CC BY
55
92 ТРУДЫ БГТУ. 2015. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 92-96
УДК 537.633.2
В. Р. Мадьяров
Белорусский государственный технологический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОВОДИМОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПРОПУСКАНИЯ СВЧ-ВОЛН
Измерения интенсивности излучения, прошедшего через полупроводниковую пластину, дают информацию о проводимости зондируемой среды. Коэффициент пропускания СВЧ-излучения проводящей среды зависит от диэлектрической проницаемости и удельной электропроводности среды. Расчет показывает, что для большинства полупроводников широкого применения с проводимостью с > 30 См/м можно выделить диапазон частот в области 20-80 ГГц, на котором зависимость коэффициента пропускания от частоты зондирующего излучения будет близка к линейной. Удельную электропроводность можно определить по наклону этой зависимости. Из сравнения данных, полученных для пластин различной толщины, установлено, что на результат измерения могут значительное влияние оказывать многократные внутренние отражения от граней образца, когда длина волны становится сравнимой с его толщиной. Наряду с этим возможно образование стоячей волны, в результате чего возникает дополнительное интерференционное гашение излучения. Значения удельной электропроводности, полученные с помощью линейных участков частотных характеристик в диапазоне 40-75 ГГц, хорошо согласуются с расчетными данными собственной проводимости образца при температурах порядка комнатной в предположении, что носители заряда подчиняются больцмановскому распределению.
Ключевые слова: СВЧ-излучение, волновод, электромагнитные волны, коэффициент пропускания, удельная электропроводность.
V. R. Madiarov
Belarusian State Technological University
STUDIES OF SEMICONDUCTOR MATERIAL CONDUCTIVITY BY MEANS OF FREQUENCY RESPONSE IN MICROWAVE REGION
Measurements of intensity of the radiation passed through semiconductor wafer provide the information on conductivity of the sample material to be probed. Microwave radiation transmission coefficient of the medium depends on dielectric permeability and specific conductivity of the medium. Estimation shows that for the majority of widely used semiconductors with conductivity с > 30 S/m it is possible to allocate frequency range 20-80 GHz where frequency response of probing radiation transmission coefficient is very close to the linear. Specific conductivity is possible to calculate using slope of the measured linear dependence. Comparison between the data obtained for wafers of two different thicknesses shows that measured results are considerably influenced by multiple internal reflections from both sides of the sample when the wavelength becomes comparable with sample thickness. In addition, cancellation due to interference between incident and reflected waves may also be effective. Specific conductivity values obtained by means of linear part of frequency response for silicon wafers in the range of 40-75 GHz are in good agreement with the estimated data of intrinsic conductivity of the probed sample at room temperatures if Boltzman distribution is assumed for charge carriers.
Key words: microwave radiation, waveguide, electromagnetic waves, transmission coefficient, specific conductivity.
Введение. Для исследования полупроводниковых материалов применяются бесконтактные методы, с помощью которых можно избежать влияния на результат измерения побочных ЭДС [1]. Из этих методов измерения СВЧ-диа-пазона представляются наиболее перспективными, так как сравнительно просто позволяют определить подвижность, удельную электропроводность и диэлектрическую проницаемость материала. Измерив эти параметры, можно оце-
нить концентрацию носителей, время релаксации и эффективную массу носителей заряда [2]. Известны методы определения параметров переноса полупроводников, основанные на измерении фазы и амплитуды отраженных от образца СВЧ-волн [3]. Интерес представляют методы зондирования, в которых информацию о таких параметрах полупроводника, как удельная электропроводность и диэлектрическая проницаемость, можно получить путем прямого измерения
потока энергии волны, прошедшей через объем исследуемого образца, так как для этого требуется сравнительно небольшой набор измерительного оборудования и упрощается обработка результатов. Тем не менее возрастают требования как к чувствительности регистрирующей аппаратуры, так и к мощности источника излучения. В данной работе приведены описание методики и результаты определения проводимости плоских полупроводниковых образцов на основе измерений коэффициента пропускания излучения в диапазоне частот 40-75 ГГц.
Основная часть. Определение коэффициента пропускания проводилось по величине затухания потока излучения, направленного перпендикулярно к поверхности образца. Частота зондирующего излучения должна быть намного ниже частоты отсечки электромагнитной волны (плазменной частоты) юр, которая находится по формуле
ю р =
4ппе
V 80т У
где п - концентрация носителей заряда в объеме полупроводникового образца; е - элементарный заряд; в0 - диэлектрическая постоянная; т - эффективная масса носителей заряда.
Оценки по этой ф ормуле для концентрации носителей п = 5 • 102 м-3, т* = 0,55т0 (т0 - масса электрона) дают значение юр = 1,9 • 1013 с-1 или Vp = 3 • 1012 Гц.
Для уменьшения дифракционных эффектов и связанных с ними потерь мощности зондирующей электромагнитной волны в измерительном тракте должно выполняться условие X < I, где X - длина зондирующей волны в пустом измерительном тракте, I - поперечный размер образца. При I ~ 1 см частота зондирующего излучения должна быть порядка 50-100 ГГц. Характерная глубина ослабления зондирующего излучения на таких частотах в полупроводнике с удельной электропроводностью о ~103 См/м составляет (ц0юо)- ~ 0,3 мм. Поэтому для определения параметров полупроводников с достаточно высокой концентрацией примеси следует использовать образцы с толщиной в доли миллиметра и регистрирующую аппаратуру с высокой чувствительностью.
В измерениях коэффициента пропускания использовался плоский образец, помещенный в прямоугольный металлический волновод. Для волны Н0, распространяющейся вдоль волновода в немагнитной среде с удельной электропроводностью о и диэлектрической проницаемостью е, комплексная постоянная распространения у!0 равна [4]:
ю * | ^ ]
у10 = 8 "I ^ у
\2
(1)
где ю = 2пу - циклическая частота зондирующей волны; 7 - скорость света в вакууме; в* =в- /(с / 80ю) - комплексная диэлектрическая проницаемость; X - длина зондирующей волны в пустом волноводе; а - ширина волновода.
Для большинства полупроводников (81, Ое, ОаЛ8, CdS и др.) значения е лежат в пределах от 12 до 20, а отношение X / 2а < 1, так как X < Хс, где Хс = 2а - критическая длина волны Н0. Поэтому можно считать е >> X / 2а и формулу (1) можно упростить:
Ук
ю Г* о = —V в =а + /р.
(2)
Выделив вещественную и мнимую части е в (2), получим формулы для коэффициентов а и в, от которых зависит изменение амплитуды и фазы прошедшей через образец волны:
ю в а = —„I—
21
' с >
V88oю у
Р =
ю 8
2
(3)
-1-
' с V
V88oю у
Выражение для комплексного коэффициента пропускания т образца толщиной й (отношение потока энергии излучения, прошедшего через образец, к потоку энергии падающего излучения) имеет вид
т = (1 -р)2 е-2|М = |х|е/ф,
(4)
где р - комплексный коэффициент отражения. Формула для р получается из условий для векторов волны Е и Н на границе с поверхностью образца [5]:
(
Р =
Т87-
2
1
(5)
Выражения (3)-(5) можно использовать как основу для определения о и е зондируемого образца по данным измерений модуля и фазы ф коэффициентов пропускания или отражения.
На рис. 1 приведены зависимости модуля т от частоты для разных значений удельной проводимости образца п-81 толщиной й = 0,5 мм, полученные с помощью расчета по формуле (4) с использованием (3) и (5). В расчетах учитывалось уменьшение е с ростом частоты в диапазоне 30-80 ГГц, в котором время релаксации носителей заряда становится сравнимым с периодом электромагнитных колебаний [4].
с
Рис. 1. Расчетные зависимости модуля коэффициента
пропускания от частоты зондирующей волны для разных значений удельной электропроводности с:
1 - 1 См/м; 2 - 10 См/м; 3 - 50 См/м («-81, ест = 12,3)
Для значения с = 1 См/м в диапазоне частот 30-80 ГГц коэффициент т практически не зависит от частоты. Для значений удельной электропроводности с > 30 (Ом • м)-1, как показывают расчеты, можно выделить диапазон частот до 80 ГГц, в котором зависимость т от частоты близка к линейной.
Преобразование формулы (4) для значений с, соответствующих условию с / 880ю >> 1, дает упрощенное выражение для т:
|т| « V. (6)
с
Из соотношения (6), пренебрегая изменением 8 с частотой в узком диапазоне частот, можно выразить удельную электропроводность формулой, которая позволяет определить с по наклону частотной характеристики:
с = 2пв0^—1 1 «5,6 -10-п^—) 1 (7)
^ й V ) ^ й V )
Для измерений использовалась схема «на прохождение». Электромагнитные колебания от генераторов, работающих в диапазоне 35-53 и 53-78 ГГц, проходили через ферритовый вентиль в металлический прямоугольный волновод. Ширина металлических волноводов а обеспечивала распространение волны Н10. Волна, прошедшая через образец, попадала на тер-мисторный датчик. Напряжение с измерительного резистора, включенного последовательно с датчиком, регистрировалось микровольтметром измерителя Ф 136, обеспечивающим измерение напряжения до 100 нВ. Измеряемое напряжение пропорционально потоку энергии, прошедшей через образец электромагнитной волны. Оценки показывают, что предельные
значения удельной электропроводности, ограниченные чувствительностью датчика и микровольтметра, составляют порядка 103 См/м.
На рис. 2 сопоставляются измеренные зависимости коэффициента пропускания для образцов «-81 различной толщины с расчетными частотными характеристиками модуля коэффициента пропускания т, полученными по формуле (4) с использованием (3) и (5). В расчетах использовались значения удельной электропроводности на постоянном токе сст = 100 См/м и диэлектрической проницаемости в постоянном поле 8ст = 12,4, соответствующие этим параметрам для измеряемых образцов.
Рис. 2. Измеренные зависимости коэффициента
пропускания от частоты для образцов «-81 толщиной й = 0,5 мм (2) и 1 мм (4) с одинаковой удельной электропроводностью сст = 100 См/м.
Сплошные кривые 1 и 3 - расчет модуля т по формулам (3)-(5) для образцов «-81 толщиной й = 0,5 и 1 мм соответственно. Пунктирная линия - расчет модуля т для образца «-81 толщиной й = 1 мм с учетом многократных внутренних отражений по формуле (9)
Для образца толщиной 0,5 мм наблюдается близкая линейной частотная зависимость, которая хорошо согласуется с расчетной. Однако на частотах свыше примерно 60 ГГц происходит заметное отклонение измеренной зависимости от линейной.
Данные, полученные для образца толщиной 1 мм, значительно отклоняются от расчетной кривой, полученной в предположении однократного прохождения объема образца.
Для выяснения причин заметного уменьшения коэффициента пропускания излучения по сравнению с расчетным рассматривалась модель, в которой учитывалось внутреннее затухание зондирующей волны в сочетании с многократными внутренними отражениями от граней образца.
Пусть интенсивность 10 первой отраженной от образца волны определяется коэффициентом
отражения р и равна р10. Тогда интенсивность прошедшей в объем образца волны будет равна (1 - р)10. После первого внутреннего отражения от грани образца из него выйдет волна с интенсивностью 10(1 - р)2ехр(-рё), так как при каждом однократном отражении от грани образца выполняется равенство т + р = 1. Коэффициент пропускания первой прошедшей сквозь образец волны после первого внутреннего отражения будет равен (1 - р)2ехр(-рё).
После двойного прохождения вторая волна, вышедшая со стороны падения, будет иметь интенсивность 10р(1 - р)2ехр(-2рё). Интенсивность волны, отразившейся от грани со стороны падения и прошедшей сквозь образец, после третьего прохождения объема образца будет равна 10р2(1 - р)2ехр(-3рё).
Таким образом, интенсивности волн, выходящих из образца со стороны падения, будут равны р4/ор(1 - р)2ехр(-2рё), /0р3(1 - р)2ехр(-4рё), ..., 10р (1 - р) ехр(-2крё). Суммирование интен-сивностей этих волн дает полную интенсивность отраженного от образца излучения и приводит к формуле для расчета полного коэффициента отражения:
* , /1 2к-1 -2квё Р =Р + (1 -Р) ^Р е =р-
к=1
Р(1 -Р)2
е2вё -р2
. (8)
Аналогично суммирование интенсивностей волн, выходящих из образца, дает формулу для расчета полного коэффициента пропускания:
т*= (1 -р)2 £р2ке-(2к+1) ^ =
(1 -Р)2
к=1
. (9)
Выделив из выражений (8) и (9) вещественную и мнимую части, можно определить модуль и фазу коэффициентов отражения и пропускания.
Зависимость модуля коэффициента пропускания с учетом условия о / 880ю >> 1, рассчитанная по формуле (9), представлена на рис. 2 пунктирной линией.
Видно, что данные, полученные из измерений, хорошо согласуются с расчетной кривой, построенной с учетом затухания зондирующих волн в образце вследствие многократных внутренних отражений от его граней. Таким образом, наблюдаемое отклонение от линейной зависимости можно объяснить, если учесть увеличение затухания зондирующих волн в образце в результате внутренних отражений при большей толщине образца.
В области частот 60-70 ГГц длина волны в материале образца составляет X = с / у(8)1/2 ~ 1,2 мм и становится сравнимой с его толщиной. Поэтому после каждого прохождения волны в объеме образца и последующего отражения возможно образование стоячей волны, вследствие чего
возникает дополнительное интерференционное гашение излучения.
На рис. 3 сопоставлены расчетные и измеренные зависимости удельной электропроводности о от температуры. Значения о определялись с помощью формулы (7) по наклону линейной части частотной характеристики в области частот 40-75 ГГц.
300 о, См/м
2550 2000 150 100 50
Т, К
0
290 295 300 305 310 315 320 325
Рис. 3. Расчетная (сплошная линия) и измеренная зависимости удельной
электропроводности образца п-$>1 толщиной ё = 0,5 мм от температуры. Концентрация носителей заряда в образце при Т = 293 К составляла п = 1; 5 • 1021 м-3
Расчетная зависимость удельной электропроводности от температуры построена с использованием выражения для удельной электропроводности:
с = с0Т2 ехр I -
Ж 2кТ
(10)
где о0 - удельная электропроводность при температуре Т = 293 К; Ж - ширина запрещенной зоны (Ж = 1,1 эВ).
При использовании формулы (10) предполагалось, что зондируемый образец при температурах порядка комнатной обладает собственной проводимостью, а распределение носителей заряда по энергии является больцмановским.
В диапазоне температур Т = 290-320 К для образца п-81 толщиной 0,5 мм наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и измеренных данных удельной электропроводности.
Заключение. Предложена упрощенная методика определения удельной электропроводности плоского полупроводникового образца с удельной электропроводностью в диапазоне 10-103 См/м по линейной области частотной характеристики коэффициента пропускания излучения миллиметрового диапазона. Показано, что проводить измерения целесообразно
3
на образцах, толщина которых значительно меньше длины волны зондирующего излучения из-за влияния отражений от граней образца и уменьшения энергии прошедшей волны, а также вследствие возможного эффекта интерференци-
онного гашения. Значения удельной электропроводности, полученные с помощью частотных характеристик, хорошо согласуются с расчетными данными собственной проводимости образца при температурах порядка комнатной.
Литература
1. Кучис Е. В. Гальваномагнитные эффекты и методы их исследования. М.: Советское радио, 1990. 263 с.
2. Мадьяров В. Р. Исследование релаксационных свойств полупроводников с помощью интерферометрии миллиметрового диапазона // Труды БГТУ. 2013. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. С.54-56.
3. Козарь A. В., Пирогов Ю. А., Селин В. И. Об отражении СВЧ-волны от полупроводниковой пластины конечной толщины // Вестн. Московского университета. Сер. физ. астрон. 1973. Т. 14, № 6. С. 729-733.
4. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 543 с.
5. Murata K., Hanawa A., Nozaki R. Broadband complex permittivity measurement techniques of materials with thin configuration at microwave frequencies // J. Appl. Phys. 2005. Vol. 98, no. 8. Р. 084107/1-084107/8.
References
1. Kuchis E. V. Gal'vanomagnitnyye effekty i metody ikh issledovaniya [Galvanomagnetic effects and methods to study them]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1990. 263 p.
2. Madiarov V. R. Interferometric studies of semiconductor relaxation properties in millimeter range. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2013, no. 6: Physical-mathematical sciences and informatics, pp. 54-56 (In Russian).
3. Kozar A. V., Pirogov Yu. A., Selin V. I. On microwave reflection from semiconductor wafer of a final thickness. Vestnik Moscovskogo universiteta [Bulletin of Moscow university], series Physics and Astronomy, 1973, vol. 14, no. 6, pp. 729-733 (In Russian).
4. Nikolskiy V. V., Nikolskaya T. I. Electrodynamika i rasprostraneniye radiovoln [Electrodynamics and propagation of radio waves]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 543 p.
5. Murata K., Hanawa A., Nozaki R. Broadband complex permittivity measurement techniques of materials with thin configuration at microwave frequencies. J. Appl. Phys, 2005, Vol. 98, no. 8, pp. 084107/1-084107/8.
Информация об авторе
Мадьяров Владимир Рафкатович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: Madyarov@belstu.by
Information about the author
Madiаrov Vladimir Rafkatovich — Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, the Department of Physics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: Madyarov@belstu.by
Поступила 03.03.2015
