Исследование соответствия функции Вейерштрасса - Мандельброта понятию случайной величины при формировании фрактальной оценки микроускорений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531/534; 629.783:523.3

ИССЛЕДОВАНИЕ СООТВЕТСТВИЯ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА - МАНДЕЛЬБРОТА ПОНЯТИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ФРАКТАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ МИКРОУСКОРЕНИЙ

Для получения адекватной фрактальной оценки микроускорений с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта необходимо выявить коридор значений ее параметров, в котором она соответствует понятию случайная величина. Для этой цели в работе рассмотрена проверка гипотезы однородности с помощью критериев Смирнова, Вилкоксона—Манна—Уитни, Фишера и Романовского.

Ключевые слова: фрактал, микроускорения, функция Вейерштрасса-Мандельброта, случайная величина, гипотеза однородности, критерий Смирнова, критерий Вилкоксона-Манна-Уитни, критерий Фишера, критерий Романовского.

For getting adequate fractal estimation microaccelerations by means of Weierschtrass-Mandelbrot function is necessary to discover of range value its parameters when it is answer the random quantity. Thereto in work take up check of hypothesis homogeneity by means criterions: Smirnov 's, Wilkokson-Manna-Witny's, Fisher's andRomanovsky's.

Keywords: fractal, microaccelerations, Weierschtrass-Mandelbrot function, the random quantity, hypothesis homogeneity, Smir-nov's criterion, Wilkokson-Manna-Witny's criterion, Fisher's criterion, Romanovsky's criterion.

© 2009 г. А.В. Седельников, С. С. Корунтяева

Институт энергетики и транспорта Самарского государственного аэрокосмического университета, ул. Сергея Лазо, 23, г. Самара, 443026, pavlov@ssau. т

The Institute of the Energy and Transport of Samara State Aerospase University, Sergey Lazo St., 23, Samara, 443026, pavlov@ssau. ru

Данная работа представляет собой часть исследований, цель которых - построение фрактальной оценки микроускорений с помощью действительной части функции Вейерштрасса-Мандельброта (ФВМ) при тождественно нулевой фазе [1, 2]. Проведённый анализ показал, что при отсутствии демпфирования или слабом демпфировании, когда изменения амплитуды микроускорений за время, соответствующее времени реализации технологического процесса, пренебрежимо малы по сравнению с самой амплитудой, микроускорения соответствуют понятию случайная величина [3, 4]. При построении оценки важно подобрать функциональную зависимость, адекватную во всех статистических аспектах квазистатической компоненте микроускорений. В качестве такой зависимости предлагается использовать ФВМ. Вопрос выбора ФВМ требует отдельного изложения и рассмотрен в [5]. Здесь следует отметить, что трехпараметрическая ФВМ позволяет оценивать квазистатическую компоненту микроускорений на ранней стадии создания космической лаборатории на основе имеющихся проектных параметров - момента управляющих ракетных двигателей системы ориентации и управления движением, а также инерционно-массовых характеристик больших упругих элементов:

ре .„) = ОД='Г ,

п=-<х> О

где Ь - масштабный параметр; Б - фрактальная размерность ФВМ; W (/) - ФМВ.

Такая оценка может быть использована для оптимизации конструктивно-компоновочной схемы (ККС) лаборатории с целью минимизации микроускорений в зоне предполагаемого размещения технологического оборудования без перемоделирования ее движения по орбите. Отождествление параметров ФВМ и факторов, влияющих на создание поля микроускорений во внутренней среде, позволит получить приближенную оценку после внесения изменений в ККС.

Исследования физической интерпретации параметров ФВМ проводились в [6, 7]. В [8] предложен единый параметр, характеризующий влияние инерционно-массовых свойств упругих элементов космического аппарата (КА) на модуль микроускорений. В данной работе проведены статистические исследования соответствия ФВМ и квазистатической компоненты микроускорений.

Первой частью исследований является выявление коридора значений параметров ФВМ, в котором функция соответствует понятию случайная величина. Схема проверки следующая: из тысячи точек, по которым строилась ФВМ, выбирались выборки по сто точек каждая. Эти выборки проверялись критериями однородности. Если гипотеза об однородности выборок принимается, то можно сделать вывод о том, что рассматриваемые выборки являются частями одной и той же случайной величины. Поскольку ФВМ - неубывающая функция, то сильнее всего должны отличаться края функции (первые сто точек и последние сто точек). Поэтому анализировались именно эти выборки. Для надёжности полученных результатов сравнивались и другие выборки, однако самые жесткие ограничения на параметры ФВМ получались

именно при сравнении крайних выборок. В качестве критериев однородности выбраны критерии: Смирнова, Вилкоксона-Манна-Уитни и Фишера [9].

Проверка гипотезы о соответствии законов распределения выборок. Выбор критерия Смирнова связан с тем, что он относится к непараметрическим и не зависит от предположений относительно параметрического общего вида анализируемых распределений. Для его корректного применения требуется, чтобы сравниваемые подвыборки содержали, по крайней мере, несколько десятков точек. В частном случае, когда сравниваются между собой две выборки, этот критерий имеет вид [9]

(

у (n) = nxn2 £

Vit n1

+

n2

Л

У

(1)

I =1 Уц + У21 где п1 и п2 - объемы выборок ( в рассматриваемом случае: п1 = п2 = 100 ); 5 - число интервалов; у11 -число точек 1-й выборки, попавших в 1-й интервал; у21 - второй.

При справедливости гипотезы однородности распределение статистики критерия Смирнова (1) будет 2

стремиться к закону % с (8 - 1)-й степенью свободы. На рис. 1 представлена динамика изменения наблюдаемого значения статистики критерия Смирнова для различных значений параметров ФВМ.

1,9[20] D

— — критика 5 %, - критика 1 %, —■— наблюдаемое

Рис. 1. Динамика изменения критерия Смирнова для ФВМ при Ь = 0,7

Проверка гипотезы о равенстве выборочных средних значений. Выбор критерия Вилкоксона - Манна -Уитни также связан с тем, что данный критерий также является непараметрическим, причём для корректного его использования выборки могут быть существенно меньше, чем анализирумые. Критерий имеет следующий вид [9]:

(n)_ г (n) - 0,5 • ni( ni + П2 + 1)

У по.

(2)

12

■Щ • n2(ni + n2)

.(n)_ Ч^р(1)

где У(n) = £ R}4 ; n1 и n2 - объемы выборок; -i = 1

150

125

100

75

50

25

1

порядковый номер /-го элемента первой выборки в общем ряду, составленном из обеих выборок (п1 + п2).

Если гипотеза однородности справедлива, то статистика у(п ) ведет себя как нормально распределенная случайная величина со средним значением

У (П) = 1 пх ( П + П2 + 1) и

дисперсией

= ^ п1 п2( п1 + п2) .

На рис. 2 представлена динамика изменения наблюдаемой статистики критерия Вилкоксона-Манна-Уитни при различных значениях параметров ФВМ.

—--нижняя граница--верхняя граница

наблюдаемое

Рис. 3. Динамика изменения критерия Фишера для ФВМ при Ь = 0,7

у (n) = n1 ~ 1

s1

( n,)

n2 П2 - 1

( П2 ) ■

(3)

где п1 и п2 - объем выборок; и 522 - дисперсии выборок. При справедливости гипотезы однородности наблюдаемое значение критерия должно попасть в диапазон:

-«/2 ( П " 1, П2 - 1 )< у(П) <

< ?а!2 ( п1 - 1, п2 - 1 )

(4)

На рис. 3 представлена динамика изменения наблюдаемой статистики критерия Фишера при различных значениях параметров ФВМ. Диапазон (4) обозначен горизонтальными прямыми (нижняя и верхняя границы).

Как видно из представленных зависимостей, статистика критерия Фишера вообще не выходит за границы диапазона (4). Таким образом, на всем рассматриваемом отрезке изменения фрактальной размерности Б части ФВМ в виде двух подвыборок всегда однородны в плане выборочных дисперсий.

Для подтверждения полученных критерием Фишера результатов воспользуемся непараметрическим критерием Романовского [9]:

R =

Q -1

CT

(5)

Q

где

Q = ^ ^

n2

- 1

CTQ =

2(n1 + П2 - 4) (n1 - l)(n2 - 5)

— — критика 5 %, - критика 1 %, —■— наблюдаемое

Рис. 2. Динамика изменения критерия Вилкоксона-Манна-Уитни для ФВМ при Ь = 0,7

Проверка гипотезы о равенстве выборочных дисперсий проводилась критериями Фишера и Романовского. Критерий Фишера предназначен для проверки гипотезы однородности дисперсий нормально распределенных случайных величин и имеет следующий вид [9]:

п1

Если Я > 3, то нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется с достоверностью не менее 0,89.

Проведённый анализ показал, что наблюдаемое значение критерия Романовского в диапазоне изменения фрактальной размерности 1,95 < В < 2 и произвольных значениях масштабного параметра Ь примерно постоянно и не превышает 0,9. Таким образом, можно утверждать, что результаты проверки гипотезы о равенстве выборочных дисперсий по критерию Фишера подтверждаются критерием Романовского.

Проведенный статистический анализ показывает, что на основе критериев однородности (1) - (3) и (5) можно сделать вывод о соответствии ФВМ понятию случайной величины в диапазоне изменения фрактальной размерности Б:

1,99 < В < 2 (6)

для 5 %-го уровня значимости и

1,98 < В < 2 (7)

для 1 %-го уровня значимости. Выявлена независимость соответствия ФВМ понятию случайной величины от масштабного параметра Ь, однако, строго этот вопрос в данной работе не рассматривается.

В заключение следует отметить, что, помимо краевых подвыборок, анализировались и другие, однако наибольшие расхождения наблюдались именно у краевых подвыборок. Поэтому диапазоны (6) и (7) были сформированы на основе анализа краевых под-выборок. Фрактальная размерность ФВМ может принимать значения от 1 до 2, не включая границы этого отрезка. Полученные результаты показывают, что ФВМ пригодна для оценки квазистатической компоненты микроускорений без учета демпфирования собственных колебаний упругих элементов в диапазонах (6) и (7) изменения фрактальной размерности. Таким образом, определен коридор применимости ФВМ в качестве фрактальной оценки микроускорений.

Литература

1. Седельников А.В. Фрактальная оценка микроускорений для слабого демпфирования собственных колебаний

12

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

D

упругих элементов космического аппарата. I // Изв. вузов. Авиационная техника. 2006. № 3. С. 73-75.

2. Седельников А.В. Фрактальная оценка микроускорений

для слабого демпфирования собственных колебаний упругих элементов космического аппарата. II // Изв. вузов. Авиационная техника. 2007. № 3. С. 62-64.

3. Седельников А.В. Статистические исследования микро-

ускорений как случайной величины // Фундаментальные исследования. 2004. № 6. С. 123-124.

4. Седельников А.В., Бязина А.В., Иванова С.А. Статисти-

ческие исследования микроускорений при наличии слабого демпфирования колебаний упругих элементов КА // Науч. чтения в Самарском филиале РАО. Ч. 1. Естествознание. М., 2003. С. 137-158.

5. Седельников А.В., Бязина А.В., Антипов Н.Ю. Использо-

вание функции Вейерштрасса-Мандельброта для моделирования микроускорений на борту КА // Сб. науч. тр.

Поступила в редакцию

X Всерос. науч.-техн. семинара по управлению движением и навигации ЛА. Самара, 2002. С. 124-128.

6. Sedelnikov A. V., Koruntjaeva S.S. Fractal model of microac-

celerations: research of qualitative connection // European journal of natural history. 2007. № 5. Р. 73-75.

7. Седельников А.В. Качественное отождествление пара-

метров функции Вейерштрасса-Мандельброта при оценке микроускорений // Наука в высшей школе: проблемы интеграции и инноваций: материалы VII Меж-дунар. науч. конф. М., 2007. С. 42-52.

8. Седельников А.В. К вопросу выбора обобщённого пара-

метра упругих конструкций космического аппарата для построения фрактальной модели микроускорений // Изв. вузов. Авиационная техника. 2008. № 1. C. 60-61.

9. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика.

М., 2006. 208 с.

10 ноября 2008 г.