Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Cloud of Science. 2017. T. 4. № 3 http:/ / cloudofscience.ru

Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок

С. В. Поршнев, И. А. Корелин

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 32

e-mail: s.v.porshnev@urfu.ru, korelin.ivan@gmail.com

Аннотация. Изложены результаты исследования математической модели нестационарной системы массового обслуживания (НСМО). Для НСМО, у которой зависимости интенсивностей поступления заявок на входе от времени X(t) подобны зависимостям числа посетителей футбольных матчей, проходящих через контрольно-пропускные системы, вычислена зависимость числа обслуженных заявок от времени. Показано, что величина, характеризующая долю обслуженных заявок от общего числа поступивших заявок на момент начала мероприятия, описывается детерминированной функцией зависящих от средней интенсивности обслуживания заявок ц и максимального значения функции МО-Ключевые слова: дискретно-событийное моделирование, информационные контрольно-пропускные системы, нестационарные системы массового обслуживания.

1. Введение

Большинство известных аналитических решений задач, рассматриваемых в теории систем массового обслуживания (СМО), получено в предположении о стационарности изучаемых СМО, на вход которых поступает пуассоновский поток заявок [1], а также:

1. СМО с эрланговскими потоками заявок (СМО с ограниченным последействием [5]).

2. СМО с потоками заявок, представляющими собой Марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний [6].

3. СМО с потоками заявок, интенсивность которых представляет собой полумарковский процесс с дискретным пространством состояний, (МС-потоки или вложенные Марковские цепочки) [2].

Аналитических решений для СМО, на вход которых поступает случайный поток заявок с интенсивностью А,, зависящей от времени /. = /.(/). существенно меньше. В то же время к данному классу относится большое число реально существующих СМО, например турникеты, обеспечивающие проходы на объекты проведения массовых мероприятий [4], устройства контроля пассажиров в аэропортах и на вокзалах и т. д. В этой связи исследования данного класса СМО, результаты которых могут быть использованы в качестве научного обоснования принимаемых конструкторских решений на этапе проектирования и модернизации данного типа СМО, являются актуальной задачей, как с научной, так и с практической точек зрения. Однако, например, вопрос о возможности описания характеристик НСМО, выбранных в качестве объекта исследований, с помощью детерминированных функций, связывающих измеряемые на практике характеристики потока заявок (посетителей) и среднюю скорость работы обслуживающего устройства, остается открытым.

В статье изложены результаты исследования с помощью статистического моделирования НСМО, анализ которых позволил предложить аналитические формулы, описывающие зависимости характеристик СМО от максимальной интенсивности потока заявок X = X(t) и средней интенсивности обслуживания заявки ц.

2. Математическая модель нестационарной системы массового обслуживания

Структурная схема модели нестационарной одноканальной СМО с неограниченной очередью представлена на рис. 1.

Рисунок 1. Схема модели нестационарной СМО

Из рис. 1 видно, что в данной модели предполагается, что на вход СМО поступает поток заявок с интенсивностью Х = Х(^, изменяющейся во времени. Скорость обслуживания поступающих заявок определяется интенсивностью обслуживания ц. которая представляет собой случайную величину с плотностью вероятности

Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок

Р ® =

2

9(М И -1) 2

0, при 1, (5-1), при 1 <£<М И,

(^-10), при М [£]<£< 10,

(1)

9(М [5] -10)

0, при £>10,

где 4 е [1,10]. Используемая плотность распределения (1) обеспечивает, что це (6, 60).

Рисунок 2. Зависимости Х(() нестационарной СМО (начало матча г = 0)

Выбор зависимости основан на результатах статистического анализа реальных данных, проведенного в [4]. Типичная зависимость А, (г), полученная во время

проведения футбольного матча между футбольными клубами «Урал» и «Анжи» на Центральном стадионе (ЦС) г. Екатеринбурга 27.09.2012, приведена на рис. 2.

Из рис. 2 видно, что доступ на ЦС был открыт за 2 ч. до начала футбольного матча. В рассматриваемой НСМО после открытия турникетов в течение времени Т1 = 120 мин интенсивность поступления заявок нарастала от 0 до Яшах = 22 чел./мин. После начала матча в течение временного интервала Т2 = 30 мин интенсивность уменьшилась от Ашах = 22 до 0 чел./мин. Таким образом, общее число вошедших на ЦС через один турникет

30

| А (г)йг (2)

-120

составило 1700 чел.

Ооий о/Баепсе. 2017. Т. 4. № 3

В связи с тем, что основная цель проведенного исследования состояла в изучении возможности описания нестационарной СМО с помощью детерминированных функций, при моделировании был использован кусочно-линейный закон зависимости Х(г). На временном интервале Тх =[120; 0] минут /.(/) возрастала по линейному закону от 0 до далее на временном интервале Тп = [0; 30] минут линейно

убывала от А,тах до 0. При этом А,тах выбиралось таким образом, что общее число вошедших составляло 1700 чел. При проведении статистических испытаний для выбранного закона (?) использовалась кусочно-постоянная аппроксима-

ция (рис. 2).

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 *, МИН.

Рисунок 3. Зависимости интенсивности поступления от времени при различных значениях Х„мт и ^

При этом длительность интервала аппроксимации выбиралась, следуя [3], равной 30 с, а значение интенсивности на соответствующем интервале — среднему значению интенсивности на данном интервале.

3. Методика проведения вычислительных экспериментов

Блок-схема алгоритма, использовавшегося при проведении статистического моделирования, подробно описана в [3].

В ходе проведенных испытаний параметры Тх, А,шах при фиксированном параметре Т, = [0; 30] мин варьировались таким образом, что общее число заявок N (посетителей) оставалось равным 1700 (рис. 3). В связи с тем, что при фиксированных N и Т-, значения параметров Т}, А,шах оказываются линейно зависящими друг от друга:

^х=2АГ/(Т1+Т2), (3)

Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок

достаточно варьировать один из параметров, например, 7J.

В проведенных исследованиях параметр 7J варьировался в диапазоне [-310;-87] мин, соответственно, значение >,m;ix варьировалось в диапазоне [10; 29] чел/мин (графики 1 и 2 на рис. 3 соответственно). Анализ характеристик, используемых для описания особенностей работы данных НСМО [3], показал, что для их количественного описания можно, например, использовать зависимость числа вошедших на стадион посетителей (в терминах СМО — числа обслуженных заявок) от времени:

где tk =Тг +(Т2 —Тг)(к — \)/к, k = l,K, К — количество интервалов кусочно-линейной аппроксимации X(t). Так как при моделировании использовался метод Монте-Карло, в качестве значений функции N = N(kmax, ц, tk), принимались их средние по ансамблю независимых реализаций значения:

____1 m _

= (4)

где m — число независимых испытаний в методе Монте-Карло. 4. Анализ экспериментальных результатов

Рассмотрим результаты расчетов функции N(l\, Т2, kmix, ц, tk), в которых число интервалов кусочно-линейной аппроксимации зависимости '/-(>) К равнялось 680, число независимых статистических испытаний m — 1000.

Зависимости N(Tt. Т2, /,,„„,. ц. tk) для Ашах е[10; 29] чел./мин,

Тх е[-310; 87] мин, 73, =30 мин, ц, е {10,12,15, 20}чел./мин представлены на рис. 4.

Из рис. 4 видно, что:

1. В выбранном диапазоне значений параметров при любом их сочетании зависимости N{TX, 7\, Х1ш/л, ц, tk) монотонно возрастают от нуля до 1700 чел. При этом в диапазоне значений параметров, приведенных в табл. 1, обслуживание всех заявок заканчивается ранее момента времени = 30 мин, а для диапазонов значений параметров, приведенных в табл. 2, обслуживание заявок продолжается после окончания поступления заявок в очередь.

2. Среднее число заявок, обслуженных к моменту t = 0, есть функция

N0 = /V(/-,„„,, ц.), используя которую можно вычислить коэффициент, характеризу-

ющий долю обслуженных заявок на момент времени t = 0 мин от общего числа обслуженных заявок (1700):

Ро=М)/1700, (5)

физический смысл которого применительно к футбольным стадионам — наполненность стадиона на момент начала футбольного матча.

4.1. д = 20

4.2. Д = 15

-300 -200 -100 0 мин. 4.3. Д = 12

-300 -200 -100 0 мин. 4.4. Д = 10

-300 -200 -100 0 мин.

-300 -200 -100 0 £ мин.

Рисунок 4. Зависимости N(Xm!¡yi. ц, Г) (начало матча ? = 0) для различных значений параметров ц

Таблица 1. Значения параметров, при которых обслуживание заявок заканчивается ранее Тп = 30 мин

ц. чел./мин 20 15 12 10

^,шх>ЧеЛ-/мИН [10, 20] [10, 19] [10, 17] [10, 16]

Таблица 2. Значения параметров, при которых обслуживание заявок продолжается после 7/ = 30 мин

|Х чел./мин 20 15 12 10

^,шх>ЧеЛ-/мИН [21,29] [20, 29] [18, 29] [17, 29]

Поверхность, задаваемая функцией Ыо(\1ЮХ, ц), представлена на рис. 5.

Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок

¡1, чел./мин. ю

А , чел./мин. max

Рисунок 5. График функции N0 (Xmax, ц)

Из рис. 5 видно, что зависимости Nо(Xmax, ц), Ро(Xmax, ц) могут быть аппроксимированы функциями вида:

F0 (A max, ГО = a0 + а1 A max + «2Р + " + ^ „^ + +a,X2 + a,X3 + aX2 й + a„X й2,

3 max 6 max I max~ 8 max~ '

у которых соответствующие значения коэффициентов ai, i = 0,8, вычисленные следуя методу наименьших квадратов, представлены в табл. 3.

Таблица 3. Значения коэффициентов функциональных зависимостей И) и Р,(А,МО

max, Ц) ^max, Ц)

a 1570±110 93±6

ax 41±11 2.4±0.6

a2 -28±12 -1.7±0.7

a3 -5.8±0.5 -0.34±0.03

a4 4.1±0.7 0.24±0.04

a5 0.1±0.4 0.003±0.023

a6 0.106±0.008 0.0062±0.0004

a7 -0.061±0.011 -0.0036±0.0006

a8 -0.033±0.020 -0.0020±0.0011

Сечения функции N о( X max, ц) — зависимости, N о (X max, ц k = const), где k = 1,4, ц1 = 2о, ц2 = 15, ц3 = 12, ц4 = 1о, представлены на рис. 6.

Рисунок 6. Зависимости /V0(Xmax, ц = const)

Из рис. 6 видно, что:

1. При А,шах =10 чел./мин значения функции No(kmax, ц) оказываются одинаковыми для каждого из использованного значения ц.

2. При /,m;ix =15 чел./мин значения функций 10), N,,(Xmiix,2Q) отличаются друг от друга на 3.67%.

3. При А,шах=20 чел./мин значения функций 10), N,,(Xmir;2Q) отличаются друг от друга на 9.79%.

4. При А,шах =25 чел./мин значения функций, 10), /V,, (/,„„,, 20) отличаются друг от друга на 12.86%.

Таким образом, в рассмотренном диапазоне значений А,тах двукратное увеличение средней скорости обслуживающего устройства и, соответственно, пропорциональное увеличение его стоимости обеспечит увеличение наполняемости стадиона не более чем на 12.86%.

5. Заключение

Результаты проведенного исследования позволяют сделать вывод о возможности описания выбранной характеристики НСМО изученного типа (доли числа обслуженных заявок на выбранный момент времени от общего числа обслуженных заявок) с помощью полинома, зависящего от двух переменных: максимальной интенсивности поступления заявок и средней интенсивности их обслуживания. Найден-

Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслуживания в разрезе числа обслуженных заявок

ная зависимость может быть использована на этапе проектирования информационных контрольно-пропускных систем (ИКПС) объектов проведения массовых мероприятий при выборе технических характеристик турникетов ИКПС, освобождая тем самым проектировщика от необходимости проведения имитационного моделирования НСМО. Анализ других количественных характеристик изученной НСМО является предметом последующих публикаций.

Литература

[1] Гнеденко Б. В., Коваленко II. И. Введение в теорию массового обслуживания. — М. : Наука, 1966. 432 с.

[2] Kendall D. G. Stochastic process occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded markov chain // The Annals of Mathematical Statistics. 1953. Vol. 24. No. 3. P. 338.

[3] Поршнев С. В., Корелин H.A., Якоб Д. А. Исследование особенностей математических моделей нестационарных систем массового обслуживания // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии. Материалы 26-й Международной Крымской конференции (КрыМиКо'2016). В 13 т. — М„ Минск, Севастополь, 2016. Т. 4.

[4] Поршнев С. В., Якоб Д. А. Исследование особенностей функционирования информационных контрольно-пропускных систем объектов проведения массовых мероприятий. — Екатеринбург : Институт экономики УрО РАН , 2014. 216 с.

[5] Поршнев С. В. Математические модели информационных потоков в высокоскоростных магистральных интернет-каналах. — М. : Горячая линия — Телеком, 2015. 232 с.

[6] Prabhu N. U., Zhu Yixin. Markov-modulated queueing systems // Queueing systems. 1989. Vol. 5. No. 1-3. P. 215-246.

Авторы:

Сергей Владимирович Поршнев — доктор технических наук, профессор, департамент ИТ и автоматики. Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Пеан Андреевич Корелин — аспирант, старший преподаватель, департамент ИТ и автоматики, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Non-stationary single-channel queuing system features research in context of number of served queries

S. V. Porshnev, I. A. Korelin

Ural Federal University Mir a St., 32, Ekaterinburg, Russia, 620002

e-mail, s.v.porshnev(Wurfu.ru, korelin.ivan(Wgmail.com

Abstract. This work devoted to researching of mathematical model of non-stationary queuing system (NQS). Arrival rate in studied NQS is similar to rate which observed in practice in a real access control system of objects of mass events. Dependence of number of serviced requests from Lime was calculated. It is proven that the ratio value of served requests at the beginning of event to all served requests described by a deterministic function, depending on the average service rate and the maximum value of the arrival rate function.

Key words: discrete-event modeling, information access control systems, non-stationary queuing systems.

References

[1] Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. (1966) Vvedeniye v teoriyu massovogo obsluzhivaniya. Moscow, Nauka, 432 p. [InRus]

[2] Kendall D. G. (1953) The Annals of Mathematical Statistics, 24(3):338.

[3] Porshnev S. V.. Korelin I. A., Yakob D.A. (2016) Issledovaniye osobennostey matematich-eskikli modeley nestatsionarnykh sistem massovogo obsluzhivaniya. In book: SVCH-tekhnika i telekommunikatsionnyye tekhnologii. Materialy 26-y Mezhdunarodnoy Krymskoy konfer-entsii (KryMiKo'2016). In 13 parts. Moscow, Minsk, Sevastopol', Vol. 4. [InRus]

[4] Porshnev S.V., Yakob D.A. (2014) Issledovaniye osobennostey funktsionirovaniya infor-matsionnykhkontrol'no-propusknykh sistem ob"yektov provedeniya massovykh meropriyatiy. Yekaterinburg, Institut ekonomiki UrO RAN. 216 p. [In Rus]

[5] Porshnev S. V. (2015) Matematicheskiye modeli infonnatsionnykh potokov v vysokoskorost-nykh magistral'nykh internet-kanalakh. Moscow, Goryachaya liniya — Telekom. 232 p. [In Rus]

[6] Prabhu N. U., Zhu Yixin. (1989) Queueing systems, 5(l-3):215-246. [InRus]