Исследование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье с учетом дисперсии Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 551.466

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА МЕЛКОВОДЬЕ С УЧЕТОМ ДИСПЕРСИИ

© 2009 г. И.Б. Аббасов

Технологический институт Южного федерального университета,

пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская область, ГСП-17А, 347928, [email protected]

Technological Institute of Southern Federal University, Nekrasovskiy Lane, 44, Taganrog, GSP-17A, Rostov region, 347928, [email protected]

Рассмотрены вопросы распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье с учетом дисперсионных эффектов. По полученным аналитическим выражениям для горизонтальной скорости частиц среды описывается эволюция профиля нелинейных поверхностных гравитационных волн при распространении в условиях мелководья.

Ключевые слова: нелинейные поверхностные гравитационные волны, мелководье, дисперсия, профиль волны.

Problems ofpropagation of nonlinear surface gravity waves in a shallow-water condition with dispersions effects are considered. On the basic of the analytical expressions for horizontal velocity of medium particles evolution of a profile of nonlinear surface gravity waves is described at propagation in the shallow-water condition.

Keywords: nonlinear surface gravity waves, shallow-water, dispersions effects, profile waves.

Волновые явления, происходящие на поверхности моря, как и любые природные явления, носят сложный нелинейный характер. Это приводит к нелинейным математическим моделям реальных процессов. В данной работе исследуются вопросы распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководных заливов с учетом дисперсии. Поверхностные гравитационные волны на мелководье описываются уравнением Кортевега и де Вриза [1, 2]:

du ^ du ^ ßd3u ди

(1)

у« 1:0 s =

¿>r

c

где a - амплитуда

—

вертикального смещения свободной поверхности; Л -длина поверхностной гравитационный волны.

Слагаемое в правой части уравнения (1) описывает нелинейные процессы, третье слагаемое в левой части -дисперсию волн. Второе и третье слагаемые в левой части выведены из дисперсионного соотношения для линейных волн (2).

В уравнении слабая нелинейность, приводящая к укручению волны, и слабая дисперсия, приводящая к её размытию, могут компенсировать друг друга. При этом будет возникать стационарная нелинейная вол-

на, распространяющаяся без изменения формы с постоянной скоростью.

Периодическое решение уравнения Кортевега и де Вриза (1) с помощью эллиптической функции Якоби представляет собой [1, 3]

u(x,t) = ex сп

Зу и н2

х (х- Ut)

(3)

Э/ дх дх дх

где и=Эх - горизонтальная компонента скорости частиц среды; с = ^Н - скорость распространения гравитационных волн; g - гравитационная постоянная; H - глубина жидкости; /3 = сН 2/б - параметр из закона дисперсии для поверхностных гравитационных волн, полученного Лапласом:

о) = ск - ркъ . (2)

Уравнение Кортевега и де Вриза описывает поверхностные гравитационные волны в приближении слабой нелинейности е « 1 и слабой дисперсии

\2

где и = с{ 1 - у/2) - скорость распространения волны;

сп(х) = соъ(р) = - х2 - эллиптическая функция Якоби [4, 5].

Модуль m эллиптической функции равен

АН

а длина волны X =

fir

х К (tri), где К(т) -

полный эллиптический интеграл Лежандра первого

7112 dw рода К(т) = ¡ Y

о ijl -т2 sin2 (р Из-за эллиптической функция Якоби cn(z), Кор-тевег и де Вриз назвали эти решения кноидальными волнами [1]. Модуль m дает сравнительную оценку эффектов нелинейности и дисперсии. В линейном пределе т—>0 в выражении (3) сп(х)—>cosx, при т —> 1 б7?(1') —> see h(x) соответствует уединенной волне (солитону).

Решения уравнения (1) являются корректными при значениях 0 </;<;/. когда £ и у малы. Кноидальные волны ограничены по высоте и являются фактически по форме периодической последовательностью солитонов. Неизменность форм кноидальных волн не позволяет проследить динамику нелинейных поверхностных гравитационных волн при распространении по мелководью.

Для слежения за динамикой процесса распространения поверхностных гравитационных волн рассмотрим уравнение мелкой воды с учетом квадратичной нелинейности:

m =

он он — + с —

dt

= —at -

(4)

ОХ дх

Уравнение (4) является частью уравнения (1), если не учитывать дисперсию волн. Влияние дисперсии мы учтем в первоначальном виде через известный закон дисперсии в выражении (2). Можно отметить, что влияние дисперсии становится более ощутимым для высших гармоник основной волны, которые приводят к укручению профиля волны. Наиболее прямой путь решения нелинейных уравнений - это решение методом последовательных приближений [6].

Пусть при (=0 задано возмущение и(х.О) = = £110 ехр(/Ах) + к.с., где к. с. - слагаемое, комплексно-сопряженное первому, которое вводится в нелинейных задачах для учета вещественности и. Будем искать решение уравнения (4) методом последовательных приближений в виде разложения по малому параметру е (е«\), ограничиваясь первыми двумя членами

и = Еит+Е2гР\ (5)

причем считаем, что н("+1) « и(п).

После подстановки этого выражения в уравнение (4) и приравнивания членов содержащих с. получаем линейное уравнение

<3"(1) дит п

-+ с-= 0. (6)

дх

Решением уравнения (6) при начальных условиях

0, г/"'(л-.О) = Ч{) схр(//й\") I к.с. . будет функция и"'' (х,= и0 ехр |(£х- Ш)к.с.

Приравнивая теперь члены с с. для и{2) получаем

t =

ZD

а <(2) ди{2)

■+с-

ои

(1)2

неоднородное линеиное уравнение ^

dt дх 2 дх Правая часть этого уравнения является решением линейного уравнения (6) для u(1). Решение для u(2) при отсутствии дисперсии имеет следующий вид: и(Т)(x,t) = -iktU^ ехр |(2Ах-2cot)к.с.

Тогда общее решение для горизонтальной скорости частиц примет вид

и(л\ / ) = sUQ ехр [ kx — cot)

— ikts2UQ ехр |(2Ъг — 2cot) jf-1

(7)

Анализируя выражение (7), можно отметить, что амплитуда первой гармоники остается постоянной, а амплитуда второй гармоники растет линейно со временем. Поэтому при любом как угодно малом значении е наступит момент неустойчивости (обрушения) волны, который определяется путем приравнивания амплитуд членов

s и(1) и er и{2): u(x)const,

еи0=е2Ы%у1

Однако следует отметить, что с ростом второй гармоники начнет усиливаться её взаимодействие с первой, основной гармоникой. Это взаимодействие приведет к возбуждению третьей, четвертой и т.д. гармоник. Следовательно, со временем в спектре волн будут возникать все более высокие частоты, которые приведут к укручению фронта волны.

м/с

¿м

Для выявления этих изменений поищем решение уравнения (4) методом последовательных приближений с новыми начальными условиями

',2(1),

,(*,/)+ ^-4*,/). (8)

Окончательно решение в двух приближениях для горизонтальной скорости частиц среды получим [7]

u

em

I

(xj) = J2t/0 exp(/'Ax) - ikte^Ul exp(2/'Ax) J-

+ "¿гч/д ехр(/'Ах) + \Ше и^ ехр(2/'Ах) + (9)

+ ЗА-2/2г?5С/оехр(3/А-х)-2;А-3/3г?бС/04ехр(4;А-х) ^(к.с.).

Анализируя выражение (9), можно отметить, что в результате взаимодействия первой волны к со второй 2к возникают не только вторичные волны с удвоенными значениями 2к и 4к, но и комбинационные волны к и 3к. Соответственно, в спектре исходной волны со временем появляются вторая, третья и четвертая гармоники, что приведет к искажению профиля волны.

Согласно полученному выражению (9), по истечении определенного промежутка времени в результате быстрого роста амплитуд второго члена выражения (6) наступит неустойчивость волны, так как второй член содержит более высокие степени зависимости от времени. Но временная зависимость здесь имеет более сложный вид, поэтому аналитическое определение вы-

/(2)

ражения для характерного времени для данного

взаимодействия будет достаточно трудоемким, поэтому воспользуемся графическим способом.

Для исследования нелинейных волновых эффектов на мелководье в качестве модели воспользуемся гидрологическими условиями Таганрогского залива Азовского моря. Средняя глубина Таганрогского залива не превышает 5 м [8], поэтому условиям мелко-водности будут удовлетворять гравитационные волны с длинами свыше 30 м. Дно ровное, поверхностное натяжение отсутствует. В качестве исходных поверхностных волн рассматриваются волны зыби, т.е. влияние ветра не учитывается.

При отсутствии диссипации энергии первичных и вторичных волн должны отвечать закону сохранения энергии

е11\х)+Е,

?(Х) = Е[2\Х)+Е^'(Х)+Е^'(Х)+Е\-"(Х) , (10)

еП2\х) - энергии первичных и вторичных волн.

На рис. 1 представлены графики амплитуд первичных и вторичных волн, а также основной и второй гармоник.

7(2),

7(2),

7(2),

где E(\x)

х, м i

Рис. 1. Графики суммарных амплитуд горизонтальных скоростей

,0)

первичных u(1) (x,t) и вторичных u(2)(x, t) волн,

а также основной u(1)(x, t) и второй u(^(x,?) гармоник

Для удобства они представлены в зависимости от расстояния х. Неустойчивость наступает на расстоянии

Ххар. -7600 М.

На основе анализа рис. 1 можно отметить, что с ростом суммарной амплитуды вторичных волн амплитуда первичных волн и основной гармоники падают, а амплитуда второй гармоники медленно нарастает, и к моменту неустойчивости резко падает. Таким образом, закон сохранения энергии для данного волнового процесса соблюдается.

Рассмотрим изменение профиля исходной гравитационной волны до расстояния х = 4300 м, где наше рассмотрение является ещё корректным. На рис. 2 представлены зависимости изменения горизонтальной скорости

иет.(х, /) от расстояния пробега на

основе формулы (9).

Волна с изначально косинусои-дальным профилем за время пробега постепенно искажается, гребни заостряются, а впадины становятся все более пологими (рис. 2а). Далее начинает проявляться влияние дисперсии для высших гармоник, что приводит к распаду цуга волны (рис. 2б). Этот процесс может компенсировать укручение фронта волны, откладывая тем самым её обрушение. В заключение можно отметить, что рассмотренный нами метод позволяет проследить динамику нелинейных поверхностных гравитационных волн при распространении их по мелководью.

1. Уизем Дж. 1977. 622 с.

Литература

Линейные и нелинейные волны.

б

Рис. 2. Зависимость изменения горизонтальной скорости ит (х,^) от расстояния пробега поверхностной гравитационной волны с параметрами: частота /=0,09 Гц; длина Я=78 м; начальная крутизна 2я/Я=0,014; а/Н= ОД; Н/Л=0,06

2. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М., 1982. 325 с.

3. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, со-литоны и хаос. М., 2006. 480 с.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., 1983. 176 с.

5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979. 832 с.

6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., 1979. 383 с.

7. Аббасов И.Б. Исследование и моделирование нелинейных поверхностных волн на мелководье // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39, № 4. С. 568-573.

8. Мамыкина В.А., Хрусталев Ю.П. Береговая зона Азовского моря. Ростов н/Д, 1980. 175 с.

М.,

Поступила в редакцию

17 марта 2009 г.