CC BY
21Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2019, 12(2), 240-249
yflK 51-74
Study of the Longitudinal Edge Effect in Bilateral Linear Induction Machines with Liquetallic Rotor
Ivan V. Kizhaev*, Viktor N. Timofeev and Maxim Yu. Khatsayuk
Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia
Received 11.10.2018, received in revised form 31.10.2018, accepted 10.01.2019
This article analyzes the electromagnetic field of a flat linear induction machine with an analytical method of mathematical modeling. Graphs of the electromagnetic characteristics of the machines were obtained, taking into account the longitudinal edge effect at various values of slip and coefficients of quality factor. Also made a comparative assessment of the effect of the longitudinal edge effect on the performance of the machine.
Keywords: MHD pump, integral and differential characteristics, analytical calculation.
Citation: Kizhaev I.V., Timofeev V.N., Khatsayuk M.Yu. Study of the longitudinal edge effect in bilateral linear induction machines with liquetallic rotor, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2019, 12(2), 240-249. DOI: 10.17516/1999-494X-0133.
Исследование продольного краевого эффекта в двухсторонних линейных индукционных машинах с жидкометаллическим ротором
И.В. Кижаев, В.Н. Тимофеев, М.Ю. Хацаюк
Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
В данной статье проведен анализ электромагнитного поля плоской линейной индукционной машины с помощью аналитического метода математического моделирования. Получены графики электромагнитных характеристик машины с учетом продольного краевого эффекта при различных величинах скольжения и коэффициента добротности. Также проведена сравнительная оценка влияния продольного краевого эффекта на показатели машины.
© Siberian Federal University. All rights reserved
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: ivan333x@mail.ru
Ключевые слова: МГД-насос, интегральные и дифференциальные характеристики, аналитический расчет.
Введение
В настоящее время перспективным направлением в области энергетики является атомная промышленность. С ростом мощностей атомных электростанций растут требования к оборудованию, осуществляющему технологические процессы. Основой оборудования служат системы перекачивания жидкого теплоносителя. В них используются магнитогидродинами-ческие (МГД) насосы индукционного и кондукционного типов, в зависимости от условий эксплуатации. Использование кондукционных насосов не всегда представляется возможным из-за многих факторов, один из которых перекачивание агрессивных высокотемпературных сред. Следовательно, приходится прибегать к линейным индукционным МГД-насосам, основным недостатком которых считают продольный и поперечный краевые эффекты.
Конечная длина индукторов линейных индукционных машин (ЛИМ) обуславливает появление в возбуждающем поле кроме бегущей волны две стоячие пульсирующие волны. При наличии в зазоре вторичного проводящего и движущегося тела в последнем возникают не только ответные бегущие волны тока и поля, но и дополнительные токи и поля, оказывающие, как правило, тормозное действие, увеличивающие потери и снижающие к. п. д. машины в целом. В некоторых случаях вредное влияние продольного краевого эффекта может быть очень значительным.
Проблеме изучения продольного краевого эффекта посвящено большое количество работ, одна из них [1]. Обычно на современном этапе делаются попытки решения двух- и трехмерных задач, что неизбежно приводит к численному анализу и чрезвычайно затрудняет понимание физики явления и его особенностей. Поэтому представляется целесообразным рассматривать одномерную модель с такими упрощениями, которые минимально искажают реальную физическую картину явления и в то же время позволяют максимально упростить математическое решение задачи. С этой целью мы воспользуемся расчетной моделью, предложенной и проанализированной А. И. Вольдеком [2, 3].
Расчетная модель и принятые допущения
Эскиз плоской линейной индукционной машины (ПЛИН) представлен на рис. 1 и включает в себя: 1 - магнитопроводы; 2 - многофазные обмотки; 3 - стенку канала толщиной х; 4 - жидкий металл, движущийся со скоростью и. Индукторы расположены на расстоянии 5 от центра канала с жидким металлом и имеют длину Ь = 2pт, где p - число пар полюсов; т - полюсное деление.
Для анализа электромагнитных характеристик были приняты следующие основные допущения:
1. Магнитопроводы индукторов имеют магнитную проницаемость д = да и электропроводность у = 0.
2. Поперечный краевой эффект отсутствует, т.е. ширина индукторов по оси у не ограничена.
3. Система имеет бесконечную длину в направлении оси у, т.е. электромагнитное поле является плоскопараллельным. Вектор комплексной напряженности электрического поля Е = ~ёуЕу,
- 241 -
Рис. 1. Эскиз плоской линейной индукционной машины Fig. 1. Sketch of a flat linear inductionmachine
вектор комплексной напряженностимагнитного поля Н = ЦН* + ~ё2Н2, где ех, еГ, - единичные веутоиы промоугиосной сиияема1коорапнат.
4. Ситтемя коордааат поинимаей жестмо связаееиой с; и:нег^н^теэдроирш, ирт этом все элементы жвдкосс металле в канале двигаюткр отдокителожо индукторов с одинаковой скоростью и.
5. Влияние паеой учитываееря обмотками,пдедставленньши бесеонечнй трнкэме токоняь ми слоями,распааоженнымннаповедхности инйоаторйс линейной плотмостью то к а:
Л,=Л)*Д (1)
где/-плотноетьтоаса; г = м/-! нмиимля еоиндвд; ф^оначальныйуголфдзыт. Припринятых допущенияхрасчетнаямодель будетиметьвид, изображенный на рис. 2.
Матем атическаямодельлинейнойиндукционноймашины
Рвение будем проводить в двух областях: 1 - 0 < г < Д; 2 - Д < г < 5. Для напряженности электрического ьоля впокведливыдифференцивкьныеуьеьнения .
Ц=а5
г=0
Рис.2.РасчетнаямодельМГД-насоса Fig.2. MHD-pumpdesign model
Для области 1, 0 < z<A:
д1Ё1 . ■ д2 E1 -1 + —-e -1ju0ywE1 - /u0yu __ = 0,
(2)
dx< 1 ' u' dx
где ц0 = 4л10~7[Тн/да] - магнитная постоянная; у [Ом/м] - удельное сопротивление; ю = 2nf [рад/с] - угловая частота; и [м/с\ - скорость движения жидкогометалла. Для области 2, Д <z< 5:
д E д2Е
5z2 cUx2 Граничн условия:
д2Ё
д z=0
д2Ёг
дЕ z= д
дЁ2 дЁу
"ИТ
-i(0/dü Je Хт - ът < х < xm + Ьт о
(3)
(4)
(5)
(6)
где с [См] - удельная пртводимость; 4 [е] - толщина стенки канала.
Решение дифференцнальных уравнений
Полагая, что длектромлгоитное поле пеоиодиено по координате о с перлоеом!, будем искать решения в виде ряооо Флрье в комплексной форме [4]:
-^4,2 ^ -^чс
И=-сО
T
E =
fJ E
,e-'Kxdx.
(7)
(8)
Умноживурнвнения(2) hi(3) нафнндциюe " и проинтегдироваепо лучивгоеесявыраже-НИе ПО X ОТ 0 ДО Д ПНЬуЧМм.
d2E,
dz j2 &
L~<p2n= О;
d E2-klEо о 2;
dz&
(9) (10)
где фп =
+ injco+ ikn-kYикп =
2/7Л"
Общими решениями обыеновекныхдифференциальных уравнениб(9) и(10)явлыются:
Е„= Ae%z + A2e
Ё2и = A3eknz + А4е^
Постоянные интегрированияÄb. ,Ä4 определяются из граничных условий (4-6).
Подставив полученсые постоянные интегрирования из граничных условий в (11) и (12), получи м:
; а з)
Ё2{(еО-1 а 4)
2и () к о
п {п
где (¿п = кпск(рпк£1пкп{8 - Д) + Опсккп{6 - А) ; вп {2) = кпск<рпДсккп {I- Д) + Сп,$1гкп (г - Д); Оп рсрп5+1(рпАр $сЬрпД; £ = гек% тт2;
Ь к ~ 2 1 ■
Преобразовав 11:50 и П14), имеем:
с ■ / хх
КРЛ=Ъ-Пт<*Рп ; (15)
П=~'Х>
п=+со \т/
(*)е'к; (16)
к О
-> п ^ п
п=-00 еп п
где И = Ъ = Ь )е-лъ^ =-п2^-.С п
1 п пг '' т + 11 ' т - т 1 Ь п
Т т=1 хт+Ьт т=1 1Пп-1
М п
С , = Vп тт(кЪ )в-'Кв-.
п\ / 1 т V п т' т=\
Окончательно получим
= I (17)
Ё2п{хе2) = -г^П^С..вп{2уК* н (18)
По известным уравнениям электромагнитного поля определим составляющиевектора магнитной инддмции. Из гв1:Е = -¡со В:
• 1 с>Еу В = ---у-.
1 ¡со Е (19)
• 1 дЕ
Вг и ---.
г ¡со дх (20)
Преобразовав (19)
и (20) в соответствиис;(17) и (18), получюи
В, (21)
в 1 = -HBl"jf sQz C ,eik-x ■
T
п=-да ^n
Q
n
2 . n=+L C
B«=- С- Ъ (
1 n="L k Q
n—rn n^n
вz 2 = - ^Y-^ в\(z У 2 T „^kQ пУ )
n—rn n
где в - (z) = Pnshkn (z - Д) + Gnchkn (z - Д) .
(22)
(23)
(24)
Интегральные идифференциальныехарактернстики линейной инд укционном машiiiii>i
K<^]vin[леiccn^ электромагнитная мощность, отдаваемая обмоткой индуктора в зазор, равна:
О a-C^f Ё2(*, JX = W^X
т=1 т-Х T п=мХ knQn
гдеСи2=;>Х sm-{knbm)eil
m=1
Элеотромагнитная сила, действующаянаиндуотор:
(25)
T И=-00 kn\Jn
m=1 xm -bm
(26)
Приведем мощность кбезразмерному аиду. Для начала домножим и разделимвсе величи-
вп
ны.вхоаящие и —^нат, етсюда Q
л T где T =—. т
МоГ® 2 где s = " 2 т .
7Т
2пп 2пп
kn =-т= ~ .
T т
<Pn =
^ 2пп='
Т
■ 2 .2n 2 е
+ isn + i — sn (l-sjL
T
(27)
(28)
Преобразуем (25= в соолветствии сполучсннымизначенвами: . _1а>цД2 ^Т^ОЬ)"
'2-em 3 J Ъ 3т Cnl Cn2 '
П n_-» n (
□
M
m 9)
ч. Jm
* w/
л M л л M л л J .
tjC,=Yj sm(kb )enk"x- ■ C 2=YJ *sin(A:b (eikA ; J =-mL; J ' = -m; J, =V.
^ nl / e л в n —т ' n2 / с m n п - — е , m j? m J ' О
m=1 J b J b m=1 2
Поделим HLm на базиснуюмтщность, чтобы привести ее к безразмерному виду. За базис-нуюмощность примем
£ =
(O^lT Т2
п
3 J
(30)
Окончательно
£=с ^^П^с-С«- (31)
у *=-*> и о*
Анализ расчета электромагнитных характеристик
Как следует из полученных выражений, безразмерные характеристики индукционной линейной машины определяют еледкющие параметры:
1. Длина уысзетннй области: Услувие Т =2% позунляет анализиуавать элеекромагнитные характерисывко с зачетом влиянин ододооиного краеоояо аффекта.
2. Количес тоопазоо М
3. Амплитудно-фазооыехарактерисоикисинзсоидальоыетоооо впазат Jm = ^иРт.
4. Относителиная оеличини воздупшоян зазора — 8— Д:
5. Безразмернеаа к:о:э«Кэс|}иц]ис;н'ы доНротноякс е = ¡л^у® г2¡я2.
В ходеработыбыли получены следующие результаты:
Нарос. Зэ предсеевлинса кеоссичзскас лча^хе.^икс^'ч^скте^ характерлнтили асвнлронных машпн при расличных велининаи добрлтносво и без проявленияпродольногокраевого эффект;.. (Л тчетом кроовооо сффеавс кетвиоа расп»сделения отлтсительоой актлт]ре[оймощ-ности Ву Т>яис. 36) итменяенся. Если в случао бео увяся преяольнлге краевняс эффекта (рис. Зерсувеличеноем лоэффициента добротности максимальное значение относительной аттроатй лощнокти ну т!е^.вттс;о, он то влидоа сзусое (рею;. ЗЛ) происходит «заваливания» харлктлритирн с нотлерующяи сниженном масслмачлногс сночелия активной мощнссти.
Анелвсичня зтнооиоольной нятивоо0 мощности измяненял яролзяшли нсякртоной рас-пределерчяотнояительройяеакиивноймищностл Qem с влиянием продольного краевого эф-
1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00
' \ XT
' / . v' ^ N ,
if 4 1 f N. N. 4
in A 4
in; 'v.
4 ' N .
Щ /
tl
<r / F,=2 4 6 8 10
5
а-а)
1,00 0,90 0,80 0.70 0.60 0.50 0.40 0,30 0,20 0.W
L
/
/ / * ," t * - ^
r ' Л ' ' /
/// /
/7
7 Г,=2 A [ 6 E 10
5
0,20
б-Ь)
Рис. 3. График распределения относительной активной мощности относительно скольжения: а - без учета продольного краевогоэффекта;б- с учетомвлияния краевого эффекта
Fig. 3. Graph of relative active power from slip: a - without longitudinal edge effect; b - with longitudinal edge effect
фекта (рис.Сб). В даннтмслучаеотафики исбодяине из одной точкивотличие охклаесических характервсаив асинхроииыхйтшинбезучетакраевагвэфЗ)ектв(йлс.4<о).
Также былл тооучены омртинв1 расщзеделвнив относительной магнитной индокцио Bx1 относительно длины расчетной области T при различных скольжениях в непосредственной близости от стенки канала. В первом случае при s = 0,3 на рис. 5а графики магнитной индукции имеютвлд обыкновеишж заминутой асиблрснЕОЙ машины. Всмедсгвис оонечной длины машины(к>ис.еб) he орафикти яе>оя ввфежено вличдмо предолтного ихаевогоэффектх ввиде
1,00 0.90 0,80 0.70 0.60 0.50 0,40 0,30 0.20 0,10
V N 4
Чч4 4 \
Y\\ \ \ \
\\ s 4 V 4 s
\ V * 4 \ \ . 4 / 4 /
\\ v. s / s 4
\ V
> „ J
SM
F,=2 4 6 8 10 ~ s"
0,30
0,40 0
а - a)
él
--
N. •J.
......♦ . " N
X. / У ^ >< / 4 sX, bn
8=1 A [ 6 S 10
б -b)
Рис. 4. Графикраспределенияотносительной реактивноймощностиотносительно скоиежвфнт: а - без учета гфодолииого краевеое эффенте; б- с учетомвлиянияидкевогффффткта
Fig. 4. GraahoTreBative reactive poweTfrom s0lp:ao witBont kmeiCeHinal ed-oeíTecB;b -—i^bL kmeitiiHiB-lcdge effect
if,,, 0.9
. / S = 0.3
/ " \ ■ ... ./ \ r.
'/"""' . '■* \ \, ь
■' I , 1 r. ■ \ V ..
/; л i J / \ , \ /V j г /í'v-1 1 , 4 \ Y Г * ""'ч
' ' f\ " д ' L xL ' Í 1 ■ AM ''У
' J /V ^ / \4 Í \л
1 f t I /
2 4 « g 10
5,1 5 = 0.3
Шк
¡;ty
10
í'm hx. х v 8
j i/ г®! i Щ V 6
1 I ь t .V x 4
h 1 S=í
Ii
а - a)
б-b)
Рис. 5. График распределения относительной магнитной индукции относительно длины расчетной областиа- безучета продольногокраевогоэффекта;б -с учетамвоияниткраеваатэффоата
Fig. 5. GraahofeaM aisiriOBllop ofrelativemanneaieiiiOacClonPromtaelengthpf бе computational Pomain: a -without longitudinal edge effect; b - with longiHudinaltageeffecB
S.V1
32 -¡A
7
ч y 'k 1 ""■-... \
7 7~
/ / t Г'p \ 4
/ / \ \
/ 1
/ /
S=2 4 6 8 10
5=1
3,1 м S= 1
1 МЛ IWt\
К
¿уЛ V \ 10
я 1 1 \ k Vk ' . 8
'*< лЛл ^ \ v VV\ ""б ""4
\ V л
а - a)
6-b)
Рис. 6. График распределения относительной магнитной индукции относительно длины расчетной области:а- без учетапродороньгокраевогоаффекта; б-сучетомвлияния
Fig. 6. Graph of the distribution of relative magnetic induction from the length of the computational domain: a -without longitudinal edge effect; b - with longitudinaledgeeffect
резкого снижения величины относительной магнитной индукции. При этом эффект тем более выражен, чем больше значение коэффициента добротности.
В случае, когда s = 0,3 (рис. 6), такого ярковыраженного проявления продольного краевого эффекта не наблюдается даже при увеличении значения коэффициента добротности.
Выводы
С помощью преобразования с использованием рядов Фурье в комплексной форме решена двухмерная задача по анализу продольного краевого эффекта в двухсторонних линейных индукционных машинах. С помощью полученных выражений: векторов электромагнитного поля, мощностей и удельных электромагнитных сил в расплаве, можно анализировать электромагнитные характеристики линейных индукционных машин с влиянием продольного краевого эффекта.
Проведен анализ дифференциальных и интегральных характеристик двухсторонних линейных индукционных МГД-насосов. Получены зависимости относительных активной, реактивной мощности и магнитной индукции в зависимости от коэффициента добротности.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Красноярского края в рамках научного проекта №18-48-242013 "Исследование влияния пространственных и частотно-временных распределений электромагнитных сил в расплаве на характер протекания МГД-процессов в жидком металле".
Список литературы
[1] Штурман Г. И., Аронов Р. Л. Краевой эффект в индукционных машинах с разомкнутым магнитопроводом. Электричество, 1947, 2. [Shturman G. I., Aronov R. L. Edge effect in induction machines with an open magnetic circuit. Electricity, 1947, 2.]
- 248 -
[2] Вольдек А. И. Продольный краевой эффект во вторичной цепи индукционных машин и насосов для жидких металлов с разомкнутым магнитопроводом. Известия вузов, Электромеханика, 1960, 3. [Vol'dek A. I. Longitudinal edge effect in the secondary circuit of induction machines and pumps for liquid metals with an open magnetic circuit. News of high schools, Electromechanics, 1960, 3.]
[3] Вольдек А. И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометалли-ческим рабочим телом. Л.: Энергия, 1970. С. 249. [Vol'dek A. I. Induction magnetohydrodynamic machines with liquid metal working fluid. L., Energy, 1970. P. 249.]
[4] Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. Л.: Издательство АН СССР, М., 1948. 727 с. [Grinberg G.A. Selected problems of mathematical theory of electrical and magnetic phenomena. Moscow, USSR Academy of Sciences, 1948, 727 p.]
