CC BY
67
УДК 534.222
Исследование нелинейных волновых процессов в акустическом резонаторе из мрамора
B.E. Назаров, А.Б. Колпаков, A.B. Радостин
Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 603950, Россия
Приведены результаты экспериментальных и теоретических исследований нелинейных акустических эффектов (амплитуднозависимые потери, сдвиг резонансных частот и генерация высших гармоник низкочастотной волны, затухание и фазовая задержка несущей слабых ультразвуковых импульсов в поле мощной низкочастотной волны накачки, а также самовоздействие ультразвуковых импульсов конечной амплитуды) в стержневом резонаторе из мрамора. Аналитическое описание наблюдаемых эффектов проведено в рамках феноменологических уравнений состояния, содержащих низкочастотную гистерезисную и высокочастотные диссипативную и реактивную нелинейности. Из сравнения экспериментальных и аналитических зависимостей нелинейных эффектов определены значения параметров акустической нелинейности исследуемого образца мрамора.
Ключевые слова: амплитудно-зависимое внутреннее трение, нелинейные волновые процессы, горные породы, акустический резонатор, гистерезис, диссипативная и реактивная нелинейность
Nonlinear wave processes in an acoustic marble resonator
VE. Nazarov, A.B. Kolpakov and A.V. Radostin
Institute of Applied Physics RAS, Nizhny Novgorod, 603950, Russia
The paper presents the results of experimental and theoretical research on the nonlinear acoustic effects in a marble rod resonator: amplitude-dependent loss, shift of resonance frequencies and generation of higher harmonics of a low-frequency mode, attenuation and phase delay of the carrier frequency of weak ultrasonic pulses in the field of a low-frequency high-power pumping wave, and self-action of ultrasonic pulses of finite amplitude. The above effects are described analytically by phenomenological equations of state that contain low-frequency hysteresis nonlinearity and high-frequency dissipative and reactive nonlinearities. The acoustic nonlinearity parameters of the marble specimen are determined from comparison of experimental and analytical dependences of the nonlinear effects.
Keywords: amplitude-dependent internal friction, nonlinear wave processes, rocks, acoustic resonator, hysteresis, dissipative and reactive nonlinearity
1. Введение
Исследования нелинейных волновых процессов в образцах горных пород актуальны, интересны и необходимы по многим причинам, одной из которых (и, пожалуй, самой главной) является аномально высокая акустическая нелинейность таких сред (по сравнению с однородными материалами) [1-11]. Со «структурной» точки зрения, отличие горных пород от однородных материалов заключается в том, что горные породы содержат различного рода нелинейные дефекты — микронеоднородности (дислокации, границы зерен, трещины, и т.д.), в связи с чем подобные среды называются мик-ронеоднородными [12, 13] или мезоскопическими [8],
т.е. содержащими неоднородности или дефекты, размер которых много больше атомарного, но много меньше длины волны. При этом пространственное распределение дефектов статистически однородно, так что среду можно считать «акустически однородной» или «макро-однородной» на участках, больших по сравнению с размерами дефектов, но малых по сравнению с длиной волны. Акустическая нелинейность микронеоднород-ных твердых тел определяется именно дефектами их структуры, при этом динамические уравнения состояния подобных сред, т.е. обобщенные зависимости а = = а(е), где а и е — напряжение и деформация, даже в области относительно малых амплитуд деформаций,
© Назаров B.E., Колпаков А.Б., Радостин A.B., 2010
характерных для акустических волн, часто являются неаналитическими (т.е. негладкими и недифференцируемыми). Как правило, уравнение состояния микро-неоднородной среды содержит низкочастотную гисте-резисную и высокочастотные диссипативную (неупругую) и реактивную (упругую) нелинейные составляющие. Наиболее важные отличия этих составляющих связаны с их различными зависимостями от амплитуды и (или) частоты акустического воздействия [4, 5, 7, 9], в частности, с ростом частоты гистерезисная нелинейность падает, а диссипативная — растет. Знание этого обстоятельства позволяет разделять вклады низкочастотной гистерезисной и высокочастотной диссипативной и реактивной нелинейностей в проявление различных эффектов и проводить эксперименты таким образом, чтобы влияние той или другой нелинейности на конкретный исследуемый эффект было доминирующим. Подробное экспериментальное изучение нелинейных эффектов в контролируемых (лабораторных) условиях способствует выявлению механизмов аномальной нелинейности и созданию реологических и физических моделей микронеоднородных сред, что, в свою очередь, является основой для развития нелинейных акустических методов диагностики и контроля их структуры и состояния. Так, например, зная амплитудную зависимость и интенсивность какого-либо нелинейного эффекта и условия эксперимента, можно, используя адекватную физическую модель и уравнение состояния микронеоднородной среды, определить концентрацию дефектов, которые ответственны за ее нелинейность.
Экспериментальные исследования показывают, что в различных микронеоднородных средах нелинейные акустические эффекты проявляются по-разному, причем это отличие носит не столько количественный, сколько качественный характер. Причина последнего связывается с проявлением сугубо индивидуальных нелинейных свойств таких сред и, как следствие, с отсутствием для них единого универсального нелинейного уравнения состояния, вообще говоря, не выводимого и из общих термодинамических принципов, как, например, уравнения классической пятиконстантной теории упругости, описывающей деформирование однородных (бездефектных) слабо нелинейных материалов [14-16]1. Тем не менее, нелинейное уравнение состояния микро-неоднородной среды может быть феноменологически реконструировано (по крайней мере, в общих чертах) на основе анализа амплитудно-частотных зависимостей нелинейных эффектов, экспериментально установленных для этой среды, при этом особую «информативную
1 В пяти- или девятиконстантной теории упругости реактивная нелинейность является аналитической степенной (квадратичной или кубичной) функцией деформации, а диссипативная нелинейность отсутствует.
ценность» имеют результаты экспериментов с такими средами, «нелинейное поведение» которых не соответствует традиционно установившимся представлениям, характерным для однородных материалов. В этом смысле особо интересными представляются твердотельные среды, характеризующиеся не целочисленными, а дробными показателями степенной акустической нелинейности. Среды с такими свойствами не являются экзотическими, однако они встречаются достаточно редко — значительно реже, чем с целочисленными показателями. Как уже было отмечено, к подобным сильно нелинейным микронеоднородным средам относятся многие поликристаллические горные породы и некоторые металлы.
При экспериментальных и теоретических исследованиях нелинейных волновых процессов в микронеодно-родных средах возникают несколько прямых и обратных взаимообусловленных задач, связанных с установлением амплитудно-частотных зависимостей нелинейных эффектов, адекватным выбором нелинейного уравнения состояния изучаемой среды, аналитическим описанием нелинейных эффектов (в рамках выбранного уравнения состояния), определением его параметров и выявлением типа дефектов среды, ответственных за ее нелинейность. Последняя из этих задач является наиболее сложной и неоднозначной, однако, согласно общепринятым представлениям, за проявление эффектов амплитуднозависимого внутреннего трения и гистерезисной нелинейности поликристаллических твердых тел, как правило, ответственны дислокации — одномерные дефекты кристаллической решетки [1, 17-22].
В настоящей работе приводятся результаты экспериментальных исследований нелинейных эффектов само-воздействия и взаимодействия низкочастотной и высокочастотной продольных акустических волн в стержне из мрамора. Аналитическое описание наблюдаемых нелинейных эффектов проводится в рамках феноменологических уравнений состояния, содержащих низкочастотную гистерезисную и высокочастотную диссипативную и реактивную нелинейности. Из сравнения расчетов с результатами эксперимента определяются значения параметров этих нелинейностей для исследуемого образца мрамора. Одной из основных целей этой работы является поиск и «расширение списка» сред, обладающих диссипативной нелинейностью, а также выявление и изучение закономерностей и связей диссипативной нелинейности твердого тела с другими ее типами, в частности с гистерезисной.
2. Схема экспериментальной установки
Эксперименты проводились со стержневым резонатором, изготовленным из поликристаллической горной породы — белого мелкозернистого мрамора Коелга: длина стержня L = 35.3 см, его сечение—квадрат со стороной 1.6 см. Плотность мрамора составляла 2.8 г/см3. Мрамор
4 5
1
6
Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 — стержень, 2 — излучатель волны накачки, 3 — груз, 4 — излучатель высокочастотных импульсов, 5 и 6 — пьезоакселерометры
относится к метаморфическим осадочным и магматическим горным породам. Преимущественно он состоит из кальцита СаС03, образовавшегося в результате перекристаллизации известняка или доломита. Из-за движения земной коры горные породы подвергаются воздействию высокой температуры, большого давления, различных газовых и водных растворов, поэтому в мраморе всегда содержатся примеси других минералов (зерен кварца, халцедона, гематита, пирита, лимонита, хлорита и др.) [23].
Схема эксперимента изображена на рис. 1. Резонатор 1 возбуждался пьезокерамическим излучателем 2, одна сторона которого приклеена к массивному металлическому грузу 3, а другая — к торцу стержня. К другому, свободному его торцу приклеены высокочастотный пьезокерамический излучатель 4 для излучения ультразвуковых импульсов и акселерометр 5 для приема низкочастотной волны накачки и ультразвуковых импульсов. Вблизи излучателя волны накачки для приема ультразвуковых импульсов, прошедших через стержень, и измерения их относительных амплитуд приклеен акселерометр 6 (тонкая пьезокерамическая пластинка толщиной ~1 мм и диаметром 4 мм), реагирующий на продольную (вдоль стержня) компоненту ускорения. Такой стержень является низкочастотным акустическим резонатором с жесткой и мягкой границами, собственные частоты которого определяются выражением = = (2р - 1)C0/4L, С0 — фазовая скорость низкочастотной продольной волны в стержне; р — номер моды. Погрешности измерения частот и амплитуд низкочастотной и высокочастотных акустических волн составляют соответственно ±5-10-1 Гц, ±5-10-2 дБ и ±1.6-10-1 дБ. Эксперименты проводились при комнатной температуре. Резонансные частоты Рр и добротности Qp резонатора при малой амплитуде его возбуждения, когда нелинейные эффекты не наблюдались, определялись традиционным методом, т.е. по максимуму амплитуды колеба-
ний резонатора и ширине АР0 71 его резонансной кривой на уровне 1Д/2 = 0.71: Qp = Рр/АР071. Значения Рр и Qp для первых четырех продольных мод составляли: 7*1 = 3 000 Гц, Р2 = 8450 Гц, Р3 = 13 850 Гц, Р4 = = 18500 Гц и Q1 = 196, Q2 = 159, Q3 = 141, Q4 = 185. Резонансной частоте первой моды такого резонатора соответствует С0 = 4.15 -105 см/с.
В контрольных экспериментах со стеклянным стержнем никаких нелинейных эффектов (даже при несколько больших амплитудах низко- и высокочастотной волн) не наблюдалось, следовательно, обнаруженные ниже нелинейные эффекты и установленные их амплитудные зависимости обусловлены акустической нелинейностью исследуемого образца горной породы.
3. Эффекты низкочастотной гистерезисной нелинейности: амплитудно-зависимое внутреннее трение и генерация высших гармоник
В первой серии экспериментов исследовались низкочастотные эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения, обусловленные гистерезисной нелинейностью мрамора: нелинейные потери и сдвиг резонансной частоты, а также генерация высших гармоник [1-
3, 18, 19]. Для этого при помощи пьезокерамического излучателя 2 в резонаторе возбуждали низкочастотные акустические колебания на частоте Р, близкой к частоте Рр одной из первых четырех его продольных мод, и измеряли амплитудные зависимости нелинейных сдвига резонансной частоты АРп1 = Р - Рр < 0 и коэффициента затухания цп1. На рис. 2 приведены зависимости амплитуды деформации ет стержня (в резонансе) от амплитуды электрического напряжения и на излучателе волны накачки при возбуждении резонатора на первых четырех продольных модах. Из этого рисунка следует, что
80 100 120 140 U, дБ
Рис. 2. Зависимость амплитуды волны в резонаторе от амплитуды напряжения на излучателе волны накачки (в дБ относительно 1 мкВ). Прямая линия соответствует зависимости бт ~ и
Рис. 3. Зависимости нелинейных сдвига резонансной частоты (а) и коэффициента затухания (б) от амплитуды волны в резонансе. Прямые линии соответствуют зависимостям Д/п[// ~ є^,, Цпі/Цр ~ Єш (I) И Д^ііі//Р ~ Єт> Цпі/Цр ~ Єт (II)
при малых амплитудах возбуждения резонатора (em < 6 -10-7) зависимости em = em(U) линейны, т.е. em ~ U, а далее, при em > 7 -10-7, зависимости em = = em (U) становятся нелинейными. Это свидетельствует о наличии амплитудно-зависимых потерь, при этом видно, что с ростом номера моды р, т.е. с ростом частоты Fp, нелинейные потери заметно уменьшаются. На рис. 3 представлены графики зависимостей относительных модуля нелинейного сдвига резонансной частоты
I AFnl/Fp | и коэффициента нелинейного затухания
Mni/Mp от ^ где Mp =(^pQp)-1; Qp = 2nFp; р = 1-4. Относительный коэффициент нелинейного затухания определялся по формуле:
Mnl = Em1 U — i
Mp Em U1 ’
описывающей отклонение наблюдаемой зависимости em = Em(U) на рис. 2 от линейной, проведенной через начальные экспериментальные точки (U1, em1), соответствующие малым амплитудам возбуждения резонатора, когда эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения пренебрежимо малы и em ~ U. Из рис. 3 следует, что, во-первых, на зависимости | AFnl/Fp | и Mnl/Mp от em слабо, но вполне заметно, оказывает влияние частота Fp возбуждения резонатора (для первых четырех мод) — с ростом частоты (при em = const) значения | AFnl/Fp | и Mnl/Mp уменьшаются, и, во-вторых, в этих зависимостях можно выделить два амплитудных диапазона: первый (I) диапазон — em < е* = = 2 • 10-6, где* AFni/Fp ~ em, Mnl/Mp ~ em> и второй (II)— em >e* где AFnl/Fp ~ em, Mnl/Mp ~ Em. Очевидно, что для каждого диапазона отношение относительных нелинейных дефекта модуля упругости и декремента затухания, т.е. параметр
г =.№/Fp | Qp Л
^ =0 Mnl/M p |,2
не зависит от амплитуды єт, при этом r12 = 1.7. Наличие в каждом диапазоне одинаковых амплитудных зависимостей сдвига резонансной частоты и нелинейных потерь свидетельствует о проявлении в исследуемом образце гистерезисной степенной нелинейности (с показателем степени и), причем для первого диапазона n = 4, а для второго — и = 2.
Далее, при достаточно сильном возбуждении резонатора на первой и второй модах (при єт > 10-6 > є*, т.е. во втором диапазоне) наблюдалась также генерация высших (2-й, 3-й и 5-й) гармоник частоты накачки. На рис. 4 приведены графики зависимостей амплитуд деформаций є3 и є5 стержня на частотах третьей и пятой гармоник от амплитуды деформации єт на первой моде (в резонансе) и амплитуды смещений U2(L) свободного торца стержня на частоте второй гармоники от этой же амплитуды єт при возбуждении резонатора на первой и второй модах (также в резонансе). Из этих рисунков видно, что зависимости U2 (L), є3 и є5 от єт близки к квадратичной: U2(L), є3, є5 ~ єm. Легко заметить, что здесь показатель степени 2 на единицу больше значения показателя степени в зависимостях | AFn1/Fp | и Цп1/Цp от єт в этом же (втором) диапазоне (рис. 3). Именно такие закономерности для нелинейных потерь, дефекта модуля и амплитуд высших гармоник и должны наблюдаться для сред с гистерезисной степенной нелинейностью [2-5, 7-9].1 Из рис. 3, 4 также видно, что при Єт = const значения | AFnl/Fp |, Цп/Цp и U2(L)
1 Для гистерезисных сред показатели степени в зависимостях |АРы/Рр| и Мп/от 8т на единицу меньше показателей степени для амплитудных зависимостей высших гармоник от £т- Для гистерезисных сред с квадратичной нелинейностью амплитуды высших гармоник пропорциональны 8т [2-4, 24-26]; для сред с квадратичной упругой нелинейностью амплитуда ^й гармоники пропорциональна ^ [15, 16].
Рис. 4. Зависимости амплитуды смещения свободного торца
стержня на частоте второй гармоники от амплитуды 8т при возбуждении резонатора на первой (1) и второй (3) модах и зависимости амплитуд деформации £3 и е5 на частотах третьей (2) и пятой (4) гармоник от амплитуды £т при возбуждении резонатора на первой моде. Прямые линии соответствуют зависимостям и2 , £3, £5 ~ £т, пунктирная линия — расчет для третьей гармоники по формуле (7)
заметно зависят от номера моды р, т.е. от частоты Гр возбуждения резонатора, причем | ДГп1 / Г11 > | ДГп1 / Г41, Цпі/Ц >^пі/Ц4, а и2(L,р = 1)/и2^, р = 2) = 1.8. Эти факты свидетельствуют об уменьшении гистерезисной нелинейности мрамора с ростом частоты акустической волны. Далее, однако, для упрощения расчетов, мы не будем учитывать частотную зависимость гистерезисной нелинейности, считая ее безынерционной, при этом численные оценки ее параметров будем проводить на основе результатов, полученных для первой моды резонатора.
4. Анализ низкочастотных эффектов амплитуднозависимого внутреннего трения в рамках упругого и неупругого гистерезиса
4.1. Упругий гистерезис
При аналитическом описании эффектов амплитуднозависимого внутреннего трения в различных поликристаллах, одним из ключевых моментов является выбор
адекватного гистерезисного уравнения состояния твердого тела, поскольку качественное объяснение этих эффектов можно провести в рамках уравнений состояния, содержащих как упругий гистерезис [24] (или гистерезис отрыва [18, 19]), так и неупругий гистерезис (или гистерезис трения [18, 19]). Попытаемся вначале описать и объяснить обнаруженные амплитудные зависимости низкочастотных эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения в рамках уравнения состояния, содержащего упругий гистерезис, аналогичный дислокационному гистерезису Гранато-Люкке [1, 20, 21]:
a(e,signе, е) = E[e-f (e,signе)] + аре, (1)
f (є, sign є) =
1
у1є”, є>0, є >0,
(Yi +Ї2)єт1є-Ї2є”, є> 0, є< 0, -у3є”, є< 0, є < 0,
(2)
(Y3 +Y4K"^ + Y4 єи
є < 0, є > 0,
где а, е, е — продольные напряжение, деформация и скорость деформации; E — модуль упругости; /= = f (е, sign е) — гистерезисная функция; | fe (е, signe) << << 1; Y1-4 — параметры гистерезисной нелинейности; еm =еm(x) — локальная амплитуда деформации; еm <
<|еthI, eth — предел текучести, при превышении которого в твердом теле возникают необратимые пластические деформации и происходит его разрушение (для многих материалов |е th| > 10-4-10-3); а — коэффициент линейной диссипации (а = Cq/q pQp ); р — плотность; n = 4 и 2 для первого и второго диапазонов; | у1-4 em"11 << << 1; IY1-41 >> 1. (Здесь используется одна и та же индексация параметров у1-4 при em < е и em > е , но, конечно, значения этих параметров в различных диапазонах различны.) Качественный вид квазистатического (когда ар | е |<< E | f (e,sign е)|) гистерезиса (1), (2) изображен на рис. 5, а, из которого видно, что а(е) = 0 при е = 0 и е(а) = 0 при а = 0, поэтому такой гистерезис мы называем упругим.
Отметим, что гистерезисные уравнения состояния вида (1), (2) характерны для многих микронеоднород-ных сред с несовершенной упругостью [22] в области достаточно низких частот, когда релаксационные (или
Рис. 5. Квазистатические зависимости а = а(є, sign Є, Є) для упругого (а) и неупругого (б) гистерезисов
резонансные) свойства дефектов среды не проявляются, при этом ее нелинейность является безынерционной. Кроме отмеченных выше, никаких других, более сильных, ограничений на применимость уравнений (1), (2) не существует. Более того, эти уравнения имеют большую область применимости, чем уравнение «классической» пятиконстантной теории упругости [14-16], поскольку уравнение пятиконстантной теории можно получить (как частный случай) из уравнений (1), (2), полагая в них а = 0 (т.е. рассматривая среду как идеальную), n = 2 и Y1 = -у 2 = _Y з = Y 4 = Y. В этом случае гистерезис исчезает и остается только упругая квадратичная нелинейность. Обратное утверждение неверно, т.е. из пятиконстантной теории упругости нельзя получить уравнения (1), (2). В связи с вопросом о применимости данных уравнений полезно также вспомнить замечание авторов монографии [15]: «Естественно, что в пятиконстантной теории упругости, также как и в линейной, двухконстантной теории, твердые тела предполагаются идеально упругими, т.е. между напряжениями и деформациями существует взаимно однозначное соответствие: такие явления, как текучесть, упругий гистерезис, из рассмотрения исключаются». Уравнения же (1), (2) учитывают и неидеальность среды (т.е. линейную диссипацию), и ее гистерезисную нелинейность. В этих уравнениях предполагаются только «слабые» ограничения на величину их нелинейности (| fe (е, sign е) | << 1) и амплитуду деформации (em < |eth|), согласующиеся с малостью нелинейных акустических эффектов, наблюдаемых в эксперименте. Эти ограничения используются при получении аналитических выражений для нелинейных потерь, сдвига резонансных частот и амплитуд высших гармоник. С математической точки зрения, т.е. при теоретическом описании нелинейных эффектов, нет других ограничений на применение этих уравнений [110, 18-21, 24]. При описании же нелинейных эффектов, наблюдаемых для конкретного твердого тела, каждый раз нужно сравнивать результаты аналитических вычислений, полученных на основе уравнений (1), (2), с результатами конкретного эксперимента, и в случае согласия этими уравнениями (применительно к этому твердому телу) тоже можно пользоваться. И наконец, все параметры — константы уравнений (1), (2) (или какие-либо их комбинации), также как и линейные и нелинейные модули K, м и A, B, C в пятиконстантной теории упругости [14-16], определяются экспериментально.
Уравнения состояния (1), (2) вместе с уравнением движения pWtt = аx (е, sign е, е) и граничными условиями на торцах резонатора: W(0, t) = A,)Cos(Qt), Wx (L, t) = 0 (где W = W(x, t) — смещение, e = Wx, A и Q — амплитуда и частота колебаний излучателя волны накачки) описывают низкочастотные нелинейные волновые процессы в таком резонаторе [2-5, 7-9]. Их расчет проводился методом возмущений, поскольку в эксперименте выполнялись условия: | AFnl/Fp | << 1, ek <<
<< єт, єк — амплитуда деформации на частоте кО., к = = 2, 3, ... . Резонансная кривая такого резонатора определяется выражением [2-5, 7-9]:
є„ =-
1
(3)
L =(8 + 8nl)2 +(mp +Mnl)2 4]
где нелинейные сдвиг резонансной частоты Snl = = 2nAFnl и потери Mnl для первого и второго диапазонов зависят от параметров Yi гистерезиса (2); 8 = Q --Qp,| 8| <<Q p/p.
В первом диапазоне (em < е ) выражения для AFnl/Fp и Mni/Mp имеют вид:
p m’
(4)
где
32 1
0* = 225п2(Уі-У2 +Уз-У4) + І5П(Уі +У2 +Уз +У4);
4
Ь1 = —у СУ1 +Y2 +Уз +Ї4) >0.
25п
Для такого гистерезиса отношение г1 = а^Ь1 зависит от соотношения параметров Y1-4, без знания которых (или их линейных комбинаций Y1 + Y3 и Y 2 + Y 4) значение г определить нельзя, но, конечно, в первом диапазоне г1 = 1.7. Из сравнения экспериментальных результатов (рис. 3) и выражений (4) находим коэффициенты а1, Ь1, а по ним и параметры Y1 + Y з, Y 2 + Y4: а1 = 1.2-1015, Ь = 6.8-1014, Y1 + Y3 = 3.1-1016, Y2 +Y4 = = 1016.
Во втором диапазоне (єт > є ) выражения для ДГп1/Гр и Цп1/Цр, а также для амплитуд и2(V), є3 и є5 колебаний на частотах второй, третьей и пятой гармоник имеют вид [2, 3]:
ДРщ/Гр = —а1Єт’ Цпі/Ц р = Шр^ (5)
(6)
U2 (L) =yja2 + b2 єтL,
+ьз2 є m
15n
[e-p-r
-1-/2
+ 4[(1 -V3)(5„^/Q p) - (Л^з p/ 3Q p )]2 ] , (7)
є = ja 5 + b52 4|„ -2 .
є5 = 105П Q p-2 +
{Q5-
+ 4[(1 - V5)(5Ы/ Q p) - (AQ5 p / 5Q p )]2 ]
4/2
где
36 a0 100 a0
V3 =-----0; V5 =----------0;
35n a1 99n a1
a0 = 1(Y1 -Y2 +Y3 -Y4)+1 (Y1 + Y2 +Y3 + Y4);
2n 8
a1 = 7TT(Y1 -Y2 +Y3 -Y4)+ 7^1 +Y2 +Y3 +Y4); 9n2 6n
2
b1 ^-7 (Y1+Y2 +Y3 +Y4) >0;
9n2
а2 = -Y2 -Уз +У4) + т1-(Yl +Y2 -Y3 -У4);
64 24п
b2 (Yi +Y2-Y3-Y4);
48п
a3 = 77-(Yi -Y2 +Y3 -Y4);
15п
b3 = ^“(Yi +Y2 +Y3 +Y4);
30n
нейным сдвигу резонансной частоты и потерям
a5 = —
b, =
105n
11
(Yi -Y2 +Y3 -Y4);
•(Yi +Y2 +Y3 +Y4);
420n
AQ3p = 3Qp -Q3p-1 и AQ5p = 5Qp -Q5p-2 — дисперсионные расстройки частот 3Qp и 5Qp от резонансной частоты моды с номерами 3р - 1 и 5р - 2 соответственно.
При получении выражений (5)-(8) гистерезисной нелинейностью первого диапазона пренебрегали, поскольку амплитуда и длительность фазы (т.е. времени нахождения точки (е, а) на диаграмме а = а(е, sign е, е)) для первого диапазона значительно меньше соответствующих величин для второго диапазона (отношение максимальных амплитуд для второго и первого диапазонов составляет около 10, аналогичной величине равно и отношение длительностей фаз второго и первого диапазонов.
Из сравнения экспериментальных результатов (рис. 3, 4) и выражений (5)-(7) находим коэффициенты a1, b1, ^/a2 + b22, -Ja^+b| и соответствующие коэффициентам a1 и b параметры y1 + Y 3 и Y 2 + Y 4:
a1 = 3.6-103, b1 = 1.8-103, y1 +Y3 = 3.3-104,
Y 2 +Y 4 = 4.7 -104^ a2 + b22 = 20, ^ a32 + b32 = 9.2-102. Из выражения (6) можно определить эффективный параметр y о квадратичной упругой нелинейности мрамора (при em > е ). Полагая в уравнении (2) n = 2, Y1 + Y2 = = 0, Y3 + Y4 = 0 и Y1 = -Y3 = Y0, получим уравнение состояния (1) с упругой квадратичной нелинейностью f (e) = Y oE2 /2, в котором параметр Y 0 = 16yj a2 + b2 = = 3.2 -102. Как и следовало ожидать, значение квадратичного параметра Y0 для исследуемого образца мрамора оказалось намного (в 102 раз) выше аналогичного параметра для однородных жестких твердых тел (например сталь и стекло) [15, 16].
/2 2
Значение коэффициента ^a3 + b3 , ответственного за амплитуду третьей гармоники, можно также однозначно вычислить из определенных выше (по нелинейным потерям и сдвигу частоты) параметров Y1 + Y 3,
Y2 + Y4: Д+b2 = 103. Как видно, определение коэф-
/2 2
фициента ^a3 + b3 двумя независимыми способами (по третьей гармонике — -\ja^ + b32 = 9.2 -102 и нели-
a2 + b32 = 103) дает достаточно близкие результаты. Интересно также отметить близкие значения параметра
/2 2
-^a5 + b5 , определенного из выражения (8) по амплитуде пятой гармоники — ^ja^ + b52 = 5.3-102 — и по нелинейным сдвигу частоты и потерям — ■yja^ + b52 = = 6.7 -102. Все эти факты свидетельствуют о правомерности использования упругого гистерезиса для описания низкочастотных нелинейных эффектов в исследованном образце мрамора.
4.2. Неупругий гистерезис
Эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения можно, вообще говоря, описывать не только упругим гистерезисом (2), но и гистерезисом неупругим [24], при этом амплитудные зависимости нелинейных эффектов будут такими же, как и для упругого гистерезиса. Так, в первом диапазоне эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения можно описать неупругим гистерезисом, для которого гистерезисная функция имеет вид:
f (е, sign е) = Peme +
+1|ве4 -(Р1 + р2)е^^/2, е >0,
4{-р2е4 + (ft + P2)em/2, е< 0. (9)
В этом уравнении три параметра нелинейности Р>> 1 и Р1, Р2, |Р12| << 1, причем негистерезисное слагаемое Peme определяет только дефект модуля упругости (или сдвиг резонансной частоты), а гистерезисные (т.е. все остальные слагаемые) — нелинейные потери. Качественный вид квазистатического гистерезиса (когда ар -1Е | << << E | f (е, sign &) |) (1), (9) изображен на рис. 5, б, из которого видно, что при е = 0 имеет место остаточное напряжение аг (е = 0) = ± (Р1 + Р2) e^j /8 Ф 0, а при а = = 0 — микропластическая деформация Ер^а = 0) Ф 0, поэтому такой гистерезис мы называем неупругим.
Для резонатора с гистерезисной нелинейностью (9) выражения для AFnl/Fp и Mnl/Mp совпадают с выражениями (4), в которых b1 = 64(Р1 + Р2)/(75л2), a1 = = 16Р/ (15п). Из экспериментальных результатов (рис. 2) определяем коэффициенты a1 и b1: a1 = = 1.2-1015, b1 = 6.8-1014, а по ним — значение параметров Р и в +Р2: в = 3.5-1015, в + Р2 = 7.7-1015.
Во втором диапазоне нелинейные эффекты можно также описать неупругим квадратичным гистерезисом, аналогичным (9), для которого гистерезисная функция имеет вид [24]:
f (е, sign Е) = pEmE +
+1{ Р1Е2-(Р1 + P2)eim/2, е>0,
2 <[-р2Е2 + (Р1 +P2)em/2, Е < 0.
Для резонатора с гистерезисной нелинейностью (10) зависимости AFnl/Fp, |Mnl/|Mp, U2(L), e3 и e5 от em
(10)
определяются выражениями (5)-(8), в которых
ао = в, ах = с = 2Р/(3п), Ь = = С^9те2)(Р1 + 02),
а2 = с2 =-(в1 -в2V16, аз = сз =-4(в1 + Р2)/(15п)>
Ь2,3 = ^2,3 = 0 а5 = С5 = 2(в1 + в2 V(1 05п),
ь5 = ^5 = 0, v3 = 108/35, v5 = 100/33 и, следовательно, неупругий гистерезис (10) дает такие же, как и упругий гистерезис (2) при п = 2, амплитудные зависимости эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения и амплитуд высших гармоник:
(11) (12)
APi/Pp = -ci£m, Vni/V p = diQ U2 (L) = VC2 + d 2 £mL,
£3 =
4c 32+d32 «4 ^-2
15n
-[Q:
3 p-1 ■
-|-V2
+ 4[(1 -V3)(5n^/ßp) - (A^p/3Qp )]2] , (13)
8y[c
8^i c5+d52 £ m
105n
[Q
5 p-2
-1—/2
+ 4[(1 -У5)(8п1/Ц,) - (АЦр/5^ )]2 ] . (14)
Вычисления показывают, что если определить коэффициенты с1, d1 и в, в1 +в2 по традиционно измеряемым эффектам амплитудно-зависимого внутреннего трения — нелинейным сдвигу резонансной частоты и потерям, тополучим, что с1 = 3.6-103, d1 = 1.8-103, Р = 1.6-104, в1 + в2 = 2 • 104. По измерению амплитуды второй гармоники находим: = 20 или | в1 -в21 = 3.2• 102,
что, естественно, в точности совпадает с ранее введенным эффективным параметром квадратичной нелинейности у 0 для упругого гистерезиса.
Найденное по нелинейным потерям значение в1 + + в2 = 2 • 104 соответствует следующему значению параметра у]е3 + ^32, определяющему амплитуду третьей
V2 2 3
с3 + d3 = 1.7 • 10 , что почти в 2 раза боль-
V2 2
с3 + d3 , определенного по ее амплитуде:
7 2 2 /2 2 2
а3 + Ь3 с3 + d3 = 9.2 40 . Это довольно сильное
несоответствие, по-видимому, означает, что описание нелинейных эффектов в мраморе на основе неупругого гистерезиса неправомерно. Можно также отметить еще более сильное несоответствие значения параметра -у/с^Т^2", определенного из выражения (14) по амплитуде пятой гармоники — = 5.3 -102 и по нели-
нейным сдвигу резонансной частоты и потерям —
о? + d52 = 1.2 • 102. Это также свидетельствует о непригодности неупругого гистерезиса для описания нелинейных эффектов в исследованном образце мрамора. Однако, если не обращать внимания на отмеченные количественные расхождения значений коэффициентов
7 2 2 I 2 2 I 2 2 / 2 2”
а3 + Ь3 и ус3 + d3 , уа5 + Ь5 иус5 + d5 , определенных по нелинейным сдвигу резонансной частоты (и
потерям) и по амплитудам третьей и пятой гармоник (или при измерении и анализе нелинейных эффектов ограничиться только второй гармоникой), то эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения в исследованном образце мрамора, как, впрочем, и во многих других поликристаллических твердых телах, можно описывать как упругим (2), так и неупругим (9), (10) гистерезисами — ведь именно для этого они и были предложены.
5. Эффекты высокочастотной диссипативной и реактивной нелинейности — затухание и фазовая задержка несущей слабых ультразвуковых импульсов под действием мощной низкочастотной волны
Во второй серии экспериментов, кроме возбуждения резонансной низкочастотной волны накачки, в стержне высокочастотным излучателем 4 создавались слабые ультразвуковые импульсы. При этом наблюдались и исследовались эффекты нелинейного затухания и фазовой задержки несущей импульсов, прошедших через стержень, в зависимости от амплитуды деформации ет мощной резонансной низкочастотной волны. Длительность импульсов т - 100 мкс, их несущая частота f находилась в диапазоне от 100 до 450 кГц, а частота повторения была равна 26 Гц. После прохождения через стержень импульсы принимались акселерометром 6, находящимся вблизи жесткой границы стержня, и поступали на цифровой осциллограф-спектроанализатор, где производились измерения их амплитуды и (ет) и фазовой задержки несущей Ат(ет). Групповая скорость С распространения ультразвуковых импульсов в стержне, определенная по их задержке (при ет = 0), составляла около 2.37 • 105 см/с. При увеличении амплитуды деформации ет низкочастотной волны накачки (при ет > 10-6 > е*, т.е. во втором диапазоне) амплитуда принимаемых высокочастотных импульсов и (ет) заметно уменьшалась, а их фазовая задержка Ат(ет) увеличивалась. На рис. 6 приведены зависимости коэффициента нелинейного затухания х(ет) = 1п[и0/ и (ет)] (и0 — амплитуда импульса без накачки) и фазовой задержки Ат(ет) импульсов с частотами f = 330 кГц от амплитуды деформации ет низкочастотной волны (в резонансе) при возбуждении резонатора на четырех первых его модах. Из рисунка видно, что для первых четырех мод резонатора имеют место зависимости:
X(em)
~ р3/2
р3/2
AT(£m < 2 -10-6) ~ 4 И AT(£m > 2-1^)
-6\
при этом коэффициент х(е т) не зависит, а задержка Ат(ет) слабо зависит от частоты Рр низкочастотной волны накачки. Следует отметить, что установленные здесь амплитудные зависимости Х = Х(ет) и Ат(ет) для высокочастотных импульсов не соответствуют аналогичным зависимостям для низкочастотных
Ат, не
100 -
10 ■
10-
10":
Рис. 6. Зависимость коэффициента нелинейного затухания (а) и фазовой задержки несущей ультразвуковых импульсов (б) с частотой/ = = 330 кГц от амплитуды деформации ет низкочастотной волны (в резонансе) при возбуждении резонатора на четырех первых модах. Прямые линии соответствуют зависимостям х(ет) ~ ет2, Ат(ет) ~ ет (I), Ат(ет) ~ ет2 (II)
волн, установленным в п.3, и, следовательно, за эффекты затухания и фазовой задержки ультразвуковых импульсов в поле низкочастотной волны накачки отвечают другие виды нелинейностей, отличные от гистерезис-ной. На рис. 7 приведены зависимости коэффициента Х = Х(ет) и задержки Ат(ет) от частоты импульса f при возбуждении резонатора на второй моде (р = 2) при ет = 6.8 • 10-6, из которых, несмотря на некоторый разброс экспериментальных точек (не связанный с погрешностью измерений), следует, что с ростом частоты f импульса коэффициент х = х(ет), в основном, растет (х(ет)~ f0 7), а задержка Ат(ет) падает (Ат(ет)~ ~ f_0'5). Такие зависимости х(ет) и Ат(ет) от частоты f импульса свидетельствуют о частотной зависимости (т.е. о дисперсии) нелинейных акустических свойств мрамора, связанной с проявлением релаксации нелинейности [9, 25]. Из первого экспериментального результата — зависимости X = Х(ет) (рис. 6, а) однозначно следует, что исследуемый образец мрамора обладает высокочастотной диссипативной нелинейностью [9, 25]. Из второго результата — зависимости Ат = = Ат(ет) (рис. 6, б) — следует, что при ет > 2 -10-6 нелинейная фазовая задержка несущей высокочастотного импульса связана с проявлением высокочастотной реактивной нелинейности [14]. Поскольку аналитическое описание наблюдаемых здесь эффектов с учетов всех видов нелинейности материала (гистерезисной, реактивной и диссипативной) представляет довольно сложную задачу, здесь мы для упрощения расчетов проведем их анализ в рамках феноменологического уравнения состояния, содержащего диссипативную и реактивную нелинейности [26]:
ст(е, е) = Е[е-у | е |Г е] + ар[1 + g | е |5>е, (15)
где у и % — параметры реактивной и диссипативной нелинейности; у | е |Г << 1; g | е |5 << 1; аg | е I/С2 << 1. В этом уравнении состояния форма нелинейных диссипативного арв | е |5 е и реактивного Еу | е |Г е слагаемых определяется тем, что, во-первых, х(ет) и Ат(ет) являются степенными функциями амплитуды деформации ет низкочастотной волны накачки и почти не зависят от ее частоты Рр и, во-вторых, х(ет) и Ат(ет) не зависят от амплитуды слабого ультразвукового импульса. Отметим, что именно такой вид имеет уравнение состояния для поликристаллических твердых тел, причиной диссипативной и реактивной нелинейности которых являются дислокации [27]. Здесь также, как и в п.4, все параметры уравнения состояния каждого конкретного материала определяются экспериментально, т.е. из
2.0 2.4 2.8
Igf, кГц
Рис. 7. Зависимости коэффициента нелинейного затухания (I) и фазовой задержки несущей (II) от частоты импульса f при возбуждении резонатора на второй моде (р = 2) при Єт = 6.8 -10-. Прямые линии соответствуют зависимостям Х(Єт)~ /0 7 (I), Дт(Єт)~ / 0 5 (II)
сравнения полученных экспериментальных результатов по изучению каких-либо нелинейных эффектов в этом материале с результатом аналитического расчета этих же эффектов. Перед тем, как приступить к расчету наблюдаемых эффектов самовоздействия на основе уравнения состояния (15), отметим некоторые особенности этого, вообще говоря, неаналитического уравнения. Прежде всего, заметим, что при у = 0 и g = 0 уравнение (15) является линейным; оно описывает деформирование линейного вязкоупругого тела Кельвина-Фойгта [28]. В этом случае, конечно, никаких нелинейных эффектов нет, поэтому в уравнение состояния (15) и введены нелинейные слагаемые Еу | е |т е и арg • | е |5 е. Первое слагаемое Еу | е |те — это упругая степенная (нечетная по е) нелинейность; она определяет нелинейную упругость твердого тела и, соответственно, наблюдаемую зависимость Ат1 =Ат1(А0). Второе слагаемое арg | е |5е — это диссипативная нелинейность (четная по е и нечетная по е функция); она отвечает за увеличение поглощения волны при увеличении ее амплитуды (при 51 > 0, в > 0). (Необходимо, однако, помнить, что поскольку х(ет) и Ат(ет) зависят от частоты f импульса, то и параметры а, % и у также зависят от частоты /) В этом случае, коэффициент х(ет) нелинейного затухания и фазовая задержка Ат(ет) слабого ультразвукового импульса определяются выражениями
X(£m) =
agtio2 0 r[(S +1)/2]
2пС3 I r[(S + 2)/2]
AT(em) =
yL
2пС
Г[( m + 1V2]
(16)
(17)
Г[(т + 2)/2] з
Из сравнения этих выражений с результатами экспериментальных измерений получаем значения эффективных параметров диссипативной и реактивной нелинейности мрамора для частоты f0 = 330 кГц (аю0-^/2С3 = 2): ^ = 3/2, g = 107, т = 3/2, у = 9.3•Ю5.
Таким образом, исследования нелинейных эффектов распространения слабых высокочастотных импульсов в поле мощной низкочастотной волны накачки в стержне из мрамора показали, что в диапазоне от 100 до 450 кГц его акустическая нелинейность является аномально высокой и частотно-зависимой. Она содержит диссипативную и реактивную составляющие, при этом с ростом частоты коэффициент затухания, обусловленный диссипативной нелинейностью, в основном растет, а фазовая задержка несущей высокочастотных импульсов, связанная с реактивной нелинейностью, падает. Из сравнения результатов, полученных в п. 3-5, также следует, что проявления гистерезисной, диссипативной и реактивной нелинейности мрамора качественно отличаются друг от друга, поскольку амплитудно-частотные зависимости низкочастотных и высокочастотных нелинейных эффектов различны, в частности п ф S + 1, т + 1. На основе всех этих фактов можно утверждать, что
причины и механизмы гистерезисной, диссипативной и реактивной нелинейности мрамора (как, по-видимому, и других поликристаллов) различны.
6. Самовоздействие ультразвуковых импульсов конечной амплитуды
В третьей серии экспериментов наблюдались и исследовались эффекты амплитудно-фазового самовоз-действия ультразвуковых импульсов, а именно, эффекты нелинейного ограничения амплитуды и изменения фазовой задержки несущей. В этом эксперименте ультразвуковые импульсы создавались излучателем накачки 2, а принимались акселерометром 5. Их несущая частота f составляла 99 кГц, длительность — 400 мкс, частота повторения — 26 Гц. В этом эксперименте проводились относительные измерения амплитуды импульсов и абсолютные измерения их фазовой задержки. Результаты приведены на рис. 8, из которого видно, что при увеличении амплитуды А0 излучаемых импульсов наблюдались следующие закономерности. 1) Амплитуда А1 принимаемых импульсов монотонно увеличивается, причем вначале (А0 < 30 В) — линейно, а затем проявляется тенденция к ее ограничению. 2) Фазовая задержка несущей Ат1 = Ат1 (А) изменяется более сложным образом, при этом проявляется несколько уровней упругой нелинейности: вначале, при малых амплитудах А < <2 В, задержка Ат1(А0) растет как А^, а затем Ат1(А0) ~ ~ АтГ, где т = 0, 1/2,1.1 Из экспериментальных зависимостей А1 = А1(А0) и Ат1 = Ат1(А0) следует, что если эффект ограничения амплитуды А1 связан с проявлением диссипативной нелинейности, то фазовая задержка Ат1(А>) несущей — с проявлением нелинейности реактивной, ответственной за уменьшение фазовой скорости распространения волны с ростом ее амплитуды. Очевидно, что на основе «классической» нелинейной теории упругости [14-16] объяснить обнаруженные в мраморе эффекты амплитудно-фазового самовоздейст-вия импульса нельзя. Наблюдаемые эффекты самовоз-действия и их амплитудные зависимости можно описать в рамках феноменологического уравнения состояния (19), при этом, однако, необходимо иметь ввиду, что его параметры могут отличаться от определенных в п. 5, поскольку частотный и амплитудный диапазоны взаимодействующих волн в пп. 5 и 6 различны. В случае самовоздействия ультразвуковых импульсов выражения для амплитуды е1(е0) и нелинейной задержки несущей Ат1(е0) при х = L имеют вид:
е 0 ехР(-'Н-£)_____
£1(£о)=
[1 + «1ß(l - exp(-S nL))) ]
|VS ’
(18)
1 Отклонение зависимости Ат1 = Ат1(А0) от линейной в диапазоне 60В < А0 < 150В (рис. 8, б) связано с эффектом ограничения амплитуды А (см. выражения (18), (19)).
Рис. 8. Зависимость амплитуды A (а) и фазовой задержки несущей At2 прошедших через стержень импульсов (б) в зависимости от амплитуды А0 излучаемых импульсов. Прямые линии соответствуют зависимостям Ax ~ A0, At ~ A (1), ATj ~ const (2), At2 ~ аЦ2 (5), At2 ~ A§ (4)
ATi(£o) = 2C ^(£o)dx’
(19)
0
где
n =
r((S +1)/2)
2C3’ 1 n1/2 S(S + 2)r(S/2)’
4 (m + 1)Г((т +1)/2)
1 лУ2 т(т + 2)Г(Г 2)
Из этих выражений видно, что амплитуда е1(е0) и нелинейная фазовая задержка Ат1(е0) прошедшего импульса зависят от амплитуды е0 излучаемого импульса и показателей степени S и т диссипативной и реактивной нелинейности, причем е1(е0) зависит только от т, а Ат1(е0) зависит от т и от S—через амплитуду е1(е0). Из рис. 8 следует, что, поскольку до амплитуды А0 = = 100В эффект амплитудного самовоздействия незначителен, то показатель степени т реактивной нелинейности изменяется следующим образом: т = 2 при А < 2 В, т = 0 при 2 В < А0 < 5 В, т = 1/2 при 5 В <
< А < 20 В, т = 1 при 20 В < А0 < 120 В.
Для определения показателя S замечаем, что при малых амплитудах е0, когда а^/Sе05 << 1, импульс затухает линейно:
е*(Г) = е0 ехр(-п^). (20)
Поделим уравнение (20) на (19) и, вводя обозначения:
Р = е(Г)/е*(Г), г = (а1Ре05/?)[1 -ехр(-£п£)],
W = е()/е0> получим (при ZWS << 1):
1п(1п(^Р)) = 1п г + £ 1п W. (21)
Используя результаты эксперимента (рис. 8, а), построим график зависимости 1п(1п(^/Р)) от lnW(рис. 9). Из этой зависимости по тангенсу угла наклона при малых значениях Wнаходим, что £ = 3/2. Примечательно, что для исследованного образца мрамора показатель степени диссипативной нелинейности, определенный двумя различными способами — по затуханию звука на звуке
и по амплитудному самовоздействию, оказался одним и тем же, однако, в отличие от п. 5, здесь ни на каком уровне деформации S ф т. По-видимому, этот факт свидетельствует о различных механизмах высокочастотной диссипативной и реактивной нелинейности не только для исследованного образца мрамора, но и для многих других микронеоднородных твердых тел, аналогично тому, как за реактивную и диссипативную нелинейности твердых тел, содержащих трещины, частично заполненные жидкостью, ответственны поверхностное натяжение жидкости и ее вязкость [29].
Таким образом, экспериментальное исследование и теоретическое описание нелинейных эффектов амплитудно-фазового самовоздействия ультразвуковых импульсов показали, что в диапазоне около 100 кГц акустическая нелинейность мрамора содержит реактивную и диссипативную составляющие, пропорциональные соответственно Еу | е Ге и в | е |£е , причем, если для диссипативной нелинейности во всем диапазоне амплитуд деформаций £ = 3/2, то для реактивной нелинейности (как и в области пластических деформаций твердых тел
Рис. 9. Зависимость ln(ln(^/P)) от InW. Прямая линия соответствует 5 = 3/2
[30, 31]) имеется несколько диапазонов деформации, в которых показатель степени т принимает различные значения: 2, 0, 1/2 и 1.
7. Заключение
В работе приведены результаты трех серий экспериментальных исследований нелинейных акустических эффектов в стержневом резонаторе из поликристалли-ческой горной породы — мрамора, а именно:
- амплитудно-зависимых потерь, сдвига резонансных частот и генерации высших гармоник низкочастотной волны;
- затухания и фазовой задержки несущей слабых ультразвуковых импульсов под действием мощной низкочастотной волны;
- амплитудно-фазового самовоздействия ультразвуковых импульсов конечной амплитуды.
Анализ экспериментально установленных амплитудно-частотных зависимостей этих эффектов показал, что акустическая нелинейность мрамора содержит три различные составляющие — низкочастотную гистере-зисную и высокочастотные диссипативную и реактивную, каждая из которых характеризуется различными степенными функциями деформации и различными зависимостями от частоты акустического воздействия.
В низкочастотном диапазоне (Е < 19 кГц) нелинейность мрамора характеризуется степенным гистерезисом: при малых амплитудах деформации (ет < е* = = 2 • 10-6) показатель степени п = 4, а при больших (2 • 10-6 < ет < 10-5) — п = 2, при этом с ростом частоты Е акустической волны гистерезисная нелинейность уменьшается. Важно заметить, что при описании низкочастотных нелинейных эффектов были использованы модели как упругого, так и неупругого гистерезисов, при этом было показано, что обе эти модели адекватно описывают эффекты амплитудно-зависимого внутреннего трения и генерацию второй гармоники. Если же, кроме этих эффектов, учитывать и генерацию более высоких гармоник — третьей и пятой, то аналитический расчет их амплитуд в рамках упругого гистерезиса показывает хорошее количественное согласие с результатом измерений нелинейных сдвига резонансной частоты и потерь, а в рамках неупругого гистерезиса — дает большое несоответствие. Это свидетельствует о правомерности использования упругого гистерезиса (и, соответственно, неправомерности использования неупругого гистерезиса) для описания низкочастотных эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения в исследованном образце мрамора.
В высокочастотном диапазоне (100 кГц < Е < 450 кГц) нелинейность мрамора характеризуется степенными диссипативной и реактивной нелинейностью: показатель степени S диссипативной нелинейности равен 3/2, показатель степени т реактивной нелинейности, в за-
висимости от нелинейного эффекта, равен 3 (при ет < е* = 2• 10-6) и 3/2 (при 2• 10-6 < ет < 10-5) — для эффекта затухания звука на звуке, а для эффекта самовоздействия ультразвуковых импульсов, в зависимости от их амплитуды, этот показатель имеет следующие значения: m = 2, 0, 1/ 2, 1. С ростом частоты f ультразвука диссипативная нелинейность мрамора увеличивается, а реактивная — уменьшается.
В проведенных экспериментах «аномальность» мрамора проявилась в том, что его акустическая нелинейность оказалась неаналитической, а ее параметры — чрезвычайно высокими. Высокая нелинейность горных пород, подобных мрамору, создает возможность использования различных нелинейных эффектов и в сейсмоакустике — для диагностики массива горных пород в толще Земли и контроля его напряженного состояния.
В заключение отметим, что в акустике дробно-степенные нелинейности встречаются значительно реже, чем целочисленные. Ранее, при проведении исследований низкочастотных эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения в резонаторах из отожженной меди [3] и свинца [5] наблюдалась зависимость AEnl ~ ет2, соответствующая нелинейности упругого контакта Герца [14], когда f (е) ~| е |3/2, при этом для отожженной меди отмечалось увеличение такой нелинейности с ростом размера зерна в ее структуре. Такого же типа нелинейность проявлялась и в экспериментах по самоде-модуляции высокочастотных акустических импульсов в зернистых средах [32, 33], где, безусловно, имели место герцевские контакты между отдельными зернами. В экспериментах по изучению амплитудно-зависимого внутреннего трения в известняке наблюдались другие зависимости, но также с дробным показателем: AEnl ~ ет/3, Мп1/Мp ~ ет3. Здесь, в эксперименте по са-мовоздействию ультразвуковых импульсов в мраморе, также имеется диапазон, где Atq(Ao) ~ Aq2 (рис. 8, б),
и, следовательно, f (е) ~| е |^2. Наконец, для отожженных меди и цинка, как и для мрамора, также отмечались дробно-степенные показатели степени S = 3/2 диссипативной нелинейности [7]. Можно, по-видимому, предположить, что упругая, гистерезисная и диссипативная дробно-степенные нелинейности могут проявляться для микронеоднородных сред и материалов, в которых их структурные дефекты (например дислокации, поверхности зерен или микротрещин) обладают фрактальными свойствами [34, 35].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 08-02-97039-р_поволжье).
Литература
1.Granato A., Lücke K. Theory ofmechanical damping due to dislooations // J. Appl. Phys. - 1956. - V. 27. - No. 6. - P. 583-593.
2. Nazarov V.E., Ostrovsky L.A., Soustova I.A., Sutin A.M. Nonlinear acoustics of micro-inhomogeneous media // Phys. Earth Planet. Inter. - 1988. - V. 50. - No. 1. - P. 65-73.
3. Назаров В.Е. Влияние структуры меди на ее акустическую нелинейность // ФММ. - 1991. - № 3. - С. 172-178.
4. Зименков С.В., Назаров В.Е. Нелинейные акустические эффекты в образцах горных пород // Физика Земли. - 1993. - N° 1. - С. 1318.
5. Назаров В.Е. Амплитудно-зависимое внутреннее трение свинца // ФММ. - 1999. - Т. 88. - № 4. - С. 82-90.
6. Guyer R.A., Johnson P.A. Nonlinear mesoscopic elasticity: Evidence for a new class materials // Physics Today. - 1999. - No. 4. - P. 3036.
7. Nazarov V.E., Kolpakov A.B. Experimental investigations of nonlinear acoustic phenomena in polycrystalline zinc // JASA. - 2000. - V. 107. -No. 4. - P. 1915-1921.
8. Ostrovsky L.A., Johnson PA. Dynamic nonlinear elasticity in geomaterials // La Rivista del Nuovo Cimento. - 2001. - V. 24. - No. 7. -P. 1-46.
9. Назаров В.Е., Радостин А.В. Экспериментальное исследование эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения в резонаторе из песчаника // Акуст. журн. - 2004. - Т. 50. - № 4. - С. 524532.
10. TenCate J.A., Pasqualini D., Habib S., Heitmann K., Higdon D., Johnson P.A. Nonlinear and nonequilibrium dynamics in geomaterials // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 93. - No. 6. - P. 065501.
11. Руденко О.В. Гигантские нелинейности структурно-неоднородных сред и основы методов нелинейной акустической диагностики // УФН. - 2006. - Т. 176. - № 1. - C. 77-95.
12. Исакович М.А. Л.И. Мандельштам и распространение звука в микронеоднородных средах // УФН. - 1979. - Т. 129. - № 3. -С. 531-540.
13. Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973. - 496 с.
14. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1965. -204 с.
15. Зарембо Л.К., КрасильниковВ.А. Введение в нелинейную акустику. - М.: Наука, 1966. - 520 с.
16. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // УФН. - 1970. -Т. 102. - № 4. - С. 549-586.
17. Судзуки Т., ЕсинагаX., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность. - М.: Мир, 1989. - 296 с.
18. Asano S. Theory of nonlinear damping due to dislocation hysteresis // J. Phys. Soc. Jpn. - 1970. - V. 29. - No. 4. - P. 952-963.
19. Лебедев А.Б. Амплитудно-зависимый дефект модуля упругости в основных моделях дислокационного гистерезиса // ФТТ. -1999. - Т. 41. - № 7. - С. 1214-1221.
20. Ультразвуковые методы исследования дислокаций: Сб. статей / Под ред. Л.Г. Меркулова. - М.: ИИЛ, 1963. - 376 с.
21. Физическая акустика. Т. 4, ч. А. Применение физической акустики в квантовой физике и физике твердого тела / Под ред. У Мезона. - М.: Мир, 1969. - 436 с.
22. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. - Киев: Наукова думка, 1970. -380 с.
23. Маракушев А.А., Бобров А.В. Метаморфическая петрология. -М.: Изд-во МГУ, 2005. - 256 с.
24. Назаров В.Е., Радостин А.В., Островский Л.А., Соустова И.А. Нелинейные волновые процессы в средах с гистерезисной нелинейностью. Часть I // Акуст. журн. - 2003. - Т. 49. - N° 3. - С. 385395.
25. Назаров В.Е., Радостин А.В. Волновые процессы в микроне-однородных средах с гистерезисной нелинейностью и релаксацией // Акуст. журн. - 2005. - Т. 51. - № 2. - С. 280-285.
26. Назаров В.Е. Влияние акустической нелинейности на характер нелинейных волновых процессов в твердых телах. Обратная задача // Акуст. журн. - 2007. - Т. 53. - № 5. - С. 666-671.
27. Назаров В.Е. Нелинейные волновые процессы в поликристаллах с дислокационной диссипативной и реактивной нелинейностью // Акуст. журн. - 2008. - Т. 54. - № 2. - С. 283-290.
28. ДейвисР.М. Волны напряжений в твердых телах. - М.: ИЛ, 1961. -103 с.
29. Назаров В.Е., Радостин А.В. Нелинейные волновые процессы в средах с трещинами, частично заполненными вязкой жидкостью // Акуст. журн. - 2003. - Т. 49. - № 5. - С. 667-675.
30. ПанинВ.Е., ГриняевЮ.В., Елсукова Т.Ф., ИванчинА.В. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. -1982.- № 6. - С. 5-27.
31. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.
32. Nazarov V.E., Kolpakov A.B., Zaitsev VYu. Parametric generation of low-frequency acoustic pulses in river sand // Acoust. Lett. - 1998. -V. 21. - No. 9. - P. 182-188.
33. Tournat V, Zaitsev V, Gusev V, Nazarov V, Bequin P, Castagne-de B. Probing weak forces in granular media through nonlinear dynamic dilatancy: Clapping contacts and polarization anisotropy // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 92. - No. 8. - P. 085502(4 pages).
34. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт космических исследований, 2002. - 656 с.
35. Бородич Ф.М., Мосолов А.Б. Фрактальный контакт твердых тел // ЖТФ. - 1991. - Т. 61. - № 9. - C. 50-54.
Поступила в редакцию 21.09.2009 г., после переработки 01.02.2010 г.
Сведения об авторах
Назаров Вениамин Евгеньевич, д.ф.-м.н., снс, внс ИПФ РАН, nazarov@hydro.appl.sci-nnov.ru
Колпаков Андрей Борисович, к.ф.-м.н., доцент, снс ИПФ РАН, abk@sandy.ru
Радостин Андрей Викторович, к.ф.-м.н., нс, нс ИПФ РАН, radostin@hydro.appl.sci-nnov.ru
