Исследование переходных и стационарных режимов синхронной двухмашинной системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI: 10.21122/1029-7448-2017-60-3-228-236 УДК 621.311

Исследование переходных и стационарных режимов синхронной двухмашинной системы

В. С. Сафарян1*

цЗАО «Научно-исследовательский институт энергетики» (Ереван, Республика Армения)

© Белорусский национальный технический университет, 2017 Belarusian National Technical University, 2017

Реферат. Решение задачи обеспечения надежной работы электроэнергетической системы в стационарных и переходных режимах, предотвращения перехода в асинхронный режим, сохранения и восстановления устойчивости послеаварийных процессов основывается на формировании и реализации математических моделей процессов такой системы. При работе электроэнергетической системы в асинхронном режиме, помимо основных частот, в состав токов и напряжений входят гармонические составляющие, частоты которых кратны разности основных частот. При двухчастотном асинхронном режиме система эквиваленти-руется в виде двухмашинной системы, работающей на обобщенную нагрузку. В статье приведены математические модели переходного процесса двухмашинной системы в натуральной форме и в системе координат d-q. Рассмотрена математическая модель двухмашинной системы при наличии у роторов двух обмоток возбуждения, показаны разновидности математических моделей (тривиальная, упрощенная, полная) переходных процессов электроэнергетической системы. Переходный процесс синхронной двухмашинной системы описывается полной моделью. Качество переходных процессов синхронной машины зависит от числа обмоток возбуждения ротора. При наличии двух обмоток возбуждения на роторе (дуальная система возбуждения) математическая модель электромагнитных переходных процессов синхронной машины представляется в комплектной форме, т. е. в системе координат d, q, а ток ротора - обобщенным вектором. При асинхронном ходе в синхронной двухмашинной системе при наличии двух обмоток возбуждения на роторе системы токов и напряжений содержат гармоники только двух частот. Приведена математическая модель синхронного стационарного процесса синхронной двухмашинной системы и рассмотрены стационарные режимы при различной структуре задания исходной информации.

Ключевые слова: математическая модель, асинхронный режим, двухмашинная система, переходный процесс, двухчастотный режим, обобщенная нагрузка, стационарный режим

Для цитирования: Сафарян, В. С. Исследование переходных и стационарных режимов синхронной двухмашинной системы / В. С. Сафарян // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2017. Т. 60. № 3. С. 228-236. DOI: 10.21122/1029-7448-201760-3-228-236

Адрес для переписки Address for correspondence

Сафарян Виталий Сафарович Safaryan Vitali S.

ЗАО «Научно-исследовательский институт CJSC Scientific Research Institute

энергетики» of Energy

просп. Мясникяна, 5/1, 5/1 Myasnikyan Ave.,

0025, г. Ереван, Республика Армения 0025, Yerevan, Republic of Armenia

Тел.: +374 010 559-659 Tel.: +374 010 559-659

liliasafar@rambler.ru liliasafar@rambler.ru

Study of Transient and Stationary Operation Modes of Synchronous System Consisting in Two Machines

V. S. Safaryan4

'-Closed Joint-Stock Company (CJSC) Scientific Research Institute of Energy (Yerevan, Republic of Armenia)

Abstract. The solution of the problem of reliable functioning of an electric power system (EPS) in steady-state and transient regimes, prevention of EPS transition into asynchronous regime, maintenance and restoration of stability of post-emergency processes is based on formation and realization of mathematical models of an EPS processes. During the functioning of electric power system in asynchronous regime, besides the main frequencies, the currents and voltages include harmonic components, the frequencies of which are multiple of the difference of main frequencies. At the two-frequency asynchronous regime the electric power system is being made equivalent in a form of a two-machine system, functioning for a generalized load. In the article mathematical models of transient process of a two-machine system in natural form and in d-q coordinate system are presented. The mathematical model of two-machine system is considered in case of two windings of excitement at the rotors. Also, in the article varieties of mathematical models of EPS transient regimes (trivial, simple, complete) are presented. Transient process of a synchronous two-machine system is described by the complete model. The quality of transient processes of a synchronous machine depends on the number of rotor excitation windings. When there are two excitation windings on the rotor (dual system of excitation), the mathematical model of electromagnetic transient processes of a synchronous machine is represented in a complex form, i.e. in coordinate system d, q, the current of rotor being represented by a generalized vector. In asynchronous operation of a synchronous two-machine system with two excitation windings on the rotor the current and voltage systems include only harmonics of two frequencies. The mathematical model of synchronous steady-state process of a two-machine system is also provided, and the steady-state regimes with different structures of initial information are considered.

Keywords: mathematical model, asynchronous regime, two-machine system, transient process, dual frequency mode, generalized load, stationary mode

For citation: Safaryan V. S. (2017) Study of Transient and Stationary Operation Modes of Synchronous System Consisting in Two Machines. Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc. 60 (3), 228-236. DOI: 10.21122/1029-7448-2017-60-3-228-236 (in Russian)

Введение

Математические модели переходных процессов можно разделить на три категории:

а) тривиальная модель - учитываются только электромеханические переходные процессы синхронных и асинхронных машин [1, 2], электромагнитные переходные процессы в контурах ротора и статора машин, а также в электрической сети не учитываются;

б) упрощенная модель - учитываются электромеханические и электромагнитные переходные процессы в электрических машинах, а электрическая сеть представляется моделью установившегося (стационарного) режима [1, 3-10];

в) полная модель - электрические машины представляются электромеханической и электромагнитной моделями, а электрическая сеть, в отличие от упрощенной модели, также представляется моделью переходного процесса.

Для исследования и анализа переходных процессов современных электроэнергетических систем используется упрощенная модель, поскольку применение полной модели приводит к увеличению размерности системы нелинейных дифференциальных уравнений переходных процессов. Качество переходных процессов синхронной двухмашинной системы (СДС) зависит от числа обмоток возбуждения роторов [4, 6].

При асинхронном режиме в электрической системе наблюдаются колебания всех режимных параметров синхронных генераторов, вызванные влиянием асинхронно работающих машин друг на друга. В этом случае в состав токов и напряжений генераторов будут входить составляющие, соответствующие основным частотам асинхронного хода, которые являются определяющими для рассматриваемого процесса [1]. При построении математической модели синхронного генератора принято допущение о том, что токи и напряжения складываются из двух частотных составляющих, соответствующих средним скоростям вращения роторов асинхронно идущих машин [1].

Цель работы - формирование и исследование полной математической модели переходного и стационарного режимов двухмашинной системы.

Результаты исследования

При возникновении двухчастотного асинхронного режима синхронные машины разделяются на две асинхронно работающие группы, а электрическая система - на две подсистемы. То есть для исследования двухчастот-ных режимов ЭЭС моделируется эквивалентной двухмашинной системой с обобщенной нагрузкой [1] (рис. 1).

(Л/)

СМ1

h

IYY\

l2

.rm.

(Л/) СМ2

Рис. 1. Синхронная двухмашинная система: СМЬ СМ2 - синхронная машина; ii (ila, iib, мД i2 (i2a, i2b, i2c) - трехфазный ток статора синхронной машины; rb ll (r2, l2) - активное сопротивление и индуктивность линии; гн, 1н - активное сопротивление и индуктивность нагрузки

Fig. 1. Synchronous two-machine system: СМЬ СМ2 - synchronous machine; il (ila, ilb, ilc), i2 (i2a, i2b, i2c) - three-phased current of stator of synchronous machine; rl, ll (r2, l2) - resistance and inductance of the line; гн, 1н - resistance and inductance of the load

r

r

2

Составим систему дифференциальных уравнений переходных процессов СДС:

Rial + +Mi

Rbi + + M1

Rii + +Mi

riiri + Mi

—— cos^ - p) -rai7risin(ai -p)

—ricos(ai + p) - rai7risin(ai + p)

-u;

—— cosai -oi7aisinai +-cos(ai -p) -

dt dt

- rai7bisin(ai - p) + —cicos(ai + p) - ®i7cisin(ai + p)

d o,

Ji-r- = M3l +Mml; dt

(i)

R27.2 +M 2

dt

R2 7b 2 + A-t2 + M 2

R27c 2 +L2^T +M 2

-cosa2 -o27r2 sina2

—cos(a2 -p) - o27r2 sin(a2 - p)

v 2

cos(a2 +p) - o27r2 sin(a2 + p)

r 7 +1 ——

'2'r2 ^ V2 ,,

+ M,

cos a2 -ю27а2 sin a2 +—— cos(a2 -p) -

22 a2 2

dt dt

d7

- o27b2 sin(a2 - p) +—— cos(a2 + p) - o27c2 sin(a2 + p)

dt

d o,

J2 = Mэ2 + Mm2 ,

(2)

где Д = г1 + (= г2 + 2), 2) - активное сопротивление статора; Ь1 = 11 + (£2 = 12 + 2), Ь51 (Ь52) - индуктивность рассеяния статора; М1 (М2) - взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора при их параллельном расположении; ¡л (¡г2) - ток ротора;

ai = aio +

i

|oidt

t ^

a2 = a20 + l°2d

- комплексная константа; oi (ю2) - уг-

ловая скорость ротора; (./2) - момент инерции ротора; ег1 (ег2) - электродвижущая сила обмотки возбуждения; Мт1 (Мт 2) - механический момент, приложенный к валу ротора; р = 120°; Мэ1 (Мэ2) - электромагнитный момент:

\Мэ1 = -Mjrl ['a1 sin а1 + 'b1 sin(ai - p) + 'c1 sin(ai + p)];

= -M2ir2 [ia2 Sin а2 + ib2 Sin(a2 - P) + ic2 Sin(a2 + P)] • Правые части систем (1), (2) определяются по формулам:

Ua1 = Ua 2 = Ua = Гн (ia1 + ia 2 ) + (ia1 + ia 2 X

Ub1 = Ub2 = Ub = Гн (ib1 + ib2 ) + LH~ (ib1 + ib2 X

Uc1 = Uc2 = Uc = Гн (ic1 + 'c2 ) + lh — (ic1 + 'c2 ) •

(3)

(4)

Представим (1) и (2) обобщенными векторами в системах координат, вращающихся с угловыми скоростями ® и ю2:

(Zi + pL,)/ + j(p + jfülMii =-[Гн + (p + j'Qj)Lh]/ --[ Гн + (p + j®2 )Lh ] ;

1,5 PMiidi + (rri+ PLri) = eri;

J1 P®1 =-1,5M1ir^/?1 + Mm1

(Z2 + PL2 )/2 + j(P + j®2M2'r2 = -[Гн + (P + J'®2)lh] 1 --[r + (p + jco^Lh] íe8;

1,5pM2Id2 +(rr2 + pLr2 ) = Г J2 p°2 =-1,5 M2ir2Iq2 + M'mi-

(5)

(6)

ГДе Z1 = R1 + j'®1L1; Z 2 = R2 + j®2L2; I = /q1 + jId{; /2 = ^2 + j/d2; d

p =

di'

Перенеся первые слагаемые правой части в системах (5), (6), получим: (+ Z1 + рЦ )Д + Лр + 7®!)М^ = -[ 2н2 + рЦ ] /2еу5;

j8.

(7)

1,5 pM1 Id 1 + (Гг 1 + p¡r 1) 'r 1 = 1;

j1 p®1 =-1,5 M ' 1iq1 + Mm„

(zh2 + Z2 + pl2) 12 + j(p + j®2)M2'r2 = -[zh1 + plh ]Á'

1, 5 pM2Id2 + (Г,. 2 + plr 2 )2 = 2;

J 2 p®2 = -1,5M 2 ^ 2 'q 2 + m 2.

где = Гн + ; Zн2 = Гн + ; 5 = «2 - «1 •

Система (7) описывает нестационарные, в общем случае - несинхронные

(асинхронные) процессы СДС (искомыми являются , ¡г1, юх, 12, ¡г 2, ю2).

Синхронный процесс (ш1 = ш2 = ш) СДС описывается стационарной системой уравнений, в которой режимные параметры не зависят от времени. Математическая модель синхронного (ш1 = ш2 = ш) стационарного (р = 0) процесса СДС имеет следующий вид:

'(г, + 2 н) Л + 2н 12 е5 = ш М ¿г1; - + (г 2 + г н) 12 =ш М 2гг 2 ■

Zh he

(8)

l,5M1irligl = Мт1,

1,5м 2ir 2 iq 2 = mm 2-

Преобразуя первые два комплексных уравнения системы (8), получим:

Г( г! + гн) 11 + гн 12 е^ = е; [г н 1, + (г 2 + г н) 12 е^5 = е2 е->8,

(9)

где Е1 = шМ11г1; Е2 = шМ21г2.

Системе уравнений соответствует сеть, схема которой представлена на рис. 2.

—С

E

1 t

II

1

I

О-

Рис. 2. Схема замещения синхронной двухмашинной системы в синхронном стационарном режиме

Fig. 2. Equivalent circuit of synchronous two-machine system in synchronous steady state regime

Рассмотрим синхронный стационарный режим при различных постановках задачи. Примем, что конструктивные параметры СДС (активные сопротивления и индуктивности синхронных машин, линий и нагрузки, взаимные индуктивности, моменты инерции) заданы. При различной структуре задании внешних параметров СДС (ег1, ег2, Мт1, Мт2) рассмотрим режимные параметры (1 1, 12, ¡г1, гг2, ш , 5), воспользовавшись математической моделью (8).

1. Заданными являются: ег1, ег2, 5, ш, искомыми - 11, 12, г

2' 'rl' V 2'

М«1> Мш2-

Определяем гг1, 1г 2 непосредственно из третьего и четвертого уравнений системы (8):

V5

Z

н

i _ . i _ er2

1Л~ . lr2

Находим I,, 12 совместным решением первых двух уравнений системы (8):

ГI, = [£,(2 2 + 7 н ) - К2 2н ]/А;

[ 12 = [£2(7 + 2 н ) - Е, 2н ]/А,

(10)

где А = (2, + 2 н )(2 2 + 2Н) - 2Н2 = 22 + 2н (2, + 22).

Параметры Мт1, Мт2 определяем из последних двух уравнений (8).

Зависимости комплексных токов I,, 12 (10) от 5е[0,2л] выражаются дробно-линейной функцией комплексной переменной и изображаются окружностью (рис. 3а). График зависимости механических моментов Мт1, Мт2 от параметра 5е[0,2л] имеет вид эллипса, представленного на рис. 3Ь.

4№) ■

Re(h)

Рис. 3. Графики зависимостей /1(8) (а) и Mm1(5), Mm2(S) (b) Fig. 3. Dependence curves: /1(5) (а) and Mm1(5), Mm2(S) (b)

На рис. 3а I0 —

£1(2, + 2н) l2l ——^——, а радиус окружности равен E1

эллипса на рис. 3Ь расположен выше прямой Мт1 + Мт2 = 0 . Поставленная задача имеет единственное решение.

2. Заданными являются: гг1, вг2, Мт1, Мт2, искомыми - I,, I 2, ¡г1,

ir 2, 5,

Определяем ¡г1, гг 2 непосредственно из третьего и четвертого выражений системы (8). Из последних двух уравнений (8) находим id1, id2, ю, 5, сведя к решению нелинейных трансцендентных уравнений. В отличие от

r

r

2

г

b

a

предыдущей постановки, решение задачи может не существовать или задача может иметь несколько решений, у которых ег1, ег2, ¡г1, \г2 одинаковые.

При асинхронном движении (ш1 ^ю2) СДС образуется лавина частот, содержащая юх, ю2 и к(ю1 — ю2), где к - целое число, а токи, напряжения, электромагнитный момент получаются несинусоидальными. Покажем, что при наличии на роторах синхронных машин двух обмоток возбуждения при асинхронном движении СДС токи и напряжения содержат гармоники только двух частот (юх и ю2). Математическая модель переходного электромагнитного процесса при наличии на роторах двух обмоток возбуждения имеет следующий вид:

(Zh1 + Zi + pLi) Л + j( p + M Mi i ri — - (ZH2 + pL„ ) i2 ejS; 1,5 pMiД + (rr! + plr1 r! = er

(zh2 + Z2 + pL2 )12 + JXp + J® 2 )M2i r2 = -(zhi + pL. )J \ 1,5 pM 2 i 2 + (rr 2 + plr 2) i r 2 = er 2,

(11)

где 1г1 (12) - комплексный ток ротора, компонентами которого являются токи по осям С, д; ег1 (ег2) - комплексная ЭДС возбуждения ротора, компонентами которой являются ЭДС по осям С, д.

Предполагаем, что токи статоров и роторов СДС меняются по следующим законам:

1 = а1 + Ъх е5;

12 = а2 + Ъ2 е—75; (12)

1 г\ = с\ + е75;

i r 2 — c 2 + d 2 e

-jS

где а1, а2, Ъ1, Ъ2, с1, с2, С1, С2 - комплексные константы.

Непосредственной подстановкой выражений токов (12) в (11) убеждаемся, что они удовлетворяют системе (11).

ВЫВОДЫ

1. Получены математические модели переходных процессов синхронной двухмашинной системы в натуральной форме и в системе координат С, д.

2. Исследован стационарный процесс синхронной двухмашинной системы при различных способах задания независимой информации.

3. В асинхронных режимах синхронной двухмашинной системы образуется лавина частот, которая содержит гармоники частот ш1, ю2 и ^(со1 -со-,), где к - целое число.

4. При наличии на роторах синхронных машин двух обмоток возбуждения при асинхронном движении синхронной двухмашинной системы токи и напряжения содержат гармоники только двух частот (юх и ю2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Наровлянский, В. Г. Современные методы и средства предотвращения асинхронного режима электроэнергетической системы / В. Г. Наровлянский. М.: Энергоатомиздат, 2004. 360 с.

2. Веников, В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах / В. А. Веников. М.: Высш. шк., 1985. 536 с.

3. Горев, А. А. Переходные процессы синхронной машины / А. А. Горев. М.: Госэнергоиз-дат, 1960. 551 с.

4. Арешян, Г. Л. Специальные вопросы теории электрических машин переменного тока / Г. Л. Арешян. Ереван, 1999. 300 с.

5. Наровлянский, В. Г. Метод определения эквивалентных параметров схемы замещения энергосистемы в асинхронном режиме / В. Г. Наровлянский, А. А. Налевин // Электричество. 2005. № 8. С. 15-21.

6. Пирматов, Н. Б. Исследование работы синхронного двигателя с возбуждением по продольной и поперечной осям при ударной нагрузке / Н. Б. Пирматов, М. Г. Ахматов, Н. К. Каталов // Электричество. 2003. № 2. С. 64-65.

7. Якимец, И. В. Определение эквивалентных параметров энергосистемы для адаптивного функционирования противоаварийной автоматики / И. В. Якимец, Г. А. Дмитриева, А. А. Налевин // Электричество. 2003. № 7. С. 2-9.

8. Гоник, Я. Е. Автоматика ликвидации асинхронного режима / Я. Е. Гоник, Е. С. Иглиц-кий. М.: Энергоатомиздат, 1988. С. 111.

9. Бринкис, К. А. Микропроцессорное устройство предотвращения асинхронного хода / К. А. Бринкис, Г. И. Бочкарева, А. С. Саухатас // Электричество. 1990. № 2. С. 36-38.

10. Якимец, И. В. Обобщенные способы выявления асинхронного режима энергосистемы / И. В. Якимец, И. З. Глускин, В. Г. Наровлянский // Электричество. 1997. № 11. С. 9-15.

Поступила 15.04.2016 Подписана в печать 27.06.2016 Опубликована онлайн 30.05.2017

REFERENCES

1. Narovlyansky V. G. (2004) Modern Methods and Means of Prevention of Asynchronous Operation of the Power Grid. Moscow, Energoatomizdat Publ. 360 (in Russian).

2. Venikov V. A. (1985) Transient Electromechanical Processes in Electrical Systems. Moscow, Vysshaya Shkola. 536 (in Russian).

3. Gorev A. A. (1960) Transients of the Synchronous Machine. Moscow, Gosenergoizdat. 551 (in Russian).

4. Areshian G. L. (1999) Special Issues of Theory of Alternating Current Electric Machines. Yerevan. 300 (in Russian).

5. Narovlyansky V. G., Nalyevin A. A. (2005) Method of Determining Equivalent Parameters of the Equivalent Circuit of the Power Grid in Asynchronous Mode. Elektrichestvo [Electricity], (8), 15-21 (in Russian).

6. Pirmatov N. B., Akhmatov M. G., Katalov N. K. (2003) The Study of the Synchronous Motor with Excitation by Longitudinal and Transverse Axes Under Shock Load. Elektrichestvo [Electricity], (2), 64-65 (in Russian).

7. Yakimets I. V., Dmitriyeva G. A., Nalyevin A. A. (2003) Determination of Equivalent Parameters of Power System for Adaptive Operation of Emergency Automatic Control. Elektrichestvo [Electricity], (7), 2-9 (in Russian).

8. Gonik Ya. E., Iglitskiy Ye. S. (1988) Automatic Elimination of Asynchronous Mode. Moscow, Energoatomizdat Publ. 111 (in Russian).

9. Brinkis K. A., Bochkareva G. I., Saukhatas A. S. (1990) Microprocessor Device for Preventing Asynchronous Course. Elektrichestvo [Electricity], (2), 36-38 (in Russian).

10. Yakimets I. V., Gluskin I. Z., Narovlyansky V. G. (1997) Generalized Methods for Detection of the Asynchronous Mode of the Power System. Elektrichestvo [Electricity], (11), 9-15 (in Russian).

Recеived: 15 April 2016

Accepted: 27 June 2016

Published online: 30 May 2017