Научная статья на тему 'Исследование продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины'

Исследование продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
136
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Минаева Надежда Витальевна, Морозов Юрий Георгиевич

Рассматривается поведение упругой, шарнирно закрепленной по всем краям прямоугольной пластины с начальным прогибом, поперечной и продольными нагрузками. Решение соответствующей задачи найдено методом возмущений с точностью до величины первого порядка малости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Behavior of the elastic hinge spring fixed on all edges with the initial sag, shear and longitudinal loads is examined. Task solution is found using a perturbation method within magnitude of the first order ofsmallness.

Текст научной работы на тему «Исследование продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины»

№5 2007

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. — М,: Высшая школа, 1987. —320с.

2. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. — 304 с.

3. Ан др е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. — 392 с.

4. Пономарев С. Д., Б и д е р м а н В. Л, и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Мм 1959. —Т> 3. —1120 с.

539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА УПРУГОЙ

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

Канд. физ.-мат. наук, ст. препод. Н. В, МИНАЕВА, канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Г. МОРОЗОВ

Рассматривается поведение упругой, гиарнирно закрепленной по всем краям прямоугольной пластины с начальным прогибом, поперечной и продольными нагрузками. Решение соответствующей задачи найдено методам возмущений с точностью до величины первого порядка малости.

Behavior of the elastic hinge spj-ingfixed on all edges with the initial sag, shear and longitudinal loads is examined. Task solution is found using a perturbation method within magnitude of the first order of smallness,

Функция vv(x,_y)> описывающая продольно-поперечный изгиб пластаны, по линейной теории является решением следующего дифференциального уравнения [1]:

DV\w~f) + h

Ч

d2w d2w

дх:

+ Р

эу

г,

(1)

где V'

Э' +2 Э<

+

> /(*>}') — функция, описывающая начальный прогиб; h

Эх4 дх'ду1 ду4

толщина пластины; В — цилиндрическая жесткость; у) — интенсивность поперечной нагрузки; q — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях при х = 0 и х = а;р — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях при^ = 0 и у = Ь, с граничными условиями

>40> у) =АЬуУМа, у)

0) 0); Ъ) «УСг, Ъ);

d2w _д2/ d2w э У

дх2 х=0 дх2 J дх2 дх2

д 2w _э2/ d2w _д2/

ь2 v=0 5 ^»яО By2 у-ъ ">а

№5

2007

Пусть приfix, у) = /0(х, у), г(х, у) = ф, у) задача (1), (2) имеет решение

w(x, у) = wQ(x, у). (3)

Оно будет иметь физический смысл, т.е. состояние пластины, соответствующее (3), будет физически осуществимо, а решение это можно брать в качестве приближенного решения задачи (1), (2) при достаточно малых отклонениях/от/0 и г от г0, если решение задачи (1), (2) непрерывно зависит от функций fix, у) и г(х, у) при fix, у) = /0(х, у), г(х, у) = rQ(x, у). Для проведения анализа непрерывности зависимости решения задачи (1), (2) от функций fix, у), г(х, у), как следует из теоремы о неявных функциях [2, 3], необходимо составить вспомогательную задачу относительно функции С,(х, у), которая в данном случае будет такой:

.2 л 2

ч-

дх" ' ду (% + Qx=0=AO,y); (w0 + Oxma=fia,y);

К + 0,.о =Ау, 0); К + Q,_4-fix, ъу,

(4)

a2(w0+Q э2/0 ,э2к+о _Э2/0

дх2 .0 ~ Эх2 ' дх1 д=0 дх2 х~а

_Э2/о .э>о+С) Э2/о

э/ "

(5)

у=Ь

Поскольку (3) является решением задачи (1), (2) приДх, у) = /0(х, у), г(х, у) = rQ(x, у), то краевая задача относительно функции Cfe, у) принимает следующий вид:

DV% + h

2у \

д% д%

0.

(6)

д% дХ

дх2 х=0 дх2 ¥ х=а ' ,=о V у=Ь

= 0.

(7)

Итак, исследование непрерывности зависимости решения задачи (1), (2) от/и г свелось к нахождению условия, при котором задача (6), (7) имеет нетривиальное решение. Удовлетворяя граничным условиям (7), решение задачи (6), (7) ищем в виде

г j . ткх . пку С, = asm-sm——

b

а

(8)

В результате подстановки (8) в (6) получаем следующее условие нетривиальности решения задачи (6), (7):

{k2m2 + n1f=ak2m2 + $n1,

(9)

где а

b2h

;Р=

b2h

TT Dg' % 2Dp

а

№5

2007

Например, при к = 2 (9) можно записать

т

[3 = ™4—а + п

п"

У ^

4—+ 1 п~

(10)

Пусть в задаче (1)—(2) функции, описывающие начальный прогиб и поперечное воздействие, заданы с точностью до малых параметров, т.е. Дх, у) у) + у) и

г[х,у) = у) " у)- А параметры внешних воздействий р^д принадлежат области

непрерывности зависимости, ограниченной графиком функции (10). В этом случае решение, как следует из аналитичности выражений в (1)—(4), будет аналитическими функциями параметров е. в окрестности точки е. - 0, поэтому в этом случае будем искать его в виде степенных рядов (являющихся рядами Тейлора)

5X4

си)

к,)=0

Подставляя (И) в (1)—(2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малых параметров, получаем, например, для первого приближения следующие задачи:

с граничными условиями

( Л 2 10 .10 Л

а м о

IV

Эх

Г + Р

Эу

(12)

и>'°(0, у) = ф,(0, у); у) = ср¿а, у); 0) = ф/х, 0); Ь) = ф,(х, 6);

Э2м>10 Э2ф, Э2и>10 э Ч

Эх2 п Э*2 о' Эх2 Эх2 У х*а

л2 10 О н> _Э2Ф, Э2 Ф.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Э/ г уел у э у**Ь

1>У 4и-,01+/г ( Л2 01 01 3 г а и^ ^ Эх ву ) =Ф 2

(13)

(14)

с граничными условиями

и>0|(0, у) = у) = ^01(х, 0) = п>01(х, Ь)

Э2н»01 Э2>у01 Э2н>01 д'к"

Эх2 эу Э/

■0.

(15)

у—Ь

^ . тех . ТЕу . КХ . пу хг

Пусть ф,=5ш—вт— и ф2 — 5ш—вт—. Удовлетворяя граничным условиям, а 2Ь а Ъ

решения задач (12)—(13) и (14)—(15) ищем в виде

ю

. пх . пу

С, 8Ш-вШ

2 Ь

ш . тех . ку = С,зт—зт— 2 а Ь

(16) (17)

№ 5 2007

Подставляя в (12), (14), получаем уравнения для нахождения постоянных Ср С,

08)

4 а В 4 а

~ (19)

д I) а

Из них находим значения С,, С2

с; = -5 (20)

1-^(4^+13,)

(21)

где

% О % и

Итак, с точностью до величин первого порядка малости решение задачи (1)—(2), характеризующее продольно-поперечный изгиб, имеет следующий вид

у» = (х, у) + е, V0 (*, у)+е2 (х, у\ (22)

так как остаточные члены рядов Тейлора (11) будут величинами второго порядка малости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В о л ь м и р А, С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 980 с.

2. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М • Наука, 1976. —542 с. " '

3. Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М.: Научная книга, 2006.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.