CC BY
20
УДК 330.45
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОПТИМИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ МАЛОГО БИЗНЕСА
А.А. Г огин, Б.Я. Солон
Ивановский государственный химико-технологический университет
В статье рассматриваются особенности смешанных систем массового обслуживания и применяется оптимизационная модель определения производительности оборудования.
Ключевые слова: оптимизация, смешанные системы массового обслуживания.
Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем. Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Положительная оценка этого подтверждается и тем, что, начиная с 1969 г., Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономикоматематические исследования.
В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств. Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей.
Классическими системами, которые изучает теория массового обслуживания и
для которых более разработан математический аппарат, являются системы с ожиданием и с отказом. Для таких систем типично следующее: требования, поступающие в систему на обслуживание, покидают ее только после обслуживания. Однако, на практике часто встречаются системы массового обслуживания с ожиданием, в которых имеются различные ограничения, например, на время пребывания в очереди, на время пребывания требования в системе, на длину очереди. Возможны также различные комбинации подобных ограничений. Такие системы массового обслуживания называются смешанными системами с ожиданием.
В смешанных системах массового обслуживания требование, поступившее в систему на обслуживание и заставшее все приборы занятыми, может покинуть систему и не обслуженным. Так, если имеется ограничение на длину очереди, выражающееся в том, что число требований, ожидающих начала обслуживания, не должно превышать т, то очередное требование, поступившее в систему на обслуживание в момент времени, когда все приборы заняты и т требований ожидают обслуживания, обязано покинуть систему, хотя оно и не обслужено. Такая ситуация возникает, например, в мастерских, предназначенных
для ремонта каких-либо машин, с ограниченной площадью для их хранения.
Ограничение на время пребывания в очереди выражается в том, что время ожидания требованием начала обслуживания не должно превышать некоторой величины ? , где ? — постоянная или слу-
чайная. Иначе говоря, если за время /ож с
того момента, как требование стало в очередь, не освободится ни один из обслужи-
вающих приборов, то требование покидает систему, хотя оно и не обслужено. Предполагается, что если процесс обслуживания уже начат, то он доводится до конца независимо от времени ожидания начала обслуживания.
Процесс функционирования для смешанной системы массового обслуживания можно представить с помощью следующей схемы.
Рис. 1 Смешанная система массового обслуживания где 1 - поток заявок, поступающий в смешанную СМО на обслуживание; 2 - смешанная СМО с ожиданием; 3 - поток обслуженных требований; 4 - поток не обслуженных требований.
Рассмотрим функционирование смешанной СМО более подробно.
Итак, пусть на вход системы массового обслуживания, состоящей из П однотипных приборов, поступает пуассонов-ский поток требований с интенсивностью Я . Время обслуживания каждого требования подчинено показательному закону
Р(т) = \-е-цт.
Обозначим максимальное число мест в очереди через т. Если в системе находится к(к < п) требований, то все они обслуживаются, причем каждое требование - одним прибором. Если в системе находится п + 5(5 < т) требований, то, по понятной причине, П из них обслуживаются, а остальные 5 стоят в очереди и ждут начала обслуживания. Если вновь прибывшее в систему требование застанет в ней п + т требований (П находящихся на обслуживании и т ожидающих начала
обслуживания), то оно покидает систему необслуженным.
Предположим далее, что время пребывания в очереди требования, заставшего в системе п + 5(5 < т) других требований,
не должно превосходить /ож, где /ож —
случайная величина, имеющая показательное распределение
Р(!ож <0 = \ — е 11, Таким образом,
требование, заставшее все приборы уже занятыми, покидает систему необслуженным в следующих двух случаях: 1) если в очереди стоит уже т требований; 2) если требование простаивает в напрасном ожидании начала обслуживания в среднем 1 / V единиц времени (в связи с этим, параметру V иногда придают смысл интенсивности ухода из очереди необслуженных требований).
Обозначим через рк (/) вероятность того, что система массового обслуживания
в момент времени I находится в состоянии к. Здесь различные состояния определяются так: 0 — в системе нет ни одного требования и, стало быть, все приборы свободны; к — в системе находится к требований и все они обслуживаются, к — 1,2,... ,п; п + .V — в системе находится
р0(0 = -М>(0 + т(0
р'к (0 = *р к-1 (О ~(л+км)рк (0 + (к + ')№+, (О, Рк (0 = Рк-1 (0 - [Я + и// + (£ - и)V]/?* (О + [и// Рп+т (0 = ^и+и-1 (0 ~(пц + т у)рп+т (О
/7 + .V требований, из них и обслуживаются, а 5 стоят в очереди в ожидании обслуживания, 5 = 1,2 Вероятности для
всех этих возможных состояний системы массового обслуживания удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
(1)
1 < к < п -1 (2)
(к — п + \)у~\рк+1(1:), п<к <п + т-\ (3)
(4)
Опуская вывод и решение соответствующей системы уравнений для
установившегося режима, приведем окончательный результат:
Ро=1'
п+т
■Т,рк,
к=1
(6)
^ // ’ // ’ рк - вероятность нахождения системы в состоянии к при установившемся режиме.
Знание вероятностей р^ позволяет вычислить:
- среднее число требований, находящихся в очереди (длину очереди):
к ’
(7)
к=п+1
- среднее число требований, находящихся в системе:
М2 = п^кРк ;
к=1
среднее число свободных от обслуживания приборов:
М3=X (п~к^Рк .
(9)
к=0
Важнейшей характеристикой качества обслуживания в рассматриваемой системе является вероятность отказа
, п-МЗ Рошк=1------— , (10)
где п-МЗ - среднее число прибо-
_ п-МЗ
ров, занятых обслуживанием, а ------- -
вероятность обслуживания.
С помощью формулы вероятности
отказа можно определить относительную пропускную способность системы:
ции деятельности производственных объектов как смешанных СМО.
со{іи) = \-ро
(11)
Абсолютная пропускная способность определяется по формуле:
Д//) = &>(//)/1 .
(12)
Абсолютная пропускная способность характеризует число заявок, которые будут обслужены системой.
Используя приведенные формулы, возможно решить задачу оптимиза-
Постановка задачи
В качестве объекта применения ЭММ рассмотрим предприятие мясоперерабатывающей промышленности «ИП «Сказыводов». На предприятие поступает сырье автомобилями марки «Газель» (грузоподъемность - 3000 кг.). Средняя интенсивность поступления автомобилей в неделю равна - 8 ед. График поступления автомобилей представлен на рис. 2.
Входящий поток заказов
Входящий поток
вс п
Дни недели
Рис. 2 Распределение заказов за неделю
сб
пт
вт
ср
чт
У предприятия имеется 1 вид оборудования по переработке мяса птицы. Максимальное число станков по переработке мяса, которые возможно разместить на предприятии, равно 5. Также у предприятия имеется склад с необходимыми условиями хранения, вмещающий 2 «Газели». Среднее время переработки 3000 кг сырья, т.е. время обслуживания 1 «Газели», составляет 0,7 суток. Цена оборудования с такой же производительностью равна 88000 руб. Срок хранения сырья на складе
не должен превышать 1 суток.
У предприятия есть финансовые возможности приобрести за собственные средства новое оборудование с более высокой производительностью. Виды нового оборудования представлены в таблице 1.
Средняя цена за «обслуживание» 1 автомобиля равно 150000 руб.
Необходимо определить значение производительности оборудования, при которой выручка от производства продукции будет максимальной.
Таблица 1
Новое оборудование
№ п/п Время переработки 3000 кг сырья, сут. Стоимость оборудования рассчитанная на период 1 цикла обслуживания, руб.
1 0,4 125000
2 0,35 155000
3 0,28 175000
Построение экономикоматематической модели (ЭММ)
В данной задаче потоком заявок на обслуживание в смешанной системе массового обслуживания является поток автомобилей с сырьем, поступающий на производство. Из графика 1 видно, что
закон распределения входящего потока близок к показательному закону распределения. Следовательно, входящий поток заказов можно считать простейшим.
Используя исходные данные, ЭММ примет следующий вид.
Целевая функция:
Z = max(F*(») (13)
1<аг<5
Fk (//) = 150000 • А — к- Q(jii) —> max,
где Q(m) =
88000, 0 <//<10 125000, 10 <//<17,5 155000, 17,5 <//<20 175000, 20 <//<25
затраты на приобретение оборудования с более высокой производительностью.
Система ограничений:
/л є [0;25]
Докажем, что задача (13)-(14) является задачей выпуклого программирования. Для этого необходимо, чтобы (13) являлась выпуклой вверх (вниз) функцией, а (14) -выпуклым множеством.
(14) является выпуклым множеством (по определению выпуклого множества).
Для доказательства выпуклости вверх (вниз) (13) достаточно, чтобы вторая производная функции Рк{/и) была меньше
(больше) нуля.
Построим график второй производной функции Рк {/и).
Из графика (рис. 3) видно, что вторая производная функции Рк(р) на всем
множестве (14) отрицательна, следовательно, функция (13) - выпуклая вверх.
(14)
Т.к. задача (13)-(14) - задача выпуклого программирования, то для доказательства существования оптимума применим теорему Куна-Таккера.
Теорема Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования: мно-
жество допустимых решений, которое обладает свойством регулярности, является оптимальным решением тогда и только тогда, когда существует у ,
что (ju*,у*) - седловая точка функции Лагранжа.
Условие регулярности означает, что допустимое множество имеет внутреннюю точку (то есть оно не вырождено в точку).
Для решения задачи (13)-(14) воспользуемся системой Wolfram Mathematica 7.0.
2
dF
2
d
Рис. 3 График второй производной функции Fk (д)
Решение ЭММ представим в виде таблицы.
Таблица 2
Решение ЭММ
n * f* П»)
2 10 986918
Как видно из таблицы 2, для получения максимальной выручки предприятию необходимо установить еще 1 ед. оборудования той же производительности, что у него есть сейчас. В этом случае выручка предприятия составит 986918 руб. в неделю, что на 28500 руб. (3%) больше той выручки, которую предприятие получает в данный момент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бережная В.И., Бережной Л.С. // Математические методы моделирования экономических систем. М.2005.
2. Саульев В. К. //Математические модели теории массового обслуживания. - М.: Статистика, 1979.
3. Клейнрок Л. //Теория массового обслуживания. Пер. с англ. М.:Машиностроение, 1979.
RESEARCH OF THE COMBINATION SERVING SYSTEMS WITH REFERENCE TO OPTIMIZATION OF SMALL BUSINESS INDUSTRIAL TARGETS ACTIVITY
A.Gogin, B.Solon
The article considers the peculiarities of combination serving systems and the application of optimization model of definition of equipment capacity.
Keywords: optimization, combination serving systems.
