№5 2007
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. — М,: Высшая школа, 1987. —320с.
2. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. — 304 с.
3. Ан др е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. — 392 с.
4. Пономарев С. Д., Б и д е р м а н В. Л, и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Мм 1959. —Т> 3. —1120 с.
539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА УПРУГОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
Канд. физ.-мат. наук, ст. препод. Н. В, МИНАЕВА, канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Г. МОРОЗОВ
Рассматривается поведение упругой, гиарнирно закрепленной по всем краям прямоугольной пластины с начальным прогибом, поперечной и продольными нагрузками. Решение соответствующей задачи найдено методам возмущений с точностью до величины первого порядка малости.
Behavior of the elastic hinge spj-ingfixed on all edges with the initial sag, shear and longitudinal loads is examined. Task solution is found using a perturbation method within magnitude of the first order of smallness,
Функция vv(x,_y)> описывающая продольно-поперечный изгиб пластаны, по линейной теории является решением следующего дифференциального уравнения [1]:
DV\w~f) + h
Ч
d2w d2w
дх:
+ Р
эу
г,
(1)
где V'
Э' +2 Э<
+
> /(*>}') — функция, описывающая начальный прогиб; h
Эх4 дх'ду1 ду4
толщина пластины; В — цилиндрическая жесткость; у) — интенсивность поперечной нагрузки; q — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях при х = 0 и х = а;р — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях при^ = 0 и у = Ь, с граничными условиями
>40> у) =АЬуУМа, у)
0) 0); Ъ) «УСг, Ъ);
d2w _д2/ d2w э У
дх2 х=0 дх2 J дх2 дх2
д 2w _э2/ d2w _д2/
ь2 v=0 5 ^»яО By2 у-ъ ">а
№5
2007
Пусть приfix, у) = /0(х, у), г(х, у) = ф, у) задача (1), (2) имеет решение
w(x, у) = wQ(x, у). (3)
Оно будет иметь физический смысл, т.е. состояние пластины, соответствующее (3), будет физически осуществимо, а решение это можно брать в качестве приближенного решения задачи (1), (2) при достаточно малых отклонениях/от/0 и г от г0, если решение задачи (1), (2) непрерывно зависит от функций fix, у) и г(х, у) при fix, у) = /0(х, у), г(х, у) = rQ(x, у). Для проведения анализа непрерывности зависимости решения задачи (1), (2) от функций fix, у), г(х, у), как следует из теоремы о неявных функциях [2, 3], необходимо составить вспомогательную задачу относительно функции С,(х, у), которая в данном случае будет такой:
.2 л 2
ч-
дх" ' ду (% + Qx=0=AO,y); (w0 + Oxma=fia,y);
К + 0,.о =Ау, 0); К + Q,_4-fix, ъу,
(4)
a2(w0+Q э2/0 ,э2к+о _Э2/0
дх2 .0 ~ Эх2 ' дх1 д=0 дх2 х~а
_Э2/о .э>о+С) Э2/о
э/ "
(5)
у=Ь
Поскольку (3) является решением задачи (1), (2) приДх, у) = /0(х, у), г(х, у) = rQ(x, у), то краевая задача относительно функции Cfe, у) принимает следующий вид:
DV% + h
2у \
д% д%
0.
(6)
д% дХ
дх2 х=0 дх2 ¥ х=а ' ,=о V у=Ь
= 0.
(7)
Итак, исследование непрерывности зависимости решения задачи (1), (2) от/и г свелось к нахождению условия, при котором задача (6), (7) имеет нетривиальное решение. Удовлетворяя граничным условиям (7), решение задачи (6), (7) ищем в виде
г j . ткх . пку С, = asm-sm——
b
а
(8)
В результате подстановки (8) в (6) получаем следующее условие нетривиальности решения задачи (6), (7):
{k2m2 + n1f=ak2m2 + $n1,
(9)
где а
b2h
;Р=
b2h
TT Dg' % 2Dp
а
№5
2007
Например, при к = 2 (9) можно записать
т
[3 = ™4—а + п
п"
У ^
4—+ 1 п~
(10)
Пусть в задаче (1)—(2) функции, описывающие начальный прогиб и поперечное воздействие, заданы с точностью до малых параметров, т.е. Дх, у) у) + у) и
г[х,у) = у) " у)- А параметры внешних воздействий р^д принадлежат области
непрерывности зависимости, ограниченной графиком функции (10). В этом случае решение, как следует из аналитичности выражений в (1)—(4), будет аналитическими функциями параметров е. в окрестности точки е. - 0, поэтому в этом случае будем искать его в виде степенных рядов (являющихся рядами Тейлора)
5X4
си)
к,)=0
Подставляя (И) в (1)—(2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малых параметров, получаем, например, для первого приближения следующие задачи:
с граничными условиями
( Л 2 10 .10 Л
а м о
IV
Эх
Г + Р
Эу
(12)
и>'°(0, у) = ф,(0, у); у) = ср¿а, у); 0) = ф/х, 0); Ь) = ф,(х, 6);
Э2м>10 Э2ф, Э2и>10 э Ч
Эх2 п Э*2 о' Эх2 Эх2 У х*а
л2 10 О н> _Э2Ф, Э2 Ф.
Э/ г уел у э у**Ь
1>У 4и-,01+/г ( Л2 01 01 3 г а и^ ^ Эх ву ) =Ф 2
(13)
(14)
с граничными условиями
и>0|(0, у) = у) = ^01(х, 0) = п>01(х, Ь)
Э2н»01 Э2>у01 Э2н>01 д'к"
Эх2 эу Э/
■0.
(15)
у—Ь
^ . тех . ТЕу . КХ . пу хг
Пусть ф,=5ш—вт— и ф2 — 5ш—вт—. Удовлетворяя граничным условиям, а 2Ь а Ъ
решения задач (12)—(13) и (14)—(15) ищем в виде
ю
. пх . пу
С, 8Ш-вШ
2 Ь
ш . тех . ку = С,зт—зт— 2 а Ь
(16) (17)
№ 5 2007
Подставляя в (12), (14), получаем уравнения для нахождения постоянных Ср С,
08)
4 а В 4 а
~ (19)
д I) а
Из них находим значения С,, С2
с; = -5 (20)
1-^(4^+13,)
(21)
где
% О % и
Итак, с точностью до величин первого порядка малости решение задачи (1)—(2), характеризующее продольно-поперечный изгиб, имеет следующий вид
у» = (х, у) + е, V0 (*, у)+е2 (х, у\ (22)
так как остаточные члены рядов Тейлора (11) будут величинами второго порядка малости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. В о л ь м и р А, С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 980 с.
2. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М • Наука, 1976. —542 с. " '
3. Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М.: Научная книга, 2006.