CC BY
18
Список литературы:
1. Мироненко И.Г. Основы конструирования и технологии радиоэлектронных средств. - М.: Изд. центр «Академия», 2007. - 368 с.
2. Половко A.M., Гуров C.B. Основы теории надежности. - СПб.: Питер, 2006. - 704 с.
3. Морозов A.B., Павлюченков С.Н. Проблемы построения высокопроизводительных вычислительных систем в образцах вооружения войсковой ПВО // Научно-технический сборник «Оборонная техника». - М.: ФГУП НТЦ «Информтехника», 2009. - № 4-5. - per. № 89/32.
4. Морозов A.B., Павлюченков С.Н. Построение корректной системы питания перспективных вычислительных систем реального времени. Смоленское региональное отделение АВН // Информационный бюллетень № 18. - Смоленск: ВА ВПВО ВС РФ, 2009. - С. 325-333.
ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ СИСТЕМАМИ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ УОЛША
© Рахимов Б.С.*, Аллаберганов Б.А.4, Нурметова С.Ю.*
Ургенчский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Республика Узбекистан, г. Ургенч
Исследовались сравнительные характеристики полученных кусочно-квадратических и кусочно-постоянных базисов Уолша.
Задача приближения функциональных зависимостей ортогональными системами базисных функций в конечном итоге приводится к задаче вычисления коэффициентов. Наличие быстрых алгоритмов вычисления спектральных коэффициентов, а также отсутствие в этих алгоритмах сложных с точки зрения аппаратной реализации операций умножения и деления позволяет использовать эти алгоритмы в задач цифровой обработки сигналов. Однако все разработанные алгоритмы быстрых преобразований Уолша основаны на применения кусочно-постоянных базисных функций.
Исследуем вопрос, каким образом алгоритмы быстрых преобразований в базисах ортогональных кусочно-постоянных функций [1, 3] могут быть приспособлены для расчета коэффициентов в кусочно-линейных базисах.
Обозначив через (<pk(x)} произвольный действительный кусочно-постоянный базис, запишем формулы прямого и обратного дискретных бы-
* Доцент кафедры Информационных технологии, кандидат технических наук, доцент.
* Студент. " Студент.
стрых спектральных преобразований (ДБСП) Уолша для последовательности отсчетов сигнала {Дх,)} = {ДО}:
С (к ) = ^ £ Д Шк,,)
2 ,= 0
Д 0 )= £' Д (к >(к,,)
(1)
где к - номер коэффициента спектра;
, - номер элемента последовательности действительных отсчетов Д.
Быстрое преобразование Уолша (БПУ) может быть выполнено в большом числе модификаций в соответствии с различными способами упорядочения и каждой модификации соответствует свой граф. Выбор графа существенно влияет на структуру и принципы построения специализированных процессоров [1, 2, 4]. Графы БПУ с различными способами упорядочения могут быть положены в основу проектирования процессоров как последовательно-параллельного, так и параллельного типа. Известные структуры процессоров пирамидальной и кольцевой структуры с последовательной обработкой слов одноразрядными сумматорами могут быть легко преобразованы в соответствующие структуры с параллельной обработкой слов. При повышенных требованиях по быстродействию и наличии в составе процессора — процессорных элементов естественным будет выбор в пользу векторных параллельных вычислений на каждой итерации. Если же структура процессора выбирается на основе компромиссных требований по показателям быстродействия и сложности, то эффективен поточный принцип организации обработки, известный из области процессоров БПФ, причем коэффициент загрузки во времени процессорных элементов с помощью входной буферной памяти может быть в этом случае доведен до 100 %. Это - формула обратного дискретного преобразования в интегральном базисе Уолша. Аналогично формула прямого дискретного преобразования принимает вид:
Ск=Х тк (х) (2)
,=0
Т.е. коэффициенты Уолша, вычисленные для правых конечных разностей 1-го порядка от значений аппроксимируемой функции Д(х) в двоично/
рациональных узлах = —, являются одновременно и коэффициентами
кусочно-линейного интерполянта - конечной суммы ряда по М-функциям. Алгоритм быстрого алгоритма БПУ тем, что применяется не к вектору
отсчетов {/¡}, а к вектору конечных разностей {Д/}. Другое отличие состоит в том, что постоянный множитель ^р присутствует в формуле обратного быстрого преобразования в базисе кусочно-линейных функций, а не прямого. Это свойство имеет определенный смысл, так как позволяет расширить диапазон значений модулей коэффициентов и тем самым повысить точность преобразования, поскольку имеем дело с многократно выполняемыми операциями суммирования-вычитания.
Достоинством интерполяционных сплайнов является их высокая точность, а недостаток - необходимость решения систем уравнений, что связано с большим временными затратами. Для систем, функционирующих в реальном масштабе времени актуальны те методы, которые позволяют избегать решение систем уравнений.
Значительно упрощаются вычислительные проблемы при обращении к методам локальной сплайн - аппроксимации, в которых значения приближающей функции на каждом отрезке зависят только от значений аппроксимируемой функции из некоторой окрестности этого отрезка. Необходимый объем вычислений не зависит от числа узлов сетки, а определяется лишь степенью сплайна [4].
Для параболических базисных сплайнов приведем локальные формулы в готовом виде:
1. трехточечная формула:
Ь = 1 (- /м +10/, - /,1) (3)
2. пятиточечная формула:
Ъ1 = (/-2 -12/-1 + 86/ -12/+1 + /+2) (4)
64
Эти формулы сохраняют свойства гладкости приближений, а значения параметров не зависят от отсчетов в точках, достаточно удаленных от текущей точки с индексом ,. Они являются симметричными, но работают только внутренних точках области [а, Ь].
Широкая популярность сплайн-методов объясняется тем, что они служат универсальным инструментом приближения функций и по сравнению с другими математическими методами при равных с ними информационных и аппаратных затратах обеспечивают большую точность вычислений. Любой сплайн $т(х) степени т дефекта 1, интерполирующий заданную функцию /(х), может быть единственным образом представлен ^-сплайнами в виде суммы [2, 4]:
т+1
/(х) = ^ (х) = Х Ь,. • В,■ (х), а < х < Ь (5)
где Ь, - коэффициенты.
Существуют различные способы вычисления коэффициентов [2, 4].
В случае применения параболических 5-сплайнов по формуле (5) требуются три базисных слагаемых. Будем считать, что значения аргумента приведены к диапазону [0, 1], тогда значение функции вычисляется по формуле:
/(х) = 52 (х) = 6 1 • Б_1(х) + Ьо ■ Во (х) + Ь1В1 (х) (6)
Остальные базисные 5-сплайны на этом подинтервале равны нулю, и следовательно, в образовании суммы они не участвуют.
Одним из важных свойств параболических сплайнов является непрерывность ее производных первого и второго порядка. Это свойство может быть использована для разработки аппаратно-ориентированного алгоритма вычисления коэффициентов в кусочно-квадратических базисах, что позволяет получить высокопроизводительные вычислительные структуры для кусочно-полиномиальной обработки сигналов и функций, отличающееся также высокой точностью [1, 3, 5].
Например, первая и вторая производные от параболического базисного сплайна:
1. на отрезке -1,5 < х < 0,5:
В0 2 (х) = 1 (1,5 - х)2 = 0,5(2,25 - 3х + х2)
В©2 (х)= 0,5(2х - 3); (7)
В0,2 (х ) = 1;
2. на отрезке -0,5 < х < 0,5:
3
В0,2 (х ) = 4 - х 2;
В02 (х ) = -2 х; (8)
В0,2 (х ) = -2;
3. на отрезке -0,5 < х < 1,5:
В0 2 (х)= 1 (1,5 - х)2 = 0,5(2,25 - 3х + х2)
В©2 (х )=-1,5 + х; (9)
В0,2 (х )= 1;
Подставляя значения производных второй степени вместо значений базисных сплайнов, получим формулу:
/(х) = 52(х) = Ь_!-1 + Ь0 •(-2) + Ь-1 (10)
Полученный массив представляет собой значения производной второго порядка от исходной функции. Отметим, что формула (10) даёт возможность определить производную второй степени даже если аналитическая форма исходной функции неизвестна.
Таким образом, в результате сочетания хороших дифференциальных свойств базисных сплайнов и возможностей быстрых преобразований Уолша можно предложить следующий алгоритм вычисления коэффициентов в базисах ./-функций [2, 5]:
1. ввод исходной функциональной зависимости, т.е. ввод массива реальных экспериментальных данных;
2. определить ¿-коэффициенты;
3. вычислить значения аппроксимирующего сплайна S2(x) по формуле (10);
4. формировать массив S2 (х,);
5. над элементами полученного массива выполнить быстрые преобразования Уолша и определить коэффициенты. Эти коэффициенты уже являются коэффициентами в базисе /-функций;
6. вывести массив коэффициентов.
Проведенные численные эксперименты позволяют сделать вывод о том, что число нулевых коэффициентов при обработке массивов геофизических данных, полученных в результате магниторазведки составляет от 5 % до 15 %, а при обработке элементарных функций (а также функций состоящих из их комбинаций) этот показатель составляет от 5 % до 85 %. В табл. 1. приведены результаты численных экспериментов.
Таблица 1
Результаты численных экспериментов
№ Функция КП КЛ кк
1. у = л/1 + X 46,8 % 81,2 % 85,6 %
2. у = X х Sin X 5,4 % 28,1 % 64,0 %
3. У = ех 29,6 % 65,6 % 85,4%
4. у = Ьп (1+Х) 33,5 % 70,3 % 81,2 %
5. -а 1 1 у 39,8 % 75,0 % 82,4 %
6. у = Sin 2кХ 52,3 % 59,3 % 76,5 %
7. Данные вибрационных испытаний 5,6 % 7,0 % 14,7 %
Были проведены исследования по определению сравнительных характеристик полученных кусочно-квадратических базисов и кусочно-постоянных базисов Уолша. Результаты этого исследования приведены в табл. 1.
Таким образом, предложенный алгоритм является аппаратно-ориенти-рованным и позволяет применить существующие алгоритмы быстрых преобразований Уолша в базисах ортогональных кусочно-постоянных функций для расчета коэффициентов как кусочно-линейных, так и кусочно-квад-ратических базисах Уолша.
Список литературы:
1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.
2. Леус Ю.С., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. -М.: Машиностр., 1985. - 224 с.
3. Касымов С.С., Зайнидинов Х.Н., Рахимов Б.С. Аппаратно-ориенти-рованный алгоритм вычисления коэффициентов в кусочно-квадратичес-ких базисах // ДАН РУЗ. - 2003. - № 3. - С. 18-21.
4. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные применения // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. -1998. - Т. 38. - № 8. - С. 1235-1246.
5. Мусаев М.М., Ходжаев Л.К. Спектральный метод полиномиальной аппроксимации для цифровой обработки сигналов // Электронное моделирование. - 1987. - № 6. - С. 30-33.
