Исследование одной задачи календарного планирования со складируемыми ресурсами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.854 А.А. Романова

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, г. Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ СО СКЛАДИРУЕМЫМИ РЕСУРСАМИ

1. Постановка задачи

Теория расписаний и календарное планирование являются одними из важных и интересных направлений в области оптимизации и в настоящее время переживают период бурного развития. Это связано, прежде всего, с появлением принципиально новых видов продукции, технологий, интенсификацией производства, его непрерывным обновлением и совершенствованием.

Рассмотрим постановку исследуемой в работе задачи. Имеется проект, состоящий из множества взаимосвязанных работ V = {1,..., n}. Для каждой работыj е Vизвестна длительность ее выполнения pj е Z+. Прерывания выполнения работ не допускаются. Связи между работами задаются технологией выполнения проекта и определяются отношениями предшествования вида i ^ j. Это означает, что работа j не может начаться до завершения работы i. Такую взаимосвязь можно изобразить с помощью ациклического ориентированного графа G = (V, E), в котором вершины соответствуют работам, а дуги - отношениям предшествования. Дуга (i, j) е E тогда и только тогда, когда работа i является непосредственным предшественником работы j. Также задан директивный срок T выполнения проекта, к которому все работы должны быть завершены.

Для выполнения работ требуются складируемые ресурсы m видов. Складируемым будем называть ресурс, если он, будучи неистраченным в момент времени t, может быть использован в любой другой момент t1 > t. Примером могут служить какие-либо долгохраня-щиеся материалы (например, бетонные плиты, деревянные брусья и т.п.) или деньги в краткосрочном периоде. Известна потребность qrj работы j в ресурсе вида r в каждый период времени ее выполнения, r = 1, ., m; j =1, ., n.

Задачи календарного планирования со складируемыми ресурсами исследуются многими учеными. В [2] показана полиномиальная разрешимость данной задачи с критерием минимизации общего времени выполнения работ Cmax. В [6] доказано, что задачи с критериями минимизации среднего времени завершения работ Cz и максимизации чистой приведенной прибыли NP-трудна в сильном смысле. Нужно заметить, что задача с рассматриваемым в работе критерием и возобновимыми ресурсами также NP-трудна в сильном смысле [4,5].

Перейдем к критерию оптимизации, рассматриваемому в работе. Ресурсы для выполнения работ проекта необходимо приобретать. В силу целочисленности длительностей работ будем считать, что закупка ресурсов производится в целочисленные моменты времени. При

norm

этом если объем покупаемого в некоторый момент времени ресурса r не превышает Vr

norm

, то

его можно приобрести по обычной цене Cr

за единицу. При превышении этого уровня

устанавливается новая цена

C

over r

за единицу ресурса. Будем считать, что

C

>

over r

C

norm r

. Та-

88

кое происходит, например, если поставщик не может предоставить весь требуемый объем ресурса и, в свою очередь, сам приобретает его у какой-либо фирмы.

В работе исследуются две постановки данной задачи - с неограниченным складом, когда мы можем хранить любое количество ресурса в каждый момент времени; и с ограниченным - когда в каждый момент времени можем хранить лишь определенное количество ресурса каждого вида.

Расписание S определяется набором {s

}

n

j j=1

времен начала выполнения каждой из работ проекта. Кроме самого расписания, необходимо знать план закупок ресурсов, а именно величины brt - объем закупаемого ресурса r в момент времени t, r = 1, m; t = 0, T -1.

Расписание и план закупок определяют допустимое решение, если выполняются все ограничения предшествования, время завершения всего проекта не превышает T, и суммарный объем потребления каждого ресурса к моменту времени t не превосходит объема закупленного ресурса к этому моменту, t = 0,1,., T. Для постановки с ограниченным складом к определению допустимого решения добавляется ограничение на использование склада: в каждый момент времени объем свободного ресурса не должен превышать объема склада, выделенного для данного вида ресурса.

Рассматриваемая задача заключается в нахождении допустимого решения, при котором суммарные затраты на приобретение ресурсов минимальны.

В данной работе показано, что в случае неограниченного склада задача полиномиально разрешима; построен соответствующий алгоритм. В случае ограниченного склада доказана NP-трудность в сильном смысле; предложен алгоритм нахождения приближенного решения задачи.

2. Случай неограниченного склада

Введем понятие Т-позднего расписания [1]. Допустимое расписание

ST =

1

(sT ,...,

n

sT )

назовем T-поздним, если любая работа завершается не позже момента T, и увеличение любо-

s

j

T

го момента

приводит к нарушению хотя бы одного из условий допустимости. Т-позднее

расписание может быть найдено за полиномиальное время, например, с помощью известного алгоритма Форда за время O(n2). Алгоритм трудоемкости O(n) описан в [1].

В работе показано, что существует оптимальное решение рассматриваемой задачи, в

котором работы выполняются в соответствии с Т-поздним расписанием. Опишем более подробно предлагаемый алгоритм при m = 1. Детали реализации процедуры вычисления объема потребляемого ресурса в каждый момент времени опустим. Нетрудно показать, что это можно сделать за полиномиальное время.

Алгоритм 1.

Шаг 1. Находим Т-позднее расписание работ. Из моментов начала и конца всех работ составляем упорядоченный по неубыванию массив М.

Шаг 2. Цикл по всем элементам массива М:

Берем очередной элемент. Если это момент времени, когда суммарное потребление ресурса меньше нормы, тогда вычисляем количество ресурса, который можно закупить по обычной цене и отправить на склад. В противном случае пытаемся покрыть потребление ресурса сверх нормы за счет накопленного на складе. По мере прохождения по массиву М в переменную Q запоминаем суммарный объем ресурса, взятый со склада.

Шаг 3. Еще одним проходом по массиву M вычисляем моменты времени, когда можно закупить ресурс на склад, и приобретаем его в необходимые моменты времени (суммарно в количестве Q).

89

Конец алгоритма.

Алгоритм легко обобщается на случай нескольких ресурсов. Его достаточно применить для каждого ресурса. При этом трудоемкость увеличится в m раз, где m - число ресурсов. В работе доказана следующая

Теорема 1. Алгоритм 1 находит оптимальное решение задачи календарного планирования с критерием минимизации затрат на приобретение ресурсов складируемого типа в случае увеличения цены ресурса, покупаемого сверх нормы, за O(n2m) операций.

3. Случай ограниченного склада.

Ранее мы предполагали, что в каждый момент времени мы можем хранить неограниченное количество ресурса на складе. Однако в реальной жизни склады имеют определен-

г

ную вместимость. Пусть в каждый момент времени мы можем хранить не более V ш',е

единиц

ресурса г, г = 1, т.

Исследуем сложность данной задачи.

Теорема 2. Задача календарного планирования с критерием минимизации затрат на приобретение ресурсов складируемого типа в случае увеличения цены ресурса, покупаемого сверх нормы, при ограниченном складе ЫР-трудна в сильном смысле даже в случае работ единичной длительности.

Доказательство проводилось с помощью полиномиального сведения КР-трудной в сильном смысле задачи «3-Разбиение» [3] к рассматриваемой.

Как известно, при исследовании труднорешаемых задач большое внимание уделяется построению полиномиальных специализированных алгоритмов, дающих достаточно хорошее приближенное решение. Далее для рассматриваемой задачи предлагается алгоритм такого типа.

Алгоритм 2.

Шаг 1. С помощью алгоритмов Форда находим ранние и поздние моменты начала вы-

Т

Т

1

2

1

полнения работ 1 и

соответственно. Упорядочиваем работы по неубыванию ранних моментов их начала. Момент начала первой работы полагаем равным 0, момент ее окончания -

равным p\.

Шаг 2. Цикл по всем работам j от 2 до n.

Берем очередную работу j. Полагаем момент начала ее выполнения равным

j

T 1 . Если

norm

в этот момент времени суммарное потребление ресурса r не превосходит величину Vr для

всех r = 1,.,m, и не нарушены условия предшествования, переходим к следующей работе, в противном случае момент начала данной работы полагаем равным

j

гр 2

T , а также переопределяем, если необходимо, ранние моменты начала выполнения работ, следующих за данной.

Шаг 3. Делая проход по составленному расписанию, считаем суммарное потребление ресурса сверх нормы. Затем, начиная с нулевого момента времени, пытаемся запасти как можно больше ресурса на складе по обычной цене, следя за тем, чтобы суммарный объем

каждого вида ресурса r в течение всего времени выполнения проекта не превышал По построенному расписанию строим план закупок.

Конец алгоритма.

r

V save

Трудоемкость алгоритма 2 равна O(mn3) операций. Алгоритм 2 реализован, проведен вычислительный эксперимент для анализа его работоспособности на задачах различной размерности и оценки погрешности получаемого решения. Были решены задачи из известной электронной библиотеки тестовых примеров PSPlib с числом работ от 30 до 90 и числом ресурсов от 2 до 4. Время работы алгоритма составило не более 10 секунд даже для задач большой размерности. При этом погрешность полученных решений составила не более

11,3 %.

90

Библиографический список

1. Гимади, Э. Х. Математические модели и методы принятия решений : учеб. пособие /

Э. Х. Гимади, Н. И. Глебов ; Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2008.

2. Гимади, Э. Х. Полиномиальная разрешимость задач календарного планирования со складируемыми ресурсами и директивными сроками / Гимади Э. Х., Залюбовский В. В., Севастьянов С. В // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2000. - № 1. - С. 9-34.

3. Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. -М. : Мир, 1982.

4. Романова, А. А. Минимизация затрат в задаче календарного планирования проектов /

А. А. Романова // Вестник Омского юридического института. - 2010. - № 2(13). - С. 127-130.

5. Романова, А. А. О задаче календарного планирования с критерием минимизации затрат на приобретение ресурсов / А. А. Романова // Информационный бюллетень Ассоциации мат. программирования. - Екатеринбург : УрО РАН, 2011. - № 12. - C. 130-131.

6. Сервах, В. В. О сложности одной задачи календарного планирования со складируемыми ресурсами / В. В. Сервах, Т. А. Щербинина // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 8, вып. 3. - C. 105-111.