Задорожкина Яна Сергеевна, аспирантка кафедры системного анализа и высшей математики Гуманитарного университета «Запорожский институт государственного и муниципального управления». Научные интересы: многокритериальные задачи дискретной оптимизации. Адрес: Украина, 69002, Запорожье, ул. Жуковского, 70-б, e-mail: skabioza@ukr.net

вуара. Однако такое предположение является ошибочным. В действительности она нагревается неравномерно. Ввиду больших размеров резервуара теплопроводности стали недостаточно для того, чтобы выровнять температуру [2].

Цель работы — определить температуру сухой стенки (не соприкасающейся с нефтепродуктом) цилиндрического резервуара типа РВС.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач: 1) построение математической модели, описывающей нагрев резервуара под действием излучения от пламени горящего соседнего резервуара; 2) нахождение зависимости от времени температуры сухой стенки.

2. Математическая модель

Будем предполагать, что передача тепла осуществляется только излучением, пренебрегая при этом конвективным теплопереносом.

Пусть нагревающийся резервуар находится на расстоянии L от горящего (рис. 1).

Рис. 1. Горящий резервуар (справа) и нагревающийся от него (слева), hj — уровень нефтепродукта

110

РИ, 2005, № 2