CC BY
125
УДК 624.07.531.1
Г. С. ЖЕЛЕЗНЯК (Днепрпроектстальконструкция, Днепропетровск), К. И. СОЛДАТОВ (диит)
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ НЕРАЗРЕЗНЫХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ
У робот на npHKnaAi Hepo3pi3HHx прогонових будов моспв дослiджено вплив несиметричностi схеми на частоти i форми власних коливань. Показано, що за певних довжин пpoгoнiв регулярних схем можливе Гх використання для визначення частот прогонових будов.
В работе на примере неразрезных пролетных строений мостов исследовано влияние несимметричности схемы на частоты и формы собственных колебаний. Показано, что при определенных длинах пролетов регулярных схем возможно их использование для определения частот пролетных строений.
In this paper on the example of continuous spans of bridges the asymmetry influence of the scheme on the frequency and forms of natural oscillations is investigated. It is shown that under certain span lengths of regular schemes the use of them to determine the span frequencies is possible.
В широком диапазоне типовых пролетных строений ферм железнодорожных мостов (от 33 до 154 м), неразрезные пролетные строения представлены схемами 2^110 м, 2^132 м, 110+132+110 м и 132+154+132 м. Для обеспечения необходимого габарита пропуска судов ДСТУ Б В.2.3-1-95 устанавливает ширину под-мостовых габаритов в зависимости от класса реки от 30 м (для 7 класса) до 140 м (для 1 и 2 класса), при этом достаточно выдержать габариты двух пролетов. Если обратиться к трех-пролетным фермам, то требования к величине третьего пролета не устанавливаются, следовательно, он может иметь и иную длину. В большей степени данное исследование относится к мостам, где одна или две неразрезные фермы перекрывают русловые участки, в то время как пойменные участки перекрыты обычными балочными разрезными пролетными строениями.
Сечения поясов ферм (в том числе и неразрезных) на протяжении всей длины остается постоянным, что позволяет изменить длину одного из крайних пролетов путем уменьшения количества панелей. Данное уменьшение длины одного из пролетов (крайнего), теоретически имеет смысл, если необходимо изменить собственные частоты колебаний фермы. Возможна и обратная задача, когда в силу тех или иных причин, характера реки, изменчивости фарватера в зависимости от времени года (пол-новодности реки), необходимо обеспечить круглогодичное судоходство. И, как один из вариантов, возможно рассмотреть увеличение одного из крайних пролетов (двухпролетные неразрезные), приводящее схему к неразрезной несимметричной. В данном случае преследует-
ся та же цель - изменить частоту (период) колебаний.
Действующий нормативный документ ДБН В.2.3-14:2006 «Мости та труби. Правила проек-тування», как и его предшественник СНиП 2.05.03-84 «Мосты и трубы», вводит следующие ограничения по периодам горизонтальных и вертикальных колебаний мостов (п. 1.48);
— для балочных разрезных металлических и сталежелезобетонных пролетных строений железнодорожных мостов периоды горизонтальных колебаний не должны быть более 0,01Ь (Ь - пролет в метрах) и не превышать
1,5 с;
— в пролетных строениях городских и пешеходных мостов расчетные периоды (в неразгруженном состоянии) по двух низшим формам не должны быть в диапазоне 0,45... 0,60 с в вертикальной плоскости и от 0,9. 1,2 с - в горизонтальной;
— периоды вертикальных и горизонтальных колебаний на стадии монтажа пролетных строений не должны превышать 2 с, а крутильных - 1,5 с.
Таким образом, вопрос определения собственных частот колебаний продолжает оставаться актуальным, поскольку он напрямую связан с динамикой пролетных строений и возможными резонансными (или близкими к ним) явлениями.
В [1] были определены частоты и построены формы колебаний для пролетного строения 110+132+110 м пятью различными способами, в том числе численно с помощью МКЭ ЛИРА.
В работе [2] проанализировано влияние изменения длин пролетов на частоту собственных
© Железняк Г. С., Солдатов К. И., 2010
колебаний неразрезной трехпролетной балки на жестких опорах. В общем случае уравнение для определения частот собственных колебаний трехпролетных неразрезных балок на жестких опорах будет выглядеть следующим образом:
"Г"Pf1'B 'B2'Вз -Pr • S1 • S3 • D2 +
S31 S 21 S31
+ -Pf1 • Bi • B3 • ^2 + • Si • Bf • B3 = 0, (1)
S21 S 21
где B1, B2, B3, S1; S2, S3, D2 - функции Прагера, имеющие вид:
B (A) = chA sin A - shA cos A ; S (A) = 2shA sin A; D (A) = chA cos A-1;
р21, р31, е21, е31 - коэффициенты нерегулярности, соответственно, по массе и жесткости пролетов. Для рассматриваемого случая, когда отсутствует нерегулярность по массе и жесткости пролетов, для коэффициентов нерегулярности будет выполняться следующая зависимость:
Е13 = Е23 = Е12 = р12 = р13 = р23 = 1 . (2)
Следовательно, исходя из выражения (2), частотное уравнение запишется только в функциях Прагера:
В1 • В2 • В3 — 51 • 53 • ^2 + В1 • В3 • 5*2 + 51 • В1 • В3 = 0. (3)
Расчетные характеристики пролетного строения приведены в табл. 1.
Таблица 1
Характеристики Ед. изм. Значения
110+132+110 132+154+132
Расстояние между главными фермами м 5,80 5,80
Полная длина пролетного строения м 353,14 419,14
Высота балки проезжей части м 1,85 1,85
Высота фермы м 15,0 15,0
Вес пролетного строения т 1594 2044
Погонный вес т/м.п. 5,43 5,43
Момент инерции фермы м4 5,456 5,456
Из уравнения (3) определим частотные коэффициенты Аг- и далее по известной формуле круговую частоту:
А2 ГЕ[ г%12\ т '
ю =
(4)
где ю - круговая частота колебаний, рад/с; Аj - частотный коэффициент; I - длина пролета, м; т - погонная масса участка, т/п.м.; Е1 -жесткость участка, тм2.
Анализ частот и форм собственных колебаний неразрезных пролетных строений показал, что для исследования процесса взаимодействия такой системы при входе подвижной нагрузки на мост и при ее сходе с сооружения, когда условия работы пролетных строении оказываются наиболее неблагоприятными, требуется учет не менее 3к форм возможных колебаний пролетных строений, где к - число пролетов [3]. Таким образом, для трехпролетных расчетных схем минимальное количество частот и форм должно составлять не менее 9.
Исследование возможного влияния на частоту собственных колебаний пролетного строения 110+132+110 м изменения величины одного из крайних пролетов проведено путем изменения длины крайнего пролета с шагом панели фермы (й = 11 м) как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, для получения полного спектра изменения частот. На рис. 1 приведены расчетные схемы неразрезных пролетных строений (110+132+110 м и 132+154+132 м). В табл. 2 приведены численные значения частот для обеих схем пролетных строений.
На основании данных табл. 2 построим график изменения частот по каждой из 9 форм для пролетного строения 110+132+110 м. По оси ординат отложим значение частот, по оси абсцисс - длину крайнего пролета, изменяющегося в диапазоне длин от 55 до 132 м (рис. 2).
Как видно из графика на рис. 2, изменение длины крайнего пролета оказывает на частоты наибольшее влияние на высшие формы начиная с 6, а также на 3 форму.
£7,ц ~соШ
/777777 /777777
= 110м к = 132 м /з = 55. „132 м
Ь = 297...374 м
X
и = 132 м ¿>=154м } /з = 55...154 м
Л = 341...440 м
Рис. 1. Расчетные схемы пролетных строений
Таблица 2
Расчетная схема 1 2 3 4 5 6 7 8 9
110+132+55 2,263 3,464 7,705 10,754 12,484 17,910 23,350 29,824 39,357
110+132+66 2,229 3,429 7,082 9,343 11,271 17,394 23,215 27,850 32,395
110+132+77 2,194 3,388 5,916 8,520 11,138 16,918 21,878 23,745 30,425
110+132+88 2,154 3,325 4,847 8,230 11,069 15,638 18,684 23,375 29,677
110+132+99 2,103 3,204 4,120 8,050 10,972 13,276 17,698 23,253 27,597
110+132+110 2,030 2,975 3,743 7,859 10,538 11,571 17,280 22,651 24,014
110+132+121 1,921 2,713 3,592 7,542 9,401 11,200 16,750 19,877 23,402
110+132+132 1,769 2,522 3,523 6,946 8,648 11,111 15,483 18,156 23,281
132+154+55 1,641 2,482 5,748 7,720 10,993 13,887 16,491 22,150 28,072
132+154+66 1,622 2,459 5,573 7,528 8,805 12,983 16,373 21,671 27,689
132+154+77 1,603 2,436 5,178 6,765 7,986 12,686 16,295 20,359 23,696
132+154+88 1,583 2,409 4,465 6,231 7,861 12,411 15,983 17,263 22,300
132+154+99 1,562 2,374 3,753 6,023 7,807 11,824 14,122 16,454 21,833
132+154+110 1,536 2,319 3,211 5,904 7,759 10,480 13,111 16,360 21,088
132+154+121 1,502 2,222 2,851 5,801 7,673 9,053 12,768 16,276 18,959
132+154+132 1,454 2,076 2,658 5,674 7,361 8,147 12,525 15,849 16,829
132+154+143 1,385 1,926 2,566 5,460 6,731 7,904 12,156 14,281 16,429
132+154+154 1,293 1,813 2,517 5,088 6,287 7,833 11,347 13,257 16,347
Для анализа относительного изменения частот по 9 формам построен график приведенный на рис. 3. Здесь частоты по всем схемам сравнивались с частотой по схеме 110+132+110 м (132+154+132 м). В общем случае процент погрешности при определении частот определялся по формуле
-нрх 100 %,
юр
Где ®нр =®/
— частоты балки по схеме
110+132+110 м (132+154+132 м).
Для исходной схемы 110+132+110, как видно из графика на рис. 3, с увеличением длины крайнего пролета на величину одной-двух панелей частоты по формам 1, 2, 4, 5, 8 вышли из предела инженерной достоверности расчетов частот - 10 % интервала.
Рис. 2. График изменения частот по формам 1-9 в зависимости от длины крайнего пролета для схемы
110+132+110м
Рис. 3. График изменения частот балок относительно частоты по симметричной схеме 110+132+110 м по формам 1-9
При уменьшении пролета относительная частота по первой форме изменяется не так значительно, достигая погрешности в 10 % непосредственно возле нижней границы диапазона изменяемых схем. Изменение частоты по второй форме происходит в 15 % погрешности вплоть до нижней границы диапазона изменяемых схем. На частоте по третьей форме наиболее существенно отражается изменение одного
из крайних пролетов в сторону уменьшения. Как видно по графику рис. 3, относительная погрешность для частоты по третьей форме вышла за границы интервала 10 % уже при уменьшении протяженности крайнего пролета на длину панели фермы.
Графики для пролетного строения по схеме 132+154+132 м во многом совпадают с приведенными на рис. 2 и рис. 3, поэтому в данной
статье только обозначим допустимые интервалы данной схемы. Формы для схем 110+132+110 м и 132+154+132 м практически идентичны, поэтому в рамках данной статьи ограничимся только построением форм по первой схеме.
В общем виде для схемы 132+154+132 м верны все отмеченные выше закономерности для 110+132+110 м, с той разницей, что изменение относительной погрешности происходит менее выражено. Так, при уменьшении крайнего пролета до 55 м погрешность по первой форме выходит за пределы 10 % интервала, тоже самое происходит с погрешностью для второй формы, которая при приближении к нижней границе диапазона изменяемых схем достигает 20 %. Однако при увеличении крайнего пролета процент относительной погрешности меньше аналогичных значений схемы 110+132+110 м, ввиду большей длины неизменяемых пролетов.
На рис. 4 приведены формы колебаний для первых 9 частот для балок по схемам 110+132+55 м, 110+132+110 м, 110+132+132 м. В качестве нормирующего параметра был выбран угол поворота на первой опоре. Графики форм колебаний полностью соответствуют всему вышесказанному относительно частот. Так, значительное изменение частоты при колебаниях по 3 форме, связанное с уменьшением пролета до 55 м находит свое отражение на соответствующем графике. На рис. 4 сохранено взаимное отношение форм, что позволяет оценить не только качественную составляющую, но и относительные перемещения форм по разным схемам. Так, на рис. 4 видно увеличение перемещений в среднем и крайнем пролетах по 1 форме при увеличении величины крайнего до 132 м. Так же видно, что относительные перемещения по 4, 7, 8 формам существенно больше соответствующих перемещений по другим схемам.
Несмотря на значительное изменение длины крайнего пролета - абсолютное изменение составляет от -55 м до +22 м (для схемы 110+132+110 м) и -77 м до +22 м (для схемы 132+154+132 м), относительное удлинение находится в пределах от -50 % до 20 % (для схемы 110+132+110 м) и от -58 % до 17 % (для схемы 132+154+132 м), относительные длины центрального и крайнего пролетов изменяются одинаково в меньшем интервале - от +18,5 % до 6 % (для схемы 110+132+110 м) и от -23 % до +6 % (для схемы 132+154+132 м).
Интервал длин крайнего пролета, при котором изменение длины крайнего пролета не приводит к изменению частоты симметричной балки больше чем на 10 %, для частоты по первой и второй форме составляет от 77 м до 132 м. Для частоты по третьей форме интервал более сужен, и равен от 99 м до 132 м. Данные интервалы справедливы и для схемы 132+154+132 м.
На рис. 5 приведен график относительной погрешности по частотам для первых трех форм относительно регулярной при определении частот по обеим схемам. По оси абсцисс отложена длина пролета для регулярной схемы. Как видно по графикам, пролет, при котором можно перейти к регулярной схеме с наименьшей погрешностью (до 10 %), для схемы 110+132+110 м составляет около 120 м для частоты по первой и третьей форме, для второй находится в диапазоне около 110 м; для 132+154+132 м допустимо перейти к регулярной схеме с величиной пролета 143 м по частоте по первой и третьей формам, и 135 м - для второй. Минимальное значение относительной погрешности для частот по высшим формам находятся в интервале заданном для первой и третьей форм, кроме частот при пятой и восьмой формам, характер изменения погрешности для которых полностью соответствует частоте по второй форме колебаний.
Определим частоты и периоды горизонтальных колебаний пролетного строения.
Момент инерции в горизонтальной плоскости найдем, воспользовавшись известными полуэмпирическими формулами для периодов вертикальных и горизонтальных колебаний [7]. Формулы позволяют выразить момент инерции в горизонтальной плоскости через момент инерции в вертикальной. После преобразования приходим к зависимости:
1 гор = 1 ср Х
В
0.9
Н 1.93 — 0.01/
(6)
где В - ширина пролетного строения; Н - высота пролетного строения; I - полная длина; 1ср - момент инерции в вертикальной плоскости.
Для пролетных строений 110+132+110 м и 132+154+132 м момент инерции в горизонтальной плоскости будет равен 0,4275 м4. Решив уравнение (3), подставив вместо вертикальной горизонтальную жесткость, найдем период колебаний в горизонтальной плоскости.
2
Х
Рис. 4. Формы колебаний балок. Слева направо: для схемы 110+132+55 м, 110+132+110 м и 110+132+132 м.
Цифрами обозначены номера форм
% 656055 - 110-13 2-110 м
50 - \
45 - \
40 - \ Г
3530 - V \
\ Л 1 у
25 \ > у
20 - \ \
15 - \ >
10 - \ \ X У г
5. \ >
0 - \ 21
-5
9 » 1 ' 1 ' | « | ■ | ■ | ' 1 ' | ' 1 ■ 0 95 100 105 110 115 120 125 130 135 14
132-154-132 м
-
_ ... 2
... I
3
Ь
1 ■ 0 11 ■ Г ' I 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 5 120 125 130 135 140 145 1 1 т т т г 50 155 160
Рис. 5. График погрешности относительно равнопролетной схемы при определении частот по схемам
110+132+110 м и 132+154+132 м
Так, для схем 110+132+55 м до 110+132+132 м период собственных колебаний для частоты по первой форме находится в диапазоне от 2,019 до 2,583 с, по второй форме -1,319...1,811 с. Для схем 132+154+55 м до 132+154+154 м период собственных колебаний для частоты по первой форме изменяется в диапазоне от 2,783 до 3,534 с, по второй форме - 1,840.2,520 с. Таким образом, периоды колебаний не находятся в интервале периодов, ограниченном СНиП. Увеличение длины край-
него пролета приводит к уменьшению частоты собственных колебаний, и соответствующему обратно пропорциональному увеличению периода собственных колебаний.
Как видно по графику на рис. 6, практически для всех длин пролетов для схемы пролетного строения 110+132+110 м периоды колебаний по первой форме находятся в диапазоне 0,45.0,6 с, нахождение их в которой по СНиП считается нежелательным.
Рис. 6. График изменения периодов вертикальных колебаний в зависимости от величины крайнего пролета:
1а, 1б - для пролетного строения 110+132+110 м; 2а, 2б - для пролетного строения 132+154+132 м
В то же время, уменьшение длины крайнего пролетного строения на панель для схемы
132+154+132 м приводит к выходу из данного диапазона периодов колебаний по второй фор-
ме. Периоды колебаний по 1 форме для схемы 132+154+132 м и периоды колебаний по 2 форме для схемы 110+132+110 м не попадают в диапазон, указанный СНиП.
Таким образом, можно отметить, что в случае увеличения одного из пролетов наряду с выходом на первый план вопросов прочности, экономической составляющей проекта, условий местности должен возникнуть вопрос о частотах собственных колебаний, изменение которых влечет за собой существенное изменение характера действительной работы конструкций под подвижной нагрузкой.
Выполненное исследование позволяет также сделать вывод о возможности и целесообразности проектирования неразрезных двух- и трех-пролетных ферм несимметричных как более эффективных с точки зрения их поведения под динамической нагрузкой. К тому же это позволяет уменьшить один из пролетов, которые предусмотрены для ширины подмостовых габаритов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Распопов, А. С. Свободные колебания неразрезных ферм железнодорожных мостов [Текст] / А. С. Распопов, К. И. Солдатов // Вопросы статической и динамической работы мостов: меж-вуз. сб. научн. тр. — Д., 1989. — С. 47-53.
2. Железняк, Г. С. Исследование собственных колебаний квазирегулярной трехпролетной балки [Текст] / Г. С. Железняк, К. И. Солдатов // Вк-ник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2005. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2005. - С. 166-173.
3. Каплан, В. Взаимодействие подвижного состава с неразрезными пролетными строениями железнодорожных мостов [Текст] / В. Каплан, Ю. Г. Козьмин, Э. А. Шраер // Вопросы динамики мостов и теории колебаний: межвуз. сб. науч. тр. / ДИИТ. - Д., 1980.
4. Ананьев, И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем [Текст] / И. В. Ананьев, — М., 1946. - 224 с.
5. Эйхе, Г. Н. Анализ структуры уравнения частот и форм колебаний прямолинейных цепных стержневых систем и свободные колебания радиа-льно-вантовых мостов [Текст] : дисс. ... канд. техн. наук. - 183 с.
6. Солдатов, К. I. Дослщження динашки нерегуля-рних по довжинах прольопв мостових констру-кцш [Текст] / К. I. Солдатов, Г. С. Железняк, К. В. Гуржш. - Д., 2004. - С. 221-226.
7. Динамика железнодорожных мостов [Текст] / Н. Г. Бондарь и др. - М.: Транспорт, 1965. -412 с.
Поступила в редколлегию 11.03.2010.
Принята к печати 20.03.2010.
