CC BY
20
2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕХАНИКА
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ
Г.И. Мельников, С.Е. Иванов
При исследовании динамики виброзащитных систем необходимо использовать нелинейные математические модели. Рассматривается актуальная задача и метод исследования нелинейных виброзащитных систем с тремя степенями свободы, с правыми частями в виде многочленов до четвертой степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Методом многочленных преобразований уравнения движения системы приводится к автономному виду, выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний.
Дифференциальные уравнения движения виброзащитной системы запишем в общем виде:
4
Лд + Вд + Сд = ^ g| соа(шг81п(шг2
+
(1)
^ К соъ(шгБ1п(шг)у 2 д*3 д2У4 д3У5 д^6 д2 У 7 д3У 8,
М=2
где д = [[, д2, д3 ] - вектор обобщенных координат системы, Л, В, С - матрицы третьего порядка, | = 2), у = (у1у 2 у3у 4у 5у 6у 7 у8) - векторные индексы,
|| = | +1, И = V +у2 + - + V , gм = [g1^'g2|gК = к\,h3vf - столбцы.
Предполагается, что характеристическое уравнение Бег [ЛЛ2 + ВЛ + С ] = 0 имеет сопряженные корни Л8 ,Л8 с малыми отрицательными вещественными частями. Поло-
gS I
< 1,
К
< 1 малы.
(2)
жим также, что компоненты вектора нелинейных частей
Приведем алгоритм метода многочленных преобразований. Введем комплексно-сопряженные переменные д0 = ехр( гаг) и д0 = ехр(-гшг), Л = гш , тогда можно записать
с°ъ(аг) = 2(д° + ¿о) и 81п(шг) = 2-(д° - ¿О) .
Запишем систему (1), учитывая введенные комплексно-сопряженные переменные (2) в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка.
X = РХ + Я . (3)
Вектор-столбец новых переменных X = [д0 д0дхд2 д3 да д2 д3 Г Квадратная блочная матрица 8x8 имеет вид
0
' Ж 0 0 " 0 гш
Р = 0 0 I , Я= 0 ,Ж =
ЛА0 0
Л~1И - Л~ХС - Л1 В
где I - единичная диагональная матрица 3x3, 0- нулевая матрица,
Н = [°. 5(- igol) 0. 5(gl0 + ^01 )],
а = £ кго.з^2 g (д0 + ЧоГ(Чо - ЧоГ2 +
^УЧ о
1|=2
£(-/)У20.5У1+У2 К (до + ЧоГ(Чо - ЧоР Чр Чг4 Чъ5 ЧЦ6 Чг1 М=2
Выполняется линейное преобразование
У = ВХ. (4)
Линейная часть системы (3) приводится к диагональному виду:
У = ЛУ + д|Х^-1у , где Л = ^а^Д,...,^]. (5)
Выполняется многочленное преобразование с точностью до членов четвертого порядка включительно:
Уу = ¿у + £а1 Zv , (* = 3,...,8),г= ¿V12 ..^8, (6)
М=2
£
где ау - неизвестные коэффициенты преобразования. Введенные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются
У у = ¿у (* = 1,2) .
Результатом многочленного преобразования является автономная система:
¿3 = 4¿у + £ч1 Zv, (* = 3,..., 8), (1)
М=2
где Чу - искомые коэффициенты преобразованной системы.
Особые значения индекса при фиксированном * находятся как целочисленные неотрицательные решения двух уравнений [1]:
£ 4^ -4у - 0, £ Vk = 2,3,4 . (8)
к=1 к=1
Постоянные ч * приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют постоянные а V . И наоборот, при особых значениях индексов полагают коэффициенты а * равными нулю и вычисляют Ч * .
В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы:
при д 3 : V = (00100011), V = (00101100), V = (00210000), V = (11100000),
при д 5 : V = (00001011), V = (00002100), V = (00111000), V = (11001000),
при д 7 : V = (00000021), V = (00001110), V = (00110010), V = (11000010).
В преобразованной системе (1) сделаем замену переменных:
¿у,у+1 = РуЕхР( 1т 4у ±0у )^ % = ¿у* = 3,5,1
(9)
¿12 = Ехр(±И&).
В результате систему (1) можно представить в виде:
Ру = Яе(4у )Ру + Яе((р), 0у =Р-11Ш(^), * = 3,5,1,
(10)
£ д3у Р 33 Р 55 Р11 Ехр(1(03^3 - V4) + 05 (V 5 - V') + 01^1 - V8)-0 у )). М=2
В нерезонансном случае экспонента не входит в систему (10), так как ее степень равна нулю. Стационарные решения можно найти, приравняв правые части системы (10) к нулю.
Получив решение преобразованной системы (10) и подставив его в формулы замены переменных (9), найдем вектор г . Вектор У выражается через вектор г по
формулам многочленной замены (6). Вектор X выражается через вектор У по формулам замены, обратной линейной: X = Б1У .
Получим алгоритмические формулы для расчета коэффициентов преобразования и преобразованной системы. Запишем систему (5) в переменных Ъ многочленного преобразования (6)
у8 = Л^ + Л8 ¿а^ + Я (Г). (11)
М=2
Продифференцируем формулу многочленных преобразований (6), учитывая равенство (7) получим:
у 8 = Л ^ +1 ¿^ + I (а^ I Лкук) +
М=2 М=2 к= (12)
4 8 4 4 '
^ -1I ¿I2-).
|у|=2 к=3 ||=2
Из формул (11) и (12) получим равенство:
I ¿Х + Х(аХ(Х Лкук-Л )) +
4 8 4 (* = 3, ,8) (13)
I (а^Г^к-11 ¿I21) = Я (7 ),
|у|=2 к=3 ||= 2
Приравнивая в (13) коэффициенты при одинаковых степенях 7, получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы.
Для записи суммы по векторному индексу в программе использовано представление следующего вида:
4 4 г8 г7 г6 г5 г4 г3 г2
1 Pvl,Vг,Vз,V4,V5,V6,V7,V8¡ = 11111111 Р/1,/2-/1,г3 -/2,г4-/3 ,г5-г4,г6-/5 ,г7-г6,г8 - г7 . (14)
|у|=2 г8 = 2 г7 = 0 г6 = 0 г5 = 0 г4 = 0 г3 = 0 г2 = 0 г1 = 0
На базе символьных преобразований многочленов была разработана программа для исследования методом многочленных преобразований нелинейных виброзащитных систем с тремя степенями свободы вида (1).
Рассмотрим виброзащитную систему с тремя степенями свободы с нелинейными правыми частями в виде многочлена третей степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Система виброзащиты состоит из объекта виброзащиты массой т1, установленного на две платформы, находящиеся одна под другой, их массы т2 и т3, нижняя из них закреплена на вибрирующем основании. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени кх + 1х2 + рх3, демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику сХ + ёХ3. Внешнее гармоническое возмущение воздействует на основание. Для получения уравнений движения виброзащитной системы используем уравнения Лагранжа. Система уравнений движения виброзащитной системы имеет вид:
т1Х1 + с1( Х1 - Х2 ) + ё1( Х1 - Х2)3 + к1( Х1 - Х2) + 11( Х1 - Х2)2 + Р1( Х1 - Х2)3 = °
т2Х2 + с1(Х2 - Х&1) + ё1(Х2 - ^&1)3 + к1(Х2 - Х1) - 11(Х2 - Х1)2 + Р1(Х2 - Х1)3 +
С2(Х2 - Х3) + ё2(Х2 - Х3) + к2(Х2 - Х3) + 12(Х2 - Х3) + Р2(Х2 - Х3) = 0, (15)
т2Х3 + С2(Х3 - Х2) + ё2(Х3 - Х2)3 + к2(Х3 - Х2) - 12(Х3 - Х2)2 + Рг(.Х3 - Х2)3 + с3(Х3 - /) + ё3(Х3 - /)3 + к3(Х3 - /) +13(Х3 - /)2 + Р3(Х3 - /)3 = 0
где Х1, Х2, Х3 - абсолютные перемещения по отношению к положению равновесия системы. На основание действуют вертикальные колебания:
f (t) = a sin(©t). (16)
Введем относительное перемещение:
X1 = X1 — f, X2 = X2 — f, X3 = X3 — f . (17)
Запишем уравнения движения (15) в новых переменных:
mi~1 + Ci (~i - ~2) + d1 (~1 - ~2)3 + К (~1 - ~2) + l1(~1 - ~2)2 + Pi (~1 - ~2)3 = -mi f1, m2X2 + C1(~2 - ~1) + d1(~2 - ~1)3 + k1(~2 - ~1) - l1(~2 - ~1)2 + Pi(~2 - ~1)3 +
C2(~2 - ~3) + d2(~2 - ~3)3 + k2(~2 - ~3) + l2(~2 - ~3)2 + P2(~2 - ~3)3 = -Ш2f, (18)
m2X3 + C2(~3 - ~2) + d2(~3 - ~2)3 + k2(~3 - ~2) - l2(~3 - ~2)2 + P2(~3 - ~2)3 + C3 X3 + d3 X3 + k3 X3 + /3 X3 + P3 X3 — f
f (t) —-a®2sin(®t). (19)
Выполним многочленное преобразование системы (18) согласно схеме. Запишем систему уравнений в матричной форме:
X — RX + P,
где
X — [exp('®t), exp(-'®t), х1з х2,х3, ~1,~2, ~3 ]T , (20)
а P - нелинейный вектор системы. В результате линейной замены переменных
Y — AX (21)
получим систему с линейной диагональной матрицей вида
Y — AY + P. (22) Выполним многочленную замену переменных:
^ — z5 + 5XZ" ,(s — 3.....8), ys — Zs (s — 1,2), Zv = z? z^2z33z44Z555 Z666z7'7z* . (23)
VI—2
C точностью до членов четвертого порядка получаем автономную дифференциальную систему:
z3 — (Лэ + ^11100000 )z3, z5 — (^5 + ^11001000 )z5 , z7 — + ^11000010 )z5 (24)
Решение системы записывается в виде:
z3,4 = Р01 exP(tRe(^3 + ^П00000) ± '(001 + tIm(^3 + 3ГШ00000))Х
z5,6 = Р02 exP(t Re(^5 + q 1001000
) ± Щ2 + t Im(^5 + q51
1001000 ))), (25)
z7,8 = P03 exP(t Re(^7 + qn000010) ± '(003 + t Im(^7 + ^^КХтю))).
Получим переходный и установившийся режимы колебаний виброзащитной системы (18) при следующих параметрах:
m — 1.13, с — 0.23, d1 — 0.01, k1 — 1.23, l1 — 0.04, P1 — 0.02, m2 — 3.17, с2 — 0.61, d2 — 0.03, k2 — 3.13, l2 — 0.13, P2 — 0.06, m3 — 8.71, с3 — 1.73, d3 — 0.09, k3 — 9.11, l3 — 0.37, P3 — 0.17
На систему действует внешнее возмущение : а> — 2,a — 0.5 . Определены коэффициенты преобразованной автономной системы (24)
q131100000 —-0.086 + 0.011', q151001000 —-0.154 + 0.012', q^ —-0.044 + 0.001'. Тогда решение системы (24) записывается в виде: z34 = p01exp(-0.297t ± /'(001 + 1.480t)),
z5,6 = Р02 exp(-0.273t ± '(002 + 1.130t)), z78 =p03 exp(-0.083t ± '(003 + 0.635t)). а установившийся режим колебаний системы имеет вид
Х1 =-0.035сов(шг) - 0.470в1п(шг), Х2 =-0.113сов(шг) - 0.52бБ1п(шг), Х3 =-0.261соБ(шг) - 0.612Б1п(шг).
Установившиеся вынужденные колебания системы происходят с частотой внешней силы.
Вынужденные колебания в начале установления являются квазипериодическими. Таким образом, методом многочленных преобразований уравнения движения системы приводятся к автономному виду в рамках принятой точности. В нерезонансном случае получено решение преобразованной системы. Выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний.
Метод позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики изучаемых движений, исследовать установившиеся режимы колебаний для систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия, а также изучать переходные процессы.
Литература
1. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л: Машиностроение, 1975. 198 с.
2. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний. // Вестник ЛГУ. 1964. № 1. Вып.1. С. 88—98.
3. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М: Машиностроение, 1992. 376 с.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Наука, 1981. 568 с.
5. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т.6. / Под ред. К.В. Фролова М.: Машиностроение, 1995. 456 с.
6. Фурман Ф.А., Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем. М: Машиностроение, 1980. 317с.
