CC BY
30
УДК 519.8
В.А. Матвеев
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПО КОНУСУ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ
Многокритериальная задача: оптимальность по конусу
Для некоторой управляемой системы рассматривается задача принятия решений, качество которых оценивается несколькими критериями, отражающими разнообразные свойства объекта. Выбор производится между альтернативами, которые являются носителями различных наборов полезных свойств. Фактически в этом случае в выборе решения лицом, принимающим решение (Л П Р), проявляется неопределенность относительно итоговой цели выбора. Классификация неопределенностей втеории исследования операций выделяет ее как "неопределенность, отражающую нечеткость знания игроками своих целей" [I,с. 17].
Перейдем к математической формализации, при этом используем терминологию и обозначения из (2). Итак, рассматривается многокритериальная задача
{Х,/(х)). (1)
Здесь имеется один участник, принимающий решение. Задано множество допустимых альтернатив х е X cz /?", из которых J1П Р делает свой выбор. Выделен конечный набор желаемых свойств, оцениваемых критериями. В рассматриваемой математической модели используются количественные критерии в виде целевых функций: каждая функция оценивает одно свойство.
Обычно информацию о всех критериях объединяют в одну векторную функцию /:/?"-»
-» Rm,rn> 1. Значения этой векторной функции каждой альтернативе ставят в соответствие количественную оценку для выделенных свойств У(х) = (^¡(л:),...,/„,(*)) в критериальном пространстве Rm. Множество всех векторных оценок, или множество исходов, — это f{X) = {f{x)eRm\xzX).
Не уменьшая общности, считаем, что критерии /¡(х), i = \, ...,т, являются позитивными,
т. е. ЛПР стремится к их увеличению [3, с. 55]. Тогда на содержательном уровне цель Л П Р состоит в выборе такой альтернативы, которая доставляет возможно большие значения одновременно всем компонентам векторной функции выигрыша /(х). Отмстим, что в соответствии с[3,с. 12, 13] множество А"и векторная функция /из (1) определяют соответственно реализационную и оценочную структуры задачи принятия решения. Используем обозначения для отношения предпочтения в К"из [4, с. 7]:
х> у<^> х-уе Я™,
R?={xeRm\x¡>0, / = 1,...,«}};
х> у о х-уеИ™,
И? ={хеЛт\х,>0, /= 1,...,«}/{0т}. (2)
В качестве решения многокритериальной задачи (1) часто рассматривают альтернативу, обладающую следующим свойством: ее оценка поддается улучшению по какому-либо критерию только за счет ухудшения по какому-то другому критерию. Альтернатива х*еЛ' в многокритериальной задаче (1) называется максимальной по Парето (эффективной), если для Ухе А' из условия /¡(х*)< /¡(х) следует, что /у(х*)> /у(х)
хотя бы при одном у е{1,...,«}. Множество максимальных по Парето альтернатив обозначается Хр, а множество соответствующих исходов — как ДХР).
Кандидатом на оптимальное решение в многокритериальной задаче может только Парето-оптимальный исход. В [4, с. 29] указано, что «если ЛПР ведет себя достаточно "разумно", то выбираемые им решения обязательно являются Па-рето-оптимальными». Но выделить среди паре-товских решений одно наилучшее для условия многокритериальной задачи вобшем случае достаточно сложно. Выбор такого наилучшего рс-
шения состоит в уточнении оптимального по Парето решения.
Достаточно обший подход к определению оценочной структуры в (1) предлагают конусные отношения. Для многокритериальных задач такой подход изложен в [4, с. 42—47; 5—7). Будем рассматривать выпуклый острый конус К [8, с. 235—2551. Часто рассматривается многогранный (полиэдральный) конус в конечномерном евклидовом пространстве, который можно задать квадратной матрицей, а именно
*={/€/гм/=0т}/{0т}. (3)
Полагаем, что элементы матрицы А неотрицательны, а сама матрица невырожденная. Это гарантирует то, что соответствующий конус А" — выпуклый, острый и его размерность совпадает с размерностью критериального пространства Ят. Конус порождает в векторном пространстве бинарное отношение >к по правилу
/>*£<=>/-£еА. (4)
В [4, с. 45] показано, что если конус К в (4) выпуклый, острый и не содержит начало координат, то он определяет отношение строгого порядка, инвариантное относительно линейного положительного преобразования в Ят. Верно и обратное утверждение. Такой конус А"называют конусом дом ин ирован ия в Ят. т > 1. Стандарт-ным образом строгий порядок (4) в Ят при заданном конусе /¿определяетоптимальное (максимальное, минимальное) по конусу решение в многокритериальной задаче (1).
Определение I. Альтернативах* е Л"называется оптимальной по конусу К в задаче векторной оптимизации (1), если V х е X, х — л* г К.
Если Л)ясА'(-ЛтсА'), то оптимальное решение называется максимальным (минимальным) по конусу К.
Отметим, что максимальные по Парето альтернативы в многокритериальной задаче (I) являются максимальными по конусу решениями,
где конус доминирования Я™ из (2).
Подход к решению многокритериальной задачи (1) на основании конусных отношений предпочтения широко использовался, результаты представлены в ряде работ. Так, если в многокритериальной задаче (1) множество альтернатив Ха Я" компактно, векторная функция выигрыша/Л'-» Л"1 непрерывна, конус доминирования
К в критериальном пространстве Ят является выпуклым, острым, то существует альтернатива, оптимальная по конусу К. Далее для построения процедуры уточнения оптимального по Парето решения потребуется результат, представленный в [5, с. 336]. Пусть в многокритериальной задаче (1) заданы конусы доминирования Л-, и К2, и Л',* с X, Х\ с X — множества альтернатив, оптимальных соответственно по конусам Кх, Кг.
Тогда из А", с К2 следует включение Х\ сХ^.
Пример. Рассматривается двухкритериаль-ная задача
{¿хЧ'С-сгее.гвте)}, (5)
в которой множество допустимых исходов Л, = ЛхЧ'=[0,1]х[0,7г/2] представлено на рис. 1.
1
£(0; 0,5я) 5(1; 0,5л)
0(1: arctg (2/3)) Д1; arctg (1/2))
C(l; arctg (1/4))
- ь>:£Р
/4(1; 0) г
í „2, "3 2 X, >02
Ьсе Яг\Ах 1
1 ' 4 1 J
Рис. 1. Множество допустимых альтернатив
Двухкритериальный выигрыш /(л9) = (^('',0), /2(Л в)) = (rcosQ, rsinG) и область исходов показаны на рис. 2. Задан многогранный конус доминирования
(6)
Этот конус доминирования К в пространстве Я2 представлен на рис. 3.
Рассмотрим оценки допустимых исходов (рис. 2). Расположим конус доминирования в Я2 так, что его вершина совпадает с оценкой некоторого исхода. Если в этом случае множество точек конуса не пересекается с множеством оценок всех допустимых исходов (за исключением обшей вершины), то соответствующий исход оптимален по конусу К. Тогда оптимальные по
лфл/13,2/ч/13) (2/75,1/75) ^(4/717,1/717)
Рис. 2. Множество исходов в двухкритериальной задаче
конусу исходы расположены на дуге ОМРМТ (рис. 2), а соответствующие альтернативы на стороне АВ (рис. 1). В этом случае г* = 1. Выделим на дуге оценки, оптимальные по конусу К. Они расположены на участке дуги у\М (рис. 2). В пространстве критериев координаты точки /V
-/, 4
находятся из условия ^ у-т = --, а координаты
точки М — из условия
3 2
Я?
В данном примере получены все максимальные по конусу К исходы (г*,0*), г* = 1, arctg 1/4 < 9* < аг^ 2/3. Они изображены отрезком С/) на рис. 1. Множество оценок
(У5\/2)е{(г*со8е^*8те*)|/-* = 1, ап^1/4<9*<агс1Б 2/3}
отмечены дугой ЫМ на рис. 2.
Заметим, что в многокритериальной задаче (5) максимальные по конусу решения являются уточнением максимальных по Парето решений. Действительно, паретовские альтернативы представляются отрезком А В на рис. 1, а их оценки — всей дугой ОМ РЫТ на рис. 2. В то же время оптимальным по конусу К решениям из (6) соответствуют точки отрезка СО на рис. 1, а их образам — дуга NМ на рис. 2.
Многокритериальная задача (1) — это задача в условиях неопределенности, а именно в ус-
</2(-1. 4)
</,(2, -3)
Рис. 3. Конус доминирования в пространстве Я2
ловиях неопределенности цели. Для уточнения решения (уменьшения степени неопределенности) можно использовать дополнительную информацию. Это могут быть мнения экспертов. Так, в рассмотренном примере два эксперта оценили важность (вес) критериев. Первый эксперт указал отношение важности для критериев 3:2, а второй эксперт — 4:1. Эта информация позволила определить многогранный конус предпочтений К и соответствующую матрицу А в (6). Полученное оптимальное по конусу А"решение имеет определенный содержательный смысл.
Пусть /* = (/](х*),/2(х*)) — оптимальный по конусу К исход. Тогда, если найдется другое решение, для которого исход по первому критерию увеличится на Д > 0, то в этом случае второй критерий уменьшится на 1,5А > 0 или более. Аналогично увеличение по второму критерию в новой альтернативе на Д > 0 приведет к уменьшению по первому критерию наО, 25Д > 0 или более. Оптимальное по Парето решение обладает аналогичным свойством: увеличение по одному критерию может быть только за счет уменьшения по другому критерию. Таким образом, оптимальный по конусу исход задает некоторый компромисс между критериями, который соответствует мнению экспертов о важности критериев.
Соотношения между критериями определяются параметрами конуса, направляющими векторами его ребер. Они представлены на рис. 3. Это векторы ¿/,(2, —3) и ¿2(—К 4). Таким образом, конусные решения — это паретовские решения.
из числа которых исключены заведомо неприемлемые (по мнению экспертов). Ничего не меняется, если информация о важности критериев получена от Л ПР. Такая информация не входит в формулировку многокритериальной задачи (I), но, безусловно, весьма важна для принятия решения. Использование информации об относительной важности критериев и сужение на ее основании множества Парето подробно изложено в работе |4|.
Уточненное по последовательности конусов решение
Оптимальных по конусу решений может быть много, и уточнение но конусу можно применить несколько раз, последовательно улучшая решение. Соответствующий подход можно представить в матричной форме. Рассмотрим следующую последовательность квадратных невырожденных неразложимых стохастических матриц [8, с. 352, 381]:
/4,, А 2,..„ А,,..., /еЛЛ (7)
Все элементы стохастической матрицы неотрицательны и сумма элементов каждой строки равна единице [8, с. 381 ]. По последовательности матриц построим новую последовательность
В] = А1, В 2- А2А1 = А2В1;
В3 = А3А2А1=А3В2;..., Ял = ДЛ->,.-.,4=ЛЛ-1.-. п*"- (8)
Каждая матрица из последовательности (8) будет определять многогранный конус аналогично (2). Обозначим конусы этой последователь-ности как / е N. Полученная последовательность конусов позволит построить уточненное по конусу решение многокритериальной задачи (1).
Утверждение /. Пусть матрицы А,, /е /V, из последовательности (7) — неотрицательные, невырожденные, неразложимые, стохастические. Тогда для любого натурального п верно следующее:
а) матрица Вп = АпАп ,,..., А, из последовательности (8) также неотрицательная, невырожденная, неразложимая, стохастическая;
б) для соответствующих конусов имеет место включение Кп с
в) для соот ветствующих множеств оптимальных по конусу решений задачи (1) имеет место
включение Х'п п Х'пЛ.
Каждая матрица Bjt ie /V, из последовательности (8) является стохастической и для них верны условия теоремы Фробениуса. У каждой такой матрицы максимальное собственное значение X, = 1. Каждому собственному значению однозначно можно указать левый собственный вектор
а(я>=(а|я),а(2я),...,а(;)), £Г=1а<я) = 1. а/л) > 0. (9)
Учитывая вышеизложенное, для последовательности матриц (8) верно еще одно утверждение.
Утверждение 2. Пусть матрицы А,, ie N, из последовательности (7) —неотрицательные, невырожденные, неразложимые, стохастические. Тогда существует предел последовательности матриц (8), т. е.
lim Bj= lim А„АпЛ ...А} — Ai).
п-*<*> л—><ю
Матрица \ — положительная, вырожденная с рангом 1, все строки ее равны
lim a<"W°>= (a<°>,a(2°»,...,a<mfl));
п-юо
ХГ=Х0)=1> «/0)>°'
где левый собственный вектор а'"' из (9).
Последнее утверждение есть основание для уточнения оптимального решения в задаче (1).
Определение 2. Рассматривается многокритериальная задача (1) и последовательность неотрицательных невырожденных неразложимых стохастических матриц (7). Пусть набор чисел
а<°>=(а^а^...,сС), Х><0> = 1, а<°>>0
представляет строку предельной матрицы \ из утверждения 2. Тогда альтернативу
х' earcmax(ai0)yj(x) +
хеХ
+a^f2(x)+...+a^fm(x)) (10)
будем называть уточненным по последовательности конусов (7) оптимальным (максимальным) решением многокритериальной задачи (1).
Утверждение 3. Пусть в многокритериальной задаче (1) множество допустимых альтернатив Хс: R " компактно, векторная функция выигрыша /• X —> R™ непрерывна, квадратные матрицы порядка т в последовательности (7) —
неотрицательные, невырожденные, неразложимые, стохастические. Тогда в задаче существует оптимальное уточненное по последовательности конусов (7) оптимальное решение (10).
Существование уточненного по последовательности конусов решения следует из компактности множества допустимых альтернатив X и непрерывности функции
/(*) = а|0)у;(х)+а<0)/2(х) +... + cC/m(x),
гдеа<0) = (аГ',а'2«>.....а'»») (iW^ «<°> > о)
есть строка предельной матрицы Ац.
Утверждение 4. Уточненное по последовательности матриц (7) оптимальное (максимальное) решение х*е X в многокритериальной задаче (1)— оптимальное (максимальное) по Парето решение, более того, оно оптимально (максимально) по любому конусу, определенному матрицей из последовательности (8).
Уточнение оптимального по Парето (по конусу) решения многокритериальной задачи (1) определяется последовательностью матриц (7). В частности, такая последовательность может состоять из постоянных матриц, т. е. в (7)
А, = А, /е N, где А — произвольная, неотрицательная, невырожденная, неразложимая, стохастическая матрица. В этом случае последовательность матриц (8) составляют натуральные степени матрицы А. Суммируя результаты для данного частного случая, сформулируем еще одно утверждение
Утверждение 5. Пусть квадратная матрица А порядка т — неотрицательная, невырожденная, неразложимая, стохастическая. Тогда:
а) существует предел последовательности
матриц lim А" =
л-хо
б) предельная матрица Ацтакже неотрицательная, невырожденная, неразложимая, стохастическая и все строки этой матрицы равны левому собственному вектору, относящемуся к максимальному собственному значению матрицы А
X = l, a(0>=(ai°>,a<0),...,a<mü>),
Z,V(,0) = 1> ot!0)>0;
в) для последовательности матриц А", п= 1,2,... соответствующая последовательность
многогранных конусов Кп, « = 1,2,..., определенная аналогично (2). удовлетворяет цепочке включений
К\ с К2 с: К3 а ...с: Кп с ...с: Л"0.
г) соответствующая последовательность множеств решений в многокритериальной задаче (1), оптимальных по конусу Кп, я = 1,2,..., удовлетворяет включениям
Если в определении 2 уточнение оптимального по Парето решения в многокритериальной задаче (1) проводится по последовательности многогранных конусов, заданных степенями неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической матрицы А, то полученное решение многокритериальной задачи (1) будем называть уточненным по конусу К.
Рассмотренные методы уточнения оптимального по Парето решения существенно зависят от дополнительной информации, связанной с критериями задачи (1). Если такая информация отсутствует, то решением в (1) может быть только Парето-оптимальный исход. Причем все такие решения равноправны как решения задачи (1). В то же время информация о важности критериев может возникать из оценок экспертов или из отношения Л П Р к критериям. Такая информация позволяет уточнить оптимальное по Парето решение.
Оценка относительной важности критериев может быть представлена весовыми коэффициентами, т. е. набором положительных (неотрицательных) чисел, отношение между которыми представляет отношение важности соответствующих критериев для эксперта (ЛПР). Набор положительных чисел можно нормировать так, что сумма коэффициентов равна единице, при этом отношение чисел не изменится. Кроме того, что такое преобразование приводит различные мнения экспертов к единой форме, оно позволяет представить информацию от всех экспертов в форме стохастической матрицы. Последнее допускает построение последовательности уточнений.
Изложенный алгоритм уточнения решения предполагает использование квадратных матриц порядка т, т. е. т экспертных оценок относительной важности критериев. Аналогичный атго-ритм уточнения решения можно определить и для
к экспертов, к*т, к> 2. В этом случае матрица Л, в последовательности (7) имеет размер кхт и остальные матрицы последовательности будут квадратными порядка к. Если же при выработке решения в задаче (1) эксперты приняли однозначный набор весовых коэффиниентовдля критериев, т. е. к = 1, то многокритериальная задача (I) сводится к задаче математического программирования. В этом случае снимается неопределенность, связанная с многими критериями в задаче (1).
Если процесс выработки решения задачи (1) развивается во времени, т. е. информация о важности критериев поступает дискретными порциями, то возникает последовательный процесс уточнения решения. Если на очередном шаге новая информация о критериях отсутствует, то последняя матрица Вк = Ак Ак_\... Л, уточняет оптимальное по Парето решение. Далее при отсутствии новой информации решение уточняется последовательностью конусов, определяемых степенями последней матрицы Вк . Нотакуюпоследовательность уточнений начиная с (к + 1 )-го шага можно не выполнять, а сразу перейти к предельной матрице в том виде, как она определяется в утверждении 5. Таким образом, применяя конечное число уточнений (именно к), задачу (I) можно свести к задаче математического программирования, и ее решение будет уточненным по конусу решением многокритериальной задачи (1).
Уточнение оптимального по конусу решения позволяет в некоторых случаях выделить в многокритериальной задаче (1) единственную наилучшую альтернативу. Условия существования единственного уточненного по конусу А" решения формулируюется с использованием вогнутости векторной функции цели [9, с. 169].
Пусть множество допустимых альтернатив Ас Я" выпукло. Векторная функция векторного аргумента/ А-» Я"1, т > 1 называется вогнутой (строго вогнутой) на множестве А, если каждая компонента этой функции вогнутая (строго вогнутая) на этом множестве, т. е. для любых /=Т, ...,т,х*у е ^выполнено неравенство
0,ЗД*)+/00)</(0,5(*+у))
(0,5(/1(х)+/1(У))</,(0,5(х+... +у))).
Утверждение 6. Пусть в многокритериальной задаче (I) векторная функция / X -> Л"1,
т > 1 будет вогнутой на компактном множестве X с /Г и найдется по крайней мере одно такое (У = 1,...,от), что для него скалярная функция
/}(*) будет строго вогнутой на этом множестве,
многогранный конус А определен квадратной матрицей А, которая является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда в задаче существует единственная уточненная по конусу альтернатива.
Согласно определению 2 уточненным по конусу оптимальным решением многокритериальной задачи (1) является альтернатива
х* е аг8 тах(а|0,Л (х) + а<0)/2 (*) + • • • + о.™/т (*)).
хеХ
По теореме Фробениуса матрица Л однозначно определяет левый собственный вектор, относящийся к максимальному собственному значению \ = I. Это вектор а(0) = (а(,0),с40), -.сЛ
X", «Г = 1, а'0) > 0. Тогда функция <х{0,У1 (х) +
+ а(20>/2(х)-1-... +а(^)/,п(*) —стРС>го вогнутая, ибо
таковы же и функции /(х),/ = 1, ..., т, причем по крайней мере одна из них строго вогнута. Тогда последняя линейная комбинация представляет строго вогнутую функцию. Наконец, строго вогнутая функция достигает максимального значения на компактном множестве вединственной точке ]9, с. 170].
Пример (продолжение). Продолжим рассмотрение двухкритериальной задачи (5). Для нее конус доминирования Аиредставлен в (6). Этот конус можно задать с помощью стохастической матрицы, которую, как и в (6), обозначим А:
"3/5 2/5" "V >02
1 ' 4/5 1/5 *2_ J
Найдем предел последовательности матриц lim А" = Ац. Наибольшее собственное значе-
Л-+О0
ние матрицы А есть X = 1. Получаем хТ =(2/3, 1/3). Тогда по утверждению 5 матри-
ца
2/3 1/3' 2/3 1/3
В соответствии с определе-
нием 2 уточненным по конусу Амаксимальным
решением многокритериальной задачи (5) будут решения задачи математического программирования (задача максимизации)
{[0,1|х[0,я/2], 2rcos0 + rsin0}.
Здесь максимальное значение достигается при г" =1, 0я = arctg 1/2. На рис. 1 этому решению соответствует точка ^(1, arctg(l/2) ). В пространстве исходов на рис. 2 ему соответствует точка Р(2/у/5, \/\Î5). Таким образом, уточненное по конусу (6) решение многокритериальной задачи (5) будет единственным (r*,0*) = (l, arctg 1/2)
и векторный выигрыш в этом случае /" = (f°, f" = (2/75, 1/75) =(0,8944,0.4472).
Итак, проведено исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче. Данная проблема анализируется как оптимизационная задача в условиях неопределенности, именно в условиях неопределенности цели. Обычно в качестве решения многокритериальной задачи предлагается оптимальное по Парето (эффективное) решение. Но таких решений, как правило, много. Возникает проблема его уточнения.
Оптимальное по Парето решение входит в класс конусных решений. Многогранный конус в векторном критериальном пространстве задает векторную упорядоченность, что позволяет определить оптимальное по конусу решение. Такое решение имеет определенный содержательный смысл, связанный с экспертными оценками важности критериев.
Конусное решение указывает приемлемый компромисс между критериями по мнению экспертов при принятии решения. Именно, если
исход оптимален по конусу и от него возможен переход к другому исходу, что дает больший выигрыш по одному критерию, тогда найдется другой критерий, такой, что проигрыш по нему будет недопустимо большим.
Конусные решения в многокритериальной задаче имеют важное свойство: если первый конус включает второй конус как подмножество, то множество оптимальных по первому конусу решений является подмножеством решений, оптимальных по второму конусу. На этом свойстве построена процедура уточнения решения.
Конусные отношения можно задавать в матричной форме, именно в форме стохастических матриц. В этом случае последовательное уточнение конусной упорядоченности соответствует умножению стохастических матриц. Предлагается следующий алгоритм: на основании мнения экспертов строится последовательность расширяющихся конусов, которой соответствует последовательность вложенных множеств конусных решений. Решение по предельному конусу называется уточненным по последовательности конусов оптимальным решением многокритериальной задачи.
В статье проведено обоснование алгоритма уточнения решения. Указаны свойства последовательности стохастических матриц, которые гарантируют существование предельного конуса. Выявлены условия, при которых уточненное по последовательности конусов оптимальное решение является единственным. Рассматривается модельный пример.
На основании исследования оптимальности по конусу в многокритериальной задаче предложена концепция уточнения решения, выявлены свойства уточненного по последовательности конусов решения и указан случай единственности такого решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М.: Эдито-риал УРСС, 1999.
2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оп-тимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
3. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный лом "Университет"; Высш. школа, 2002.
4. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002.
5. Yu P.L. Cone convexity, conc extreme points and nondominated solutions in decision problems with multiobjectives // Journal of optimization theory and application. 1974. Vol. 14, № 3. P. 319-377.
6 Kuroiwa D., Tanaka Т., Truong Xuan Due Ha. On cone convexity of set — valued maps // Pros. 2nd World
Congress of Nonlinear Analysis. Elsevier Science, 1997. P. 1487-1496.
7. Матвеев B.A. Существование и единственность уточненного по конусу решения многокритериальной задачи // Труды Псковского политехнического института. Сер. Естествознание и математика. Псков, 2006. С. 24-27.
7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.
8. Гантмахер Ф.П. Теория матриц // 3-е изд. М.: Наука, 1967.
9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.
УДК 004
A.B. Титов, В.Ю. Ски6а, A.B. Силиненко, Ю.Н. Рыжов
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ПОЛИТИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДОСТУПОМ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Современный этап развития информационно-телекоммуникационных технологий характеризуется их широким использованием в различных сферахдеятельности, включая государственные, научные, образовательные и коммерческие организации. В этих условиях особую актуальность приобретают исследования по созданию надежных средств управления доступом к распределенным информационным ресурсам, с помощью которых реализуются требования корпоративной политики безопасности [1]. Встатье рассматривается подход к решению данной проблемы с использованием различных моделей доступа, сопоставления полученных результатов с возможным набором конфигураций межсетевого экрана, задания правил фильтрации на основе тематики контента и динамики изменения состояния контролируемого информационно-телекоммуникационного ресурса.
Решение актуальной задачи автоматизации процесса настройки устройств защиты требует формализации описания политики безопасности и создания адекватных моделей доступа пользователей к корпоративным информационным ресурсам. В этих условиях использование формального языка в общем случае не решает проблемы адекватного представления конфигурации устройств зашиты, так как сформированное в результате описание может потребовать специальной интерпретации, что в конечном итоге может оказаться
сложнее, чем непосредственное конфигурирование с помощью встроенных команд управления. Поэтому важным требованием, которое предъявляется к.моделям доступа, является возможность соотнесения используемых модельных характеристик с качественными требованиями безопасности на уровне функциональных характеристик.
Определим набор ключевых понятий и терминов:
субъект — участник информационного взаимодействия, который способен инициировать процессы преобразования или передачи данных;
действие — описание преобразования или процесса передачи данных, которое производится субъектом;
объект — описание данных, над которыми совершается действие.
Анализируемая далее модель позволяет управлять набором правил, в которых параметрами взаимодействия выступают субъекты, действия и объекты. Примером может служить правило доступа вида "разрешить Ивану Ивановичу читать по FTP файл secret.txt".
В этом правиле "Иван Иванович" — субъект, "чтение по FTP" — действие, "secret.txt" — объект, "разрешить" — решение правила. Подобное описание, где явно указаны параметры процесса взаимодействия с информационными ресурсами, в дальнейшем будем называть конкретными правилами доступа.
Г
7
