электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Зл N° ФС 77 - 3056g. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-040S
Исследование рабочей характеристики термобиметаллического микроактюатора
77-30569/220677
# 08, август 2011 автор: Подкопаева А. С.
УДК.539.3
МГТУ им. Н.Э. Баумана Podkopaeva.Anna@gmail.com
Рассмотрен микроактюатор в форме сферического купола, свободно опирающегося на плоскость внешним контуром (рис.1). Геометрические размеры купола имеют следующие знаяения: диаметр основания П=5 мм, радиус кривизны купола в недеформированном состоянии Ят=22,2 мм, суммарная толщина двух слоев И=0,04 мм. Слои имеют следующие физико-механические характеристики: для активного слоя: модуль упругости Е]=1.35х105 МПа, коэффициент Пуассона ¡¡¡ =0.3, температурный коэффициент линейного расширения а1 = 18.0x10 1/С°. Для пассивного слоя: модуль упругости Е2=1.50х105 МПа, коэффициент Пуассона ¡¡2=0.3, температурный коэффициент линейного расширения а2=1.0х106 1/С°. Т.о. купол считается тонкой пологой оболочкой.
Рис. 1. Микроактюатор в форме сферического купола
С учетом геометрических соотношений и уравнений равновесия для осесимметричных оболочек получаем основную систему уравнений:
ёи
ёв
=(1 + £то ^т^тЗ,,
=(1 + £то )cosв-cosвo,
= (1 + е ^ + в
/о ^ то * то /о
аЛ аь„
ёи
(
Я о
ау
ам
= -(1 + ^то )
= -(1 + £то )
cosв
и
N
■ + Чи
V Хо + П Хо + П У
(1)
cosв
V X + и
у+ч
= -(1 + ?то )
cosв
V Хо + П
(Мт - М()- и sinв + У cos в
{X} = {и V в и У Мт } б
где т> - вектор неизвестных в текущем состоянии оболочки,
и, V - горизонтальная и вертикальная составляющие перемещения,
- угол поворота нормали,
и,У - горизонтальная и вертикальная составляющие внутреннего усилия,
.V,.. - меридиональный момент.
В основной системе уравнений (1) приняты следующие вспомогательные обозначения:
в0 = ^0, Р0
Хо = -Ро ^^
(2)
1- и u
^ (U 0080 + V 8шв)-и--
X
8шо E1h1 + E2 к
+Т1+Е\ (Е1к1а1+е2 ка2)>
Е1к1 + Е2 к2
3(1-/и2) Хо + и. мпв мпв,. К, = , ' Мт -и-^-(—---^) +
2
Е1к1 + Е2 к 3Т (1 + и)
2( Е1к13 + Е2 к3) (
Х„ Х„ + и X,
(Е1к12а1 + Е2 к22а2),
N =
Е1к1 + Е2 к
и
Л
1-и2
Е1к13 + Е2 к
— ^ и^ т<
V Хо у
Т
1-и
(Е1к1а1 + Е2 к2а2),
М, = ^ ..2
3(1-и2)
Т
X + и
(
X
8Ш в 8Ш в
у X + и X ,
V о о /
- ик
' т
2(1 -и)
(Е1к12а1 - Е2 к22а2),
(3)
где 9а - угол наклона касательной к меридиану в недеформированном состоянии.
Основной задачей, возникающей при численном анализе процесса деформирования термобиметаллических элементов, является определение рабочей характеристики, т.е. зависимости между перемещением характерной точки элемента и изменением температуры окружающей среды - Т. Данная задача была решена с помощью метода продолжения по параметру.
НДС купола описывается системами уравнений (1) - (3). В силу пологости оболочки горизонтальными распределенными силами инерции qu пренебрегаем.
Для возможности реализации численного счета малая область в центре купола считается абсолютно жесткой. Граничные условия соответствуют условиям шарнирного опирания:
^ = ^ <
и = 0 в = в V = 0
^0 = ^ ^ <
V = 0
и = 0
М = 0
(6)
По полученным граничным условиям на каждом шаге итерации вычисляем следующие невязки:
г1 = -V
Г2 =-и
Гз = -Мт
(7)
Имеем нелинейную краевую двухточечную задачу, которая решается методом Ньютона:
[ 3 ]{Лх(к) } = {г(к)}
(8)
{г(*)}-
где ^ ; - вектор невязок на к-ом шаге итерации; 3 - матрица Якоби, вычисляемая при помощи интегрирования системы с пробными начальными векторами:
3 =
8гц 3ги 3Г13
3х1 3X2 3х3
К 3Г22 3Г23
8х1 3хм 3Х11
8гз1 дГз2 3Г33
8х1 3х2 3х3
(9)
Для интегрирования системы из 6-ти дифференциальных уравнений используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Для определения сходимости итерационного процесса выбрана евклидова норма невязок:
а =
э
Б
1=1
(10)
Решение задачи с шагом по параметру разбивается на последовательность нелинейных задач, каждая из которых решается методом Ньютона. В качестве "опорного" решения на первом шаге принимается недеформированное состояние при нулевой температуре, на втором - линейная экстраполяция решения. На всех последующих шагах по параметру начальное приближение определяется с помощью формулы Лагранжа:
хо = х (ч - ч-1)(д - ч-2) + х 1 (ч - ч )(ч - ч-2) + х
(д - ч )(ч - ч-1)
(ч - ч-1 )(ч - ч-2) 1-1 (Ч-1 - ч-2 )(ч-1 - ч) 2 (Ч-2 - ч)(ч-2 - ч-1 )
(11)
Характеристика микроактюатора представляет собой график зависимости прогиба в центре оболочки от температуры (рис. 2). Ветвь графика ББ соответствует равновесным, но неустойчивым состояниям. При шаге по температуре точки Б и Б являются "особыми", то есть матрица Якоби становится вырожденной. В этих условиях продолжение решения становится невозможным, поэтому за параметр продолжения принимается прогиб оболочки в центре, а температура считается зависимой переменной. Для удобства численной реализации такого приема введем расширенный вектор состояния оболочки:
Т]т или У = [-и,!?,О, V, V,Мт, ту (12)
2
О -'-1-'-1-1-->—1->—-->—"-1-----■-1-->-1-1-
0 05 1 «5 ?5 3 35 < 15 5 55 6 65 665 75
Рис. 2. Характеристика микроактюатора
Изменение формы деформированного меридиана оболочки при нагревании показано на рис. 3.
Решение было выполнено для последовательного ряда задач с различными радиусами кривизны. Результаты представлены на рис. 4. Сравнение характеристик ТБ-элементов для некоторых значений радиусов показано на рис. 5.
Рис. 4. Зависимость критических температур от радиуса кривизны
При решении задачи в динамической постановке предполагается, что температура линейно зависит от времени по закону:
~ = ■: - (13)
Вертикальная составляющая силы инерции вычисляется на основе предыдущих значений прогибов. После "прохлопывания" оболочка деформируется так же, как при статическом нагревании.
/ 1 1 1 ........./............. 1 1 / 1 (- ! 1 1 1 1 1
46 2 / / . I / 1 1 1 1 / / ( 1 1 1 1
/ N Ч / / 18Щ 1 1 1 22,г. 1 1 / 1 / 1 1 1 1 I
/ / / у^ \ \ \ \ у / 36.2 7 / 1 1 1 1 1 1 1
/ / I / / Л/ } / / / ...................г / ! ! 1 ........I............ / 1 /
1 ■< 1 1 / 1 [ ! 1 у \ ч \А\ / / / / / 1 / ! 1 I I 1 1
1 / ) / Г I 1 ' / .................... \ \ ' V V Л \ \ \ ч ( / Г / / I / 1 7 / / / 1
II 1 <1 1 >г < / "V 1 \ Ч. ; / / ' Г 1 > / /
1( > л ![/ Г V/ / з" / / X' Ч. \ у / > у
/' Та Р/,' ¥
Рис. 5. Сравнение характеристик ТБ-элементов с различными радиусами
Для расчета осесимметричной деформации ТБ-элемента создана программа на языке С++, позволяющая вычислять все необходимые характеристики микроактюатора.
Послойно решается краевая задача, а также начальная задача по времени - методом конечных разностей по явной схеме. Динамическая характеристика микроактюатора представлена на рис. 6, точка С показано крупно на рис. 7.
/ /
о I_I_I_I_I_I_I_и_I_и_I_и_I—I—I___I—I—I_|_1_1_I—I—I__1_1_1-м_1_|_|—I
0 05 1 15 135 15 Э 55 * 45 5 55 & 55 6« 75 в
Рис. 6. Динамическая характеристика микроактюатора
Рис. 7. Динамическая характеристика микроактюатора
Жесткостная характеристика микроактюатора для случая силового нагружения (деформированная форма показаны на рис. 8) была построена с помощью конечно-элементного комплекса АВАрШ (см. рис. 9).
ODB: Job-l.odb Abaqus/Standard 6.10-1 Wed Sep 07 20:04:39 GMT+04;00 2011
Increment 93: Step Time = 0.9300 Primary Var: U, Magnitude
Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +1.000e+00
Рис. 11. Деформированная форма
Жёсткостная характеристика микроактюатора
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018
Перемещение, мм
Рис. 12. Жесткостная характеристика микроактюатора, построенная с помощью ABAQUS
Автор выражает благодарность научному руководителю Гаврюшину С.С. за постановку задачи и полезные советы.
ВЫВОДЫ
В работе проведен анализ процесса деформирования микроактюатора, в ходе которого решена краевая и начальная задачи. Исследована рабочая характеристика микропереключателя и влияние на нее геометрических параметров и сил инерции.
Список литературы
1. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991.-160С.
x 10
2. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.
3. Гаврюшин С.С. Численный анализ и синтез гибких элементов конструкций с управляемой упругой деформацией. УДК 539.3:621.01
4. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы в проектировании гибких упругих элементов - Калуга, 2001. - 205 с.
5. Демидов С.П. - Теория упругости. М.: «Высшая школа», 1979.
6. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. - 326 с.