CC BY
22
да в Интернет и подготовки выпускных работ планируют использовать классы открытого доступа на базе ММЦ и других центров. Слушатели с наиболее низким уровнем владения компьютером не связывают планы обучения в дистанционных программах с классами открытого доступа, так как скорее всего ранее не были охвачены участием в образовательных программах ММЦ и других центров и не обладают достаточной информацией о возможности работы на базе этих организаций. Уровень ИКТ выше в тех категориях, где слушатели имеют возможность работать на компьютере и в Интернете в домашних условиях. Отсутствие ограничений по времени использования Интернета и компьютерных ресурсов также возрастает в группах с более высоким уровнем ИКТ-подготовки. На наш взгляд, это связано с тем, что данные слушатели в силу наличия знаний в области ИКТ имеют дополнительные возможности самостоятельно общаться в социальных средах, использующих компьютерные технологии и средства доступа к Интернету в различных сферах педагогической деятельности.
Рассматривая профессиональный состав каждой из выделенных по уровню ИКТ-подготовки групп, отметим, что наименьшей компьютерной подготовкой охвачены школьные педагогические работники, список которых приведен выше, не являющиеся преподавателями-предметниками. К категории слушателей, от случая к случаю использующих компьютерные и интернет-ресурсы, относятся подавляющее большинство преподавателей-предметников, а также небольшое количество преподавателей и руководителей региональных центров информатизации и научно-методических центров. Методисты и руководители РЦИТ, ИКТ, ММЦ, преподаватели информатики и математики, а также ряд преподавателей по другим школьным дисциплинам, директоров и их замов не испытывают затруднений в общении с Интернетом и компьютерными технологиями.
Программа МК предполагает на все обучение использовать 30 ч в течение 15 дней, т.е. около 2 ч в день.
Среднее планируемое слушателями время ежедневной работы - более 3 ч. По качественным оценкам, полученным из писем слушателей, реальное время, используемое слушателями на выполнение всех видов учебных работ, особенно на творческие виды работ, существенно больше, но, как правило, зависит от общего уровня подготовки слушателя в области ИКТ. Организаторы программы в данном случае имеют основание пересмотра учебного плана обучения.
Наиболее низкие показатели времени использования средств ИКТ - в группе с наименьшим уровнем компьютерной подготовки. Это связано, на наш взгляд, с наличием организационных проблем доступа в компьютерные классы УО и отсутствием достаточного компьютерного опыта. В группе слушателей, использующих ресурсы Интернета от случая к случаю, большее время планируется на выполнение недистанционных видов работы, что свидетельствует о том, что данная группа слушателей нацелена в основном на выполнение образовательной программы МК вне зависимости от дистанционной технологии обучения. Категория слушателей, свободно владеющая ресурсами Интернета, не придает принципиального значения видам ИКТ, используемых в МК.
В ходе проведения МК не выявлено существенного различия в сложности доступа к среде обучения слушателей, проживающих в центральных или удаленных населенных пунктах. Проблемы доступа или передачи информации были отмечены в ряде отдельных случаев, связанных с техническими параметрами настройки сетевого подключения или отдельных компьютеров слушателей.
Таким образом, нами представлен ряд социально-педагогических факторов, влияющих на организацию и проведение учебных дистанционных мероприятий в среде преподавателей учреждений полного (среднего) образования в рамках работы по проекту НФПК.
УДК 004.3
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ АВТОМАТОВ
A.A. Максимов,
кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий, СГСЭУ
ВЕСТНИК. 2006. № 14(3)
Теория нечетких множеств сделала возможным расширить область применения математического моделирования в таких областях, как медицинская диагностика, экономика, криминалистика, социометрия, а также информационных системах. В качестве модели поведения такого рода «нечетких» систем, т.е. с неоднозначно определенными состояниями1, используется понятие нечеткого автомата. Большинство информационных систем допускают автоматное представление. Чем сложнее система, тем больше всевозможных «нечетких» моментов в ее функционировании. Однако универсальная алгебра нечетких автоматов не разработана в достаточной мере. В авторской работе «Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов» были предложены основные универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов2. В рамках этих понятий были доказаны аналоги теорем о гомоморфизмах из
универсальной алгебры. В данной статье описывается решетка конгруэнций нечеткого автомата, развиваются полученные ранее результаты.
Нечетким автоматом называется тройка A = ( S, X ,ô), где S и X - непустые множества (множество состояний и множество входных сигналов), а ô: SхX ^M(S) - отображение, нечеткая функция переходов (см., например, работу В.Н. Салия «Алгебраические конструкции, связанные с булевозначными автоматами»3), где M(S) -совокупность всех нечетких подмножеств множества S.
Подмножество S* множества S называется устойчивым в автомате А, если (Vs* е S*)(Vxе X)(suppô(s*,x) ç ç S*), где supp - носитель нечеткого вектора, supp^ =
= {s е S | ¡(s) > 0}.
Пусть S* - устойчивое подмножество множества состояний нечеткого автомата A = (S,X,ô), тогда автомат A = (S ,X,ô ) называется подавтоматом нечеткого автомата A. Здесь ô = ô\s,X - сужение функции перехо-
а I а . й à ë а а а б а а , I a I s i а , a ôu Ô и Ô* через Ô, так как
смешение здесь вряд ли возможно, а ряд доказательств при этом соглашении имеют более стройный вид.
Совокупность всех подавтоматов нечеткого автомата A обозначают Sub(A). Равенство ô(s1,x)(s2) = l истолковывается следующим образом: автомат А из состояния s1 под действием входного сигнала x может перейти в состояние s2 с мерой lе [0,1]. (В зависимости от ограничений, накладываемых на значения данной меры можно получить различные виды автоматов: детерминированные, недетерминированные, булевознач-ные, вероятностные.)
Пусть (р : A ^B есть некоторое отображение. Оно естественным образом продолжается до отображения множества M(A) в множество M(B). По определению,
ç(M)(b) = max¡(a), где ¡еМ(А), а b е В .
<(а ) =b
Пусть A = (S,X,ô) и B = (T,X,ô) - два нечетких автомата. Функции переходов этих автоматов мы будем обозначать одним и тем же символом.
Гомоморфизмом нечеткого автомата A в нечеткий
автомат B называется отображение (р : S ^T , такое, что (Vsе S)(Vx е X)(<(ô(s, x)) = ô<<p(s), x)).
Теорема 1. Пусть <p - гомоморфизм нечеткого автомата A = (S, X ,ô) в нечеткий автомат B = (T, X ,ô). Тогда :
если A* = (S*,X,ô)е Sub(A), то
B* = (<(S*),X,ô) е Sub(B) ;
если B* = (TTX,ô)е Sub(B), то A* = < (T* ), X,ô) е Sub (A).
Доказательство см. в «Универсально-алгебраических конструкциях для нечетких автоматов».
Теорема 2. Совокупность Sub(A) всех подавтоматов нечеткого автомата A вместе с пустым подавтоматом образует решетку.
Доказательство. Пусть A = (S,X,ô) - нечеткий автомат, A1, A2 е Sub(A), где A1 = (S\,X,ô), A2 = (S2,X,ô),
причем S1 IS2 = S3 ^ 0 . Покажем, что A3 = (S3,X,8) e e Sub(A), т.е. что (Vs* e S3)(Vxe X)(supp8(s*,x) с S3). Пусть это не так и (3s* e S3)(3xe X)(supp8(s*,x) S3), т.е. (3s0 e S \ S3)(3xe X)(8(s*,x)(s0) > 0). С другой стороны, так как A1 e Sub(A), то (Vs e S1)(Vxe X)(supp8(s,x) с
с Si). Так как S3 с Sj^, то s eSj^. Поскольку 8(s ,x)(s0) > 0 и A1 является подавтоматом нечеткого автомата A, то по определению s0 e St. Кроме того, если рассуждать
логично, так как S3 с S2, то s e S2. Поскольку
8(s*,x)(s0) > 0 и A2 e Sub(A), то по определению s0 e S2.
Таким образом, ((s0 e Sj)&(s0 e S2)) ^ (s0 e S11S2), что противоречит нашему допущению, т.е. мы доказали, что A3 e Sub(A).
Считая пустое множество состояний множеством состояний пустого подавтомата, получаем, что для любых двух подавтоматов существует наибольший из содержащихся в них подавтоматов. Поскольку сам автомат A является наибольшим своим подавтоматом, множество Sub(A) всех подавтоматов нечеткого автомата A образует решетку относительно теоретико-множественного включения.
Пусть в - отношение эквивалентности на множестве A. Оно следующим образом естественно продолжается на нечеткие векторы. Пусть ^ и v - два нечетких
вектора. Тогда (д,V) eO (т.е. ^ и v находятся в отношении эквивалентности в) тогда и только тогда, когда
max jn(x) = max v(x), Va e A .
xe&<a > xeO<a>
Отношение эквивалентности Ос SXS называется конгруэнцией нечеткого автомата A = (S, X,8), если ^, s2) e
e О^ (8(s1yx),8(s2,x))eO для любых s1;s2 e S,xe X. Теорема 3. Ядро гомоморфизма есть конгруэнция. Доказательство см. в «Универсально-алгебраических конструкциях для нечетких автоматов».
Пусть в - конгруэнция нечеткого автомата A = (S,X,8). Фактор-автоматом нечеткого автомата A по конгруэнции в называется нечеткий автомат AO= SO'X,8),
где 8: S/oXX ^M(SO есть перенесение <5 на фак-
о/ •
тор-множество уо '. по определению 8(0 < s >,x) =
= 0<8(s,x) > для любых se S, xe X.
Теорема 4. Пусть в - конгруэнция нечеткого автомата A = (S,X,8), тогда существует гомоморфизм <р этого автомата, такой, что Kerp=0.
Доказательство см. в «Универсально-алгебраических конструкциях для нечетких автоматов».
Теорема 5. Пусть <р - гомоморфизм нечеткого автомата A = (S,X,8) в нечеткий автомат B = (T,X,8) , тогда нечеткий автомат В = (@(S),X,8) изоморфен нечеткому автомату yKerp=(fKerp,X ,8).
Доказательство см. в «Универсально-алгебраических конструкциях для нечетких автоматов».
Следующая теорема является достаточно важной, поскольку описывает структуру множества всех конгру-энций нечеткого автомата и играет ключевую роль в формировании универсальной алгебры4 нечетких автоматов.
Теорема 6. Множество всех конгруэнций нечеткого автомата образует полную решетку.
Доказательство. Пусть дан нечеткий автомат A = (S,X,S). Очевидно, что рефлексивное отношение на множестве состояний данного автомата - As =
= {(s{),(s2,s2),...,(sn,sn)| Sj e S, j = 1...|S|} - является
конгруэнцией нечеткого автомата A. Таким образом, чтобы доказать то, что множество конгруэнций нечеткого автомата образует полную решетку, необходимо показать, что объединение любого семейства конгруэнций на A является конгруэнцией.
Пусть 0 02 £ Con(A), s,s*, f и хе X. Обозначим как наименьшую эквивалентность, содержащую 01 и 02. Как известно, Con (A) является транзитивным замыканием теоретико-множественного объединения в и 02.
Тогда ((s, s*) ев) ^ ((Зк eN)(( s, s*) евк o... o^)), где e¡ e{ в1,в2} , j = 1...к. Откуда следует, что:
(Зке N)^,s2,...,sk_i е S)((s,s^e вК, (ц,s¿e в2,...
...,(sks*)eft ).
(1)
t'ed<t >
Тогда S(s',x)(t) = max S(s',x)(t') = max S(s',x)(t') >
v ' /w tee<í> tea<t>
max S(s',x)(t') >S(s\ x)(t)
t 'e61<t>
правой и левой частей имеем:
S(s',x)(t) = max S(s*, x)(t') = max S(s',x)(t')
* \ / j l\ С / *
~ - : max í t ee<t'> t ee<t>
H- *
t e a<t>
со (2), получаем:
max S(s*, x)(t') < max S(s,x)(t').
t 'e 6<1*> t e 6< t*>
Аналогично докажем противоположное неравенство: S(s, x)(t) = max S(s, x)(t') = max S(s", x)(t') <
t e61<t> te 6i<t>
< max S(sx)(t') = max S(sx)(t'), объединяя послед-
t e e<t> t e e< t>
нее со (2), имеем противоположное неравенство
maxi S(sx)(t') > max S(s,x)(t) .
t e e< t'> t e 6<t>
Таким образом, (s,s*)e 6^ max S(s,x)(t') =
t e 6<t>
= max S(s *, x)(t').
t e 6<t*>
Далее, положим, что равенство (1) выполняется для (s,s*)e 6, соединенных последовательностью отношений длины k = l ( le N,l > 1). Докажем, что (1) выполняется при k = l + 1 , т.е. (s,s')e 6, таких, что
(s>sx)e 6 (si,s2)e 6,-M-i,s*)e 6i+i, где 6 e {6iA},
Необходимо показать, что в является конгруэнцией нечеткого автомата A. Проведем доказательство методом математической индукции по длине последовательности отношений, соединяющих s и s*.
Пусть k = 1, тогда можно считать, что (s, s*) е вх. Пусть t<E S, такое, что (t,t*)е в и S(s*,x)(t) = max S(s*,x)(t').
j = 1...1 +1. Согласно предположению индукции
мы имеем: max S(s,x)(t) = max ^>(sk,x)(t'). По ба-
tеe<t > tев<t >
зису индукции мы также имеем: max S(sk,x)(t') =
tеe<t*>
maxx S(s*,x)(t') . Отсюда в итоге получаем:
t е e<t >
maxx S(s,x)(t') = maxx S(sx)(t').
t е e<t*> t е e<t*>
Далее аналогичным образом доказывается тот факт, что наименьшая эквивалентность, содержащая произвольное семейство конгруэнций, тоже является конгруэнцией.
t e 6<t>
откуда в силу равенства
max S(s\ x)(t') (2)
t е e<t>
Отсюда имеем:
S(s",x)(t) = max S(sx)(t') = max S(s,x)(t') <
t е e<t> t е e1<t>
< max S(s,x)(t') = max S(s,x)(t')
t е e<t > t е в< t'>
Таким образом, объединяя последнее неравенство
1 См.: Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / Пер. с франц. М., 1982.
2 См.: Максимов А.А. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов // Молодежь. Образование. Экономика: Сб. науч. ст. участников конференции. Ч. 4. Ярославль, 2004. С. 309 - 314.
3 См.: Салий В.Н. Алгебраические конструкции, связанные с булевозначными автоматами. В кн.: Методы и системы технической диагностики. Вып. 8. Саратов, 1985. С. 12 - 20.
4 См.: Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М., 1997.
