Исследование нестационарного температурного поля в прямоугольной пластине интерлинационным методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

MCS 65X30

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ ИНТЕРЛИНАЦИОННЫМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужная

Украинская инженерно-педагогическая академия, ул. Университетская, 16, Харьков, 61003, Украина, e-mail: zal_artem@mail.ru

Аннотация. Исследуются некоторые аспекты численной реализации интсрлинационнснч) метода конечных элементов (МКЭ) решения нестационарной задачи теплопроводности для прямоух'ольной пластины. Исследование проводится с использованием точных решений, метод построения которых предложено авторами, а также сравнением с результатами, полученными классическим МКЭ. Интерлинационный метод конечных элементов позволяет свести нестационарную задачу теплопроводности к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньших) порядка, чем в классическом методе конечных элементов.

Ключевые слова: нестационарная задача теплопроводности, метод конечных элементов, интерлинация функций.

Введение. МКЭ является одним из наиболее используемых методов решения реальных нестационарных задач но распределению температуры в областях сложной формы. Практика иногда требует решения задач с большим количеством элементов, а следовательно, и неизвестных функций С к (t) , к = 1, М, которые определяют следы Ск (t) = и (хк, Ук, t), к = 1, М приближенного решения и (х, у, t) в узлах Ак (хк, у к) эл<> ментов разбиения. Поэтому актуальной является разработка и исследование новых методов решения нестационарных задач теплопроводности, которые используют меньшее количество элементов для достижения той же точности е > 0 [1-5]. Такими методами являются методы, основанные на использовании интерлинации функций двух и трех переменных |1,2|.

В работе |5| рассмотрена аналогичная задача для прямоугольной пластины с проведением анализа численного эксперимента для случая, когда u (x,y,t) есть бесконечное число раз дифференцированная функция, по без теоретического (априорного) анализа оценок погрешности. В данной работе эти результаты анализируются также и для случая, когда точное решение u (x, y,t) G W2 (G) П C^ [0;

Основные утверждения работы. Дан анализ возможностей иптерлипациоппого метода конечных элементов па основе результатов вычислительного эксперимента.

Для ограниченной области G С R2 будем решать нестационарную краевую задачу:

ди д ( ди\ д ( ди\

Lu у) di.) ~ Ihj V2 У) Ih,) + 6 У) U = 1 У' ^ ' ^

(x,y) е G, t > 0

при следующих начальной и граничной условиях:

и (x,y, 0) = uo (x,y), (x,y) е G, G С П, П = E2, E = [0,1] , (2)

u (x,y,t)\dG = V (x,y,t)\dG ■ (3)

Считаем, что a1 (x,y) ,a2 (x,y) е C1 (G), b (x,y) е C (G), f (x,y,t) е C (G x R+), R+ = [0, то) и решение поставленной задачи удовлетворяет условиям:

1) и (x,y,t) имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно по пре-менным x и y , u(p'q'0) (x, y,t) е C (G x R+), Vt > 0 0 < p,q < 2;

2

Кроме этого, считаем, что граничная v (x, y, t) и начальная и0 (x,y) функции удовлетворяют соотношению: v (x, y, 0)\dG = и0 (x, y)\dG .

Заменим задачу (1)-(3) соответствующей задачей с однородными начальным и граничным условиями. Для этого введем вместо функции и (x, y, t) функцию v (x, y, t) следующим образом:

и (x,y,t) = v (x,y,t) + V (x, У, t) + ио (x, y) - V (x, y, 0).

v (x, y, t)

ным начальному и граничному условиям:

Lv (x,y,t) = f (x,y,t) - LV (x, y,t) - L (ио (x, y) - V (x, y, 0)) ,

v (x,У, 0) = 0, v (x,y,t)\dG = 0,

и

(x, y, t) е C2'2'1 (G x R+) = {v : v(p'q'1) (x,y,t) е C (G x R+) , 0 < p,q < 2} .

Если и — построенная указанным методом функция, то она является точным решением соответствующей начально-краевой задачи. Далее считаем начальное и граничное условия однородными.

Введем онератор-интер.иинант

т / г \ П ( \

О/ (х, у, = (т,х - г) / ( —, у, Л + ^ К (пу

¿=0 \т ' 3=0 V п '

m n / . .ч

V V ./'(—•- • / ) h (■тх - г) h (■пу - j), \ш и 1

i=0 j=0

который имеет свойства:

О/ -.,/./ ./ -.//./ . Of .г.-./ /.г.-./. / 0./,/:./ ().,/. ш ш и и

Погрешность приближения функции f (x, y,t) G C2'2'œ (G x R+) с помощью оператора-интерлинанта (при (x, y) G E ):

/(•'••//•n " OfU.y.l) =o(—2-^)= О (A4) , A = max

ш2 и2

1 1

ши

A ^ 0.

Заменим в формуле оператора-ингерлинанга каждую из функций / у, , / (;r, ^ Д) ее соответствующим интерполянтом по пространственным переменным:

f(-,y,t) *Allf(:y,t) = jrf(±'-2,t) h (п2у - £),

ш ш и2

1=0 m2

fc=0

с погрешностями

ш

./-•//•/ il,/'■://•/;■

о ( Л ) vy е [о, i] д > о

В результате получим оператор:

и

О — V* G [0,1] Д > 0.

Jf (x,y,t) = X]h (шх - i) Aiif (y,t) + S h (иУ - j) A2jf (x,t)-

i=0 mn

j=0

V V ./'(—•- • I ) h {mx - i) h (ny -j),

ши i=0 j=0 v 7

f (x, y, t)

|f (x,y,t) - Jf (x,y,t)| = O (A4) Vt > 0.

В более детальной записи имеем иптерно.ияпт:

2

т П (' £ \

3!(х,У,*) = £1' >< ("2//-')+

г=0 1=0 ^ '

2

п т / & \

■ У!1'[щ) [—>■ '{-1) '' ~ к) ~ 3=0 к=0 ^ 7

тп

-ИИЛЬ'^)к(тх~к(пу~^=

i=0 j=0

,2

1 ( ' £ \

Еh{тх-Е ''(vr^-1)h(,/i//"+ i=0 1=0 ^ 7

l=0,n,2n,...,n2

2

n m*

j=0 k=0

k=0,m,2m,...,m2

mn

+ VV/(—[ Л. (mx - i) h (n2y - jn) +

\m n J 4 y

i=0 j=0 v 7

+ h (ny — j) h (m2x — im) — h (mx — i) h (ny — j)]

со следующими свойствами:

г £ \ J i £

2 ' / •> I ' 2 '

m n2 I \m n2

=/( - -j,*) , ¿ = 0,m, £ = 0 ,/г2,

7/ ( , —, * ) = / (—) > ^ = .7 = \ш2 п ) \ш2 п )

Этот интерполянт приближает функцию f (х, у, г) с погрешностью О (А4) У > 0. Итак, порядок погрешности относительно А ^ 0 такой же, как и порядок погрешности приближения с помощью оператора-интерлинанта Ц (х,у,г) — 3и (х,у,г)1 = О (А4) (х,у) Е Е , У > 0.

Теорема. Если и (х, у, г) — точное решение задачи (1)-(3) и и Е С2'2 (Е2) Уг >

0

функция и2 будет приближать точное решение и с такой погрешностью:

зм2 (г) > о : ||и — и2||с(п) < м2 (г) а1а2 = О (А4) уг > о.

□ Для упрощения доказательства будем считать граничное условие однородным. Применяя к уравнению (1), граничному и начальному условиям (2)-(3) интегральное

преобразование Лапласа с параметром p U (x,y,p) = f u (x,y,t) e-pídí, получим для

о

функции U граничную задачу: Li[u(x,y,p)] := pu - (ai(x, y) иХ)Х - (a2(x,y) + b (x,y) u = /(x,y,p) + Uo (x,y) , (4)

(x,y) G E2 = [0,1]2 , Vp,

и (x,y,p) = 0, (x, y) G dG. (5)

Таким образом, мы пришли к эллиптической задаче (4)-(5), Считаем, что a (u,v) = J J [a1u^vX + a2u'yv'y + (p + b) uv] dxdy G V - эллиптическая, непрерывная, симметриче-

G

екая билинейная форма уравнения (4), которая удовлетворяет условиям:

Эр (p) > 0, M4 (A) : a (v, v) > p ||v||20 , a (u, v) < M4 ||u|| o ||v|| o ,

W1(G) Wi(G) Wi(G)

о

u,v G Wl (G) Vp.

и2

то справедливо такое обобщение леммы Cea |6|:

ЭК (p) > 0 : ||u — U2 !C(G) < K (p) inf ||u — w||C(G) . (6)

Здесь inf берется по функциям w G V , где V — бесконечномерное линейное пространство функций, определяемых оператором J,

V = {w = Jv : v (x, y,p) G G2'2 (G) , v|dG = 0, Vp} .

a (и, v)

выше, и u G C2'2 (E2) , то для множителя справа в формуле (6) можем написать [7]:

||u - w|C(G) < G (p) ■ A2 ■ Д2, G (p) > 0 , Vp, (7)

поскольку функция w (x,y,p) строится в виде, который имеет те же следы на линиях интерлинации, что и функция U (x, y,p) . Это означает, что погрешность U — w приближения функции U (x, y,p) с помощью функции w (x,y,p) будет определяться для

p

системе взаимно перпендикулярных прямых |7, с. 167|, Учитывая это, можно записать:

M N x y

u (x — w (x, y, t) = h (x) hj (y W / u2'2'0 П ¿) (x — £)(y — :

j yj

54 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Д^Д Серия: Математика. Фишка. 2014. №19(190). Вып. 36 откуда в изображениях получаем равенство

ММ х У

й(х,у,р) - т(х,у,р) = ^ (х) (у) / й2'2'0 (£,Ч,Р)(х - С )(у - пП) ¿ч,

а также неравенство

\\и(-, ■,Р) - ■,р)\\ < \\й2'2'0 (■, ■,р)\\ ■ А? ■ А2 ■ С, С > 0.

С учетом неравенств (6) и (7) можно утверждать, что дня приближенного решения й? (х,у,р) , найденного методом ЛИДУ, будет выполняться неравенство

ЗМ3 (р) > 0: \\й - й2\\с{с) < М3 (р) А?А? Ур, М3 (р) = К (р) ■ С (р)

при условии, что граничная задача Коши дня системы интегро-дифференциальных уравнений интерлинационного метода решается точно. ■

Замечание 1. При решении задачи (1)-(3) классическим МКЭ с кусочно-линейными

й1

разбиении области С на элементы) удовлетворяет такое неравенство:

ЗМ1 (г) > 0 : \\й - йх\\с{0) < Мх (г) так {А2?, А2?} Уг > 0 .

Итак, интерлинационный метод требует для достижения точности е = О (А4) разбиения области интегрирования на N = О (п2т2) = О (А-2) = (А = е1/4) = О (е-1/? элементов, а классический МКЭ требует дня достижения той же точности разбиения области интегрирования на N2 = О (п4т4) = О (А-4) = ^Д = = О (е-1) элементов. То есть в классическом МКЭ каждую сторону области С нужно разбивать не на п1 = О (п) п2 = О (п2)

Замечание 2. Если в формуле для т (х,у,р) следы на линиях интерлинации заменяем сплайн-интерполяционными формулами, которые приближают следы также с погрешностью О (А4) , то получаем схемы МКЭ, которые для каждого р будут иметь ту же за порядком погрешность, что и метод ЛИДУ.

Пример. Приведем результаты вычислительного эксперимента дня решения такой тестовой нестационарной задачи теплопроводности:

1--+-—2- ) (8)

дг \ дх\ ду

(х,у) е п = [0,1] х [0,1] , г> 0,

й(х1,у1, 0) = х1,у1), (х1, у1) е П

(9)

м(ж1,у1Д)|ж = 0 V > 0 . (10)

Для безразмерных переменных х = х1/1 у = у1/1 Ео = а2*/12, и* = и/и0 (и0 -постоянная, которая имеет размерность температуры) задача (8)-(10) принимает вид:

ди*(х,у,Ро) _д2и*(х,у,Ро) д2и*(х,у,Го) дРо дх2 + ду2

и*(х,у, 0) = р*(х,у) , (х,у) € С = [0,1] х [0,1] , (12)

и*(х,у,Ео)|дс = 0 , ^о > 0 . (13)

Для случая р*(х, у) = А ■ х(1 — х)у(1 — у),

/* (х, у, Ео) = Ав-Л^° ■ (2х (1 — х) + 2у (1 — у) — Ах (1 — х) у(1 — у)) ,

точное решение задачи имеет вид: и*(х, у, Ео) = А ■ в-Л^°х(1 — х)у(1 — у).

Вычислительный эксперимент проводился для решении этой задачи предложенным методом (ИМКЭ) и классическим методом (МКЭ) при условии, что соответствующие системы дифференциальных уравнений решались методом Рупге-Кутта с фиксированным шагом ДЕо : ДЕо = 0,001 (при М=3, N=3), ДЕо = 0,0001 (при М=4, N=4).

а) б)

Рис. 1. Графическое изображение точших) (а) и ириближеншнх) (б) решений.

Анализ результатов вычислительного эксперимента позволяет сделать следующие выводы:

1) максимальная погрешность при а > 1 равна произведению значений а и максимальной погрешности при а = 1 ;

2) погрешность уменьшается при увеличении числа Фурье Го (это можно объяснить тем, что правые части в системе дифференциальных уравнений уменьшаются при увеличении числа Фурье) в в-х раз, если задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений решается точно;

3) погрешность е = О (10-3) при М = N = 3 достигалась при использовании в 2,4 раза большого количества дифференциальных уравнений в МКЭ (классическом) по сравнению с ИМКЭ (интерлинационным) и при М = N = 4 в 2,8 раз большего количества дифференциальных уравнений в МКЭ но сравнению с ИМКЭ. В общем

случае интерлинационный МКЭ требует (п — 1)2 (2п + 1) количества уравнений, что на

(п2 - 1)2

Вывод. При решении задачи нестационарной теплопроводности дня квадратной пластины с погрешностью О (е2) классическим МКЭ необходимо решать задачу Коши

п4

интерполяции функции й (х,у,г) е С2'2'^ (С х К+) пространственных переменных х, у , построенной на основе сплайи-ингерлинации этих функций, позволяет уменьшить на порядок количество дифференциальных уравнений дня достижения той же но порядку точности.

Литература

1. Сергиенко И.В., Литвин О.И. Численная реализация метода ЛИДУ для уравнения нестационарной теплопроводности /7 Доповщ1 НАНУ. Сер. А. 1990. №10. С.69-73. (на украинском языке)

2. Сергиенко И.В., Литвин О.Н., Дробот Е.И. Численная реализация метода ЛИДУ для уравнения нестационарной теплопроводности с тремя пространственными переменными /7 Допов1д1 НАНУ. 2000. №2. С.67-73. (на украинском языке)

3. Сергиенко И.В., Литвин О.И., Лобанова Л.С., Залужная Г.В. Анализ вычислительных возможностей интерлинационного метода конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности /7 Доновщ НАНУ. 2014. №3. С.43-50. (на украинском языке)

4. Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужная Г.В. Численная реализация метода линейных интегро-дифференциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространственными переменными /7 Управляющие системы и машины: Киев, 2012. №4. С.11-19.

5. Литвин О.И., Лобанова Л.С., Залужная Г.В. Решение нестационарной задачи теплопроводности для пластины интерлинационным методом конечных элементов /7 Труды Международного симпозиума «Вопросы оптимизации вычислений» (ПОО - XXXV). Киев: Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, 2009. С.14-19. (на украинском языке)

6. Сьярлс Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 512 с.

7. Литвин О.И. Интерлинация функций и некоторые ее применения /7 Харьков: Основа, 2002. 544 с. (на украинском языке)

STUDY OF UNSTEADY TEMPERATURE FIELD IN RECTANGULAR PLATE BY INTERLINATION METHOD OF FINITE ELEMENTS

O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova, G.V. Zalyzhna

Ukrainian Engineering Pedagogical Academy, Universitetskaya St., 16, Kharkiv, 61003, Ukraine, e-mail: zal_artem@mail.ru

Abstract. Some aspects of numerical realization of interlination finite elements method (FEM) for solutions of non-stationary heat conduction problem in rectangular plate are studied. The research is conducted using exact solutions which are proposed by authors as well as the comparison with results obtained by classical FEM. Interlination finite elements method allows to reduce the transient problem of heat conduction to the Cauchv problem for system of ordinary differential equations of lower order than in the classical finite elements method.

Key words: transient heat conduction problem, finite elements method, functions interlination.