Исследование решений краевых задач для дифференциального уравнения высокого порядка в поле кулоновского потенциала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (2). 2010. С. 14-18

УДК 519.624.3

Исследование решений краевых задач для дифференциального уравнения высокого порядка в поле кулоновского потенциала

И. В. Амирханов, Д. З. Музафаров, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, З. А. Шарипов

Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри д.6, Дубна, Московская область, 141980, Россия

Предложен алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций одной краевой задачи для уравнения высокого порядка (6-го, 8-го, 10-го и 12-го порядков) с произвольным параметром е при старших производных в поле кулоновского потенциала. При £ ^ 0 некоторые решения этих уравнений стремятся к решениям уравнения Шрёдингера. Проведены исследования свойств собственных значений и собственных функций при различных значениях е. Алгоритм реализован с использованием системы символьных вычислений MAPLE.

Ключевые слова: квазипотенциальные уравнения, краевая задача, символьные вычисления, сингулярно-возмущённые уравнения.

1. Введение

Квазипотенциальные уравнения [1] широко применяются для релятивистского описания системы двух частиц, например, кварка и антикварка. В частном случае задача сводится к исследованию краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения конечного порядка [2].

В настоящей работе проводится исследование решений краевой задачи для дифференциального уравнения

2(-1)та-1£2(та-1) ё2т 2е4 ё6 2е2 ё4 ё2 2 "1 т/ Л

——----Ь +-------1---а2 +--Ф(г) = 0 (1)

(2т)! ёг2т + + 6! ёг6 4! ёг4 + ёг2 " + г \ (/) ° ^

при т = 3,4, 5, 6 со следующими граничными условиями:

Ф(0) = 0, Ф(г ^ то) = 0,

Ф'(0) = 1, Ф'(г ^ то) = 0,

' у ' (2) .........,

Ф2(т-1)(г ^ то) = 0,

где а2 = —Е£ — собственное значение (а2 > 0). При е ^ 0 уравнение (1) сингулярно-возмущённое дифференциальное уравнения.

2. Алгоритм решения задачи

Решение с п узлами ищем в виде

Ф(г) = г(1 — с1г)(1 — с2г)(1 — с3г) ■ ■ ■ (1 — спг) ехр(—£т), (3)

где к,с1,с2,сз,... ,Сп — неизвестные постоянные. Статья поступила в редакцию 28 ноября 2009 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ, №№ 10-01-00467-а, 08-01-00800-а.

Подставляя это выражение в уравнение (1) и приравнивая слагаемые при одинаковых степенях г, получаем уравнение для нахождения параметра к

-£——к2т-1 + ... + -к5 - -к3 + к - — = 0 (4)

(2т - 1)! 5! 3! п + 1

и уравнение для нахождения собственных значений а2

I 1 \т— 1 с2(т-1) _4 _2

(-1) ет), к2-1 + ... + 6у к» - ^ + к2 - а2 = 0, (5)

а также систему уравнений для нахождения а,г = 1,2,3,...,п. Например, для нахождения одноузлового решения (т.е. С1, С2 = 0, Сз = 0,..., сп = 0) имеем

г

1

, ,е2т-2к2т-2 е4к4 е2к2 '

(_1)^-1--1-----1 1

( ) (2т - 2)! + 4! 2! +

(6)

При п = 0 — это безузловое решение, п = 1 — решение с одним узлом, п = 2 — решение с двумя узлами и т.д.

Таким образом, алгоритм нахождения собственных функций и собственных значений краевой задачи (1)—(2) сводится к следующему:

2

1. Для заданных значений е и п ищем действительные и положительные (для удовлетворения граничному условию при г ^ то необходимо, чтобы к > 0) решения уравнения (4).

2. Подставляя найденные решения к в уравнение (5), находим собственные значения а2.

3. Решая систему уравнений для с^, % = 1, 2, 3,..., п, находим ненормированное решение (3), которое удовлетворит граничным условиям Ф'(0) = 1.

4. Далее изучим свойства нормированных решений. Для этого умножаем функ-

/со

цию Ф на константу А, которая находится из условия А / / Ф2ёг = 1. При

V 0

этом граничное условие Ф'(0) = 1 переходит в Ф'(0) = Л.

Действительные и положительные решения уравнения (4) существуют только при определённых ограничениях, накладываемых на параметр задачи е. Так как не для любого уравнение (4) имеет действительные и положительные решения, сначала найдём ограничение на параметр . Для этого умножаем уравнение (4) на и перепишем в виде

/К у) = пт+т, (7)

где = к и

(_1)та-1 1 1

«т,») = ^ГТ11»2"-1 + ■■■ + 5У"5 - а/ + »■ (8)

Исследуем решение (7) графически. На рис. 1 представлены графики функции /(т, у) для значений т = 3,4, 5, 6. Для заданных значений аргументов т, у из (9) находим значение , например,

п + 1 п + 1

£1 = г /шш(т, г/шт), £2 = г /тах(т, Ушах), (9)

(б) Случай т = 5

(в) Случай т, = 4 (г) Случай т, = 6

Рис. 1. Графики функции /(т,у)

Из рис. 1 для случая т = 3 следует, что при 0 < е < е1 уравнение (4) имеет одно действительное и положительное решение; при £1 < е < £2 три таких решения и, наконец, при £2 < £ < то опять одно такое решение. Аналогично из рис. 1 можно найти область ограничения на £ при т = 4, 5, 6 (подробно см. [3]).

В [3], используя полученные ограничения на параметр для различных значений т (т = 3,4, 5, 6), подробно рассмотрены свойства решений в частном случае (п = 0 — безузловое решение, п = 1 — решение с одним узлом).

3. Заключение

Алгоритм реализован с использованием системы символьных вычислений MAPLE. Установлено, что при £ ^ 0 некоторые решения стремятся к решениям нерелятивистского уравнения Шрёдингера (рис. 2).

Кроме этого, обнаружены так называемые погранслойные решения (рис. 3); переход одного типа решения (например, решение с одним узлом) в другой (решение без узлов) (рис. 4). Эти решения требуют глубокого анализа и дальнейшего физического осмысления (физической интерпретации), так как релятивистские поправки собственных значений А = |Лп,2т — А„,2| становятся большими.

2 4 6 8 10

(а) Решение уравнения (1) при е ^ 0

2 4 6 8 (б) Решение уравнения Шрёдингера

Рис. 2. (а) — решение уравнения (1) при е ^ 0 и (б)

Шрёдингера

решение уравнения

(а) Случай т = 4 (б) Случай т = 6

Рис. 3. Погранслойные решения уравнения (1) при е ^ 0

(б)

Рис. 4. График решение уравнение (1) с одним узлом (а) и в большом масштабе (б)

Литература

1. Кадышевский В. Г., Мир-Касымов Р. М., Скачков Н. Б. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел. // ЭЧАЯ. — 1972. — Т. 2, № 3. — С. 637-690.

2. Амирханов И. В., Жидков Е. П. и др. Исследование краевых задач для сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения высокого порядка // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 11. — С. 65-79.

3. Амирханов И. В., Музафаров Д. З. и др. Исследование решений краевых задач для дифференциального уравнения высокого порядка в поле кулоновского потенциала. — Препринт ОИЯИ Р11-2009-150, Дубна. — 2009.

UDC 519.624.3

Investigation of Solutions of Boundary Problems for the Differential Equation of High Order in a Coulomb Field

I.V. Amirkhanov, D.Z. Muzafarov, N. R. Sarker, I. Sarhadov,

Z. A. Sharipov

Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research Joliot-Curie 6, 141980 Dubna, Moscow region, Russia

An algorithm to find eigenvalues and eigenfunctions of one boundary problem for the equation of high order (6th, 8th, 10th and 12th orders) with an arbitrary parameter e at the higher derivatives in the Coulomb potential field is proposed. At e ^ 0 , some solutions of these equations coincide with the solution of Schroedinger equation. The investigations of the properties of eigenvalues and eigenfunctions with different values of e have been conducted. The algorithm is implemented using the system of symbolic calculations MAPLE.

Key words and phrases: quasipotential equation, boundary problem, symbolic computing, singular-perturbated equations.