ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА МОДЕЛЬНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

jk/(x)dx = F(b ) - F(a) (1 ) где F(x) - первообразная для функцииf(x).

Для большинства элементарных функций первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчетах под интегральная функция задается в виде таблицы. Все это приводим к необходимости замены интегрирования численными методами. Задача численного интегрирование состоит в следующем: найти определенный интеграл на отрезке [a; b] , если под интегральная функция на отрезке [a; b] задано таблично. Формулы приближенного интегрирования называется квадратурными формулами [1, с.61], [6]. В данной работе рассматривается вычисление приближенного значения определённого интеграла с помощью формулы Ньютона или правило трех восьмых.

Рассмотрим методику использования формулы Ньютона для вычисления приближенного значения определенного интеграла:

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона или правило трех восьмых имеет следующий вид [2, с. 141]:

ъ

3h

/00 d х « — ■

I

■ ГУо + Уз т + 2 (у3 + у6 + ■ ■ ■ + Узт - 3 ) + -(У1 + у2 + У4 + У5 ) + ■ ■ ■ Узт - 2

+ У3т- 1 ]. ( 2 )

. Ъ—а Ъ—а

где Л =-= —.

п 3 т

Остаточный член имеет вид

3 шЛ 5 „ ( Ъ — а)Л4 „

Здесь в формуле (2) число узлов обязательно равно 3т+1 , т.е. п=3т. Если функция_%х) задано задана таблично и ее производные найти затруднительно, то в предложении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:

Ъ — а-

" 1«—у 2 у. ( 3 )

Ъ — а-

"2 — шТу4л(4)

Ъ — а-

где под Л2 у , л4 у подразумевается арифметическое среднее значение разностей соответствующего порядка.

Например, вычислим определенный интеграл вида (6)

3,36

л

Г ( 1 + 0,4х2 ) dx

/ = I . = ( 6),[ 3,с .1 3 8]

J 2+J 0 . S х2 + 1 . 3

17 2 + V 0,5 х2 + 1,3

Воспользуемся формулой трех -восьмых (2), выражающий данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции, для удобства вычислений используем программу Ms Excel:

где h = £i = у0 + у^ £ = У1 + У2 + У4 + Уз + ■ ■ ■; £з = Уз + Уб + Уд + ■ ■ ■, число разбиений n должно быть кратным трем. 1) „ i = 9 ; h i = 33бг12 = 0, 2 4

В ъ

Файл

" Правило трен сумм Научная стат

Меню Вставка Разметка страницы Формулы Данные I

D

Вставить

Calibri

11 т А А

Буфер обмена ъ

Шрифт

= — — ^ ш-

=: = z= i= 4=

Выравнивание

Общий ^ - % ООО Число

D11

=2+КОРЕНЬ(0,5*В11Л2+1,3)

А Б с D Е F G

i xi 1 + QAxf 2 + J0,5x2 + 1,3 У0,9 Ух.2.4.5.7,3 Уз.б

О 1,2 1,576 3,42126704 0,46065

1 1,44 1,В2944 3,52В659544 0,51В451ВЗ

2 1,6В 2Д2В96 3,646572197 0.5ВЗВ25

3 1,92 2,47456 3,772907217 0,655В762

4 2,16 2,В6624 3,905990556 0,733В061В

5 2,4 4,04450433 0,В16910ВВ

6 2,64 3,7В7В4 4ДВ741В57 0,9045764

7 2,ВВ 4,31776 4,333923735 0,99627042

В 3,12 4,В9376 4,4ВЗЗВ47В7 1,09153245

9 3,36 5,515В4 4,63529ВВ45 1ДВ996

1,65061 4,74079675 1,5604526

- ъ ь

ь

1 G

ис.1. Вычисление интеграла при n1 в Ms Excel

Подставляя числовые данные которые получили при помощи программы Ms Excel получим:

11 1,imm

Формула Ньютона: =[3*0,24)№2+3*F12+2*G12]

Лист!

©

Рис.2. Приближенное вычисление интеграла при n1 в Ms Excel

2) п2 = 1 2 ; h 1 = 3' 3!: 1,2 = 0, 1 8

А Б С D E F H

1 2 3 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 15 j sc! 1 -+■ OAv,2 2 + v/0.5scz + 1,3 у (0:12) У(1:2 .4-) y{3,6,9)

0 1,2 1,576 3,42126704 0,4606481

1 1,38 1,76176 3,500733154 0,503254582

2 1,56 1,97344 3,586442561 0,550249995

3 1,74 2,21104 3,677438523 0,601244585

4 1,92 2,47456 3,772907217 0,655876187

5 2,1 2,764 3,872164523 0,713812645

6 2,28 1,07916 3,974639208 0,774752082

7 2,46 3,42064 4,079855764 0,838421797

8 2,64 3,787В4 4,18741857 0,904576396

9 2,82 4,1S096 4,296998041 0,972995556

111 J 4,6 4,408318916 1,043481674

11 3,18 5,04496 4,521150531 1,11585756

12 3,36 5,51584 4,635298845 1,1899643

1.&51 6.32553 2.34899

16 12 1,7094503

17 \ L ь

IS

19 Формула Ньютона при n2=12 и

20 h2 = 0,18: =(3*0Л8)/8*(Е15+3 *F15+2* Gl 5)

??

Рис.3. Приближенное вычисление интеграла при n2 в Ms Excel

Из рисунков 2 и 3 видно, что результаты правильно вычислены. Приближенное вычисление определённого интеграла методом Ньютона или других способов требует много усилий т.е. много громоздных вычислений, поэтому используя современных программ можно моделировать т.е. составить алгоритм решения таких задач.

C помощью современных технических средств и интенсивных методов обучения можно заинтересовать студентов, облегчить усвоение материала. Методика использования информационных технологий в целом и обучающие программы в частности предлагает [5, c.312]:

1) Совершенствование системы управления обучением на различных этапах занятий;

2) Усиление мотивации учения;

3) Улучшение качества обучения и воспитания;

Занятия с использованием обучающих программ помогают решить следующие дидактические задачи:

1) усвоить базовые знания по предмету, систематизировать усвоения знания;

2) сформировать навыки самоконтроля;

3) сформировать мотивацию к учению в целом и к математике к частности;

4) оказать учебно - методическую помощью студентам в самостоятельной работе над учебным материалом [5, с. 312].

В данной работе разработано программное обеспечение нахождения приближенных значений определенного интеграла с использованием формулы Ньютона или правило трех восьмых. Программа создана на языке программирования Java Script [4].

Для ввода числовых данных рассмотрим главный интерфейс программы JavaScript (рис. 4)

а: 0 Ь: 0 п: 0

Первое число числителя: 0 Второе число числителя:

Первое число знаменателя: 0 Второе число знаменателя: 0 Третье число знаменателя: 0

Result: 0

Check

Рис. 4. Главная страница программы, разработанной на языке Java Script

Данная программа предназначена для решения задач типа приближенного вычисления определенного интеграла. Она была разработана на языке JavaScript, а ее интерфейс на языке разметки HTML используя формальный язык описания внешнего вида документа CSS с библиотекой Bootstrap .

Для запуска требуется внедрить значения в поля формы. Для примера возьмем задачу (6). Первый ряд требует значения переменных a = 1.2, b = 3.36, n = 9 для нахождения h. Второй ряд требует значения чисел числителя. Первое число числителя = 1, а второе 0.4. Они сохраняются в объекте «numerator». Третий ряд требует значения чисел знаменателя. Первое = 2, второе 0.5 и третье = 1.3. Они сохраняются в объекте «denominator».

Для запуска вычисления данных запускается функция solve(). Данная функция вызывается по событию наложенной на элемент кнопки под названием «Check». После получения данных с полей она сохранят их в соответствующих переменных. Каждый блок задачи выполняется последовательно по формуле «трех восьмых». Сначала вычисляется h, далее в массив х добавляются данные через цикл со значений х от 0 до n. После ввода данных «х», вычисляется числитель. Данные числителя сохраняются в массив «numeratorValuesX» через цикл со значений х от 0 до n. Далее вычисляется знаменатель и таким же способом. Его данные числителя сохраняются в массив «denominatorValuesX» через цикл со значениями х от 0 до n. Затем по формуле «трех восьмых» вычисляются суммы которые сохраняются в переменные «sumlResult, sum2Result, sum3Resulb». Окончательный результат сохраняется в переменную «finalResult».

Дополнительно была написана функция округления чисел «round», которая принимает число и количество числе после запятой целого числа и возвращает готовый результат. Также была написана функция «validate», которая предупреждает пользователя при вводе 0 или пустого значения.

Для вывода окончательных значений на документе был использован метод элемента DOM страницы «teхtcontent». Для перевода строк в тип числа была использована встроенная функция языка «parseFloat» для получения числа с плавающей точкой. Встроенная функция «alert» для вывода сообщения с предупреждением в браузере для пользователя.

Результат приближенного вычисление определенного интеграла показана на рисунке 5._

>: 1.2 Ь: зэе п: 9

Перяйс числи числители: 1 Btüрое число числителя: 0.4

Первое числа 3KJW с наг слй: 2 Второе числе знамена теле: и .5 Трствс число ачомснлсЛй: 1,3

Result: 1.7094537

Рис. 5 Результат вычисления

Приводим код вычисления приближенных значений определенного интеграла с помощью формулы Ньютона или правило трех восьмых (листинг 1).

Листинг 1. Код программы

let x = n;let numeratorValuesX = []; let denominatorValuesX = []; //dom elementslet btnCheck = document.getElementById('btn-check');let formulaH = document.getElement Byld ('formula-h');let formula Result = document. Get Element Byld ('formula-result');// listenersbtn Check. Add Event Listener ('click', solve)//,/Unctonsfunction solve() { if (validated) return; // getting values let a = parse Float (document.get ElementByld('formula-a').value); let b = parseFloat (document. Get Element Byld ('formula-b'). value); let n = parseInt (document. Get Element Byld ('formula-n'). value); let numerator = {a: parse Float (document. Get Element Byld ('formula-numerator-a'). value), b: parse Float (document. Get Element Byld ('formula-numerator-b'). value), } let denominator = {a:parse Float (document. get Element Byld ('formula-denominator-a'). value), b: parseFloat (document. Get Element Byld ('formula-denominator-b'). value), c: parseFloat (document. Get Element ByIdCformula-denominator-с'). value), }// check if n divides by 3 if (!Number. isInteger(n / 3)) {alert (N должно быть кратное трем.'); location. reload(); return;} //Setting h let h = round((b - a) / n, 2); formulaH.textContent = 'h: ' + h; // Get x x = []; let xInitialVal = 1 + round(h, 1); x.unshift(xInitialVal); for (let i = 0; i < n; i++) {t newVal = round(xInitialVal + h, 2); x.push(newVal);

xInitialVal = newVal;} //numerator values passing x numeratorValuesX = []; for (let i = 0; i < x.length; i++) { let result = round(numerator.a + round(numerator.b * round(Math.pow(x[il, 2), 5), 5), 5) numeratorValuesX.push(result)} //denominator values passing x denominatorValuesX = [l; for (let i = 0; i < x.length; i++) { let squareFirst Step = round (denominator.b * round (Math. pow(x[il, 2), 5), 5); let squareSecondStep = round (squareFirstStep + denominator.c, 5); let square Third Step = round (Math.sqrt (square Second Step), 5); let result = round (square Third Step + denominator.a, 5); denominator ValuesX. push(result) } // sum 1 let suml FirstStep = round(numeratorValuesX[0l / denominatorValuesX[0l, 5) let sumlSecondStep = round(numeratorValuesX[nl / denominatorValuesX[nl, 5) let sumlResult = sumlFirstStep + sumlSecondStep; //sum 2 let sum2InitialCount = 0; let sum2 Result = 0; for (let i = 0; i < x.length; i++) {f (i === sum2InitialCount) {sum2InitialCount += 3; continue;}sum2Result = round (sum2Result + round (numeratorValuesX[il / denominatorValuesX[il, 5), 5);} //sum 3 let sum3InitialCount = 3; let sum3Result = 0; for (let i = 0; i < x.length - l; i++) { if (i !== sum3InitialCount) { continue; } sum3InitialCount += 3; sum3Result = round(sum3Result + round(numeratorValuesX[il / denominatorValuesX[il, 5), 5);// final result let finalFirstStep = round(3 * h / 8, 5); let finalSecondStep = round(sumlResult + (3 * sum2Result) + (2 * sum3Result), 7); let finalResult = round (final FirstStep * finalSecondStep, 7); formulaResult.textContent = 'Result: ' + finalResult;}function round(value, precision) { const power = Math.pow(l0, precision) return Math.round((value*power)+(Number.EPSILON*power)) / power}function validate() { let inputs = document.getElementsByTagName("input"); let invalid = false; for (let i = 0; i < inputs.length; i++) { if (!inputs[il.value) { alert(Bb\ забыли ввести значение в поле!'); invalid = true; } else if (Number(inputs[il.value) === 0) { aleri('Bbi ввели нулевое значение!'); invalid = true; } return invalid}

Вывод: Данная программа позволит в короткое время получить приближенное значение определённого интеграла функции с заданной точностью. Удобно применять данную программу для проверки самостоятельной работы студентов и проверки правильности решения ими задач. Программа может быть применена в качестве выполнению лабораторных работ по вычислительной математике и других технических дисциплин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хаитова У.Х. Курс лекции по дисциплине «Вычислительная математика». / У.Х. Хаитова, М. Раджабов. //Худжанд, 2002. -l40 с.

2. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. Н.В. Копченова И.А. Марон.//М.: Наука.,1972. - 369 с.

3. Воробьева Г.Н., А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. Пособие для техникумов. // 2-е изд., перераб. и доп. // М: Высш. школа, 1990. -208 с.

4. С.А. Соколов. Java Script в примерах, типовых решениях и задачах: // М. :- 2006, - 592 с.

5. Рахимов А.А. Методика использования математического пакета MAPLE 17 при изучении темы «Производная и ее применение» в курсе высшей математики для студентов технического вуза. /А.А. Рахимов // Известия Тульского государственного университета (технические науки), Тула - 2020. Выпуск 11, с.308-313.

6. Зенков А.В. Численные методы: учебное пособие / А.В. Зенков. // Екатеринбург: Изд-во Урал. Ун-та, 2016. -124 с.

ТАВАСУТИ МУНОСИБАТХОИ ИРРАТСИОНАЛЙ ВА РАТСИОНАЛИИ БУЗУРГИХО ХАЛ КАРДАНИ БАЪЗЕ СИНФИ МУОДИЛАХ,ОИ ИРРАТСИОНАЛЙ

ОЛИМОВ МУЛОКАНД ИНОЯТОВИЧ,

номзади илмхои физика - математика, профессори кафедраи алгебра ва назарияи ададхои Донишгощ давлатии омузгории Тоцикистон ба номи С. Айни, Сурога н.Рудаки кучаи Ленин;

Тел: (+992) 988880146. E-mail: [email protected]

Барцарор кардани муносибати ратсионалии бузургищи тахщи решаги яке аз мафхумхои мураккаби алгебра мебошад. Дар ин мацола маротибаи аввал тавассути синфи матрисащи синфхояшон махсус муносибати ратсионалии бузурги^ои тащи решаги барцарор карда шудааст. Инчунин тавассути ин барцароркуни баъзе муодилауои ирратсионали уалаш нишон дода шудааст.

Калидвожахр: иррационали, рационали, муодила, матритса, мацмуъ, зермацмуъ, изоморфизм, радикал, вектор, мицдор, синф.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

ОЛИМОВ МУЛОКАНД ИНОЯТОВИЧ,

кандидат физико-математических наук, и.о.профессор Таджикского государственног педагогического университета им. С.Айни и.о.профессор кафедры алгебры и теории чисел Адрес: район Рудаки, уч. Ленин; Тел: (+992) 988880146. E-mail: [email protected]

Восстановление отношения рациональных величин под радикальным знаком является один из сложных понятий алгебры. В этой статье впервые восстановлено решение некоторых классов иррациональных уравнений с помощью иррациональных отношений и рациональнътх величин. Также, с помощью этого восстановления показано решения некоторые иррациональных уравнений.

Ключевые слова: иррационал, рационал, уравнение, матрица, множество, подмножество, изоморфизм, радикал, вектор, величина, класс.

DECISION OF SOME CLASSES OF THE SURDE QUATIONS BY MEANS OF SURDRELATIONS AND RATIONAL VALUES

OLIMOV MULOKANDINOYATOVICH,

candidate of physical and mathematical sciences, acting professor Tajik State Pedagogical University named after S. Aini Acting Professor of the Department of Algebra and Number Theory Postal address: Rudaki district, uch. Nishoni Lenin, building 10. Phone: (+992) 988880146. Email: [email protected]

Reconstruction relations rational values under radical sign is one of the complex notion of the algebra. Decision of some classes of the surd equations is _ for the _ first time restored In this article by means of surd relations and rational values. Also, decisions of some surd equations is shown by means of this reconstruction.

Keywords: irrational, rational, equation, matrix, ensemble, subset, isomorphism, radical, vector, value, class.

Мукаддима. Маф^уми озод кардани радикал аз ифодаи ирратсионалй ё баркарор кардани муносибати ратсионалй дар байни бузургих,ои та^ти решагй яке аз масъалах,ои мураккаби алгебра мебошад. Тарзх,ои гуногуни озод кардани радикал аз ифодаи ирратсионалй вучуд дорад. Аз он чумла табдилдих,ии айнияти формулами зарби мухтасар ва таксими мухтасар бисёраъзогих,ои симметрии ду ва сетагирёьбанда ва зарби х,амрох,шудаи махрач.

Дар ин макола маротибаи аввал тавассути синфх,ои матрисах,ои квадратии ба адади содаи p -сатрлагжонида матрисах,ои квадратии тартиби 4 - уми г (к • к2) симметрй ва матрисах,ои квадратии дудиогонала аз ифодаи ирратсионалй ё радикалх,ои нишондихдндаашон гуногун озод карда мешаванд. Аввало оиди синфх,ои матрисах,ои номбаршуда маълумот медих,ем.

Матрисаи намуди A = \a0 , a1,...,an_1](P) - ро матрисаи квадратии ба адади содаи p -сатрлагжонида меноманд. Мачмуи чунин матрисах,оро бо рамзи M(P) (Q) ишорат мекунем.

Теоремаи 1. Мацмуи матрисахри М(P) (Q) ва та%тмацмуи

Ri = {* = ao + ax "n[p +••• + an_x tfp^ / a0, ax, an_x e Q p > l}

байни хам изоморфи мебошанд, яъне Ri = МПP) (Q) (2)

Исбот. Та^ти мачмуи R1 ва мачмуи матрисах,ои M(P) (Q) дар як мачмуи адади дода шудаанд, бинобар дар байни мачмуи элементами онх,о мувофикати яккимата вучуд дорад. Яъне образи х,ар як адади а ба матрисаи a баробар аст: f (а)=a .

Шарти якуми изоморфизм ичро мешавад, шартхои дигари изоморфизмро мукарар мекунем. Бигузор a , ß e R ва A , B e M(P) (Q) образхои ададхои a ва ß бошанд, он гох образи суммаи ададхо ба суммаи образхои онхо баробар аст:

F (a + ß)=F (а0 + b0 + (a1 + b1 ) nJP + - + (a„_1 + bn_1 ) =

= [a0 + b0, а1 + Ъ1,..., а„_1 + Ъ„_1 ](p) =[a0, а1,...,an-1 ](P) +

+ [bo, b1,...,bn_1 ](p) = A + B = F(a)+ F(ß). Ба хамин монанд образи хосили зарбро меёбем: F (aß)=[d 0, dlv.., ]( p) = A • B = F (a) F (ß) ва

F (Äa)=ÄF (a)=ÄA

(теоремаи 1 исбот шуд) изоморфизми (2) чой дорад. Матрисаи намуди

л Г lr(V к2 )

a = [a0, a , a, a ]

- ро матрисаи квадратии тартиби 4 - уми т (кх • к2 ) - симметрй меноманд. Мачмуи матрисахои Т - симметриро бо рамзи MТ(кгк2) (Q) ишорат менамоем. Теоремаи 2. Тщтмацмуи

R = a = a + +a J2+a,^^ • k2 / a, a, a, a e Q ^ > 1, k2 > 1)

ва мацмуиматрисахои Ml(k1'k2) (Q) байниуам изоморфимебошанд, яъне

R2 = M4T(k1k2) (Q) (3)

Исбот. Барои исботи изоморфизми (3) инъикоси зеринро дохил мекунем:

FA (4), F(a) = A , A =[a0,a,a,a

Адади a ва матрисаи A бо як сатрвектор вобаста мебошанд. Бинобар дар байни элементхои тахтмачмуи R2 ва мачмуи матрисахои MT(krk2) (Q) мувофикати яккимата вучуд дорад. Шарти якуми изоморфизм ичро мешавад. Шартхои дигари изоморфизм месанчем. Бигузор a,ßeR2 ва a , b e Mj(k' k2) (Q) бошад, он гох

F (a + ß) = F (a0 + b0 + (a1 + b1 ^ + (a2 + b2 )^Jk¡, + (a3 + Ъз )VVk2 )= =[a0 + ъ0 , a + b, a + b, a+b ]T(k1k2) =

=[a0, a, a2, a ]T(k1 k2 ) + [b0, b, Ъ, Ъ ]T(k1 k2 ) = = A + B = F (a)+F (ß). Ба хамин монанд образи хосили зарбро меёбем: F (a • ß) = F (d0 + d^-yjk + d2 -¡k + ^-JK • k2 )=

= [d0, d, d2, d ]T(k1k2 ) = A^ B = F (a) F (ß) ё

F(Aa)= FA(a)=Â^ A .

Шартхои изоморфизм ичро шуданд, бинобар инъикоси дохилкардаамон (4) изоморфизми (3) -ро ифода мекунад (теоремаи 2 исбот шуд). Матрисаи намуди

fk )

2 = La0

*ï

A2 =[a0, a1,...,0](k) (*)

- ро матрисаи квадратии дудиогонала меноманд. Мачмуи матрисахои намуди (*) - ро бо рамзи M(k) (Q) ишорат мекунем. Теоремаи 3. Тщтмщмуи

{a = a + atfp / a, a eQ p > 1 pe n )= r3

(5)

ва мацмуи матрисщои m(k) (q) байни хам изоморфи мебошанд, яъне

R3 = Mf ) (Q)

исботи теоремаи 3 ба монанди исботи 1 ва 2 гузаронида мешавад.

Тавассути изоморфизмдои (2), (3) ва (5) аз ифодадои ирратсионалй радикалдоро озод мекунем: Аз ифодадои додашуда радикалдоро озод кунед. 1) -Ja + 4b + 4с = 0. (1)

Хал. Ифодаи дар тарафи чапи баробарии (1) - ро бо матрисаи мувофикояндааш инъикос мекунем. Барои ин гузоришдои 4a = ах, 4b = а2 дар тарафи чап ичро карда меёбем:

ах+а2 +

I— f а + ап

4С ^ A = 1 2

1 ^

+ j

Муайянкунандаи матрисаи a - ро дисоб мекунем:

A =

а +а2

1

а +а2

= (а + а2)2 -с = + 2аа2 + а\ -с =

= a + 24ab + b - с = a + b - с + 24ab = J. Адади J - ро ба образаш инъикос мекунем:

JJ = a + b - с + 24ab ^ B =

f a + b - с 2ab

2

a + b - с

Муайянкунандаи матрисаи B - ро дисоб мекунем: . . a + b - с 2

IB =

2ab

a + b - с

= (a + b - с)2 - 4ab.

(2)

Ифодаи (a + b - с)2 - 4ab = 0 муносибати ратсионалии байни бузургидои a, b, с - ро ифода мекунад.

2) 4a-4b-4с = 0, (3)

а=4a, а2=4ь

-1 ^

а - а2 - 4с ^ A =

а1-а2

- с

а - а2 j

-1

- с

= (а - а2 )2 - с = а,2 - 2аа + а2 - с =

= a - 24ab + b - с = a + b - с - 24ab = J ^ B =

ab - с

- 2 ^

v - 2ab a + b - с j

B =

а + b-с - 2 - 2ab а + b - с

= (a + b - с )2 - 4ab.

(4)

Ифодаи (2) ва (4) баробаранд.

3) Муносибати ратсионалии бузургидои ax, by ва с - ро баркарор кунед.

2 2 (ax )з + (by )з =

2

з = с

iKOxf + 4М - = 0.

(5)

Дар ифодаи (6) гузориши а = 4(axf ичро карда меёбем:

с

с

а, -а2

с = -с

- с 4~с + с 1 0

0 - с 4с + ах 1

(Ьу) 0 - с + с

V

Муайянкунандаи матрисаи а - ро х,исоб мекунем:

с4с + с + ^(Ьу)2 ^ А =

Л

- с 4с 1 0

А = 0 - с 4с + с 1 = (-с 4с +с )3 + Ьу = - (с 4с - с )3 + Ьу

(Ьу) 0 - с 4с +с

= (с4 -3с2с4с2 с + 3с4~с с2 -с3) + (Ьу) = -с4 + 3с2 4с2 Ц{их)2 -3с^с • $](ох)4 + (ах)2 + Ьу

= —с4 + 3с24с2 3](ах)2 -3с^сах^ах) + (ах)2 + Ьу =

= —с4 + (ах)2 + Ьу - 3с^с ах^ах + 3с24с2 • ^(ах)2 = Д. Адади Д - ро ба матрисаи мувофикояндааш инъикос мекунем:

В =

3с 2У с2

- 3с 4с ах - с4 + (ах)2 + Ьу

В =

3с 2 У с2

- с4 + (ах)2 + Ьу - 3с 4с ах 3ахс2 \1с2 - с4 + (ах)2 + Ьу

- 3с ^(ах)2 3ахс2 Vс2

V

Муайянкунандаи матрисаи В - ро х,исоб мекунем:

- с4 + (ах)2 + Ьу - 3с4с ах 3ахс2 4с2 - с4 + (ах)2 + Ьу - 3с V~сах

- 3с ^ ( ах)2 3ахс 24с2 - с4 + (ах)2 + Ьу

= (-с4 + (ах)2 + Ьу)3 + 27 (ах)4с6 4с - 27с4 (ах)4 +

+ 9с4 (ах)2 (-с4 + (ах)2 + Ьу) + 9(ах)2с4 • (-с4 + (ах)2 + Ьу) +

+ 9(ах)2с4 • (-с4 + (ах)2 + Ьу) = (-с4 + (ах)2 + Ьу)3 + 27(ах)4 • с64с -27с4(ах)4 +

+ 27(ах)2с4 • (-с4 + (ах)2 + Ьу). Тавассути муносибати ирратсионалии (1) ва муносибати ратсионалии (2) бузургих,ои а, Ь, с баъзе синфи муодилах,ои ирратсионалиро х,ал кардан мумкин аст. Баъзе мисолх,ои мушаххасро х,ал мекунем. Мисоли 1. у/х + 5 =у/4х + 9 - 4х. Тарзи 1.

Ба чои бузургих,ои а,Ь,с ифодах,ои дар та^ти радикалх,оро дар баробарии (2) мегузаронем:

(х + 5 + 4х + 9 - х)2 - 4(х + 5) • (4х + 9) = 0

(4х +14)2 -4(х + 5)• (4х + 9) = 0

16 х2 +112 х +196 - 4(4 х2 + 29 х + 45) = 0

16х2 +112х +196 -16х2 -116х -180 = 0

- 4 х +16 = 0 .

- 4х = -16.

Чдвоб: х = 4. Тарзи 2.