Исследование нестационарного горения заряда в модельной твердотопливной регулируемой двигательной установке Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

https://doi.org/10.62669/17270227.2024.2.14

УДК 531.571+536.46

1.1.9 - Механика жидкости, газа и плазмы (физико-математические науки)

Исследование нестационарного горения заряда в модельной твердотопливной регулируемой двигательной установке

А. Ю. Крайнов

Национальный исследовательский Томский государственный университет. Россия, 634050, Томск, Ленина, 36

Аннотация. На основе сопряженной модели горения смесевого твердого топлива исследовано нестационарное горение топлива при изменении давления в камере сгорания модельного малогабаритного твердотопливного регулируемого двигателя. Проведено моделирование регулирования тяги двигателя двумя способами: за счет изменения площади критического сечения сопла по заданному закону во времени; за счет изменения площади горящей поверхности топлива по заданному закону. Получено, что при резком увеличении давления скорость горения увеличивается выше квазистационарного значения, что приводит к увеличению давления в камере сгорания выше рассчитанного по квазистационарной скорости. При резком уменьшении давления скорость горения уменьшается до величины, меньшей, чем квазистационарное при соответствующем давлении, уменьшение скорости горения приводит к уменьшению давления в камере сгорания ниже рассчитанного по квазистационарной скорости. При малых величинах характерного времени релаксации камеры сгорания резкое уменьшение давления в камере сгорания приводит к погасанию горения заряда.

Ключевые слова: твердое топливо, нестационарное горение, регулирование тяги, математическое моделирование. Н Алексей Крайнов, e-mail: [email protected]. ru

Study of gas dynamics of combustion of mixed solid fuel under pressure fluctuations on the surface of the fuel

Alexey Yu. Krainov

National Research Tomsk State University (36, Lenin St., Tomsk, 634050, Russian Federation)

Summary. Based on the coupled combustion model of mixed solid fuel, unsteady combustion of fuel was studied when the pressure was changed in the combustion chamber of a model controlled small solid fuel engine. Modeling of engine thrust control system was carried out in two ways: by changing the critical section area of the nozzle over time according to a given law and by changing the area of the burning surface of the fuel according to a given law. It is found that with a sharp increase in pressure, the combustion rate increases above the quasi-stationary value, which leads to an increase in the pressure in the combustion chamber above that calculated from the quasi-stationary rate. With a sharp decrease in pressure, the combustion rate decreases to a value less than the quasi-stationary rate at the corresponding pressure. The decrease in the combustion rate leads to a decrease in the pressure in the combustion chamber below that calculated from the quasi-stationary rate. At small values of the characteristic relaxation time of the combustion chamber, a sharp decrease in pressure in the combustion chamber will lead to the extinction of the charge combustion.

Keywords: solid fuel, unsteady combustion, traction control, mathematical modeling. Н Alexey Krainov, e-mail: [email protected]. ru

ВВЕДЕНИЕ

Нестационарные процессы при работе двигателя на твердом топливе происходят на этапе выхода на стационарный режим работы после зажигания заряда, в конце горения заряда, из-за постепенного разгара сопла, из-за изменения площади горящей поверхности заряда в процессе его выгорания [1]. Для регулирования силы тяги РДТТ по величине используется возможность изменения площади критического сечения сопла (ПКС) или изменение площади горящей поверхности заряда [2]. Такие регулировки вызывают нестационарные процессы в камере РДТТ, основным из которых является изменение давления в камере сгорания. Некоторые из перечисленных процессов проходят относительно медленно (квазистационарно), некоторые могут происходить быстро, и влиять на скорость горения твердого топлива. С повышением давления зона химических реакций над поверхностью топлива приближается к его поверхности, увеличивается градиент температуры и тепловой поток к поверхности топлива. При понижении давления зона химических реакций в газовой фазе отодвигается от поверхности топлива, скорость горения

уменьшается. Мгновенная скорость горения топлива зависит от давления и от скорости изменения давления. Согласно [3, 4] с повышением давления скорость горения увеличивается, толщина прогретого слоя в конденсированной фазе уменьшается, поэтому при повышении давления горение топлива происходит в условиях «предварительно прогретого слоя пороха» [5], что приводит к эффекту «ускоренного горения». При понижении давления скорость горения топлива ниже квазистационарной, так как при высоком давлении скорость горения большая, прогретый слой под поверхностью топлива тонкий, и при резком понижении давления возникает некоторый период депрессии скорости горения, когда она ниже чем квазистационарная, из-за того, что при низком давлении необходимо создать более протяженный прогретый слой под поверхностью топлива.

В [2] было исследовано влияние изменения давления в камере сгорания на скорость горения заряда твердотопливной регулируемой двигательной установки (ТРДУ). Исследование проведено с использованием трех моделей нестационарного горения заряда топлива (модели Я.Б. Зельдовича, модели Б.В. Новожилова и линеаризованной модели Б.В. Новожилова) [2]. При возрастании давления скорость горения выше квазистационарной, при убывании - ниже. Однако в изложенном в [2] подходе нет обратной связи между скоростью горения и изменением давления в камере сгорания из-за переменной скорости горения.

В [6 - 10] представлены математические модели горения металлизированного смесевого твердого топлива, в которых учитывается тепловой эффект разложения конденсированной фазы, конвекция, диффузия, экзотермическая химическая реакция в газовой фазе, нагрев и горение частиц алюминия в потоке газа, скоростное отставание частиц от газа. На поверхности топлива ставятся условия равенства потоков массы и энергии. Разработанная модель нестационарного горения твердого ракетного топлива применена для исследования нестационарного горения металлизированного смесевого твердого топлива при гармоническом изменении давления над его поверхностью [11]. Получена связь между амплитудой и частотой изменения давления и амплитудой изменения скорости горения. В [12] представлены результаты численного моделирования нестационарного горения пороха при быстром росте давления. Скорость роста давления задавалась в широком интервале возможных скоростей (от условий, близких к скорости изменения давления в ТРДУ до значений, характерных для скорости роста давления в заснарядном пространстве при артиллерийском выстреле, 2^72 ГПа/с). Получены количественные данные об отклонении скорости горения при быстром росте давления от стационарных значений скорости горения при постоянном давлении. В [13] представлены результаты моделирования нестационарного горения твердого топлива в камере сгорания ТРДУ в условиях изменения давления в ней. Регулирование моделировалось мгновенным изменением ПКС. Получены количественные данные об отклонении скорости горения топлива от скорости его квазистационарного горения при изменении давления в камере сгорания ТРДУ и связанная с этим динамика изменения давления в камере сгорания. С использованием моделей нестационарного горения твердого ракетного топлива и газодинамики течения продуктов его сгорания проведено моделирование нестационарного горения зарядов и течения продуктов в Т-камере [14]. Проведен расчет акустической проводимости горящей поверхности пороха Н. Расчетно-теоретические зависимости акустической проводимости поверхности горения твердого ракетного топлива от частоты колебаний давления и среднего давления в Т-камере совпали с имеющимися аналогичными экспериментальными зависимостями. В [15] представлены результаты теоретического исследования горения заряда, состоящего из зерен высокоэнергетического материала, в манометрической бомбе постоянного объема. Проведено сравнение экспериментально замеренной зависимости роста давления в манометрической бомбе с расчетами по термодинамической модели горения навески высокоэнергетического материала с использованием эмпирического закона зависимости скорости горения от давления и по сопряженной модели нестационарного горения. Получено хорошее совпадение расчетов с экспериментальными измерениями.

В настоящей работе ставится задача на основе сопряженной модели горения смесевого твердого топлива (СТТ) исследовать нестационарное горение при изменении давления в камере сгорания ТРДУ с учетом обратного влияния изменения скорости горения на давление в камере сгорания. Провести моделирование регулирования тяги двигателя двумя способами: за счет изменения ПКС по заданному закону во времени; за счет изменения площади горящей поверхности топлива по заданному закону. Для моделирования используется модель, представленная в [15]. Для расчета параметров состояния продуктов сгорания в камере сгорания используется термодинамический подход, в котором не учитывается распределение параметров состояния продуктов сгорания по объему камеры сгорания, как в [15]. В отличие от [15] в уравнениях для определения параметров состояния продуктов сгорания в свободном от заряда объеме камеры сгорания учитывается расход газа через сопло по формулам звукового истечения.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Проводится расчет внутрибаллистических процессов в модельном малогабаритном ТРДУ со следующими характеристиками: камера сгорания имеет объем Ж0, масса заряда ТРТ тшг, заряд трубчатый с бронированными торцами, вложенный в камеру сгорания. ПКС

переменная, меняется мгновенно по заданной циклограмме изменения. Определить изменение давление в камере сгорания, скорости горения твердого топлива, удельного импульса, силы тяги.

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

Известно [16], что характерное время релаксации процессов в твердой фазе СТТ определяется выражением:

схРх ИР))

где и( р)

— линейная скорость горения твердого топлива, Т — коэффициент теплопроводности СТТ, с — удельная теплоемкость, р — плотность.

Характерное время релаксации камеры сгорания определяется выражением:

Ж

Ч = -1 , (2)

С ^ V-! I 2у

ЯТп ■ Б

у +1) \у +1 0

где Ж — свободный объем камеры сгорания, Б — площадь критического сечения сопла, у — показатель адиабаты, Я — газовая постоянная, Т0 — температура продуктов горения к камере сгорания.

При уменьшении давления в камере сгорания, когда ^ >> ^ следует ожидать, что за

время создания более широкого прогретого слоя в топливе соответствующего новому меньшему стационарному давлению, произойдет уменьшение давления в камере сгорания ниже квазистационарного, так как газоприход от горения будет меньше, чем расход газа через сопло. При гс = ^ или гс < ^ будет происходить перестройка параметров в камере

сгорания почти в квазистационарном режиме. Приведенные рассуждения имеют качественный характер. Количественные характеристики можно получить из решения системы уравнений математической модели [15].

РЕЗУЛЬТАТЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ И ОБСУЖДЕНИЕ

Численное решение задачи выполнено при следующих значениях физических величин (обозначения величин как в [15]): Теплофизические и формально-кинетические параметры

топлива (конденсированной фазы) с1 = 1465 Дж/(кгК), = 0.25 Вт/(мК), рх = 1600кг / м3, Q1 = 0.5568 МДж/кг, к01 = 2.0109 с'1, Е1 = 80 кДж/моль. Теплофизические и формально-кинетические параметры газовой фазы с2 = 1465 Дж/(кгК), су = 1200.6 Дж/(кгК), У = с2/с„ = 1.22022, Я = с2-су = 264.4 Дж/(кгК), а = 1.034• 103 мъ/кг, Х2 = 0.066 Вт/(мК), Q2 = 2.679 МДж/кг, Е2 = 186.106 кДж/моль, к02 = 7.410 с' . Начальная температура топлива Т0 = 292 К, начальное давление в камере сгорания (соответствует давлению, при котором срывается сопловая заглушка) р0 = 2 МПа, т2аг = 1.508 кг, W0 = 9.9 • 10 4 м3.

При расчете по термодинамической модели с использованием квазистационарного

3 3 3

закона скорости горения приняты следующие величины: 8 = 1600 кг/м , а = 1.034 • 10" м /кг, е = 0.01 м, а = 3.36881 • 10"6 м/(Па" • с), 0 = 2.9921 МДж/кг, " = 0.5, у = 1.22022,

С = 1200.6 Дж/(кгК), Я = 264.4 Дж/(кгК), %г = 1, ^ = 0, ^ = 0, Л0 = 9.425•Ю"4 м3,

5 = 9425•10"2 м2, ^(Ч) = , Л = , 20 =¥(10)/х/ , длина заряда

0.5 м, диаметр 0.05 м, диаметр внутреннего канала 0.01 м.

Расчеты проводились для двух вариантов регулирования тяги двигателя: за счет изменения ПКС; за счет изменения площади горящей поверхности заряда. Циклограмма изменения ПКС задавалась в виде ступенчатой функции:

^ (Г) = при* е{[0,0.1]; [0.2,0.3]; [0.4,0.5]; [0.6,0.7]; [0.8, ^]}, = 1.807 • 10 4м2,

^ (*) = при * е {(0.1,0.2); (0.3,0.4); (0.5,0.6); (0.7,0.8)}, = 4.04• 10 4м2.

Циклограмма изменения площади горящей поверхности заряда также задавалась в виде ступенчатой функции так, что площадь горящей поверхности менялась в моменты времени достижения заданных величин относительного объема сгоревшей части заряда щ :

5 (щ) = 50Д при щ е {[0,0.15]; [0.17,0.27]; [0.3,0.4]; [0.42,0.52]; [0.54,1.0]},

5 (щ) = при щ е {(0.15,0.17); (0.27,0.3); (0.4,0.42); (0.52,0.54)}, 50Д = 9.425 • 10"2 м2,

5ог = 4.123 • 102 м2 (Величины щ подобраны таким образом, чтобы изменение площади горящей поверхности происходило в те же моменты времени, в какие изменялась ПКС; величины ^ 1, 2 подобраны таким образом, чтобы давление в камере сгорания было в соответствующие периоды времени как в расчетах для варианта изменения ПКС).

Результаты расчетов регулирования тяги за счет изменения ПКС представлены на рис. 1 - 3, где черными линиями показаны результаты расчета по нестационарной модели горения СТТ, серыми линиями - расчеты по термодинамической модели с использованием эмпирического закона скорости горения СТТ.

При резком изменении ПКС в момент времени 0.1 с в камере сгорания происходит понижение давления из-за понижения скорости горения заряда, обусловленного перестройкой прогретого слоя под поверхностью топлива. Период перестройки прогретого слоя составляет 0.016 с. После этого скорость горения достигает величины, соответствующей

определяемой по эмпирической формуле и = ар". При уменьшении ПКС в момент времени 0.2 с скорость горения возрастает и превышает значение, вычисленное по эмпирической формуле. Последующие изменения величины ПКС также вызывают понижение скорости горения относительно квазистационарного значения при увеличении ПКС и превышение квазистационарного значения при уменьшении ПКС. Однако эти отличия по мере выгорания заряда и увеличения свободного объема камеры уменьшаются, так как увеличивается

характерное время релаксации камеры сгорания. На рис. 1, с представлена зависимость от времени пустотного удельного импульса тяги, рассчитанного по формуле /^ = V¡^,

V =

2у p

Видно, что при увеличении ПКС удельный импульс уменьшается, при

У-1 Р

уменьшении ПКС — увеличивается. После окончания нестационарных переходных процессов значение удельного импульса выходит на стационарное значение. В расчетах с учетом нестационарной скорости горения амплитуда изменения удельного импульса выше (рис. 1, с). На рис. 1, ё представлена зависимость тяги двигателя, рассчитанная по формуле ¥ = V ■ , где ^ — секундный массовый расход продуктов сгорания через сопло. Видно, что при увеличении ПКС тяга двигателя резко увеличивается, при уменьшении ПКС — уменьшается. Это объясняется большим массовым расходом продуктов горения при увеличении ПКС, и его уменьшением при резком уменьшении ПКС. После окончания нестационарных переходных процессов значение силы тяги выходит на стационарное значение.

12-,

4-

п

0.012

.о 0.008-Я sf

0.004 -

280 -| 260240! " 220200180

0.4 0.8 1.2

t, С

a)

Г

г

п

-1-1-1-1

0.4 0.8 1.2

t, С

b)

юооо -,

8000-

я

Рч"

6000-

4000-

2000-

г

0-,

1-1-1-1-1-1-1

0 0.4 0.8 1.2 0 0.4 0.8 1.2

t, С t, С

c) d)

Рис. 1. Зависимость давления (а), скорости горения (b), удельного импульса (с), силы тяги (d) от времени при изменении величины ПКС

Fig. 1. Dependence of pressure (a), burning speed (b), specific impulse (c), thrust force (d) on time when changing the value of the critical section of the nozzle

Как видно из рис. 1 наибольшие отклонения скорости горения и других величин происходят при первом изменении ПКС. В момент времени 0.1 с часть заряда выгорела, величина свободного объема камеры сгорания увеличилась. Значения характерных времен,

рассчитанные по формулам (1) и (2): tc = 1.07 -103 с, ^ = 0.85-103 с. Видно, что

выполняется условие, когда ^ = ^. С увеличением выгорания заряда в камере сгорания

величина свободного объема камеры увеличивается, соответственно tk увеличивается.

В момент времени 0.5 с tk = 2.55-10"3 с, в момент времени 0.7 с tk = 3.4-103 с .

На рис. 2 представлены изменения давления и скорости горения СТТ от времени, когда момент времени первого увеличения ПКС уменьшен. В этом случае глубина уменьшения давления и скорости горения увеличивается, период выхода на квазистационарные их значения увеличивается. При увеличении ПКС в момент времени 0.05 с происходит погасание топлива (рис. 2, кривые 3). Это объясняется малым временем релаксации камеры

из-за малого свободного ее объема, 1к = 0.425 -103 с, при котором скорость падения давления в камере сгорания большая. В этом варианте уменьшение давления от 10 МПа до 2МПа происходит за время 0.00217 с, скорость уменьшения давления составляет 3.7 ГПа/с.

В [4] приведены области, при которых происходит погасание пороха при сбросе давления, либо продолжение его горения в поле безразмерных параметров Н = рк/р0 и

тт. \ Мр/М

Ж =---—, и0 - скорость горения пороха при давлении р0, рк - конечное давление при

С1Р1 щр0

спаде давления, Ж - безразмерная скорость спада давления. Эти области получены из обработки экспериментальных данных о погасании пороха Н. В [17] на основе модели нестационарного горения пороха Н эта область получена расчетным путем. Несмотря на то, что в данной работе исследуется нестационарное горение СТТ, определим величины Н, Ж для вариантов расчета, приведенных на рис. 2. Для всех вариантов Н = 0.2, для вариантов 1 - 3 (рис. 3) параметр Ж имеет значения: Щ = 0.27 , Ж2 = 0.326, Щ = 0.405 . Точка Щ = 0.405, Н = 0.2 принадлежит области параметров, когда происходит погасание топлива [17], точки (Щ , Н = 0.2) и ( Щ, Н = 0.2) попадают в область продолжения горения топлива после резкого понижения давления.

О 0.04 0.08 0.12 О 0.04 0.08 0.12

t, с t, с

a) b)

Рис. 2. Зависимость давления (а), скорости горения (b) от времени при первом увеличении ПКС

в момент времени 0.1 с (1), 0.075 с (2), 0.05 с (3)

Fig. 2. Dependence of pressure (a), burning rate (b) on time during the first increase in the critical section of the nozzle at time 0.1 s (1), 0.075 s (2), 0.05 s (3)

Было проведено моделирование варианта регулирования тяги РДТТ с использованием изменения площади горящей поверхности заряда по заданному закону во времени. Результаты расчетов представлены на рис. 3. Из рисунка видно, что изменение давления, скорости горения СТТ и удельного импульса тяги в переходных процессах при мгновенном изменении площади горящей поверхности по величине идентичны результатам расчета при изменении ПКС. Сила тяги при скачкообразном изменении площади горящей поверхности заряда претерпевает скачки меньшей амплитуды. Это объясняется тем, что в этом варианте регулирования величина ПКС остается неизменной, а расход продуктов сгорания через сопло определяется площадью горящей поверхности.

4-

п г г

0.012 -

.о 0.008-sf 0.004 -

С

0 0.4 0.8 1.2

t, С

280-

260-

240-

220-

200-

180-

a)

TVtV"

5000-,

4000 -f—

~~1 1 г~

0.4 0.8

t, С

b)

1.2

3000-

X

Ин"

2000-

1000-

г л

0.4

0.8

1.2

0.4

0.8

1.2

t, С t, С

c) d)

Рис. 3. Зависимость давления (а), скорости горения (b), удельного импульса (с), силы тяги (d) при изменении величины площади горящей поверхности заряда

Fig. 3. Dependence of pressure (a), burning rate (b), specific impulse (c), traction force (d) when changing the area of the burning surface of the charge

Было замечено, что при расчете по нестационарной модели горения смесевого твердого топлива при рассматриваемых условиях все представленные на рис. 1 и 3 параметры имеют забросы значений в переходных режимах. В то же время, при расчете по термодинамической модели с использованием эмпирического закона скорости горения смесевого твердого топлива на рис. 1 и 3 у скорости и давления наблюдается плавный переход, а у удельного импульса тяги видны скачки, практически идентичные расчету по детальной модели. Это объясняется тем, что изменение удельного импульса определяется изменением скорости истечения газа из камеры сгорания, которая пропорциональна квадратному корню от

( пг,-Л

температуры в камере сгорания

V =

2/ '/-1

RT

При увеличении ПКС происходит

V У

уменьшение давления в камере сгорания, в течение некоторого промежутка времени расход газа через сопло превышает приход газа от горения топлива. Это приводит к временному понижению температуры в камере сгорания, а значит к уменьшению скорости и удельного импульса тяги. При уменьшении ПКС соответственно происходит кратковременное увеличение температуры в камере сгорания. Изменение температуры в камере сгорания в этих процессах слабо зависит от скорости горения топлива, поэтому при расчете по двум моделям горения топлива изменение удельного импульса тяги мало отличаются. При расчетах варианта регулирования тяги РДТТ с использованием изменения площади горящей поверхности заряда по заданному закону во времени в переходных процессах также происходят изменения температуры в камере сгорания и соответствующие изменения удельного импульса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе сопряженной модели горения твердого топлива исследовано нестационарное горение СТТ при изменении давления в камере сгорания модельной ТРДУ. Проведено моделирование регулирования тяги двигателя двумя способами: за счет изменения ПКС по заданному закону во времени; за счет изменения площади горящей поверхности топлива по заданному закону. Получено, что при резком уменьшении давления скорость горения уменьшается до величины меньшей, чем рассчитанная по эмпирической формуле при соответствующем давлении. Уменьшение скорости горения приводит к уменьшению давления в камере сгорания ниже рассчитанного по эмпирической формуле для зависимости скорости горения от давления. При малых величинах характерного времени релаксации камеры сгорания резкое уменьшение давления в камере сгорания может привести к погасанию горения заряда. При резком увеличении давления скорость горения увеличивается выше квазистационарного значения, что приводит к увеличению давления в камере сгорания выше рассчитанного по формуле для квазистационарной скорости горения.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ 24-21-00071.

The study was carried out with financial support from the Russian Science Foundation grant 24-21-00071.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Орлов Б. В., Мазинг Г. Ю. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе. М.: Машиностроение, 1979. 392 с.

2. Твердотопливные регулируемые двигательные установки / РАРАН / Ю. С. Соломонов и др.; под ред. А. М. Липанова, Ю. С. Соломонова. М.: Машиностроение, 2011. 416 с.

3. Зельдович Я. Б., Лейпунский О. И., Либрович В. Б. Теория нестационарного горения пороха. М.: Наука, 1975. 132 ^

4. Новожилов Б. В. Нестационарное горение твердых ракетных топлив. М.: Наука, 1973. 175 ^

5. Ассовский И. Г. Физика горения и внутренняя баллистика. М.: Наука, 2005. 357 с.

6. Порязов В. А., Крайнов А. Ю. Расчет скорости горения металлизированного смесевого твердого топлива с учетом распределения агломератов по размерам // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89, № 3. С. 568-574.

7. Порязов В. А., Крайнов А. Ю. Математическая модель и расчет нестационарной скорости горения металлизированных твердых ракетных топлив // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. С. 99-111. https://doi.org/10.17223/19988621/50/9

8. Poryazov V. A., Krainov A. Yu., Krainov D. A. A mathematical model of meta llized solid propellant combustion under the changing pressure // MATEC Web of Conferences, 2017, vol. 115, 03001. https://doi.org/10.1051/matecconf/20171150300

REFERENCES

1. Orlov B. V., Mazing G. Yu. Termodinamicheskiye i ballisticheskiye osnovy proyektirovaniya raketnykh dvigateley na tverdom toplive [Thermodynamic and ballistic principles of designing solid fuel rocket engines]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1979. 392 p.

2. Tverdotoplivnyye reguliruyemyye dvigatel'nyye ustanovki [Solid propellant adjustable propulsion systems] / RARAN / Yu. S. Solomonov et al.; edited by A. M. Lipanova,

Yu. S. Solomonova. Moscow: Mashinostroenie Publ., 2011. 416 p.

3. Zel'dovich Ya. B., Leypunskiy O. I., Librovich V. B. Teoriya nestatsionarnogo goreniya porokha [Theory of unsteady combustion of gunpowder]. Moscow: Nauka Publ., 1975. 132 p.

4. Novozhilov B. V. Nestatsionarnoye goreniye tverdykh raketnykh topliv [Unsteady combustion of solid rocket fuels] Moscow: Nauka Publ., 1973. 175 p.

5. Assovskiy I. G. Fizika goreniya i vnutrennyaya ballistika [Physics of Combustion and Internal Ballistics]. Moscow: Nauka Publ., 2005. 357 p.

6. Poryazov V. A., Krainov A. Y. Calculation of the rate of combustion of a metallized composite solid propellant with allowance for the size distribution of agglomerates. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2016, vol. 89, no. 3, pp. 579-586. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1414-8

7. Poryazov V. A., Kraynov A. Yu. Matematicheskaya model' i raschet nestatsionarnoy skorosti goreniya metallizirovannykh tverdykh raketnykh topliv [Mathematical model and calculation of the unsteady combustion rate of the metallized solid rocket propellants]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics], 2017, no. 50, pp. 99-111.

(In Russian). https://doi.org/10.17223/19988621/50/9

8. Poryazov V. A., Krainov A. Yu., Krainov D. A.

A mathematical model of metallized solid propellant combustion under the changing pressure. MATEC Web of Conferences, 2017, vol. 115, 03001. https://doi. org/10.1051 /matecconf/20171150300

9. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Krainov D. A. Numerical simulation of the unsteady combustion of solid rocket propellants at a harmonic pressure change // Journal of Mechanical Science and Technology. 2020. 34(1). pp. 489-497. https://doi.org/10.1007/s12206-019-1246-5

10. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Krainov D. A. Unsteady Combustion Modeling of Metallized Composite Solid Propellant // International Review on Modelling and Simulations (I.RE.MO.S.), 2018, vol. 11, no. 5, pp. 297-305. https://doi.org/10.15866/iremos.v11i5.15020

11. Крайнов А. Ю., Порязов В. А. О влиянии гармонического колебания давления на скорость горения металлизированного смесевого твердого топлива // XVI Всероссийского симпозиума по горению и взрыву: тезисы докладов. Черноголовка, 2022. С. 179-180.

12. Крайнов А. Ю., Порязов В. А. Численное моделирование нестационарного горения пороха при быстром росте давления на основе сопряженной модели горения // Инженерно-физический журнал. 2022. Т. 95, № 1. С. 185-193.

13. Крайнов А. Ю., Порязов В. А., Моисеева К. М. Численное моделирование нестационарного горения твердого топлива в камере сгорания регулируемой твердотопливной двигательной установки // Инженерно-физический журнал. 2022. Т. 95, № 6. С. 1633-1643.

14. Крайнов А. Ю., Порязов В. А., Моисеева К. М. Моделирование нестационарного горения твердого топлива в камере сгорания и расчет акустической проводимости поверхности горения топлива // Инженерно-физический журнал. 2023. Т. 96, № 3. С. 692-702.

15. Крайнов А. Ю., Моисеева К. М., Порязов В. А. Численное моделирование нестационарного горения высокоэнергетического материала в закрытом объеме на основе сопряженной модели горения // Химическая физика и мезоскопия. 2023. Т. 25, № 3. С. 310-320. https://doi.Org/10.15350/17270529.2023.3.27

16. Калинин В. В., Ковалев Ю. Н., Липанов А. М. Нестационарные процессы и методы проектирования узлов РДТТ. М.: Машиностроение. 1986. 216 с.

17. Крайнов А. Ю., Порязов В. А. Численное моделирование погасания пороха Н при резком сбросе давления на основе сопряженной модели горения // Физика горения и взрыва. 2015. Т. 51, № 6. С. 47-52. https://doi.Org/10.15372/Р0У20150607

9. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Krainov D. A. Numerical simulation of the unsteady combustion of solid rocket propellants at a harmonic pressure change. Journal of Mechanical Science and Technology. 2020. 34(1).pp. 489-497. https://doi.org/10.1007/s12206-019-1246-5

10. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Krainov D. A. Unsteady Combustion Modeling of Metallized Composite Solid Propellant. International Review on Modelling and Simulations (I.RE.MO.S.), 2018, vol. 11, no. 5, pp. 297-305. https://doi.org/10.15866/iremos.v11i5.15020

11. Krainov A. Yu., Poryazov V. A. O vliyanii garmonicheskogo kolebaniya davleniya na skorost' goreniya metallizirovannogo smesevogo tverdogo topliva [On the influence of harmonic pressure fluctuations on the combustion rate of metallized mixed solid fuel]. XVI Vserossiyskogo simpoziuma po goreniyu i vzryvu. Tezisy dokladov. [Abstracts of the XVI All-Russian Symposium on Combustion and Explosion]. Chernogolovka, 2022, pp. 179-180. (In Russian).

12. Krainov A. Yu., Poryazov V. A. Numerical simulation of unsteady gunpowder combustion at a rapid rise in pressure on the basis of a conjugate combustion model. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2022, vol. 95, no. 1, pp. 184-192. https://doi.org/10.1007/s10891 -022-02466-2

13. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Moiseeva K. M. Numerical simulation of the nonstationary burning of a solid propellant in the combustion chamber of a controllable solid-propellant propulsion system. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2022, vol. 95, no. 6, pp. 1604-1614. https://doi.org/10.1007/s10891-022-02629-1

14. Krainov A. Yu., Poryazov V. A., Moiseeva K. M. Simulation of the nonstationary burning of a solid propellant in a combustion chamber and calculation of the acoustic admittance of the combustion surface of this propellant]. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2023, vol. 96, no. 3. pp. 688-699. https://doi.org/10.1007/s10891 -023-02730-z

15. Kraynov A. Yu., Moiseeva K. M., Poryazov V. A. Chislennoe modelirovanie nestatsionarnogo goreniya vysokoenergeticheskogo materiala v zakrytom ob"eme na osnove sopryazhennoy modeli goreniya [Numerical Simulation of Non-Stationary Combustion of a High-Energy Material in a Closed Volume on the Basis of the Adjoint Combustion Model]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2023, vol. 25, no. 3, pp. 310-320. (In Russian). https://doi.org/10.15350/17270529.2023.3.27

16. Kalinin V. V., Kovalev Yu. N., Lipanov A. M. Nestatsionarnyye protsessy i metody proyektirovaniya uzlov RDTT [Non-stationary processes and methods for designing solid propellant rocket engines]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1986. 216 p.

17. Krainov A. Yu., Poryazov V. A. Numerical simulation of the extinction of N powder by a pressure drop based on a coupled combustion model. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 2015, vol. 51, no. 6, pp. 664-669. https://doi.org/10.1134/S0010508215060076

Поступила 23.04.2024; после доработки 05.06.2024; принята к опубликованию 07.06.2024 Received April 23, 2024; received in revised form June 5, 2024; accepted June 7, 2024

Информация об авторе Крайнов Алексей Юрьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики ТГУ, Томск, Российская Федерация, e-mail: [email protected]. ru

Information about the author Aleksey Yu. Krainov,

Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation