CC BY
23
УДК 004.942
А. Н. Нуриев, О. Н. Зайцева, Е. Е. Мощева, А. И. Юнусова
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВОКРУГ ТРЕУГОЛЬНОГО ЦИЛИНДРА, СОВЕРШАЮЩЕГО ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Ключевые слова: вторичные стационарные течения, гармонические колебания, вязкая несжимаемая жидкость, уравнение
Навье-Стокса, прямое численное моделирование.
В работе представлены результаты численного исследования вторичных стационарных течений, возникающих около осциллирующего треугольного цилиндра. Рассмотрена эволюция вторичного течения при изменении управляющих параметров осцилляционного процесса, построена карта режимов течения.
Keywords: steady streaming, harmonic oscillations, viscous incompressible fluid, Navier-Stokes equations, direct numerical
simulation.
The results of a numerical study of the steady streaming around the oscillating triangular cylinder are presented. The evolution of the secondary flow under a variation of control parameters of the oscillatory process is considered, a map of flow regimes is constructed.
Введение
Одним из наиболее интересных явлений, связанных с периодическими течениями вокруг осциллирующего цилиндра являются вторичные стационарные течения. Этим термином называют ненулевое среднее за период течение, возникающее под действием трения в пограничном слое около тела [1]. Вторичные течения оказывают значительное влияние на процессы тепло- и массопереноса в жидкости. По этой причине это явление достаточно широко используется в технологических процессах (см. работы [2-3]). В тоже время структура таких течений существенным образом зависит от формы тела, параметров колебания и свойств жидкости. В связи с этим возникает актуальная проблема их исследования.
Изучению вторичных стационарных течений, возникающих вокруг осциллирующих тел, посвящено множество работ. В основном они касаются течений около цилиндрических тел круглого поперечного сечения. В связи с этим можно выделить следующие экспериментальные [48], аналитические [9-10] и численные исследования [11-14]. Проблемная область, касающаяся структуры вторичных течений около тел другой формы, изучена значительно хуже.
Данная работа посвящена исследованию вторичных стационарных течений, образующихся в вязкой жидкости вокруг осциллирующего треугольного (равностороннего) цилиндра. В качестве основного метода исследования используется прямое численное моделирование.
1. Математическая постановка задачи
Рассмотрим течение жидкости вокруг цилиндрического тела треугольного
(равностороннего) поперечного сечения с характерной длинной стороны Я, совершающего малоамплитудные гармонические колебания вдоль оси, ортогональной одной из сторон цилиндра, со скоростью:
и = и0 С08(®/) ,
и = -cos
где и о, а - амплитуда скорости и частота
колебаний соответственно.
Нормируя пространственные координаты,
время и скорость на Я, Яи0 \ - и0 соответственно, запишем управляющую систему уравнений в декартовой системе координат как
— + и-уи = -Ур +—Ш , (1)
дЛ Яе
У-и = 0, (2)
где и = (и, у) - безразмерная скорость, р -безразмерное давление, Яе - число Рейнольдса. Уравнение движения цилиндра в нормированных переменных перепишется в виде
Г КС,
Здесь КС = и0ж/(Яа) - второй безразмерный управляющий параметр задачи число Кейлигана-Карпентера.
Для численного решения данной задачи удобно перейти в подвижную систему координат связанную с цилиндром. В этом случае для сохранения системы движения в форме (1) в новой неинерциальной системе координат определим давление как:
жМ ж КС ) КС '
Здесь первое слагаемое ~ - давление в подвижной системе координат, а второе вклад от инерциальных составляющих.
На границе цилиндра в новой системе координат задаются условия прилипания:
и = V = 0 . (3)
На бесконечности изменение скорости определяется по следующему гармоническому закону:
ж Г
р = p + sin
и = COS
KC
,1/ = 0.
(4)
Результирующие поля скорости и давления представляются в виде суммы стационарной и осцилляционной составляющих:
и = Uav +UosC,P = Pav + Posc . Стационарная составляющая, определяющая вторичные стационарные течения, находится как среднее от полей скоростей и давления по периоду:
рш =ЦрсЯ,иш =ЦисЯ. (5)
Т т
2. Численное моделирование
2.1. Численное решение нестационарной задачи
Численное решение поставленной задачи проводится в два этапа. На первом этапе выполняется численное решение полной нестационарной задачи.
Нестационарное течение моделируется в прямоугольной области размерами 50*40, в центре которой располагается обтекаемый цилиндр.
Дискретизация расчетной области проводится с использованием блочных регулярных сеток. Для повышения разрешающей способности вблизи цилиндра выполняется линейное сгущение узлов в направление нормалей к его сторонам. Максимальное количество ячеек используемых в расчетах сеток составляет 3-105.
Решение нестационарной задачи проводится в пакете ОрепБОАМ. Дискретизация системы уравнений движения жидкости выполняется по методу конечных объемов (БУМ) в декартовой системе координат. Дискретные значения составляющих скорости и дискретные давления локализуются в центрах ячеек расчетных сеток. Аппроксимации слагаемых системы выполняется по схемам, представленным в таблице 1 (более подробно используемая численная схема представлена в работах [13-14]).
Таблица 1- Схемы аппроксимации слагаемых в пакете Оре^ОАМ и порядок точности
Слагаемое Схема аппроксимации в OpenFOAM Порядок аппроксимации
Производная по времени: Euler первый
Градиент давления: Gauss linear второй
Конвективные слагаемые: Gauss GammaV второй
Диффузионные слагаемые Gauss linear corrected второй
2.2. Выделение стационарной составляющей решения
На втором этапе моделирования проводится выделение стационарной составляющей решения. В ходе обработки данных, полученных при решении нестационарной задачи, определяется временной отрезок с установившимся периодическим решением. Время установление периодического режима течения определяется с помощью анализа картины течения и интегральных характеристик: подъемной силы, силы сопротивления и моментов, действующих на тело. На найденном временном интервале вычисляется стационарная составляющая согласно представлению (5).
3. Результаты моделирования
В ходе исследования, проводимого в настоящей работе, рассматривался диапазон параметров Яе < 150, 5 < Яе/КС < 100. Для анализа поведения течения в этой параметрической области была проведена серия расчетов, в ходе которой было обнаружено несколько отличных режимов течения. Каждый выполненный расчет отмечался на карте режимов маркером (рис. 1.). Форма маркера выбиралась в зависимости от наблюдаемой картины течения.
Ромбовидными маркерами на карте отмечен периодический режим 8*. Он реализуется в нижнем диапазоне значений параметра КС. Структура
течения в этом режиме представлена на рис. 2. Мгновенная картина течения получена путем подкрашивания жидкости, вытекающей из пограничного слоя пластины. Наблюдаемое течение обладает симметрией относительно оси колебания. Распределение краски на рисунке указывает на формирование в окрестности верхнего и нижнего углов треугольного цилиндра потоков, переносящих жидкость от тела во внешнюю область. Анализ решения показывает, что эти потоки образованы вторичными течениями.
Рис. 2 - Режим течения 8*. Яе=33,7; КС = 0,37 (Яе/КС = 90.16). Слева изображено вторичное течение, справа - мгновенная картина течения
Структура вторичных течений изображена на рис .2 с помощью линий тока. Плоскость вторичного течения делится на 4 зоны. В каждой зоне располагается вихревая ячейка. Течение в темных зонах происходит по часовой стрелке, в светлых - против часовой стрелки. По действием вихрей, жидкость слева и справа вдоль оси колебания подсасывается в пограничный слой треугольного цилиндра и выбрасывается с его улов.
С увеличением КС в окрестности переднего угла треугольного цилиндра образуется пара внутренних вихрей, которая начинает выталкивать внешнюю левую вихревую систему в правую часть. Процесс реструктуризации вторичного течения представлен на рис. 3. Наблюдаемые здесь изменения хорошо согласуются с экспериментальными данными [14].
В результате течение вокруг цилиндра переходит в режим 8 (отмечен на рис. 1 круглыми маркерами).
Структура установившегося течения в режиме 8 представлена на рис. 3 (случай Яе = 96,6; КС = 1,07). Плоскость вторичного течения здесь делится на внутреннюю и внешнюю вихревые зоны. Под действием внутренней вихревой зоны, направление вращения вихрей во внешней системе меняется на противоположное (по сравнению с режимом 8*). Таким образом, формируются течения направленные от цилиндра вдоль оси колебания. Их влияние на общую структуру течения хорошо видно на мгновенной картине течения (см. рис. 3 случай Яе = 96,6; КС = 1,07).
Рис. 3 - Режим течения 8. Яе = 68; КС = 0,75 (Яе/КС = 90.16) (сверху), Яе = 96,6; КС = 1,07 (Яе/КС = 90,16) (снизу). Слева изображены вторичные течения, справа - мгновенные картины течений
Верхняя и нижняя граница режима 8 отмечены на карте (рис. 1) сплошной и пунктирной линиями
соответственно. При переходе через верхнюю границу структура и характеристики течения около
осциллирующего цилиндра претерпевают существенные изменения: утрачивается
горизонтальная симметрия течения, изменяется частота вихреобразования, появляется ненулевая осцилляционная составляющая движения во внешней области течения. Характерные картины течения, локализованных вдоль границы потери симметрии режимов р* (треугольные маркеры на карте режимов) и О (квадратные маркеры на карте
режимов), представлены на рис. 4. Подробное изучение динамики течения в этих режимах требует рассмотрения более широкого диапазона параметров. Результаты соответствующих исследований будут представлены в следующей работе.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ проект № 15-19-10039.
Рис. 4- Режимы Q* 85,8) (снизу)
при KC = 1,69; Re = 130 (Re/KC = 76,9) (сверху) и Q при KC = 1,69; Re = 145 (Re/KC =
Литература
1. Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя. Наука, Москва, 1974. 712 с.
2. Д. Розенберг, Физика и техника мощного ультразвука. Наука, Москва, 1967. 374 с.
3. B.R. Lutz et al, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 100, 43954398 (2003).
4. C. Andrade, Proc. R. Soc. Lond. A., 134, 445-470 (1931).
5. A.F. Bertelsen, J. Fluid Mech. 64, 589-697 (1974).
6. J. Holtsmark et al, J . Acoust. Soc. Am., 26, 26-39 (1954).
7. M. Tatsuno, Journal of Phys. Soc., 36, 1185-1191 (1974).
8. M. Tatsuno, Journal of Phys. Soc., 38, 1, 257-264 (1975).
9. C. Y. Wang, J. Fluid Mech, 32, 55-68 (1968).
10. N. Riley, J.Fluid Mech. 68, 801-812 (1975).
11. E. W. Haddon, Q. J. Mech. Appl. Math. 32, 2, 265-282 (1979).
12. А. Н. Нуриев и др., Вест. Каз. технологического унта, 4, 104-109 (2013).
13. А.Н. Нуриев и др., Вест. Казан. технолог. ун-та, 8, 116—123 (2013).
14. А.Н. Нуриев, дисс. канд. ф.-м. наук, Казанский Федеральный Университет, Казань, 2013, 174.
© А. Н. Нуриев - к. ф.-м.н., старший преподаватель кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, nuriev_an@mail.ru; О. Н. Зайцева - к. пед. н., доцент той же кафедры, zaytseva_on@mail.ru; Е. Е. Мощева - магистрант той же кафедры, katena716@gmail.com; А. И. Юнусова - магистрант той же кафедры, yunusova24@rambler.ru.
© A. N. Nuriev - PhD, Ass. Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, nuriev_an@mail.ru; O. N. Zaitseva - PhD, Ass. Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, zaytseva_on@mail.ru; E. E. Moscheva - graduate student of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, katena716@gmail.com; A. 1 Yunusova - graduate student of the Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, yunusova24@rambler.ru.
