CC BY
24
УДК 514.112.4+656.114
Борисов Э.А. , к.т.н., доцент (ДонИЖТ)
ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ РАСЧЕТА ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА ДОРОГИ
Определение площадей поперечных сечений земляного полотна авто-и железных дорог, необходимых для нахождения объемов земляных работ при проектировании и строительстве дорог, возможно различными способами.
Проблема. Выбор того или иного способа зависит от сложности расчетов и геометрических параметров земляного полотна: ширины основания сливной призмы В, крутизны откосов 1т и крутизны местности на косогорах 1 :п. Если в равнинной местности достаточно воспользоваться формулой трапеции, то на косогорах поперечное сечение земляного полотна является четырехугольником с разными длинами сторон.
Площади произвольных четырехугольных сечений определяются способами, указанными в таблице 1. При проектировании трассы в ручном исполнении исходный материал для вычислений представляют графически на миллиметровке в виде продольного и поперечных профилей. Намеченные на поперечном профиле проектные линии трассы переносятся на поперечные разрезы с заданными размерами величин В и т и рабочими отметками ^
Расчет площадей искомых сечений на косогорных участках обычно ведется способом графического интегрирования [1], относящийся к группе механических способов и соответствующий способу линейной палетки. Другие приведенные способы также могут использоваться, при этом критериями их выбора являются точность определения площади и сложность расчетов.
Постановка задачи. Таким образом, возникает задача выбора оптимального способа подсчета площадей поперечных сечений земляного полотна на местности с переменной крутизной косогоров.
Основной материал. Описание способов расчета площадей.
Таблица 1 - Способы определения площадей
№ формул Название способа Формула площади сечения Схемы сечений
1 2 3 4
I. Геометрические способы
1 Трапеция S =а + Ч 2 а
2 Четырехугольник (4-уг.) с параллельными сторонами 1 1 2 S = - аЬ = - а tgB = ah 22 В с •/, /J А а D г
3 4-уг. с параллельными основаниями S = 1 [а^т^ +ЬcsinP2 + + ас-sin(рх + в2 -180°) 4 3 в г Р2 > 1 2 \
4 4-уг. с произвольными сторонами Б = 2 (аЬБ1п р + cdsin р 2) 1 а / Р1 ^^74 3 2
5 Представление площади 4-уг. площадями треугольников Зтр = 1сЬс = 1aЬsin т = = Сп а = Дс»п а = 2-2- = 2Р(Р - а)(р - Ь)(р - с) где р = (а + Ь + с)/ 2; - уг. = X Бтрд / В Г с а А
Продолжение таблицы 1
2
3
4
2. Механические способы
6
Линейная палетка
8 = ЬX ai, где И - шаг палетки; а - длина основания
7
Графо-интегрированный способ
8 = а X Ь , где а - шаг палетки; Ь - высота (длина) оснований
Сетчатая палетка
8 = (п1 + 0,5п2 )а2, где П1 - число целых
квадратов; а - число половин квадратов;_
/ \
/
/
/ а
а
9
Полярный планиметр
3. Аналитический способ
10
Координирование вершин углов четырехугольника
81 = 2 х xi (yi+l - уМ ) = = 2 х yi (xi-l - xi+l) ; 1Г
82 = 2 Р^УНД -ХУ^-1д. = 1Г
=^ Р^Ч^-Ц- 2ХУ^-1д 83 = 2 [(х1У2 - х2У1) +
+ (х2Уз - хзУ2 ) + ... + + (хп-1Уп - хпУп-1)] ;
х
0(0,0)
1
8
2
3
4
1
У
Продолжение таблицы 1
1 2 3 4
4. Нормативный способ
11 4-уг. с заданными параметрами: В, Ь, т, п, (насыпь) Sн = (в + тЬ )11 + т (В ^ + 2 2 1 2 + тЬ п - т V2 у 2 в
12 4-уг. с заданными параметрами: В, Ь, т, п, вк (выемка) Sв =(в + Ь т 1 к + тЬ)Ь + (в —V Ьк + тЬ V 2 к \2 у 1:т\ Ь \вк | вк
2 2 п - т \ / 1 \ /
В группе геометрических способов (таблица 1) первая формула -формула площади трапеции для горизонтальной ровной местности, формулы (2, 3) пригодны только для четырехугольников с параллельными сторонами (основаниями), что не характерно для земляных полотен на косогорах, поэтому они не рассматриваются в нашем исследовании. В формулах (4, 5) элементы фигур определяются графически с помощью линейки и транспортира.
Ко второй группе отнесем механические способы, в которых используются линейная (6) и сетчатая (8) палетки, а также графо-интегрированный (7) способ (аналог линейной палетки) и полярный планиметр (9). Последний способ в нашей работе не рассматривается.
Третью группу (10) представляют модификации аналитического способа [2], основанного на координировании вершин многоугольника.
В четвертую группу выделим нормативный способ (11, 12), для которого необходимые элементы не снимаются графически, а задаются инструкциями, СНиП, ДБН... Такими элементами являются величины В, т, п, к
1. Вывод формул для нормативного способа.
O1
1:ш/ \Л:ш
L
-тб^^ Vi \
nhi
Lr
O2
Рисунок 1 - Насыпь на косогоре
2.1. На рисунке 1 площадь поперечного сечения насыпи, расположенной на косогоре, представлена площадями трех треугольников
SHac = S
CDEG + SACO
- S
OFG.
Площади отдельных фигур равны
Scdeg = 12 (B + 2L)h saco = :^lnhi'
SOFG = L = B/2 + mh
(13)
(14)
(15)
где: h, h1s h2 - рабочая отметка (высота насыпи), высоты подгорного и нагорного треугольников;
L - нижнее полуоснование трапеции;
Ln - длина подгорной стороны косогора (АО);
В - ширина основания сливной призмы (верхнее основание трапеции).
Найдем составные элементы формул (13-15). В треугольнике АСО находим
Ln = L т = LSinP (16)
Sin(180°- р) Sin(P -о)' Ln = sin(p-u) ' ( )
Высота
h1 = LSinu' (17)
Тогда
1 т2с
>ACO
SACO = 1L SinpSinu' (18)
2 Sin(P-u)
Угловые величины скатов земляного полотна |3 и земли и связаны с их крутизной соотношениями
tgР = 1/т, tgи = 1/п. (19)
Функции этих углов в (18) равны
1/т
Sinp
1 + tg2p л/1 + 1/m2 л/1 + m2 Cosp 1 m
/1 + 1В2Р л/1 + т2
Аналогично имеем для угла и
Vi+n2 л/1 + n2
Тогда для (18) получим
1 + m2V1 + n2
Подставив (15,20-22) в (18) найдем
(20)
1 n Sinu = ^^=, Cosu = —;=== ' (21)
_ 1ЛЛ
Sin(p - u) = SinpCosu - CospSinu = . (22)
_L2 л/1 + т2 л/1 + п2 (В/2 + mh)2 (23)
^лсо - ---1 . I—=-- —^-. (23)
2 л/1 + + п2(п - т) 21п " т
Для треугольника OFG аналогично находим
Цн - ; Ь2 - ц^шО- ^81ПУ . (24)
н S1n(P + D) 2 н S1n(P + D)
1 Ц^^ти (В/2 + тИ)2 .... Тогда SOFG ---------—. (25)
2 S1n(p + D) 2(П + т)
Для трапеции
СDEG (13): S - ±[В + 2(В + тИ)]И - (В + тИ)И. (26) Площадь сечения насыпи на косогоре будет равна
Sнас - (В + тИ)И +1 (В + тИ)2(^---М.
нас 4 ' 2Ч2 ' чп-т П + т7
11 О
Так как —1---1— - , , , то окончательно находим
п - т п+т „2 2 п — т
т(В + тИ)2
SHас - (В + тИ)И + —2-—. (27)
п — т
Здесь не учтена площадь сливной призмы.
2.2. Для выемки на косогоре (рисунок 2) по методике для насыпи найдем площадь без учета площадей сечений кюветов и сливной призмы
т(В + вк + тИ)2
Sвыем - (В + вк + тИ)И + -2- . (28)
п — т
Рисунок 2 - Выемка на косогоре
3. Исследование способов определения площадей. Проведем вычисления площадей на косогоре по формулам таблицы 1: №№4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. Другие формулы не используем по приведенным выше причинам. В практике проектирования площади поперечных сечений на косогорах подсчитывают по поперечным профилям, составленным в масштабе 1:200. Для повышения точности измерений используем поперечные профили в масштабе 1:100. Примем в качестве исходных данных для насыпи следующие элементы: В=7,0м, Ь=6.0м, т=1,5, п=1000, 20, 15, 10, 7, 5, 3 (первая величина - для горизонтальной ровной местности), расположение косогоров - на рисунке 3.
Поскольку все способы первых трех групп опираются на графические измерения в качестве точного (эталонного) принят нормативный способ. Тогда разности А i = Sj — S-p i примем за истинные и средние
квадратические ошибки вычислим по формуле Гаусса
mj = ([А2]/п)1/2,
тогда предельными ошибками будут Mi=2mi и M/S. Результаты вычислений приведены в таблице 2.
Если критерием точности принять величину М=1м , то, как видно из таблицы 2, геометрические способы мало пригодны для нашей задачи. В то же время механические и аналитический способы дают достаточную точность.
Таблица 2 - Ошибки определения площадей разными способами (Ai, м2)
№№ п/п Крутизна косогора n Номера способов по таблице!
4 5 6 7 10 Вертикальные углы и°
1 1000 -0,6 0,3 0 0 0 0,65
2 20 -0,5 0,1 0 -0,4 0,2 2,86
3 15 0,6 0,7 -0,2 -0,2 -0,4 3,81
4 10 -0,1 0,2 0,1 -0,5 0,3 5,71
5 7 0,3 0,6 0,6 -0,3 0,1 8,13
6 5 1,7 1,6 -0,8 0,3 0,4 11,31
7 3 5,0 4,2 6,8 3,2 3,0 18,43
[A2] 3,96 3,55 1,05 0,63 0,46 по 6
m - 0,81 0,77 0,42 0,32 0,28 значениям
M 1,62 1,54 0,84 0,64 0,56 величины п
M 1 1 1 1 1 относительные
Т 59 62 114 150 171 ошибки
[A2] 28,96 21,19 47,29 10,90 9,46 по 7
m - 2,03 1,74 2,60 1,34 1,16 значениям
M 4,06 3,58 5,20 2,68 2,32 величины п
Проясним ещё один момент. Как известно, при нахождении нагорной и подгорной длин сторон на косогорах для крутизны местности менее 1:10 используют формулы для земляного полотна, располагаемого на ровной местности. Если провести аналогию с определением площади поперечного сечения, то, принимая исходным критерием М=1м , следует найти крутизну косогора, для которой этот критерий будет действовать. Произведем для этого вычисления по формуле (1) площадей поперечных полотна при разной крутизне косогора и поместим результаты в таблице 3.
Таблица 3 - Расчет площадей по формуле трапеции
Величина п а, м 2 Ь, м А, м2 А Ь углы и° исходные данные
1000 25,00 96,00 - - 0,05° Ь = а+^
20 25,20 96,60 0,60 1/160 2,86 2
в=7,0м
18 25,28 96,84 0,84 1/114 3,18
h=6,0м
17 25,32 96,96 0,96 1/100 3,37
А^ — Ьт
15 25,40 97,20 1,20 1/80 3,81
10 25,80 98,40 2,40 1/40 5,71
7 26,50 100,50 4,50 1/21 8,03
5 28,10 105,30 9,30 1/10 11,31
3 35,40 106,20 10,2 1/9 18,43
4. Анализ результатов исследования проведен по данным, полученным в таблицах 2 и 3.
В таблицу 2 не включены данные по способам 2, 3, 9 по вышеуказанным причинам, способ №8 кроме больших трудозатрат дал грубые результаты.
Сразу отметим, что группы способов объединены не только методикой измерений, но и точностями определений. Так, геометрические способы имеют осредненную предельную относительную ошибку -1/60, механические -1/130 и аналитический -1/170. Подчеркнем то, что эталоном является нормативный способ.
Точности определений разнятся также и по крутизне косогора. При n<5 ошибки вычислений резко возрастают в следствие значительных графических погрешностей и это характерно для всех способов.
В группах средние квадратические ошибки разных способов близки между собой: в геометрических m~0,79 м2, в механических m~0,37 м2. Из всех рассмотренных способов наиболее точным является аналитический, в котором графические определения, влияющие на точность, минимальны.
В таблице 3 видно, что относительная ошибка площадей сечений по формуле трапеции удовлетворяет точности 1м2 только при n=17
(и° = 3°22').
Выводы и рекомендации.
1. Нахождение площадей поперечных сечений земляного полотна при проектировании дорог на косогорных участках с ровной поверхностью целесообразно вести по формулам нормативного способа, вывод которых приведен выше. Основанием для этого является использование при вычислениях только нормативных требований к геометрии земляного полотна и известные из полевых измерений величины крутизны местности на косогорах.
2. Для пересеченной, всхолмленной поверхности косогоров в одинаковой мере пригодны механические и аналитический способ, дающие точность до 1м и относительную ошибку менее 1/100, но в пределах крутизны до n=5. Возможно применение комбинаций способов.
3. Вести определения линейных и площадных величин для земляных полотен на косогорах как на ровной местности рекомендуется при крутизне местности n>17 (3°22').
4 При значительных уклонах на косогорах (n < 5) площадь поперечного сечения целесообразно определять аналитическим способом.
Список литературы
1. Проектирование железнодорожных станций и узлов // Под ред. А.М. Козлова. -М.: Транспорт, 1981.
2. Практикум по геодезии // Под ред. Л.С. Хренова. - М.: Недра, 1964.
