Исследование процессов переноса тепла в теплообменной системе, размещенной в непроницаемом породном массиве Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

© Э.И. Богуславский, Н.Н. Смирнова, С. В. Егоров, 2009

УДК 622.273

Э.И. Богуславский, Н.Н. Смирнова, С.В. Егоров

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В ТЕПЛООБМЕННОЙ СИСТЕМЕ, РАЗМЕЩЕННОЙ В НЕПРОНИЦАЕМОМ ПОРОДНОМ МАССИВЕ

Семинар № 15

И #оиск технологий позволяющих

-М. Л. использовать энергию источников, альтернативных общепринятым ресурсам: природного топлива, ядерной энергии, гидроресурсам является в последнее время приоритетным направлением развития отечественной фундаментальной и прикладной наук. В этой связи, интерес к технологиям, позволяющим извлекать и утилизировать теплоту геотермальных источников, остается стабильно высоким.

Широкое распространение в настоящее время получили приповерхностные геотермальные системы. Такие технологии позволяют создавать автономные установки теплоснабжения помещений индивидуального и коммунального характера.

Физическая модель задачи о кон-дуктивном теплообмене. Данная работа приводит результаты математического моделирования процесса кондуктив-ного теплообмена в приповерхностных геотермальных установках.

Принципиальное устройство скважинного теплообменника приповерхностной геотермальной установки представляет собой и - образню трубку, помещенную в скважину, находящуюся в неограниченном непроницаемом массиве горных пород (рис. 1 и 2). Между стенкой обсадной колонны скважины и трубой находится слой засыпки. Тепло-

физические свойства засыпки практически не отличаются от свойств породного массива. Теплоноситель движется по трубе со скоростью и. Теплообмен происходит во время движения теплоносителя вниз по трубе. На рис. 2 этот участок отмечен незаштрихованной областью. Заштрихованная часть трубы соответствует теплоизолированному участку, на котором теплообмен с окружающей средой отсутствует. Теплоноситель поступает в трубу с температурой ниже температуры окружающих пород. На начальном не теплоизолированном участке он нагревается и через теплоизолированный участок возвращается наверх.

Интерес представляет процесс теплообмена носителя с окружающей средой при его движении вниз по нетеплоизолированному участку трубы. Тепловым сопротивлением стенки трубы пренебрегаем. Поскольку скважина окружена практически неограниченным породным массивом, его теплообмен с потоком теплоносителя, движущегося по тру-бе теплообменника, является нестационарным, с постепенно убывающей интенсивностью тепло-переноса в зоне теплоотбора. Амплитуда, тем-пературного возмущения затухает по мере удаления от границ раздела твердой и жидкой фаз.

Рис. 1. Поперечное сечение приповерхностной геотермальной установки: 1 - нагнетательная труба, 2 - скважина, 3 - засыпка между трубой и скважиной (песок-вода), Я1 - радиус нагнетательной трубы, Тп - температура пород

Рис. 2. Продольное сечение приповерхностной геотермальной установки:

(І! - диаметр нагнетательной трубы, (12 - диаметр скважины, и - скорость течения теплоносителя, Тп - температура пород

Постановка задачи о кондуктив-ном теплообмене. Рассмотрим цилиндрический канал помещенный в среду с постоянной температурой

ТП = const (рис. 3). На внутренней границе с радиусом R] происходит теплообмен. Среда (массив горных пород) непроницаема. Теплообмен на границе цилиндра и среды подчиняется закону Ньютона (граничные условия III рода) [1]. Температура теплоносителя t(x,r) зависит от координаты x отсчитываемой вдоль канала и от времени т. На входе в канал при х = 0 температура задается постоянной и равной t(0,r) = t0 = const. В начальный момент времени температура теплоносителя в канале равна температуре окружающей среды t (x,0) = Т„.

Внутри канала осуществляется кон-

Рис. 3. Схема теплообменника приповерхностной геотермальной установки: х - вертикальная координата, г - радиальная координата

вективный перенос тепла в жидкости. В массиве горных пород - кондуктивный перенос тепла. В любой момент времени т в массиве горных пород имеется нестационарное распределение температуры Т= Т(х, г,т) по радиусу г и по длине х, которое подлежит определению.

В канале - нестационарное распределение температуры теплоносителя t = t (х, т) по длине х, которое также подлежит определению. Отметим, что зави-

X 1 г

симость температуры в канале от расстояния до центра канала не учитывалось.

Математическая модель процесса кондуктивного теплообмена. В этом случае дифференциальное уравнение для температуры теплоносителя в трубе запишется [2,3]:

ді( х, т) + ді (х, т)

дт

а

сР

дх

а1 (і (х, т) - Т (Я1, х, г)).

(1)

Дифференциальное уравнение для температуры в массиве горных пород, определяется уравнением теплопроводности, которое в цилиндрических координатах имеет вид:

дТ (х, г,т) ^2 ( д 2Т (х, г, Т

дт

Р 2 С2

дг2

1 дТ ( х, г ,т) г

дг

(2)

Начальное условие

і (0, т) = і0, Т (х, г, 0) = ТП Граничное условие

-X —

2 дг

= а (і - т )| г

Так как теплообмен между теплоносителем и массивом начинается с момента прихода гидродинамической волны в данную точку с координатой х, перейдем в систему отсчета х, т=т— х/и.

В новых координатах система дифференциальных уравнений и граничных и начальных условий запишется в следующем виде:

и ^(х,т ) = _^а1^(х,т*)-Т(Ях,х,т)) (3) дх с1р1

дТ (х, г ,г*)

дт*

Х2 (д2Т(х,г,г*) + 1 дТ(х,г,г*)

р2С2

дг2

дг

(4)

граничное условие на границе пород

дТ

-X

дг

= а (і - т )| г

начальное

і(0,т) = іо,Т(х,г,0) = Тп .

(5)

условие

(6)

Здесь и - скорость течения теплоносителя по трубе, а = 2/Я1 отношение площади поверхности теплоносителя к его объему, Я1 - радиус трубы, а1- коэффициент теплоотдачи границы раздела теплоносителя и породы □ который определяется геометрическими характеристиками системы и тепловыми свойствами засыпки, р1, с1 - плотность и теплоемкость теплоносителя, т - время, Ґ -текущая температура теплоносителя, Т -температура в массиве горных пород, х - координата вдоль трубы, г - текущий радиус, с2, р2- теплопроводность,

удельная теплоемкость и плотность пород в массиве.

Численное моделирование процесса кондуктивного теплообмена. Моделирование процесса кондуктивного теплообмена заключалось в согласованном численном решении системы дифференциальных уравнений (3),(4) с граничным условием (5) и начальным условием (6).

На рис. 4 приводится сетка численной задачи. Труба вертикально

расположена в породе. Координата х отсчитывается вдоль трубы в вертикальном направлении, координата г отсчитывается в горизонтальном направлении. Индекс нумерующий узлы сетки по оси х обозначим /, а индекс нумерующий узлы сетки вдоль оси г - 7, индекс нумерующий моменты времени обозначим к. Начальная точка оси х соответствует поверхности земли и обозначается х0, конечная точка соответствует концу трубы и обозначается хтах. Длина трубы соответствует не теплоизолирован-ному

Дх

= — а1(і (х,-, Т *) - Т (х,-, V Т)) сРх

второе уравнение:

Т (хі, гі ,г*+1) - Т (х, г ,Т) = X

(1)

Дт

P2 c2

<(-

T ( x¡ , ri +1, т ) - 2T ( x¡ , rj, 'К) + T ( x¡ , rj - l, т )

Дг

2.T ( x » rj+і,г,) - T ( x » rj т)

г. Дг

). (8)

-А

Граничное условие принимает вид:

(Т (х,., Г1,т**) - Т (х,., г0,г*)) =

Д =. (9)

= а1(1: (х,,0 -Т(х,>го,Тк))

Начальные условия принимают вид:

Рис. 4. Сетка математической численной модели процесса кондуктивного теплообме-

t(хо,т*) = ^ при любых к, Т(х,,г,г0*) = Тя

при любых ,, 7.

Из первого уравнения данной системы мы можем получить:

t (х,■+1,т*) = оДх

участку трубы теплообменника. Начальная точка вдоль оси г соответствует стенке трубы и обозначается г0 . Шаги сетки вдоль оси х и вдоль оси г обозначаются Дх и Дг соответственно и задаются независимо. Процедура перехода к конечным разностям аналогична той, что описана в [4].

Первое уравнение решаемой системы, будучи записано в конечных разностях, имеет вид:

„,(і( х,-+1,Т*) - і(хі Тк *)) =

cpiu из второго:

T ( x¡ , r] ,ти+і) =■

ai(t ( xi т *) - T ( xi > r0> т)) +t ( x, т У

(10)

АДт*

P2 c2

x(-

T ( xi, rJ+1, т*)- 2T ( xi, rJ, т*)+T ( xi, rJ-1, т*)

-----------------------------:----------------------------------

Дг

+T ( x¡ > rj+i,r^) - T ( x > rj ,r^) )+

Дг

+T ( xi> rj т*)

(11)

Граничное же условие дает нам:

Т (х, > Го,т*) = Т (х, > г1,т*) +

Дг . . (12)

+а1 — (t (х,- Т*)- Т (х,, г0,тк ))

—2

Эти формулы позволяют моделировать временную динамику температурного поля пород сопровождающую движение теплоносителя в трубе а также моделировать изменение температуры самого теплоносителя по мере его движения. Процесс непрерывного перемещения теплоносителя дискретизируется. Считаем, что теплоноситель двигается вдоль оси X дискретно с шагом Дх. При этом температура теплоносителя меняется, и это изменение задается формулой (10). Сопутствующее изменение температуры стенки трубы дается формулой (12). По формуле (11) рассчитывается изменение во времени температуры в массиве по-

на

род. При этом шаг по времени Д * берется равным интервалу продвижения фронта теплоносителя на величину Дх. Скорость теплоносителя равна и. Отсюда имеем Дт* = . Изначально

температура массива пород равна ТП. Это дает возможность рассчитать изменение температуры теплоносителя при первоначальном прохождении гидравлического фронта по трубе по формуле (10). Очевидно, что эффективное время к* будет одинаково для всех точек х, (1=0,1,.. Лщах), здесь 1тах определяется числом шагов по сетке и задается произвольно. Поскольку это к* соответствует моменту прихода фронта теплоносителя и началу процесса теплообмена на уровне х,, логично обозначить его 0* . Тогда температура в трубе получается по формулам:

t (х1, т*) =

оДх * * *

=-а^(х0,т )-Т(х0,г,,т )) + t(Xo,т )

С1Р1и

* оДх *

t (х2, Т0 ) =---а1 ^ (х1, Т0 ) -

СРи (13)

-Т (х1, г, Т0*)) +1 (х1, Т0*)

. оЛх *ч

t (хы, Т0 ) =-аl(t (хы-1, Т0 ) -

ср^ .

-Т (хм-1. Гo, т0*)) + (хы-1. т0*)

Здесь N - число узлов на оси X. Температура Т(х1, г0, т*) берется равной ТП при любом ,. Зная распределение по глубине температуры в трубе можно рассчитать распределение по глубине температуры стенки (формула 12).

Т (х0, г0, т0*) = Т (х0, г1, т0*) +

Дг * *

+а1 — (t (х0, т0 ) - Т (х0, г0, т0 ))

—2

Т (хр г,, т*) = Т (х1, г1, т*) +

Дг * * (14)

+ах— (t (х1, т0) - Т (х1, г,, т0))

—2

Т (XN , г), т0*) = Т (XN , г1> т0*) +

Дг * * .

+а1—(Х(XN , т0) - Т (XN , ^ т0))

—2

Зная изменение температуры стенки трубы рассчитываем изменение температуры массива (11):

Т(^ г- , т1*) =

—2 Д т Р 2 С2

Т (X0, г+^ О - 2Т (X0, г, О + Т (X0, г-1, т0*)

Дг2

, 1 Т (х0, г7+1, т0) - Т (хo, г- , т0)) , Т (

+----------------------------------------------) + Т (х0, г7 , т0)

Т (^ г- , т1) =-

Дг

—2 Д т * Р2С2

Т(х1, Т-+1, О - 2Т(х1, г, О + Т(х1, г-1, О

Дг2

+ 1 Т (хl, г+п т0) - Т (хl, г- , т0)) + Т (

+---------------------------------------------) + Т (х1, г., т 0 )

Т (XN , г, , т1):

Дг

—2 Д т Р2С2

(15)

Т (XN , г-+1, О - 2Т (XN , г- , О + Т (XN, г--1, т0* )

4 Дг-

+! Т (^, о .„О -Т (^,г- ,0)+т ( , .)

г Дг -

1

Значение индекса - определяется числом шагов по оси г. В итоге мы получаем распределение температуры в массиве пород на 1-м шаге по времени. Шаг по

времени берется равным Д т = •

Отметим, что формулы 15 могут быть применены к любому узлу сетки в мас-

X

сиве пород кроме первого и последнего узла. Первый узел сетки соответствует стенке ее температура рассчитывается с помощью формул (14). В последнем узле температура приравнивается к температуре пород. По окончании этих вычислений мы имеем распределение температуры теплоносителя в трубе и температурное поле в породе через время

Д т =

= Дх/

теплоносителя. Следующий шаг аналогичен описанному выше, но при этом на входе его используется распределение температуры полученное на выходе предыдущего. Этот процесс повторяется произвольное заданное число раз.

Восстановление температурного поля. Нами также рассматривалась задача обратная задаче охлаждения пород при прокачке теплоносителя через нагнетательную трубу, а именно восстановление температурного поля пород после остановки прокачки теплоносителя. В этом случае происходит нагрев пород в зоне прилежащей к нагнетальной трубе теплообменника под действием теплообмена с породами удаленными от нее и не подвергшимися охлаждению.

В этом случае поведение системы описывается следующими уравнениями: уравнение теплопроводности для теплоносителя в трубе

дt (х, г, т ) —

( д2 і (х, г, т ) 1 ді (х, г, т )

д т

Р1с1

дг2

- + —

г

дг

(16)

уравнение теплопроводности пород:

дТ(х, г,т) Х2 ( д2Т(х, г,т) 1 дТ(х, г,т)

дт

Р2 С2

дг2

дг

(17)

и граничные условия на границе нагнетательной трубы:

-X

ді (х, г,т)

дг

=-х

дТ (х, г ,т)

дг

(18)

после прохождения фронта

Результаты математического моделирования. Результаты математического моделирования охлаждения массива горных пород представлены на рис. 5-9. Все расчеты выполнены для теплообменников длиной 200 м. Радиус нагнетательной трубы Я1 составляет 0.05 м. Коэффициент теплоотдачи на границе нагнетательной трубы а1 = 21

Вт/(м хград). В нашем случае в качестве теплоносителя была взята вода. Температура теплоносителя на входе в теплообменник равняется 1°С, температура пород ТП равняется 10°С. В таблице приводятся численные параметры теплоносителя и пород использованные в расчетах.

Численные значения свойств

Теплопроводность X, Вт/(мхград) Теплоем- кость с, Дж/(кгхК) Плотность р, кг/м3

Вода 0.57 4190 1000

По- рода 2.5 1300 2400

Результаты моделирования температурного поля на глубине 200м для скорости прокачки теплоносителя 0.2 м/с, что соответствует расходу теплоносителя 5.71 м3/час (рис. 5) и скорости прокачки 0.14 м/с, соответственно расхода 4.00 м3/час (рис. 6) показывают, что после прокачки в течение 2 часов отклонение от исходной температуры пород существенно только на расстоянии 5 радиусов нагнетательной трубы от ее центра (25 см). Это расстояние примерно одинаково как для скорости прокачки 0.2

Рис. 5. Распределение температурного поля вокруг теплообменника на глубине 200м в разное время после начала нагнетания теплоносителя. Скорость прокачки теплоносителя и=0.2 м/с. а1 =21 Вт/(м2хград)

Рис. 6. Распределение температурного поля вокруг теплообменника на глубине 200м в разное время после начала нагнетания теплоносителя. Скорость прокачки теплоносителя и=0.14 м/с. а1 =21 Вт/(м2хград)

Рис. 7. Восстановление температурного поля пород после прокачки теплоносителя через нагнетательную трубу со скоростью 0.2 м/с в течение 2 суток. Время восстановления указано справа вверху, а1 =21 Вт/(м2 хград)

Рис. 8. Температура теплоносителя в трубе на глубине 200 м как функция расстояния от центра нагнетательной трубы после прокачки теплоносителя со скоростью 0.2 м/с в течение 2 суток. Время восстановления указано справа вверху, а1 =21 Вт/(м2 хград)

О 2 4 6 8 10

Рис. 9. Зависимость обобщенной температуры теплоносителя на выходе из нагнетательной трубы геотермальной установки глубиной 200 м от числа Фурье. Кривая 1 соответствует скорости прокачки теплоносителя равной 0.14 м/с, кривая 2 - 0.2 м/с. Коэффициент теплообмена а/ =21 Вт/(м2 хград)

так и для скорости 0.14 м/с. После прокачки теплоносителя в течение 4 часов возмущение температурного поля пород распространяется на расстояния примерно равные 8 радиусам нагнетательной трубы, что в нашем случае составляет 40 см.

На рис. 7, 8 приводятся результаты по моделированию восстанов-ления температурного поля пород и температуры теплоносителя в нагнетательной трубе. Видно, что после двух суток прокачки теплоносителя температурное поле пород почти восстанавливается за сутки. При этом температура теплоносителя в трубе растет

На рис. 9 приводится зависимость температуры теплоносителя на выходе из нагнетательной трубы теплообмена • т

ника от числа Фурье ¥о =—— [1], где

Д

А

a = — - температуропроводности теп-

CP

лоносителя, а R1 - радиус нагнетательной трубы. Наиболее существенные изменения температуры теплоносителя происходят на начальном этапе прохождения теплоносителя по трубе. Этот участок соответствует наиболее эффективному теплосъему. В дальнейшем температура меняется мало и режим теплообмена носит почти стационарный характер. Характерные значения чисел Фурье, когда изменения температуры теплоносителя становятся малыми, составляют от 2 до 4.

Выводы

Выполненное математическое моделирование процесса кондуктивного теплообмена в приповерхностных геотермальных установках показало, что за время прокачки теплоносителя не пре-

вышающее 4 часов возмущение температурного поля пород распространяется на расстояния примерно равные 8 радиусам нагнетательной трубы.

Охлаждение теплоносителя наиболее быстро происходит на начальном этапе

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности, Высшая школа, Москва, 1967, с. 181.

2. Смирнова Н.Н. Нестационарный теплообмен при фильтрации в гетерогенных средах, СО АН, Институт теплофизики, Новосибирск 1990.

прокачки теплоносителя, далее его температура меняется слабо. Характерные значения чисел Фурье, после которых изменения температуры теплоносителя становятся малыми и не превышают 4.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Schuman T.E.W. Heat transfer. a liquid flowing through a porous prism, J. Franklin Inst., 1929, vol.28, n3, p.405-416.

4. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Москва “Наука”, 1986, с. 221. ЕЕШ

— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------------

Богуславский Э.И. - доктор технических наук, профессор,

Смирнова Н.Н., Егоров С.В. - аспиранты,

Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет).

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 15 симпозиума «Неделя горняка-2008». Рецензент д-р техн. наук, проф. Е.В. Кузьмин.

А

ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИ ВЕРСИТЕТ

ПУСТОВОИ-

ТОВА

Наталия

Александровна

Обоснование и разработка резонансноакустического метода оценки плотност-ного разреза пород кровли горных выработок

25.00.16

25.00.35

к.т.н.

Файл:

Каталог:

Шаблон:

Ш

Заголовок:

Содержание:

Автор:

Ключевые слова:

Заметки:

Дата создания:

Число сохранений:

Дата сохранения:

Сохранил:

Полное время правки: 2 мин.

Дата печати: 23.03.2009 23:55:00

При последней печати страниц: 10

слов: 2 444 (прибл.)

знаков: 13 931 (прибл.)

21_Богуславский 15

Н:\Новое по работе в универе\ГИАБ-2009\ГИАБ-3\08 С:\и8ег8\Таня\АррБа1а\Коатт§\М1сго80й\Шаблоны\Когта1.ёо

© Э

Пользователь

14.01.2009 13:46:00 4

22.01.2009 14:25:00 Пользователь