Научная статья на тему 'Исследование особенностей плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода'

Исследование особенностей плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
95
12
Поделиться
Ключевые слова
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ / КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ / НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА / ТЕРМОЭМИССИОННЫЙ ДИОД / BOUNDARY CONDITIONS / BOUNDARY VALUE PROBLEM / PHASE PLANE METHOD / LOW-TEMPERATURE PLASMA / THERMIONIC DIODE

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Зимин Вячеслав Прокопьевич

Анализируется модель монотонных плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода на плоскостях плотность плазмы–ионный ток, плотность плазмы–плотность энергии электронов и других. Исследованы особенности изменения кривых граничных условий, и классифицировано их характерное поведение. Предложен способ оценки характерного вида граничных условий и их изменения при вариации параметров диода и плазмы.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Зимин Вячеслав Прокопьевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The author has analyzed the model of the monotonous plasma boundary conditions for emitter of thermionic diode on the planes plasma density–ion current, plasma density–electron energy density and the others. The features of changing the boundary conditions curves were studied; their typical behavior was classified. The article introduces the method for estimating the typical kind of boundary conditions and their change at variation of a diode and plasma parameters.

Текст научной работы на тему «Исследование особенностей плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода»

УДК 519.63

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ПЛАЗМЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ У ЭМИТТЕРА ТЕРМОЭМИССИОННОГО ДИОДА

В.П. Зимин

Томский политехнический университет E-mail: zimin@tpu.ru

Анализируется модель монотонных плазменных граничных условий у эмиттера термоэмиссионного диода на плоскостях плотность плазмьгионный ток, плотность плазмы-плотность энергии электронов и других. Исследованы особенности изменения кривых граничных условий, и классифицировано их характерное поведение. Предложен способ оценки характерного вида граничных условий и их изменения при вариации параметров диода и плазмы.

Ключевые слова:

Граничные условия, краевая задача, метод фазовой плоскости, низкотемпературная плазма, термоэмиссионный диод.

Key words:

Boundary conditions, boundary value problem, phase plane method, low-temperature plasma, thermionic diode.

Введение

Приэлектродные области в цезиевом разряде термоэмиссионного диода существенным образом влияют на его вольтамперные характеристики и параметры плазмы в межэлектродном зазоре (МЭЗ). Гидродинамические модели плазмы диода, основанные на моментах функций распределений её частиц - это краевые задачи, граничные условия которых в приэлектродных слоях записываются в виде балансовых соотношений для потоков заряженных частиц и энергии [1, 2]. Необходимость исследования поведения экспериментальных параметров плазмы у электродов, трудности сравнения большого количества модельных приближений граничных условий [1-7], создание устойчивых алгоритмов поиска решений нелинейных краевых задач, изучение нестационарных вольтамперных характеристик диода [8] требуют разработки новых методов анализа моделей граничных условий. В [9-11] предложено анализировать области возможных решений краевых задач, включая сложные граничные условия, на плоскостях плотность плаз-мы-ионный ток, плотность плазмы-плотность энергии электронного газа, температура электро-нов-плотность энергии электронного газа и др.

В настоящей работе проведены аналитические и численные исследования модели монотонных граничных условий у эмиттера. Выявлены её асимптотическое поведение и характерные изменения при вариации параметров термоэмиссионного диода и плазмы.

Модель монотонных плазменных

граничных условий у эмиттера и её анализ

Модель монотонных граничных условий (виртуальный электрод отсутствует) в слое у эмиттера для плотности ионного /0, электронного /е0тока и плотности энергии электронов де0 для ускоряющего (УЕ<0) приэлектродного потенциального барьера записывается [4, 9]:

J _ J(E ) - Г J - A

Je0~ J Ee Jre0 A

eVE

KkTe0 J

(1)

J o- 4? exp

kT

Г Jri0 AEiJi 0 ]>

(2)

0J

1 - AEe eXP

f £Ve ^

V kTe0 J J

- J (E)

2kTr

-V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- Jre 0eXP

r eVE л

V kTe0 J

2kTr

- V

, (3)

для тормозящего (V>0) приэлектродного потенциального барьера:

j _ j(0) exp Je0 ~ J Ee exp

J _ J(0) - Г J - A

Ji0 _ J Ei [Jri0 A

( .iVEл

V kTeE J

Г Jre0 AEeJe0 ], (4)

AEi Ja ]exP

.eVE

kT0

0J

(1 - AEe) q 0 _ JE°)exP

eV^

kT

2kT„

- Jre

2kTr

eE J

J _ Je0 + Ji0 ,

(5)

, (6)

(7)

где 1го=ГЕ,ещ-е(То), 1гЯ=увеПо-1(Го) - плотности хаотического тока электронов и ионов из плазмы на эмиттер; е - заряд электрона; уЕе, Ае, ув, АЕ! - коэффициенты пропорциональности для хаотического тока и анизотропии потоков заряженных частиц и энергии; п0 - плотностьплазмы у эмиттера; -е(Тео)=л/(8кГео)/(лт?е), —(70)=^(8^Т0>/(л:ллг) - тепловые скорости заряженных частиц; к - постоянная Больцмана; те, т! - массы заряженных частиц; / -плотность тока диода; /), 1$ - эмиссионные электронный и ионный токи с учетом нормального эффекта Шоттки [4]; Те0, Т0 - температуры электронов плазмы и ионов (атомов) цезия; ТЕ - температура электронов эмиттера; ТЕ - температура эмиттера. Хорошим приближением считается Т0= ТеЕ= ТЕ [1, 2]. Нижний индекс ноль означает, что значения параметров плазмы берутся у эмиттера для пространственной переменной х=0. Эмиссионные

электронный и ионный токи эмиттера для напряженности электрического поля у эмиттера, тормозящего выходящие электроны (Е=0), определяются как

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4? = АГ£2ехр(-^£ / ^),

(0) _ еЯгпаоУ (то)

(0) ^Е/ _

[ехР(-(^' - ^Е)/ кТЕ)]>

РЕ _

К (Те )

4?^ V' (те )’

#е0 Лг0

аТео - ^т; аХ аХ

А„

(8)

- /(Е)

‘УЕг

Jre0 АЕе (J + *А'0 )

+ Лго _ 0, (9)

/2 (п0 , ^'0 ) - •Ао 4г) + [ Лй АЕг"Л) ] Х

Л-е0 + (1 АЕе )(J + Л'0 )

J

Ее ) (0) Ее

Т^е/Т.

_ 0.

(10)

При фиксированных параметрах диода ТЕ, /Е, р&, / и фиксированных параметрах плазмы Те0, ТеЕ, Т0 получили функции (9) и (10), которые в неяв-

ном виде задают связь между плотностью плазмы и ионным током и позволяют изучить поведение этих функций и их представление на плоскости («,/■).

Уравнения (9) и (10) имеют точку сшивки (ГЕ=0) с координатами

И°° _

(1 - ай.) J^ - (1 - лЕе) .С - (1 - Ае' )(1 - А) J

(1 - Л^Ее^е (Те 0) - (1 - АЕе )У£,.еЦ (Т0)

где &а, & - статистические веса атома и иона цезия; ¥Е -работа выхода электрода в парах цезия; ^=3,89 эВ -энергия ионизации цезия; А=120,2 А/(К2см2) - теоретическая эмиссионная постоянная; РЕ - параметр компенсации заряда у эмиттера.

Плотность атомов па0 цезия для слабоионизо-ванной плазмы определяется из уравнения состояния у эмиттера

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

кТ0Па0 _ -Рея ,

где ра - давление насыщенных паров в резервуаре с цезием.

Из равенства плотности энергии электронов в плазме у эмиттера

ате

г0 _ 40 -УЕ,епоЧ (т0) 10 1 -А, .

,(11)

(12)

Подставляя (11), (12) в (6) и (8), используя (4) при ГЕ=0, получим выражения для ординат точек сшивки для кривых на плоскостях (Те,де) и (Те^Т/^)

0

4е0 _

J:° (^ТЕ/е - ЬТе %)+(1 - Ае; )(J+Ji 0) 0 /е

1 - Аг

<, -де00 + Ре0оО/+-О кТ 0/е

йХ Яе00

(13)

(14)

и плотности энергии электронов через слой у эмиттера (3) или (6) получим выражение для пространственной производной температуры электронов плазмы у эмиттера

_ -^е 0 + Ре 0 ^е 0 кТе 0 /е

где Ае0 - коэффициент теплопроводности электронного газа и множитель Р^, определенные в [2]. Для аналитических исследований модели

(1)-(8) выполним ряд преобразований и получим некоторые соотношения для параметров диода и параметров плазмы у эмиттера. Каждая пара граничных условий (1)-(2) и (4)-(5) с учетом (7) преобразуется следующим образом. Выражается из уравнения баланса для электронного тока, например из (1), экспонента и подставляется в уравнение

(2) баланса для ионного тока, и учитывается выражение для /. Окончательно получаем уравнения

/ (п0, "Л’0) - (1 - ае. ) Jя -

JEE} - (J+Jiо) 1Тео/То

Каждая из функций у={/1=01/2=0} имеет ограниченную область определения: ^(«0,/0)=0-{и>«§,/0</0}; /2(и0Л)=0-{и<и0Л>/}. Кроме этого, на область определения функций накладывается физическое ограничение п0>0.

Анализ уравнений (9) и (10) позволяет выявить особенности асимптотического поведения кривых граничных уравнений для различной полярности УЕ. При больших значениях ГЕ<0 ионный ток /0, согласно (9), стремится к асимптоте

т;о

(15)

10 05^1

(1 - АЕ1)

вследствие этого имеется ограничение на величину

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V,

Подставляя выражение (15) в выражение для ускоряющего потенциального барьера, полученного из (1)

V кТео

_—— 1п

4е - (J+^о)

•Л-е0 - АЕе (+ 4о )

и выполняя переход и0^да, получим предельное значение

К _- ^Тео1п

КЕ Пш _ 1П

(1 АЕг )УЕеУе (Те0 )

7еЛ- (То)

+ А

(16)

При больших значениях УЕ>0 плотность ионного тока /0, согласно (10),

_ т(0) -- ^ ,

/г00552 _ •'Ег . (17)

Так как J!~-dn/dx, то асимптотическая зависимость (15) представляет собой граничное условие III рода, (17) - граничное условие II рода, а в промежуточных точках кривой /={/1=0/,=0} - суперпозицию всех трех родов.

Х_0

Для получения точек кривой /={/1=0/,=0} и затем вычисления выражений (3), (6), (8) необходимо выполнять численные расчеты. Задаются Те0, Т0 и УЕ, с учетом (16), при фиксированных параметрах диода ТЕ, ¥е, ра, /, тогда любая точка кривой /=/=0/г=0} из области её определения вычисляется путем решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно п0 и /0

_ ЬЕ/

1°21П0 + °22 •Ло _ Ь27'

(18)

где для 7=1, Гб<0

"п _ -УЕе^е (Тю ) ехР

АТ

Е1 ^

012 _ АЕе ехР

V АТео

LE1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

_ •/ - 4Е} - Ае^ ехР

Е1 — {гг \ „Е1

е0

-1,

V АТео

а21

_ УЕгеУг (70 X °22 _ АЕг 1,

Ь2Е1 _ - 4Р ехР

АТ

для 7=2, Гб>0

°1 1 _ УЕееуе (Те0), °1 2 _ АЕе 1,

ЬЕ2 _ J - JІP)exp

аЕ12 _-УЕге^ (Т0)ехР

АТе

еЕ у (

Е2 у

°2 2 _ АЕг ехР

еК*

АТ

-1,

еУк АТо у

52е2 _-4г>.

о У

Контроль решения СЛАУ осуществлялся по невязке функций /=/1=0/,=0}. Для учёта эффекта Шоттки организовывался итерационный цикл, окончание которого происходило при достижении заданной относительной погрешности \А/(Б)\//(Б).

Результаты численных исследований и их обсуждение

На рис. 1 представлены характерные кривые граничных условий/={/1=0,^=0} у эмиттера для различных значений работ выхода (различных РЕ). Сплошными кружками на кривых обозначены точки сшивки с координатами (11), (12). При недоком-пенсации РЕ<1 (рис. 1, а) кривая /1=0 практически совпадает с асимптотой и также виден выход /2=0 на асимптоту. При РЕ<<1 вся кривая/=0 в области п0>0 совпадает с асимптотой (15). С увеличением РЕ>1 (рис. 1, б) кривая ^0 становится существенно нелинейной и имеет немонотонный вид. Ордината точки сшивки меняет знак />0, а при РЕ>>1 меняет знак и её абсцисса п°°<0: в физически реализуемой области становиться определенной

только /|=0. Переход от характерного вида кривых /={£=0/2=0} рис. 1, а, к виду кривых рис. 1, б, происходит при сочетании параметров диода и плазмы, для которых /о0*/?.

х 10

Рис. 1. Зависимости плотности ионного тока от плотности плазмы в оболочке у эмиттера для параметров диода: 1=1800 К, р=1 мм рт. ст., J=0,95Je) и плазмыы У[е[~0,26;+1,0]; F[ (эВ), р: а) 2,75, 0,23; б) 3,0, 5,87; в) 3,25, 147,42

Такое поведение кривых (рис. 1, а, б) характерно практически для любых значений параметров диода и плазмы. Но для некоторых параметров кривая /|=0 становится неоднозначной функцией относительно п0. Из рис. 1, в, видно, что для п0 существует область, в которой одной и той же плотности плазмы соответствуют разные значения /0 и УЕ. Такой вид кривой для эмиттерных граничных условий появляется при АЕе^0 и /Л4. Анизотропия ионного тока увеличивает область неоднозначности кривой граничного уравнения. Если АЕе=0, то кривая приобретает однозначный вид, подоб-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пп.

ный кривым рис. 1, б, для всех значений /. Анизотропность в граничных условиях (АЕе^0, АЕ^0) возникает при учёте отличия функций распределения заряженных частиц от несдвинутых максвелловых функций, т. е. при уточнении односторонних потоков частиц и энергии из плазмы на эмиттер [1]. Анализ уравнения (1) показывает, что неоднозначность кривой /|=0 является следствием сочетания параметров плазмы, при котором члены /ге0 и А/ в предэкспоненциальном множителе становятся сравнимыми по величине.

Построенные зависимости #е0=#е0(п0) и dTe°/dx=dTe0/dx(n0) с помощью (3), (6)-(8) для кривых граничных условий рис. 1, в, также имеют неоднозначный вид (рис. 2). Аналогичные зависимости, построенные для зависимостей рис. 1, а, б, повторяют закономерности поведения /о=/0(п0), описанные выше. Сечение кривых, подобных кривым рис. 2, при фиксированных значениях п0 позволяет построить зависимости qe0=qe0(Te0) и

dTeв/dx=dTeо/dx(Teв).

а

х 106

П0, см'3 х 1011

б

Рис. 2. Зависимости плотности потока энергии (а) и производной температуры электронов от плотности плазмыы (б) в оболочке уэмиттера для параметров диода: Т=1800К, р=1ммрт. ст., J=0,95J[І, F[=3,25эВ, Р=147,42

В связи с ограничением УЕ> УЕи^ имеется и ограничение области определения кривой /1=0: п0<п0т„. При задании УЕ<УЕМ решения получаются нефи-зичными - п0<0. В области [п0°,п0т„! функция #е0=#е0(п0) вогнутая; имеет максимальное (положительное) значение, положение которого смещено к по0; при п^потах (У^Уат) Ъо=Ъо(по) убывает и меняет знак с положительного на отрицательный.

При фиксированном значении ^ существует область, в которой двум разным состояниям параметров плазмы у эмиттера {п01,/01,УЕ1} и {п02,/1)2, УБ2} соответствует одно значение плотности энергии электронов.

Напротив, функция dTe0/dx=dTe°/dx(n0) в области [п00,п0тах] вогнутая; имеет минимальное (отрицательное) значение, положение которого также смещено к по0; при по^потах (Уе^-Уеш) функция возрастает и меняет знак с отрицательного на положительный.

Важную роль в понимании физических процессов в термоэмиссионном диоде играет состояние термодинамического равновесия плазмы [1, 2]. Исследования показали, что модель граничных условий у эмиттера (1)-(8) с хорошей степенью точности описывает условие термодинамического равновесия. Для Teо= Tо= TeE= TE, /=/я=/о=0, АЕе=Ая=0 расчетное значение равновесной плотности плазмы

т(0) т<0)

_______^Ее ^Ее_______ у _у =1/4

2— /т1 \— /т1 Л , 'Ее /Е; 1/4 УЕеУЕ1е ^е (ТЕ (ТЕ )

совпадает с плотностью Саха [2].

В изучаемой модели (1)-(8) имеется ограничение плотности тока диода /</Ее0). Нарушение ограничения приводит к нефизичным решениям СЛАУ (18). При учете нормального эффекта Шоттки ограничение записывается /</ЕБ). Указанный эффект наиболее сильно выражен для кривых, изображенных нарис. 1, а: У?=-0,26 В и п0~1013см-3, отношение /ЕБ//Б0)~1,04, изменение работы выхода эмиттера А^Б~-0,005 эВ и напряженность электрического поля у эмиттера Е~230 В/см. При увеличении плотности плазмы роль данного эффекта увеличивается. Так, например, для УЕ=-0,8 В и п0=7-1014 см-3: /Б//Б0)=1,2, А/?=-0,03 эВ, Е=7000 В/см.

Анализ координат точек сшивки (11), (12), а также (13), (14) и их изменений при вариации параметров диода и плазмы является удобным способом оценки вида и изменения положения кривых граничных условий на фазовых плоскостях, подобных (п,/).

При /оо>/Е0) вид кривой граничного уравнения /1=0 из монотонного превращается в немонотонный. При значениях параметра компенсации РЕ~10 для достижения кривой граничного условия асимптоты достаточно величин У^^к/Б/е. При этом участок кривой /1=0 от точки сшивки до асимптоты может быть грубо аппроксимирован вертикальной или наклонной прямой.

Из анализа рис. 1, а, б, видно, что увеличение ^ сдвигает кривые граничных условий влево, т. е. уменьшает, согласно (11), п00, т. к. абсцисса точки сшивки обратно пропорциональна -е(Те0) (^/л/Го). Одновременно с этим ордината точки сшивки /0, согласно (12), увеличивается, т. е. происходит движение вверх вдоль оси о/0. Аналогичным образом проводится оценка изменения положения кривых граничных условий по координатам точек сшивки (11)—(14) при вариации других параметров диода и плазмы.

Выводы

1. Аналитические и численные исследования модели монотонных плазменных граничных условий на плоскости плотность плазмы-ионный ток позволили выявить три характерных вида кривых: монотонные, немонотонные и неоднозначные. Последний вид кривой обусловлен в основном учетом анизотропии плотности электронного тока. Кривые граничных условий у эмиттера представляют суперпозицию всех трех родов краевых условий.

2. Предложена методика анализа типа кривых граничных условий у эмиттера и их изменение при

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стаханов И.П., Степанов А.С., Пащенко В.П. и др. Плазменное термоэмиссионное преобразование энергии. - М.: Ато-миздат, 1968. - 392 с.

2. Бакшт Ф.Г., Дюжев ГА., Марцинковский А.М. и др. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма / под ред. Б.Я. Мойжеса и ГЕ. Пикуса. - М.: Наука, 1973. -480 с.

3. Hansen L.K. Ion current and Shottky effects in thermionic diodes // J. Appl. Phys. - 1967. - V. 38. - № 5. - P. 4345-4350.

4. McCandless R.J., Wilkins D.R., Derby S.L. Theory of thermionic converter volume phenomena // IEEE Conf. Record of 1969 Thermion. Convers. Spes. Conf. - Carmel, California (USA), 1969. -P. 163-169.

5. Бакшт Ф.Г., Юрьев В.Г Приэлектродные явления в низкотемпературной плазме (Обзор) // Журнал технической физики. -1979. - Т. 49. - Вып. 5. - С. 905-944.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Сидельников В.Н. О роли эмиссии электронов с коллектора ТЭП // Журнал технической физики. - 1983. - Вып. 2. -С. 385-387.

вариации параметров диода и плазмы, использующая координаты точек сшивки этих условий.

3. Показано, что значения ускоряющего приэлек-тродного потенциального барьера ограничены снизу температурой электронов плазмы, вследствие этого имеются ограничения и для других параметров плазмы.

4. Зависимости плотности энергии электронов и пространственной производной электронной температуры у эмиттера от плотности плазмы имеют экстремальный характер для ускоряющего приэлектродного потенциального барьера.

7. Стаханов И.П., Черковец В.Е. Физика термоэмиссионного преобразователя. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 208 с.

8. Дейнеженко А.Л., Зимин В.П. Численное моделирование нестационарных вольтамперных характеристик плазменного диода в дуговом режиме // Изв. СО АН СССР. Сер. Технических наук. - 1987. - Вып. 6. - С. 84-87.

9. Зимин В.П. Алгоритм расчета вольтамперных характеристик термоэмиссионного преобразователя с постоянной температурой электронов / Ред. журн. «Известия вузов. Физика». -Томск, 1984. - №7. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.1984, № 1571-84.

10. Зимин В.П. Изображение и анализ граничных условий для уравнения теплопроводности на фазовых плоскостях // Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 318. - № 4. - С. 29-33.

11. Зимин В.П. Развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 17-21.

Поступила 19.02.2013 г.