CC BY
29
УДК 519.872
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМАРКОВСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ RQ-СИСТЕМЫ С КОНФЛИКТАМИ ЗАЯВОК
Т. В. Любина, А. А. Назаров
RESEARCH OF NON-MARKOVIAN DYNAMIC RQ-SYSTEM WITH CONFLICTS OF DEMANDS
T. V. Lyubina, A. A. Nazarov
Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», проект № 11803.
В статье рассматривается немарковская RQ-система с конфликтами заявок, управляемая динамической дисциплиной обслуживания. Проводится анализ этой RQ-системы и находится характеристическая функция распределения вероятностей P(i) числа заявок в источнике повторных вызовов. Найдено условие существования стационарного режима RQ-системы. Получено распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов для гамма-распределения времени обслуживания, а также для экспоненциального времени обслуживания.
In article the non-Markovian RQ-system with conflicts of the demands, controlled dynamic discipline of service is considered. The analysis of this RQ-system is carried out and there is a characteristic function of distribution of probabilities of number of demands in a source of repeated calls. The condition of existence of a stationary mode of RQ-system is found. Distribution of probabilities of number of demands in a source of repeated calls for holding time gamma distribution, and also for an exponential holding time is received.
Ключевые слова: RQ-система, динамический протокол доступа, конфликт заявок, пропускная способность.
Keywords: RQ-system, the dynamic report of access, the conflict of demands, throughput.
Введение
Исследование математических моделей компьютерных сетей связи является необходимым для обеспечения надёжной передачи данных. Методы теории массового обслуживания [1 -3] являются наиболее действенными в проведении таких исследований, в частности, при исследовании RQ-систем (Retrial Queueing systems) [4 - 7], которые являются адекватными математическими моделями компьютерных сетей связи. В монографии J. R. Artalejo,
A. Gomez-Corral [4] приведено более семисот ссылок на работы по этой тематике, опубликованные за последние двадцать лет.
Большого внимания заслуживают вопросы исследования математических моделей сетей связи случайного доступа [8 - 10]. Особенностью протоколов случайного множественного доступа является то, что для станций не вводится изначальной строгой очерёдности. Каждая станция после появления у неё готового пакета вправе его передавать сразу же, как только обнаружит канал свободным. При этом не исключена возможность возникновения конфликта [11, с. 38], если произойдёт наложение и искажение сигналов, передающих сообщение. В подобных случаях станция прекращает передачу и генерирует случайную задержку, после которой вновь пытается занять канал. Представляет интерес рассмотрение моделей, учитывающих интервалы недоступности прибора (моноканала), когда реализуется этап оповещения о конфликте [12, с. 94 - 111] и комплексное исследование процессов функционирования прибора и источника повторных вызовов.
Исследованию математических моделей компьютерных сетей связи в виде систем массового об-
служивания (СМО) с источником повторных вызовов посвящены работы А. А. Назарова, А. Н. Ду-дина, И. И. Хомичкова [1, 8 - 10, 13 - 14] и др. Однако ряд задач, посвящённых исследованию ЯР-систем и моделей сетей случайного доступа, остаётся не решённым, и для них требуется разработка оригинальных методов исследования, в частности, недостаточно исследованы системы с динамическим протоколом доступа.
В данной статье проведем исследование немарковской ЯР-системы с конфликтами заявок, управляемой динамической дисциплиной обслуживания.
1. Математическая модель
Рассмотрим немарковскую однолинейную динамическую ЯР-систему, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью Я (рис. 1). Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, имеющего произвольную функцию распределения В(х). Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. Обе заявки, попавшие в конфликт, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), из которого с динамической (зависящей от состояния ИПВ) интенсивностью а / г вновь обращаются к прибору с попыткой повторного его захвата, то есть вероятность обращения к прибору за время Д t для любой
заявки из ИПВ составляет аД t + о (Д t), если в
г
ИПВ находится г заявок. Если прибор свободен, то поступающая заявка становится на обслуживание,
если же он занят, то вновь возникает конфликт заявок и процедура его разрешения повторяется.
к(і) =
0, если прибор свободен,
Рис. 1. Немарковская динамическая RQ-система с конфликтами заявок
Задачей данной работы является нахождение распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов.
1, если прибор занят,
г(0 - длина интервала от момента t до момента окончания текущего режима функционирования прибора при к (ь) = 1 в момент времени t.
Компонента х(() определяется только в те моменты, когда к(ь) = 1, если к(ь) = 0, то компонента х(Г) не определяется. Обозначим Р| к(ь) = 0, г(ь) = г} = Р(0,г,Ь),
Р{ к(ь) = 1, г(ь) = г,г(ь) < г} = Р(1,}г,ь).
Процесс {к(ь),г(ь),г(ь)} изменения во времени состояний описанной системы является марковским.
Для распределения вероятностей Р(к, г, г, ь) состояний {к, г, г} рассматриваемой Яр-системы Аь -
методом по формуле полной вероятности составим систему равенств:
2. Исследование немарковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок
Пусть і(Ь) - число заявок в ИПВ, к(Ь) - определяет состояние прибора следующим образом:
Р(0, 0, Ь + АІ) = Р(0, 0, Ь) (1 - ЛАЬ) + Р(1, 0, АЬ, Ь) + о(АЬ) ,
Р(1,0, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1,0, г, Ь) — Р(1,0, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) + Р (,0, Ь ^ЛАЬВ(г) + Р (,1, Ь (аАЬВ(г) + о(АЬ),
Р(0,1, Ь + АЬ) = Р(0,1, Ь( (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р(1,1, АЬ, Ь) + о(АЬ),
Р(1,1, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1,1, г, Ь) — Р(1,1, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р (0,1, Ь) ЛАЬВ(г) +
+ Р (0,2, Ь (аАЬВ(г) + о(АЬ), (1)
Р(0,і,Ь + АЬ) = Р(0,і,Ь(1 — ЛАЬ)(1 — аАЬ) + Р(і,і, АЬ,Ь( + Р(і,і — 2,Ь)ЛАЬ + Р(і,і — 1,Ь(аАЬ + о(АЬ),
Р(1, і, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1, і, г, Ь) — Р(1, і, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р (0, і, Ь (ЛАЬВ(г) +
+ Р (0, і + 1, Ь (аАЬВ(г) + о( АЬ),
применяя которые, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова и запишем её для стационарного распределения Р(0,г,ь) = Р(0,г),
Р(1, г, г, ь) = Р(1, г, г):
дР(1, 0,0)
—Р (0,0)Л
д г
= 0,
д Р (1,0, г) дР (1,0,0)
— Р (1, 0, г)Л +
дг д г
+Р (0, 0 (Л В (г) + Р (0,1 (а В (г) = 0,
—Р(0,1)(Л дР(1,1, г)
а) + дР(1.1.0) = а
дР(1,1,0)
дг
— Р(1,1, г )(Л + а) + (2)
дг дг
+Р (0,1 (ЛВ(г) + Р (0,2 (аВ(г) = 0,
_Р(0,,)(Л + а) + «М +
дг
+Р (1, і — 2 ( + Р (1, і — 1 (а = 0, дР(1, і, г) дР(1, і, 0)
— Р(1, і, г )(Л + а) +
дг дг
+Р (0, г )ЛВ(г) + Р (0, г + 1 )<тВ(г) = 0.
Чтобы решить систему (2), определим характеристические функции:
¥
Н(0, и) = ^ е]шР(0, г),
г=0 ¥
н(1, и, г) = ^ е]шР(1, г, г). (3)
г=0
Тогда из системы (2) с учётом равенств (3) получаем следующую систему уравнений для функций
Н(0, и) и Н(1, и, г):
Вестник КемГУ
№ 1 (49) 2012
—Н (0, и) (Л + а) + Р(0,0)а + дН (1, и,0) + Н (1, и)в2 іиЛ + Н (1, и)віи а — Р(1,0)І а = 0,
дг
дН (1, и, г) дН (1, и, 0)
дг дг
—Р (0,0 (в—іи аВ(г) = 0,
— Н(1, и, г)(Л + а) + Р(1,0, г)а + Н(0, и)ЛВ(г) + Н(0, и)в іиаВ(г) —
(4)
которая является системой двух уравнений с двумя основными неизвестными Н(0, и), Н(1, и) и четырьмя вспомогательными неизвестными
дН(1, и,0), Р(0,0), Р (1,0) и Р(1,0, г).
дг
Нахождение вспомогательных неизвестных Из первых двух уравнений системы (2) неизвестные Р (1,0) и Р(1,0, г) выразим через величину Р(0,0). Для этого второе уравнение системы (2) запишем в виде:
ЙР(1,0, z)
&
-- Р(1,0, 2)Х =
°Р(1Д0) - Р(0,0)щ2) - Р(0,1>гВ(2), 02
откуда получим:
Р(1,0, 2) =
= \в-Хх
0Р(1,0,0)
02
- р(0,0)щ х) - Р(0,\)оВ( х)
>ёх.
(5)
Так как Л > 0, следовательно, Пт еЛг = ¥,
г -^¥
отсюда следует, что для второго сомножителя выполняется предельное равенство:
-л, . дРд,а0,0) - Р(0,0)ЛБ(Х) -
—Р (0,1 )аБ(х)
Тогда, определяя здесь значения интегралов по лучим равенство:
дР(1,0,0)
дх
■ — Р(0,0)ЛВ (Л) — Р(0,1 (аВ (Л) = 0,
В *(Л) = J е—ЛхёВ(х).
истемы (2) с
= Р(0,0)Л,
(7)
Из первого уравнения системы (2) следует, что дР(1,0,0)
(8)
(6)
дг
поэтому уравнение (6) примет вид:
Р(0,0(Л(1 — В*(Л)( — Р(0,1 (аВ*(Л) = 0 , следовательно,
аР(0,1) = ЛР(0,0)1^. (9)
Тогда, с учётом (8) и (9), равенство (5) перепишем в виде:
г Л — ЛВ(х) —
Р(1,0, г) = Р(0,0)еЛг J е—Лх^
—Л 1—ВІЛ) в(х )
В"(Л)
ёх =
Лх
1 —
В(х)
В*(Л)
Так как Р (1,0 ( = Ііт Р(1,0, г), то
1
Л
Р (1,0 ( = Р(0,0)-1
1 —
В*(Л)
= Р(0,0)
В *(Л)
—Л
= Р(0,0)
(10)
— 1
1 — В *(Л) В*(Л) '
Таким образом, неизвестные Р(1,0, г) и Р (1,0)
выражены через величину Р(0, 0) , которую определим ниже.
где
Нахождение Н(0, и) и Н(1, и).
Перепишем систему (4) в следующем виде:
дН (1, и,0) — Н (0, и) (Л + а) + Н (1, и) (в2 іиЛ + еіи а ( + Р(0,0)а — Р(1,0)віи а = 0,
дг V '
дг
дН(1,и,г) дН(1,и,0) / — т \
— Н(1, и, г)(Л + а) =------------------Н(0, и) I Л + в — а I В(г) +
дг
Решая второе уравнение системы, запишем:
дг
+ Р (0,0 (в—іи аВ(г) — Р(1,0, г )а.
Н (1, и, г) = в(Л+а)г £ в—(Л+а)х {дН (1,и,0) — Н (0, и) (Л + в—іи а )в(х) — Р (1,0, х )а + Р (0,0)в—•аВ(х) ]йх .
0
0
Так как Н (1, и ) = Ііт Н(1, и, г), то
Н (1, и) =
дН (1, и, 0)
дг
— Н (0, и) (Л + в—іи а) — Р (1,0)а + Р(0,0)в—іи а
дг дН (1, и, 0)
—(Л + а)
— Н (0, и) (л + в—іи а ( + Н (1, и) (Л + а ( = Р(1,0)а — Р(0,0)в— а,
— Н (0, и)(л + в—іи а )В* (Л + а) = Р *(1,0, Л + а)а — Р (0,0)в-^ а В* (Л + а),
тогда получим следующую систему уравнении:
дН (1, и, 0)
дг
дН (1, ^ 0) — Н (0, и) (Л + а) + Н (1, и) (иЛ + е^ а) = Р(1,0)е^и а — Р(0,0)а,
дг
где Р (1,0) определяется равенством (10),
¥
Б* (Л + а) = J е—(Л+а )гЙБ(г),
0
Р*(1,0, Л + а) = ¥ е—(Л+а)ЙР(1,0, г) = Л Р(0,0) Б (Л) — Б (Л + а) .
•0 а Б * (Л)
(11)
(12)
Система (11) является системой трех уравнений относительно двух основных неизвестных Н(0, и), Н(1, и) и двух вспомогательных неизвестных
и Р(0,0).
дг У '
тт ^ дН (1, и, 0)
Для того чтобы наити --------------1, домножим
дг
первое уравнение системы (11) на -е^и и, складывая с третьим, запишем:
дН(1, u, 0) /1 — е^и ) — Н(0, и)Л (1 — е^ ) —
дг
—Н(1, и)Ле^и (1 — е*) = 0. откуда получим равенство:
дН (1, и ,0)
дг
= Н(0, и)Л + Н(1, и)Лвіи.
дг
— Н (0,0) (Л + а )В *(Л + а) =
При и = 0 из (13) получим:
дН (1, и, 0)
дг
= Н (0,0)Л + Н (1,0)Л = Л.
и = 0
(13)
Таким образом в системе (11) остается неизвестно только одна вспомогательная величина
Р (0,0), для того, чтобы её определить в системе
(11), положим и = 0, получим следующую систему двух уравнений:
- Н(0.0)(Л + а) +
+Н(1,0) (Л + а) = Р(1, 0)а — Р(0,0)а, дН (1,0,0)
Применяя это равенство к уравнениям системы (14) получаем систему двух уравнений:
2Л + а — 2Н (0,0) (Л + а) =
= аР(0,0)1 — Б (Л) — аР(0,0),
Б* (Л)
Л — Н(0,0)(Л + а )Б*(Л + а) = (15)
= лр(0, 0)Б*(Л) — Б*(Л + а) -Б *(Л)
—аР(0,0)Б *(Л + а),
относительно двух неизвестных Н(0, 0) и Р(0, 0) . Из полученной системы (15) нетрудно получить выражение, определяющее значение величины
Р(0,0) :
(2Л + а )*(Л + а) — 2Л *
Р(0,0) = —^--------------------- ----— Б (Л). (16)
(2Л + а )Б *(Л + а) — 2ЛБ *(Л)
(14)
= Р (1,0,Л + а)а — Р(0,0)аВ (Л + а).
Таким образом, значение величины Р(0,0) определяется равенством (16), а с учётом равенства (13) в системе (11) значения функций Н(к, и) определяются однозначно из следующей системы:
Н(0, и)(Л — (Л + ае—1и )Б*(Л + а)) + Н(1,и)Ле1и = Р(0,0)| Л Б (Л) Б (Л + а) — лББ*(Л + а) [,
[ Б (Л) ]
—Н (0, и)ае—зи + Н (1, и)(и + Л + а) = Р(0,0) | а 1 — ае-'11.
Решая данную систему уравнений, выражения для нахождения функций Н(0, и) и Н(1, и) примут вид:
{ — ( + ае-—и) Б*(Л + а)} {а1 — Б (Л) — ае—1 + ае—и {л Б (Л) — Б (Л + а) — ае—эиБ* (Л + а) 1
Н(0, и) =--------------------------------------------------------------------------------------------- ^ Б (Л) *-^-1-ЁМ-I Р0 0),
{А — ( + ае--и )б (Л + а)}(л^ +А + а )+Ла
ЛБ(Л) — Б(Л + а) — ае--иБ*(Л + а)|(Ае^и + Л + а) — {а1 — Б (Л) — ае—и\ле*
Н(1 и) =±--------Б (Л)------------ ------------—^------г--------------1 Б (Л)--------------^---Р(0,0),
{А — ( + ае—и )Б*(Л + а)}(Л^ +А + а )+Ла
где преобразования Лапласа-Стилтьеса Б*(Л) и Б* (Л + а) определяются равенствами (7) и (12) соответственно, а Р(0, 0) определяется равенством (16).
Так как характеристическая функция Л(и) = Ие^иг(ь) определяется равенством:
Н(и) = Н(0, и) + Н(1, и),
то распределение вероятностей Р(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье:
(2Л + а )В*(Л + а) > 2Л,
(18)
Р(і) = — [ в—ітЬ,(и)йи. 2р ^
(17)
0 <
(2Л + а)(*(Л + а) — 2ЛВ *(Л)
В* (Л) < 1:
которое определяет условие существования стационарного режима. Таким образом, в данном неравенстве необходимо, чтобы числитель и знаменатель принимали значения одного и того же знака. Нетрудно показать, что эти значения должны быть положительными, тогда имеет место система трёх неравенств:
2Л + а) (*(Л + а) — 2Л < (2Л + а) (*(Л + а) — 2ЛВ*(Л), 2Л + а) (Л + а) > 2Л,
2Л + а) В (Л + а) > 2ЛВ*(Л).
Таким образом, из вида этои системы следует, что при выполнении второго неравенства
выполняются также и два остальных неравенства.
Полученное неравенство (18) является необходимым и достаточным условием существования стационарного режима в немарковской динамической Яр-системы с конфликтами заявок.
4. Численные результаты
1) Рассмотрим гамма-распеделение времени обслуживания заявок. Для гамма-распределения с параметрами а и 3 преобразования Лапласа-
Стилтьеса Б* (Л) и Б*(Л + а) имеют следующий вид:
Численное интегрирование в (17) при заданных значениях параметров Л, а и преобразованиях Ла-
пласа-Стилтьеса В* (Л) и В*(Л + а) не представляет труда для широкого спектра значении і .
3. Исследование условия существования стационарного режима
В силу своиств вероятности, должны выполняться неравенства 0 < Р(0,0) < 1, то есть из (16) запишем двоиное неравенство:
(2Л + а)(*(Л + а) — 2Л
В* (Л) =
1 + л
В* (Л + а) =
1
1 + Л + а
, 1
(19)
Значение пропускной способности для Яр-системы с таким гамма-распределением будет определяться условием (18), в котором Б* (Л + а) имеет соответствующий вид (19).
Определение. Пропускной способностью сети связи называется точная верхняя граница Б тех значений загрузки р = ЛЬ, где Ь - среднее значение времени обслуживания, для которых в математической модели сети существует стационарный режим.
Для заданных значений параметров а = 0,5, а = 3 = 0,5 пропускная способность данной системы Б = 0,379, тогда параметр Л примем равным Л = 0,35 . Распределение вероятностей Р\(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье (17) и приведено в табл. 1, где также указаны значения величин ^(г) = р(г + 1)/ р(г).
Таблица 1
Распределение вероятностей Р^О числа заявок в ИПВ при гамма-распределении времени обслуживания
і 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р(і) 0,1566 0,0420 0,0720 0,0593 0,0557 0,0508 0,0467 0,0428 0,0393
§1 (і) 0,2680 1,7151 0,8231 0,9403 0,9122 0,9183 0,9169 0,9172 0,9172
і 9 10 11 12 13 14 15 16
Р(і) 0,0360 0,0330 0,0303 0,0278 0,0255 0,0234 0,0214 0,0196
§1 (і) 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172
Данное распределение вероятностей Р1(г) обладает свойством стабилизации последовательности соотношений ^ (г) = р (г + 1) / Р1 (г), которая достаточно быстро стабилизируется и принимает постоянное значение при г > 3 с точностью до двух знаков после запятой. Аналогичные результаты имеют место и для других значений параметров Л, а , а и 3 .
2) При а = 1 и 3 = т гамма-распределение является экспоненциальным, то есть требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, имеющего экспоненциальную функцию распределения с
параметром т . Тогда Б* (Л) и Б * (Л + а) примут
вид: В *(Л) =
В* (Л + а) =
т + л т + л + а
а значение величины Р(0,0) будет выглядеть следующим образом:
Р(0,0) =
ат — 2Л ( + а)
а ( — Л)
В силу своиств вероятности должно выполнять-
ся следующее неравенство:
1
<
1 +
1 + 2-т
= б ,
(20)
где Б - пропускная способность рассматриваемой системы.
Определим значение параметра Л. Для заданных значений параметров т = 1, а = 4 пропускная способность данной системы Б = 0,4495, поэтому примем Л = 0,4 . Распределение вероятностей Р2(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье (17) (табл. 2).
Таблица 2
Распределение вероятностей Р2(1) числа заявок в ИПВ при экспоненциальном распределении времени обслуживания
і 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р2(і) 0,2800 0,0432 0,0795 0,0685 0,0607 0,0537 0,0476 0,0421 0,0373
§2 (і) 0,1543 1,8400 0,8617 0,8864 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851
і 9 10 11 12 13 14 15 16
Р2 (і) 0,0330 0,0292 0,0259 0,0229 0,0203 0,0179 0,0159 0,0141
§ 2 (і) 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851
Распределение вероятностей Р2(г) также обладает свойством стабилизации последовательности соотношений ё2(г) = Р2(г + 1) / Р2(г) и при г > 2
принимает постоянное значение с точностью до двух знаков после запятой. Аналогичные результаты имеют место и для других значений параметров Л, а и т .
Результаты, полученные в случае экспоненциального распределения времени обслуживания, совпадают с результатами исследования марковской динамической Яр-системы с конфликтами заявок [7, с. 73 - 84].
Заключение
Таким образом, в данной статье проведено исследование немарковскои динамическои
ЯР-системы с конфликтами заявок. В результате исследования получена характеристическая функция для распределения вероятностей Р(і) числа заявок в источнике повторных вызовов в виде обратного преобразования Фурье (17). Найдено условие существования стационарного режима данной ЯР-системы в виде (18).
Далее для гамма-распределения и экспоненциального распределения времени обслуживания заявок найдены распределение вероятностей Р1(г) и
P2(i) числа заявок в ИПВ соответственно. Обнаружено свойство стабилизации последовательностей соотношений 6(г) = P(i + 1) / P(i). Показано, что
распределение вероятностей P,(i) совпадает с полученным ранее распределением вероятностей числа заявок в ИПВ при исследовании марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок.
Литература
1. Назаров, А. А. Теория массового обслуживания: учеб. пособие / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. -Томск: НТЛ, 2010. - 228 с.
2. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 400 с.
3. Саати, Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и её приложения / Т. Л. Саати. - М.: Сов. радио, 1971.
4. Artalejo, J. R. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach / J. R. Artalejo, A. Gomez-Corral. - Springer, 2008. - 309 p.
5. Falin, G. I. A finite source retrial queue / G. I. Falin, J. R. Artalejo // European Journal of Operation Research. - 1998. - № 108.
6. Falin, G. I. Approximations for multiserver queues with balking/retrial discipline / G. I. Falin, J. R. Artalejo. - OR Spektrum, 1995.
7. Любина, Т. В. Исследование марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок / Т. В. Любина, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. -№ 3(12).
8. Назаров, А. А. Сравнение асимптотической и допредельной модели сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа /
A. А. Назаров, С. Л. Шохор; под ред. И. А. Александрова и др. - Томск: Пелент, 1998.
9. Назаров, А. А. Исследование сети связи с динамическим протоколом «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки / А. А. Назаров, Ю. Д. Одышев // Автоматика и вычислительная техника. - 2001. - № 1.
10. Назаров, А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа / А. А. Назаров // Проблемы передачи информации. - 1997. - № 2.
11. Любина, Т. В. Аппроксимация допредельного распределения в динамической Яр-системе с конфликтами заявок / Т. В. Любина, А. А. Назаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: тезисы докладов VIII Российской конференции с международным участием. -Томск: НТЛ, 2010.
12. Назаров, А. А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа / А. А. Назаров, Е. А. Судыко // Проблемы передачи информации. -2010. - № 1.
13. Дудин, А. Н. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками / А. Н. Дудин,
B. И. Клименок. - Минск: БГУ, 2000. - 221 с.
14. Хомичков И. И. Системы массового обслуживания с повторными вызовами и вероятность потери при сдвоенных соединениях / И. И. Хомичков // Доклады НАН Беларуси. - 1998. - Т. 42. - № 2.
