CC BY
169
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПЛАЗМЫ С ПОМОЩЬЮ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А. В. Латышев1, Т. В. Терешина2, А.А.Юшканов3
1. Московский государственный областной университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, avlatyshev@mail.ru
2. Московский государственный областной университет, аспирант, tv_nikitina@mail.ru
3. Московский государственный областной университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, yushkanov@inbox.ru, yushkanov@mtu-net.ru
1. Введение
Диэлектрическая проницаемость является одной из основных характеристик плазмы. Знание этой величины необходимо, в частности, для описания процесса распространения и затухания плазменных волн, скин-эффекта и механизма проникновения электромагнитных волн в плазму (см., например, [1-3]).
В настоящее время широко применяется интеграл с постоянной частотой столкновений [4]. В частности, для слабоионизованной плазмы используется т-приближение интеграла столкновений: ^[/] = Vl(/eг — /), V! = 1 /т\, где V! —частота электрон-ион-ных столкновений, /0г — максвелловская функция распределения электронов, устанавливающаяся в результате столкновений электронов с тяжелой компонентой (с ионами и нейтральными атомами), /“ = п(^)3/2 ехр[—/Зг>2], (3 = то/(2кдТ), то— масса электрона, п — концентрация электронов, к в — постоянная Больцмана, Т — температура плазмы.
Эта модель основана на предположении, что рассеяние электронов носит носит изотропный характер, при этом в результате рассеяния электроны утрачивают полностью свой первоначальный импульс. Известно, что т-модель адекватно описывает динамику слабоионизованной плазмы [4]. Для сильноионизованной плазмы становятся существенными электрон-электронные столкновения. При таких столкновениях полный импульс электронной подсистемы сохраняется. Это обстоятельство оказывает существенное влияние на динамику плазмы, особенно на ее электропроводность. А именно электропроводность плазмы определяет ее диэлектрическую проницаемость.
Аналогичная проблема возникла при описании свойств плазмы в металле, где при низких температурах становятся существенными электрон-электронные столкновения (см., например, [5-7]). Для описания влияния этих столкновений на поведение плазмы был разработан двухпараметрический интеграл столкновений, который является обобщением релаксационной т-модели [8]. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для описания электропроводности тонких пленок (см. [8, 9]), а также при изучении аномального скин-эффекта в металле (см. [10-14]).
В связи с этим, актуальным представляется исследование поперечной диэлектрической проницаемости сильноионизованной плазмы, что и проделано в настоящей работе. Предлагаемая работа является продолжением статьи [15], в которой была исследована продольная диэлектрическая проницаемость сильноионизованной плазмы.
2. Постановка задачи и основное уравнение
Теория т-приближения [12, 13] не во всех случаях адекватно описывает рассеяние электронов. Эта модель предполагает, что рассеяние полностью изотропное. В действительности, электроны, претерпевшие рассеяние в объеме, могут частично сохранять свой импульс. Чтобы учесть это обстоятельство, предлагается естественное обобщение интеграла столкновений ,11[/]: ^[/] = ^(/д® — / )+^2(/де — /), где Т2 = 1/^2, ^2 —частота столкновений электронов с электронами, /де — максвелловская функция распределения электронов, устанавливающаяся в результате электрон-электронных столкновений с сохранением полного импульса электронной подсистемы, /де = п(^)3/2 ехр[—(3(у — и)2], где и — скорость электронов.
Интеграл столкновений ^[/] естественно называть (т1, Т2)-модельным интегралом столкновений, а соответствующее уравнение
§^ + еЕ|£ = м/о*-я+ *№-/)
будем называть двухпараметрическим кинетическим уравнением [12, 13].
Найдем выражение для поперечной диэлектрической проницаемости сильноионизо-ванной плазмы. Для изотропной плазмы тензоры ац и можно представить в виде
* **кз\лг , Ькз^ _ _(х кцкз\_1г , кцкй _г
~ ~^г)£ + ~^г£ ’ ~ “ ~к^) + ~к~ ’
4пг
Тензоры £ц И Оц соотношением £ц = 5ц н------СГц, где 513 —символ Кронекера.
ш
Будем считать, что электрическое поле в плазме меняется по гармоническому закону как в пространстве, так и во времени. Ось у проведем вдоль направления изменения электрического поля. Тогда будем иметь Е = (0, Е, 0), где Е(х,Ь) = Еоег(кх~ш1'). Введем безразмерные параметры: С = л/]3ч, Ь = г/г/г/, г/ = г/1 + г/2, е(ж, £) = ел/2Е(х, ^)/(г/лУтквТ), где то— масса электрона, кв—постоянная Больцмана, Т — температура плазмы. Если искать функцию / в виде / = /о(С)(1 + /1), где /о(С) = по(в/п)3/2 ехр(—С2), то для функции /1 получаем уравнение
СЮ
+ Л = е{х^)Сх + —J е с* fl(x,C,x,t)dC,x. (1)
Параметр Ь (0 ^ Ь < 1) есть отношение частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов: для слабоионизованной плазмы Ь ^ 1; для сильноионизованной плазмы Ь ~ 1. Этот параметр будем называть столкновительным параметром частотности, или, кратко, параметром частотности.
3. Поперечная диэлектрическая проницаемость
Решение уравнения (1) ищем в виде бегущей волны /1 = ег(кх—Ш)ф(Сх), & = шт = ш/у. Получаем уравнение относительно функции ф:
ф(р)(шд + гк^) = адЕд + АЬ, шд = 1 — Ш, ц = Сх, (2)
где
ГУп = _______
ь'^тквТ
ао = —, А = —= [ ехр(—/х2)^)(/хЫ/х. (3)
■■ ■ т уп 7
Из уравнений (2) и (3) находим:
Ф(И)
Здесь
Т0 = Т0(П,к) = -^= I
аоЕо То то + ікм 1 — ЬТо
СЮ
ехр(- м2)
1 + і(км — О)
Рассмотрим плотность электрического тока ]у = е $ гиу/сРь = а1гЕо, откуда для поперечной проводимости получаем
аіг = а0/іг(ії,к,Ь), сг0 = -----------,
ти
(4)
где сто — стандартная проводимость плазмы, а Ііг(О,к,Ь) —безразмерная поперечная проводимость:
Ііг (О,к,Ь) =
То (О, к)
1 — ЬТо(&, к)
Нетрудно проверить, что ]гг (0,0, 0) = 1. Следует подчеркнуть, что изменение параметра Ь существенно влияет на значения поперечной проводимости (см. рис. 1). Анализ графика показывает, что с ростом параметра частотности Ь модуль поперечной проводимости монотонно возрастает. В то же время с увеличением волнового числа к наблюдается его убывание.
|^Г(ПДЬ)|
Рис. 1. Зависимость |/1г(0, к,Ь)| от параметра частотности Ь. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям к = 0,10-2,10-1 соответственно.
В высокочастном пределе (О ^ то) поперечная проводимость имеет вид
стіг (О, к, Ь) = ст0
О іЬ
2
Отсюда при Ь = 0 получаем классическое выражение для поперечной проводимости для слабоионизованной газовой плазмы [1, 14].
Из формулы (4) при Ь = 0 в длинноволновом пределе (к ^ 0) получаем известную формулу проводимости Друде <го(О): го(О) = го/(1 — *О).
При промежуточных значениях величины О (0 < О < то) для описания поперечной проводимости составим отношение
6Щк,Ь) =
го
На рисунке 2 представлены графики зависимости действительной части 0(О, к, Ь) от частоты внешнего поля для трех параметров частотности: Ь = 0.1, Ь = 0.35 и Ь = 0.7. Кривые 1, 2, 3 отвечают, соответственно, значениям Ь = 0.1, 0.35, 0.7, к = 2. Из приведенных графиков видно, что Ие 0(О, к, Ь) носит немонотонный характер при изменении частоты. При малых частотах действительная часть отношения 0(О, к, Ь) зависит от параметра частотности Ь. При этом с увеличением данного параметра возрастают и ее значения. При больших частотах зависимость Ие 0(О, к, Ь) от параметра Ь нивелируется.
Ре0(П,к,Ь)
Рис. 2. Зависимость Ия в от величины П. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям Ь = 0.1, 0.35, 0.7; к = 2.
На рисунке 3 представлены графики зависимости модуля отношения 0(О, к, Ь) от частоты внешнего поля для трех значений волнового числа: к = 1, 3 и 10. Кривые 1, 2, 3 отвечают, соответственно, значениям к = 1, 3, 10, Ь = 0.35. Исследование графиков показывает, что с возрастанием волнового числа к |0(О, к, Ь)| ведет себя немонотонно. Максимумы модуля отношения 0(О, к, Ь) увеличиваются, сдвигаясь вправо.
Используя связь тензоров £ц и гц, запишем выражение для поперечной проницаемости:
Ш2
£*Г = 1 +^/‘Г(П,М),
где = 4пе2п/т — плазменная частота.
Рис. 3. Зависимость |#| от величины П. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям к =1, 3,10; Ь = 0.35.
Заметим, что поперечная диэлектрическая проницаемость связана с дисперсионной функцией Ван Кампена Ас(,г) равенством
-I , -^(1 “ ^с(^))
1 + г—---------------
шито
1 +
1 - \с(г)
то — 6(1 — Ас(г)).
(5)
где
Хс(г) = 1 + ^= —
л/п / и - г
Ли.
Величина £гг согласно (4) и (5) является комплексной, что означает наличие диссипации энергии электрического поля в плазме [1, 2].
£■’
2
Заключение
В данной работе получены формулы для вычисления поперечной диэлектрической проницаемости в сильноионизованной невырожденной плазме. В результате проведенного исследования установлено существенное влияние на нее межэлектронных столкновений, которое необходимо учитывать (и они уже учитываются [5, 9]) в экспериментальных разработках.
Учет скорости обмена энергией в столкновениях электронов с электронами и с тяжелой компонентой существен для рассмотрения термических свойств плазмы. Для расчета проводимости и диэлектрической проницаемости плазмы наиболее важным является учет релаксации импульса электронов. Существенно то, что при электрон-электронных столкновениях суммарный импульс электронной подсистемы сохраняется, в то время как при электрон-ионных столкновениях электроны утрачивают свой импульс. Это обстоятельство решающим образом сказывается на проводимости и диэлектрической проницаемости плазмы.
Аналогичный двухпараметрический интеграл столкновений ранее был уже успешно использован для описания влияния электрон-электронных столкновений на электропроводность металлических пленок и поверхностный импеданс металла. Отметим, что случай, когда время релаксации зависит линейно от скорости электронов, рассмотрен в [16], где исследована проводимость и диэлектрическая проницаемость невырожденной плазмы.
Литература
1. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Госмтомиздат, 1961. 244 с.
2. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. М.: Физматлит, 2002. 424 с.
3. Морозов И. В., Норман Г. Э. Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме // Ж. эксперим. и теор. физ. 2005. Т. 127. Вып. 2. С. 412-430.
4. Opher M., Morales G. J., Leboeuf J. N. Krook collisional models of the kinetic susceptibility of plasmas // Physical Review. 2002. Vol. 66 (2). N1. P. 016407.1-016407.10.
5. Levy B., Sinvani M., Greenfield A. J. Sample Dependence of the electron-electron contribution to the Electrical Resistivity of Sodium and Potassium // Phys. Rew. Lett. 1979. Vol. 43. P. 18221825.
6. Borchi E., De Gennaro S. On the low-temperature electrical resistivity of copper and gold // J. Phys. F. 1980. Vol. 10. L. 271-274.
7. Zhao J., Bass J., Pratt Jr. P. W., Schroeder P. A. Electron-electron scattering in Li // J. Phys. F: Met. Phys. 1986. Vol. 16. L. 271-274.
8. De Gennaro S., Rettory A. The low-temperature electrical resistivity of potassium: size effects and the role of normal electron-electron scattering // J. Phys. F. 1984. Vol. 14. L. 237-242.
9. Qiant Y. J., Pratt W. P., Schroedert P. A., Movshovitz D., Wiser N. Size effects in the resistivity of thin films of potassium // J. Phys. C. 1991. Vol. 3. P. 9459-9466.
10. De Gennaro S., Rettory A. Normal electron-electron contribution to the anomalous surface impedance // J. Phys. F. 1985. Vol. 15. L. 227-230.
11. Kaveh M, Wiser N. // J. Phys. F. 1985. Vol. 15. L. 1085-1092.
12. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения // ЖВММФ. 2004. Т. 44. №10. С. 1861-1872.
13. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического уравнения. Диффузные граничные условия // ЖВММФ. 2005. Т. 45. №4. С. 677-689.
14. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитические решения в теории скин-эффекта. М.: МГОУ, 2008. 285 c.
15. Латышев А. В., Терешина Т. В., Юшканов А. А. Изучение продольной диэлектрической проницаемости плазмы с использованием двухпараметрического уравнения // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 17. С. 10-17.
16. Латышев А. В., Юшканов А. А. Кинетическое уравнение для сильноионизованной плазмы // Фунд. физ.-мат. проблемы и модел. тех.-техн. систем. М.: МГТУ «Станкин». 2008. Вып. 11. С. 80-83.
17. Латышев А. В., Юшканов А. А. Поперечная и продольная диэлектрические проницаемости газовой плазмы с частотой столкновений электронов, пропорциональной их скорости // Физика плазмы. 2007. Т. 33. № 7. С. 1-7.
Статья поступила в редакцию 28 сентября 2009 г.
