Исследование особенностей плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.63

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ПЛАЗМЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ У ЭМИТТЕРА ТЕРМОЭМИССИОННОГО ДИОДА

В.П. Зимин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Анализируется модель монотонных плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода на плоскостях плотность плазмьгионный ток, плотность плазмы-плотность энергии электронов и других. Исследованы особенности изменения кривых граничных условий, и классифицировано их характерное поведение. Предложен способ оценки характерного вида граничных условий и их изменения при вариации параметров диода и плазмы.

Ключевые слова:

Граничные условия, краевая задача, метод фазовой плоскости, низкотемпературная плазма, термоэмиссионный диод.

Key words:

Boundary conditions, boundary value problem, phase plane method, low-temperature plasma, thermionic diode.

Введение

Приэлектродные области в цезиевом разряде термоэмиссионного диода существенным образом влияют на его вольтамперные характеристики и параметры плазмы в межэлектродном зазоре (МЭЗ). Гидродинамические модели плазмы диода, основанные на моментах функций распределений её частиц - это краевые задачи, граничные условия которых в приэлектродных слоях записываются в виде балансовых соотношений для потоков заряженных частиц и энергии [1, 2]. Необходимость исследования поведения экспериментальных параметров плазмы у электродов, трудности сравнения большого количества модельных приближений граничных условий [1-7], создание устойчивых алгоритмов поиска решений нелинейных краевых задач, изучение нестационарных вольтамперных характеристик диода [8] требуют разработки новых методов анализа моделей граничных условий. В [9-11] предложено анализировать области возможных решений краевых задач, включая сложные граничные условия, на плоскостях плотность плаз-мы-ионный ток, плотность плазмы-плотность энергии электронного газа, температура электро-нов-плотность энергии электронного газа и др.

В настоящей работе проведены аналитические и численные исследования модели монотонных граничных условий у эмиттера. Выявлены её асимптотическое поведение и характерные изменения при вариации параметров термоэмиссионного диода и плазмы.

Модель монотонных плазменных

граничных условий у эмиттера и её анализ

Модель монотонных граничных условий (виртуальный электрод отсутствует) в слое у эмиттера для плотности ионного /0, электронного /е0тока и плотности энергии электронов де0 для ускоряющего (УЕ<0) приэлектродного потенциального барьера записывается [4, 9]:

J _ J(E ) - Г J - A

Je0~ J Ee Jre0 A

eVE

KkTe0 J

(1)

J o- 4? exp

kT

Г Jri0 AEiJi 0 ]>

(2)

0J

1 - AEe eXP

f £Ve ^

V kTe0 J J

- J (E)

2kTr

-V

- Jre 0eXP

r eVE л

V kTe0 J

2kTr

- V

, (3)

для тормозящего (V>0) приэлектродного потенциального барьера:

j _ j(0) exp Je0 ~ J Ee exp

J _ J(0) - Г J - A

Ji0 _ J Ei [Jri0 A

( .iVEл

V kTeE J

Г Jre0 AEeJe0 ], (4)

AEi Ja ]exP

.eVE

kT0

0J

(1 - AEe) q 0 _ JE°)exP

eV^

kT

2kT„

- Jre

2kTr

eE J

J _ Je0 + Ji0 ,

(5)

, (6)

(7)

где 1го=ГЕ,ещ-е(То), 1гЯ=увеПо-1(Го) - плотности хаотического тока электронов и ионов из плазмы на эмиттер; е - заряд электрона; уЕе, Ае, ув, АЕ! - коэффициенты пропорциональности для хаотического тока и анизотропии потоков заряженных частиц и энергии; п0 - плотностьплазмы у эмиттера; -е(Тео)=л/(8кГео)/(лт?е), —(70)=^(8^Т0>/(л:ллг) - тепловые скорости заряженных частиц; к - постоянная Больцмана; те, т! - массы заряженных частиц; / -плотность тока диода; /), 1$ - эмиссионные электронный и ионный токи с учетом нормального эффекта Шоттки [4]; Те0, Т0 - температуры электронов плазмы и ионов (атомов) цезия; ТЕ - температура электронов эмиттера; ТЕ - температура эмиттера. Хорошим приближением считается Т0= ТеЕ= ТЕ [1, 2]. Нижний индекс ноль означает, что значения параметров плазмы берутся у эмиттера для пространственной переменной х=0. Эмиссионные

электронный и ионный токи эмиттера для напряженности электрического поля у эмиттера, тормозящего выходящие электроны (Е=0), определяются как

4? = АГ£2ехр(-^£ / ^),

(0) _ еЯгпаоУ (то)

(0) ^Е/ _

[ехР(-(^' - ^Е)/ кТЕ)]>

РЕ _

К (Те )

4?^ V' (те )’

#е0 Лг0

аТео - ^т; аХ аХ

А„

(8)

- /(Е)

‘УЕг

Jre0 АЕе (J + *А'0 )

+ Лго _ 0, (9)

/2 (п0 , ^'0 ) - •Ао 4г) + [ Лй АЕг"Л) ] Х

Л-е0 + (1 АЕе )(J + Л'0 )

J

Ее ) (0) Ее

Т^е/Т.

_ 0.

(10)

При фиксированных параметрах диода ТЕ, /Е, р&, / и фиксированных параметрах плазмы Те0, ТеЕ, Т0 получили функции (9) и (10), которые в неяв-

ном виде задают связь между плотностью плазмы и ионным током и позволяют изучить поведение этих функций и их представление на плоскости («,/■).

Уравнения (9) и (10) имеют точку сшивки (ГЕ=0) с координатами

И°° _

(1 - ай.) J^ - (1 - лЕе) .С - (1 - Ае' )(1 - А) J

(1 - Л^Ее^е (Те 0) - (1 - АЕе )У£,.еЦ (Т0)

где &а, & - статистические веса атома и иона цезия; ¥Е -работа выхода электрода в парах цезия; ^=3,89 эВ -энергия ионизации цезия; А=120,2 А/(К2см2) - теоретическая эмиссионная постоянная; РЕ - параметр компенсации заряда у эмиттера.

Плотность атомов па0 цезия для слабоионизо-ванной плазмы определяется из уравнения состояния у эмиттера

кТ0Па0 _ -Рея ,

где ра - давление насыщенных паров в резервуаре с цезием.

Из равенства плотности энергии электронов в плазме у эмиттера

ате

г0 _ 40 -УЕ,епоЧ (т0) 10 1 -А, .

,(11)

(12)

Подставляя (11), (12) в (6) и (8), используя (4) при ГЕ=0, получим выражения для ординат точек сшивки для кривых на плоскостях (Те,де) и (Те^Т/^)

0

4е0 _

J:° (^ТЕ/е - ЬТе %)+(1 - Ае; )(J+Ji 0) 0 /е

1 - Аг

<, -де00 + Ре0оО/+-О кТ 0/е

йХ Яе00

(13)

(14)

и плотности энергии электронов через слой у эмиттера (3) или (6) получим выражение для пространственной производной температуры электронов плазмы у эмиттера

_ -^е 0 + Ре 0 ^е 0 кТе 0 /е

где Ае0 - коэффициент теплопроводности электронного газа и множитель Р^, определенные в [2]. Для аналитических исследований модели

(1)-(8) выполним ряд преобразований и получим некоторые соотношения для параметров диода и параметров плазмы у эмиттера. Каждая пара граничных условий (1)-(2) и (4)-(5) с учетом (7) преобразуется следующим образом. Выражается из уравнения баланса для электронного тока, например из (1), экспонента и подставляется в уравнение

(2) баланса для ионного тока, и учитывается выражение для /. Окончательно получаем уравнения

/ (п0, "Л’0) - (1 - ае. ) Jя -

JEE} - (J+Jiо) 1Тео/То

Каждая из функций у={/1=01/2=0} имеет ограниченную область определения: ^(«0,/0)=0-{и>«§,/0</0}; /2(и0Л)=0-{и<и0Л>/}. Кроме этого, на область определения функций накладывается физическое ограничение п0>0.

Анализ уравнений (9) и (10) позволяет выявить особенности асимптотического поведения кривых граничных уравнений для различной полярности УЕ. При больших значениях ГЕ<0 ионный ток /0, согласно (9), стремится к асимптоте

т;о

(15)

10 05^1

(1 - АЕ1)

вследствие этого имеется ограничение на величину

V,

Подставляя выражение (15) в выражение для ускоряющего потенциального барьера, полученного из (1)

V кТео

_—— 1п

4е - (J+^о)

•Л-е0 - АЕе (+ 4о )

и выполняя переход и0^да, получим предельное значение

К _- ^Тео1п

КЕ Пш _ 1П

(1 АЕг )УЕеУе (Те0 )

7еЛ- (То)

+ А

(16)

При больших значениях УЕ>0 плотность ионного тока /0, согласно (10),

J«

_ т(0) -- ^ ,

/г00552 _ •'Ег . (17)

Так как J!~-dn/dx, то асимптотическая зависимость (15) представляет собой граничное условие III рода, (17) - граничное условие II рода, а в промежуточных точках кривой /={/1=0/,=0} - суперпозицию всех трех родов.

Х_0

Для получения точек кривой /={/1=0/,=0} и затем вычисления выражений (3), (6), (8) необходимо выполнять численные расчеты. Задаются Те0, Т0 и УЕ, с учетом (16), при фиксированных параметрах диода ТЕ, ¥е, ра, /, тогда любая точка кривой /=/=0/г=0} из области её определения вычисляется путем решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно п0 и /0

_ ЬЕ/

1°21П0 + °22 •Ло _ Ь27'

(18)

где для 7=1, Гб<0

"п _ -УЕе^е (Тю ) ехР

АТ

Е1 ^

012 _ АЕе ехР

V АТео

LE1

_ •/ - 4Е} - Ае^ ехР

Е1 — {гг \ „Е1

е0

-1,

V АТео

а21

_ УЕгеУг (70 X °22 _ АЕг 1,

Ь2Е1 _ - 4Р ехР

АТ

для 7=2, Гб>0

°1 1 _ УЕееуе (Те0), °1 2 _ АЕе 1,

ЬЕ2 _ J - JІP)exp

аЕ12 _-УЕге^ (Т0)ехР

АТе

еЕ у (

Е2 у

°2 2 _ АЕг ехР

еК*

АТ

-1,

еУк АТо у

52е2 _-4г>.

о У

Контроль решения СЛАУ осуществлялся по невязке функций /=/1=0/,=0}. Для учёта эффекта Шоттки организовывался итерационный цикл, окончание которого происходило при достижении заданной относительной погрешности \А/(Б)\//(Б).

Результаты численных исследований и их обсуждение

На рис. 1 представлены характерные кривые граничных условий/={/1=0,^=0} у эмиттера для различных значений работ выхода (различных РЕ). Сплошными кружками на кривых обозначены точки сшивки с координатами (11), (12). При недоком-пенсации РЕ<1 (рис. 1, а) кривая /1=0 практически совпадает с асимптотой и также виден выход /2=0 на асимптоту. При РЕ<<1 вся кривая/=0 в области п0>0 совпадает с асимптотой (15). С увеличением РЕ>1 (рис. 1, б) кривая ^0 становится существенно нелинейной и имеет немонотонный вид. Ордината точки сшивки меняет знак />0, а при РЕ>>1 меняет знак и её абсцисса п°°<0: в физически реализуемой области становиться определенной

только /|=0. Переход от характерного вида кривых /={£=0/2=0} рис. 1, а, к виду кривых рис. 1, б, происходит при сочетании параметров диода и плазмы, для которых /о0*/?.

х 10

Рис. 1. Зависимости плотности ионного тока от плотности плазмы в оболочке у эмиттера для параметров диода: 1=1800 К, р=1 мм рт. ст., J=0,95Je) и плазмыы У[е[~0,26;+1,0]; F[ (эВ), р: а) 2,75, 0,23; б) 3,0, 5,87; в) 3,25, 147,42

Такое поведение кривых (рис. 1, а, б) характерно практически для любых значений параметров диода и плазмы. Но для некоторых параметров кривая /|=0 становится неоднозначной функцией относительно п0. Из рис. 1, в, видно, что для п0 существует область, в которой одной и той же плотности плазмы соответствуют разные значения /0 и УЕ. Такой вид кривой для эмиттерных граничных условий появляется при АЕе^0 и /Л4. Анизотропия ионного тока увеличивает область неоднозначности кривой граничного уравнения. Если АЕе=0, то кривая приобретает однозначный вид, подоб-

Пп.

ный кривым рис. 1, б, для всех значений /. Анизотропность в граничных условиях (АЕе^0, АЕ^0) возникает при учёте отличия функций распределения заряженных частиц от несдвинутых максвелловых функций, т. е. при уточнении односторонних потоков частиц и энергии из плазмы на эмиттер [1]. Анализ уравнения (1) показывает, что неоднозначность кривой /|=0 является следствием сочетания параметров плазмы, при котором члены /ге0 и А/ в предэкспоненциальном множителе становятся сравнимыми по величине.

Построенные зависимости #е0=#е0(п0) и dTe°/dx=dTe0/dx(n0) с помощью (3), (6)-(8) для кривых граничных условий рис. 1, в, также имеют неоднозначный вид (рис. 2). Аналогичные зависимости, построенные для зависимостей рис. 1, а, б, повторяют закономерности поведения /о=/0(п0), описанные выше. Сечение кривых, подобных кривым рис. 2, при фиксированных значениях п0 позволяет построить зависимости qe0=qe0(Te0) и

dTeв/dx=dTeо/dx(Teв).

а

х 106

П0, см'3 х 1011

б

Рис. 2. Зависимости плотности потока энергии (а) и производной температуры электронов от плотности плазмыы (б) в оболочке уэмиттера для параметров диода: Т=1800К, р=1ммрт. ст., J=0,95J[І, F[=3,25эВ, Р=147,42

В связи с ограничением УЕ> УЕи^ имеется и ограничение области определения кривой /1=0: п0<п0т„. При задании УЕ<УЕМ решения получаются нефи-зичными - п0<0. В области [п0°,п0т„! функция #е0=#е0(п0) вогнутая; имеет максимальное (положительное) значение, положение которого смещено к по0; при п^потах (У^Уат) Ъо=Ъо(по) убывает и меняет знак с положительного на отрицательный.

При фиксированном значении ^ существует область, в которой двум разным состояниям параметров плазмы у эмиттера {п01,/01,УЕ1} и {п02,/1)2, УБ2} соответствует одно значение плотности энергии электронов.

Напротив, функция dTe0/dx=dTe°/dx(n0) в области [п00,п0тах] вогнутая; имеет минимальное (отрицательное) значение, положение которого также смещено к по0; при по^потах (Уе^-Уеш) функция возрастает и меняет знак с отрицательного на положительный.

Важную роль в понимании физических процессов в термоэмиссионном диоде играет состояние термодинамического равновесия плазмы [1, 2]. Исследования показали, что модель граничных условий у эмиттера (1)-(8) с хорошей степенью точности описывает условие термодинамического равновесия. Для Teо= Tо= TeE= TE, /=/я=/о=0, АЕе=Ая=0 расчетное значение равновесной плотности плазмы

т(0) т<0)

_______^Ее ^Ее_______ у _у =1/4

2— /т1 \— /т1 Л , 'Ее /Е; 1/4 УЕеУЕ1е ^е (ТЕ (ТЕ )

совпадает с плотностью Саха [2].

В изучаемой модели (1)-(8) имеется ограничение плотности тока диода /</Ее0). Нарушение ограничения приводит к нефизичным решениям СЛАУ (18). При учете нормального эффекта Шоттки ограничение записывается /</ЕБ). Указанный эффект наиболее сильно выражен для кривых, изображенных нарис. 1, а: У?=-0,26 В и п0~1013см-3, отношение /ЕБ//Б0)~1,04, изменение работы выхода эмиттера А^Б~-0,005 эВ и напряженность электрического поля у эмиттера Е~230 В/см. При увеличении плотности плазмы роль данного эффекта увеличивается. Так, например, для УЕ=-0,8 В и п0=7-1014 см-3: /Б//Б0)=1,2, А/?=-0,03 эВ, Е=7000 В/см.

Анализ координат точек сшивки (11), (12), а также (13), (14) и их изменений при вариации параметров диода и плазмы является удобным способом оценки вида и изменения положения кривых граничных условий на фазовых плоскостях, подобных (п,/).

При /оо>/Е0) вид кривой граничного уравнения /1=0 из монотонного превращается в немонотонный. При значениях параметра компенсации РЕ~10 для достижения кривой граничного условия асимптоты достаточно величин У^^к/Б/е. При этом участок кривой /1=0 от точки сшивки до асимптоты может быть грубо аппроксимирован вертикальной или наклонной прямой.

Из анализа рис. 1, а, б, видно, что увеличение ^ сдвигает кривые граничных условий влево, т. е. уменьшает, согласно (11), п00, т. к. абсцисса точки сшивки обратно пропорциональна -е(Те0) (^/л/Го). Одновременно с этим ордината точки сшивки /0, согласно (12), увеличивается, т. е. происходит движение вверх вдоль оси о/0. Аналогичным образом проводится оценка изменения положения кривых граничных условий по координатам точек сшивки (11)—(14) при вариации других параметров диода и плазмы.

Выводы

1. Аналитические и численные исследования модели монотонных плазменных граничных условий на плоскости плотность плазмы-ионный ток позволили выявить три характерных вида кривых: монотонные, немонотонные и неоднозначные. Последний вид кривой обусловлен в основном учетом анизотропии плотности электронного тока. Кривые граничных условий у эмиттера представляют суперпозицию всех трех родов краевых условий.

2. Предложена методика анализа типа кривых граничных условий у эмиттера и их изменение при

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стаханов И.П., Степанов А.С., Пащенко В.П. и др. Плазменное термоэмиссионное преобразование энергии. - М.: Ато-миздат, 1968. - 392 с.

2. Бакшт Ф.Г., Дюжев ГА., Марцинковский А.М. и др. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма / под ред. Б.Я. Мойжеса и ГЕ. Пикуса. - М.: Наука, 1973. -480 с.

3. Hansen L.K. Ion current and Shottky effects in thermionic diodes // J. Appl. Phys. - 1967. - V. 38. - № 5. - P. 4345-4350.

4. McCandless R.J., Wilkins D.R., Derby S.L. Theory of thermionic converter volume phenomena // IEEE Conf. Record of 1969 Thermion. Convers. Spes. Conf. - Carmel, California (USA), 1969. -P. 163-169.

5. Бакшт Ф.Г., Юрьев В.Г Приэлектродные явления в низкотемпературной плазме (Обзор) // Журнал технической физики. -1979. - Т. 49. - Вып. 5. - С. 905-944.

6. Сидельников В.Н. О роли эмиссии электронов с коллектора ТЭП // Журнал технической физики. - 1983. - Вып. 2. -С. 385-387.

вариации параметров диода и плазмы, использующая координаты точек сшивки этих условий.

3. Показано, что значения ускоряющего приэлек-тродного потенциального барьера ограничены снизу температурой электронов плазмы, вследствие этого имеются ограничения и для других параметров плазмы.

4. Зависимости плотности энергии электронов и пространственной производной электронной температуры у эмиттера от плотности плазмы имеют экстремальный характер для ускоряющего приэлектродного потенциального барьера.

7. Стаханов И.П., Черковец В.Е. Физика термоэмиссионного преобразователя. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 208 с.

8. Дейнеженко А.Л., Зимин В.П. Численное моделирование нестационарных вольтамперных характеристик плазменного диода в дуговом режиме // Изв. СО АН СССР. Сер. Технических наук. - 1987. - Вып. 6. - С. 84-87.

9. Зимин В.П. Алгоритм расчета вольтамперных характеристик термоэмиссионного преобразователя с постоянной температурой электронов / Ред. журн. «Известия вузов. Физика». -Томск, 1984. - №7. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.1984, № 1571-84.

10. Зимин В.П. Изображение и анализ граничных условий для уравнения теплопроводности на фазовых плоскостях // Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 318. - № 4. - С. 29-33.

11. Зимин В.П. Развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 17-21.

Поступила 19.02.2013 г.