CC BY
90
УДК 51-74:519.711:519.714:666.972.7:691.175
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
А.Н. Бормотов1, И.А. Прошин2
Кафедры: «Теоретическая и прикладная механика» (1), «Автоматизация и управление» (2), ГОУ ВПО «Пензенская государственная технологическая академия»; aleks21618@yandex.ru
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: композиционные материалы; математическое моделирование; многокритериальный синтез; оптимизация структуры и свойств; структурообразование; управление качеством.
Аннотация: Представлено исследование комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов с использованием методов теории управления и системного анализа. Установлена обобщенная зависимость изучаемого свойства от всего комплекса факторов, рассматривая композит как сложную техническую систему. На основе анализа экспериментальных данных проверена адекватность предложенных моделей.
К настоящему времени выполнены многие исследования, посвященные проблемам структурообразования радиационно-защитных композитов, синтеза их основных технических свойств и деструктивных процессов в различных условиях эксплуатации. В отдельный раздел можно выделить исследования, направленные на определение влияния различных рецептурно-технологических факторов на реологические свойства мастик, растворов и бетонов. Как правило, исследователи ограничиваются представлением экспериментальных данных и математических моделей влияния отдельных рецептурных факторов на предельное напряжение сдвига смеси. Однако среди них практически нет обобщающих работ, в которых рассматривались бы вопросы комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов. Исключение составляют работы В. А. Вознесенского по моделированию реологических параметров смесей на основе минеральных связующих с помощью экспериментальных полиномиальных моделей, справедливых для некоторых частных случаев [1, 2].
Обобщенные модели влияния содержания дисперсной фазы на реологические свойства смесей представлены уравнениями Эйнштейна, Муни, Гута-Смол-вуда и др. Эти модели достаточно точно позволяют прогнозировать влияние количества дисперсной фазы в узких диапазонах изменения степени наполнения композитов. При этом влияние размеров частиц дисперсной фазы, а следовательно, и связность смеси не учитываются.
Наиболее значительный вклад в теорию вязкого течения дисперсных систем был внесен работами Генри Эйринга и Г.М. Бартенева [3]. Разработанная ими мо-
лекулярно-кинетическая теория течения дисперсных систем основана на гипотезе о перемещении слоя частиц в направлении действия внешней силы и учитывает структурные изменения системы при ее разрушении. Она справедлива для систем, частицы которой способны к диффузионному перемещению в дисперсионной среде.
По мнению авторов [4], исследование комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов целесообразно проводить с использованием методов теории управления и системного анализа - установление обобщенной зависимости изучаемого свойства от всего комплекса факторов, рассматривая композит как сложную техническую систему.
На практике это сводится к аппроксимации экспериментальных данных функцией многих переменных заданного вида и получение обобщенной математической модели.
В общем случае задача аппроксимации (приближения функций) формулируется для функции
векторного аргумента, заданного на некоторой области.
Самой простой и грубой является ступенчатая аппроксимация. Она применяется как при мелкой сетке в пространстве аргумента х (то есть по существу при табличном способе задания функции), так и при специальном виде самой функции.
Задача приближения функции нескольких переменных решается на основе метода наименьших квадратов, представляя ее суммой функций одной переменной.
Для функции двух переменных /(хх, Х2) с прямоугольной областью изменения аргументов:
/(x) = /(Xl, X2, ..., Xn)
dll < Xl < dl2 , d2l < X2 < d22
соответствующее выражение имеет вид
d22 d12
min f f[/(x1,x2)-/1(x1)-/2(x2)]2dxldx2 .
/l /2 d d d 21 d11
Решение задачи получается в виде
/l (Xl) + /2 (X2 )= /X1 + /X2 -/X1 x 2,
где
d12
d11
d 22
21
d22 d12
(d12 - du )(d22 - d21)
d 21 d11
Задача приближения функции двух аргументов посредством произведения двух одномерных аргументов может быть сведена к только что рассмотренной. Действительно, если вместо исходной функции /(хь х2) рассмотреть функцию ф(хь х2) = 1п/(хь х2), выполнить приближение этой функции суммой ф1(Х1) + + ф2(х2), а затем образовать функции
/ (Х1) = ехр ф:(х:), /2 (Х2) = ехр ф2(Х2),
то
1п/ (Х1, Х2) * 1п/ (Х1) + 1п /2 (Х2);
/(Х1, Х2) */ (Х])/2 (Х2).
При переходе к многомерным процессам задача аппроксимации существенно усложняется. Известные в настоящее время методы многомерной аппроксимации менее эффективны, чем методы приближения одномерных функций. При этом трудоемкость вычислений с ростом размерности решаемых задач резко возрастает.
Приведем относительно простой способ приближения многомерных таблично заданных функций обобщенными многочленами частного вида. Ограничимся случаем двумерной аппроксимации. Пусть значения Ж(х, у) заданы в табл. 1.
Определим аппроксимирующий многочлен в виде
<2д = а1 /1(х) ф1(у) + а2/2(Х) ф2(у) + ... + ад/(х) фд(у), (1)
где /р(х), фр(у), р = 1, д - функции, выбранные из каких-то соображений; ар - неизвестные коэффициенты.
Для определения коэффициентов ар воспользуемся методом наименьших квадратов, то есть из условий минимума
Г
пт д
11
I=1 ]=1.
Zap/p (x, )фp(у, )- W,J .p=1
приравнивая частные производные по ар нулю, получим для определения неизвестных
a1, a2,
систему уравнений [5]
где
c1,1a1 + c1,2 a2 +•••+ c1,qaq = b1
c2,1a1 + c2,2 a2 +•••+ c2,qaq = b2
cq,1a1 + cq,2 a2 +•••+ cq,qaq = bq,
ca,p /а,рфа,р; a = 1 q; P = 1 q;
(2)
Значения функции Щ(х,
Таблица 1
a
q
/а,р = Z fa(xi )/p(X'); Фа,р = Хфа(7 )фр(у7 ); i=1 j=1
ьр ='Е'Е^‘]/р(х)фр(у]); р =!,д; с«,р= св,д.
I=1 ]=1
В случае трехмерной аппроксимации для каждого г = х£, k = 1,1, значения функции Ж (х, у, Г) задаются в виде прямоугольной таблицы п х т (табл. 2). Аппроксимирующий многочлен представляется в виде
Яд = а1 Л(х)ф1(у)у1(/) + а2 /2(х)ф2(у)^2(г) + ... + ад /д(х)фд(у)\\1д(2), (3)
где /р(х), фр(у), Ур(г), р = 1, д - функции, выбранные из каких-то соображений;
ар - неизвестные коэффициенты.
Применим метод наименьших квадратов.
Вычисляя частные производные по ар и приравнивая их нулю, получим систему уравнений (2), где:
са,р = /а,рфа,р^а,р ;
/а$=^/а(хг) Ь(хгУ-
I =1 т
фа,р = ^фа(У] )фр(У] );
] =1
1
^а,р = ^а(г£ );
£=1
пт 1
Ьр = ^"^Ти]¥г]к/р (хг )ф р V] V р (гк ^
г =1 ]=1£=1
а= 1, д; р = 1, д; р = 1, д.
Таблица 2
Значения функции W(x, y, z) для z = Zk
Описанный способ аппроксимации легко распространяется и на функции с большим числом переменных.
Аппроксимирующему многочлену можно придать более общий, в сравнении с выражением (3), вид, например
(4)
Р=1
Величины са р и Ьр системы (2) вычисляются по формулам:
П
са,р = X 1а (х' ,У' ,2' (х' ,У' ,2' ) ;
' =1
п
Ьр=Х шЛр(х' , У',2')’
'=1
где п - общее число точек, пронумерованных произвольным образом, причем п > д. В данном случае отпадает необходимость иметь прямоугольную таблицу значений аппроксимируемой функции.
Более общее, в сравнении с уравнением (4), выражение для аппроксимирующего многочлена может быть представлено в виде
Р=1
где т - число подлежащих определению параметров аппроксимации.
Определение параметров а1, а% ..., ат в общем случае можно осуществить поиском минимума
Г “|2
п д
XX1Р (х',У',2' ,а1 ,а2, к , ат ) - Щ
' = 1 _ Р = 1
известными методами оптимизации.
При решении практических задач, как уже отмечалось, выбор вида аппроксимирующей функции во многом определяется интуицией экспериментатора. Однако есть и объективные критерии выбора вида аппроксимирующей функции.
Рассмотрим реологические свойства эпоксидных композитов специального назначения на примере определения аналитической зависимости предельного напряжения сдвига т от объемной степени наполнения щ и времени / по данным эксперимента, приводимым в табл. 3 и на рис. 1 и 2. Очевидно, что указанные факторы наиболее полно характеризуют интенсивность изменения структуры формирующегося композита, то есть степень «загустевания» материала.
Таблица 3
Экспериментальная зависимость объемной степени наполнения от времени
5 10 15 20 25 30 35
0,19 40 50 170 1200 - - -
0,54 90 100 130 200 600 1200 -
0,70 120 130 150 180 250 480 1150
0,78 140 160 220 290 400 640 1300
0,82 140 170 250 330 440 700 1380
/, мин
Рис. 1. Зависимость предельного напряжения сдвига от времени при различных значениях иу:
1 - 0,2; 2 - 0,55; 3 - 0,83; 4 - 0,78; 5 - 0,7
т, кПа
Рис. 2. Зависимость предельного напряжения сдвига от объемной степени наполнения:
1 - через 5 мин; 2 - через 10 мин
Для определения вида аппроксимирующей функции т = т (иу, ґ) воспользуемся методом сечений.
На рис. З, а приводятся результаты аппроксимации функций т = т (uf, t = const) функциями вида y = a1eklt, а на рис. З, б - аппроксимация т = т (uf = const, t) функциями видаy = a2ek2t.
На рис. 4 показана полиноминальная аппроксимация kl = kl(uf) и k2 = k2(t) при различных степенях полинома.
т, кПа
а)
б)
Рис. З. Аппроксимации функций:
а - т = т (uf , t = const); б - т = т (uf = const, t)
к\
4 ■
3 ■
2 ■
1 ■
0 ■
- 1 ■
- 2- 3 ■
- 4- 5-
к2 0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0 I I I I I I I I I I
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 и/
б)
Рис. 4. Полиномиальная аппроксимация к1 = к1 (оу) (а) и к2 = Л2(0 (б) при различных степенях полинома
Из приведенных результатов с очевидностью следует возможность аппроксимации т = т (и/, /) в виде
т = А ехр[к1(и/ )(и/ - 0,19) + к2 (/)(/ - 5)] при 0,19 < и/ < 0,82; 5 < t < 35 мин,
п т
где А = Х а1 X а2 .
'=1 7=1
При п = 7, т = 5 аппроксимация т = т (и/, 0 получается в виде
т = 216884,94ехр[(-0,21иг + 0,24)(иг -0,19)+ (-0^ + 3,25)(^-5)]
(рис. 5).
С применением полной диаграммы реологических свойств композиционных материалов можно проводить обоснованный выбор рецептурно-технологических параметров с учетом комплексного влияния указанных факторов на процессы структурообразования композиционных материалов.
у = 0,0047* - 0,4015x + 4,6488
R2 = 0,9227
у = 0,0007x3 - 0,0391x2 + 0,3462x + 1,3665 R2 = 0,9719
t, мин
у = - 0,2154x + 3,2531 R2 = 0,8915
а)
у = 0,1712x - 0,3851x + 0,2682
R2 = 0,9815
у = 1,8549x3 - 2,7408x2 + 0,9659x + 0,1029 R2 = 0,999
у = - 0,2143x + 0,2366
R = 0,9647
Рис. 5. Полная диаграмма реологических свойств радиационно-защитных эпоксидных композитов
Предложенный метод представления изменения реологических свойств (полная диаграмма) позволяет решить задачу оптимального синтеза композиционных материалов в случае действия множества структурообразующих факторов, то есть задачу многокритериального синтеза.
Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» на 2009 год на тему «Математическое моделирование и многокритериальный синтез строительных материалов специального назначения», рег. № 2.1.2/5688.
Список литературы
1. Вознесенский, В.А. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ / В.А. Вознесенский, Т.В. Ляшенко, Б.Л. Огарков. -Киев : Выща школа, 1989. - 326 с.
2. Баженов, Ю.М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона / Ю.М. Баженов, В.А. Вознесенский. - М. : Стройиздат, 1974. - 191 с.
3. Бартенев, Г.М. Физика полимеров / Г.М. Бартенев, С.Я Френкель. -Л. : Химия, 1990. - 429 с.
4. Разработка и управление качеством строительных материалов с регулируемыми структурой и свойствами для защиты от радиации / А.П. Прошин [и др.] // Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 81СРЯ0’03, Москва, 29-31 янв. 2003 г. / Ин-т проблем упр. им. В. А. Трапезникова РАН. - М., 2003. - С. 2437-2460.
5. Супрун, А.Н. Вычислительная математика для инженеров-экологов / А.Н. Супрун, В.В. Найденко. - М. : АСВ, 1996. - 391 с.
Research into Rheological Properties of Composite Materials via System Analysis Techniques
A.N. Bormotov1, I.A. Proshin2
Departments “Theoretical and Applied Mechanics” (1),
“Automation and Mangement” (2), Penza State Technological Academy; aleks21618@yandex.ru
Key words and phrases: composite materials; mathematical modeling; multicriteria synthesis; optimization of structure and properties; quality control; structuring.
Abstract: The paper presents the research into complex influence of different factors on rheological properties of composites using the techniques of management theory and system analysis. The generalized dependence of the examined feature on the whole set of factors is established; thus the composite is considered as complex technical system. On the basis of the experimental data the adequacy of the proposed models is proposed.
Untersuchung der rheologischen Eigenschaften der Materialkomposites durch die Methoden der Systemanalyse
Zusammenfassung: Es ist die Untersuchung der Komplexeinwirkung der verschiedenen Faktoren auf die rheologischen Eigenschaften der Kompositen mit der Benutzung der Methoden der Steuerungstheorie und der Systemanalyse dargelegt. Betrachtend das Koposit als kompliziertes technisches System ist die zusammengefasste Abhangigkeit der erlernenden Eigenschaft vom gesamten Komplex der Faktoren festgestellt. Auf Grund der Analyse der Experimentalangaben wird die Adaquatheit der vorgeschlagenen Modelle nachgepruft.
Etudes des proprietes rheologiques des materiaux composites par les methodes de l’analyse systemique
Resume: Est presentee l’etude de l’influence complexe de differents facteurs sur les proprietes rheologiques des composites avec l’utilisation les methodes de la theorie de la commande et de l’analyse systemique. Est etablie une dependance generale de la propriete etudiee de l’ensemble du complexe en examinant le composite comme une systeme technique complexe. A la base de l’etude des donnees experimentales est controlee l’adequation des modeles proposes.
Авторы: Бормотов Алексей Николаевич - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика»; Прошин Иван Александрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление», ГОУ ВПО «ПГТА».
Рецензент: Мачнев Валентин Андреевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика и математика», ФГОУ ВПО «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия».
