Научная статья на тему 'ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА'

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
16
3
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОСТРАНСТВО ОРЛИЧА / ОПЕРАТОР / ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Утепкалиев С.У., Жанузакова З.Ж.

Работа посвящена некоторым утверждениям обобщенного пространства Лебега, т.е. нормированного пространства Орлича. Предметом изучения является нелинейной системы Коши-Риманав ограниченной области G комплексной плоскости QUOTE вектор-функций. Показаны в комплексных пространствах Орлича вектор-функций вполне непрерывности линейного оператора. Исследуетcя разрешимость и единственность решения векторного уравнения вида W = Ф + Т·f(W) в пространствах Орлича вектор-функций, где f - оператор суперпозиции.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

RESEARCH OF THE NONLINEAR SYSTEM OF KOSHI-ROMAN IN THE SPACES OF ORLIC

The paper is devoted to some statements of the generalized Lebesgue space Lp, i.e. normalized space of Orlicz. The subjects of study in this note is the non-linear Cauchy-Riemann system in a bounded region G of the complex plane QUOTE of vector functions. Shown in complex Orlicz spaces of vector functions completely continuity of a linear operator. Investigates the solvability and uniqueness of the solution of a vector equation of the form W=Ф+Т·f (W) in Orlicz spaces of vector functions, where f is a superposition operator.

Текст научной работы на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА»

УДК 517.98

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА

RESEARCH OF THE NONLINEAR SYSTEM OF KOSHI-ROMAN IN THE SPACES OF ORLIC

Утепкалиев С. У., канд. пед. наук, профессор Жанузакова З. Ж., магистр естеств. наук, ст. преподаватель Атырауский государственный университет имени Х. Досмухамедова Serik.Utepkaliev@mail.ru, zh.zulfiya@mail.ru

Аннотация. Работа посвящена некоторым утверждениям обобщенного пространства Лебега, т.е. нормированного пространства Орлича. Предметом изучения является нелинейной системы Ко-ши-Риманав ограниченной области G комплексной плоскости С вектор-функций. Показаны в комплексных пространствах Орлича вектор-функций вполне непрерывности линейного оператора. Исследуется разрешимость и единственность решения векторного уравнения вида W = Ф + Tf(W) в пространствах Орлича вектор-функций, где f - оператор суперпозиции.

Ключевые слова: пространство Орлича, оператор, вполне непрерывности оператора.

Abstract. The paper is devoted to some statements of the generalized Lebesgue space Lp, i.e. normalized space of Orlicz. The subjects of study in this note is the non-linear Cauchy-Riemann system in a bounded region G of the complex plane of vector functions.

Shown in complex Orlicz spaces of vector functions completely continuity of a linear operator.

Investigates the solvability and uniqueness of the solution of a vector equation of the form W=Ф+Т•f (W) in Orlicz spaces of vector functions, where f is a superposition operator.

^y words: Orlicz space, operator, operator continuity completely.

Предметом изучения является нелинейной системы Коши-Римана

(1)

в ограниченной области С к комплексной плоскости С. Здесь/^г,^.... (геб, и. с С) - заданные функции, а (г), (2 € &)- искомые функции.

Если функции со, (г)удовлетворяют системе (1) и таковы, что /¿(г. ^(гХ (и„(.г)) Е Ц(0),то они представимы в виде (см.[1], [5]):

Где Т - линейный интегральный оператор следующего вида:

Т¥] ) = -1 Г(М> dО^, (3)

ж»

а аналитическая функция.

Обозначим через \Л/(г) = .....искомую вектор-функцию, а через

Ф(г) = ~~ аналитическую вектор-функцию.

Пусть функция .....¡удовлетворяют условиям Каратеодори: они непрерывны по

(¿11.....ц,^ е. С1! почти при всех ъ с Ои измеримы по ъ при каждом наборе (иА.....ип;, Эти функции

определяют оператор суперпозиции f в пространстве вектор-функций:

f Ж(2) = С/1(7,01(7),...,0И(2)),...,^ (2,01(2),...,0„ (2))) (4)

Систем (2) принимает вид: W = Ф + Т^^ (5)

Исследуем разрешимость этого уравнения в пространстве Орличавектор-функций. Приведем необходимые определения и обозначения, относящиеся к пространствам Орлича комплексных вектор-функций.

Для каждого j=1,2,..., п пусть задана ^функцияМ^(2,1) : Ох£^ [0,+го) ,т.е. функция, почти всюду на О обращающаяся в нуль при и}. = 0, выпуклая, полунепрырывная снизу по |ц| и измеримая

на G для любой измеримой на G функции uj (z). Дополнительная N-функция

M*(z, uj ),(z e G,u* e , определяется

равенством:

M*(z, \uj|) = Sup\u} ■ u*| -M} (z, \u} |)}. (6)

Функция Ы] ^, |и;. ) опеределяет комплексное пространство Орлича¿М (О) , состоящее из таких измеримых на О функций а>. (2), для которых

рМ](Л с,) = ЦЫ}(£,Л-и(фЮ^ < - (7)

О

при некотором Л>0. Иначе говоря, с ¿М (О), если | принадлежит вещественному

пространству Орлича. Через ¿М- (О) обозначим совокупность тех со}- е ¿М (О) для которых (7) имеет место при всех Л>0. Положим

Ы, = Sup

II Ц\м г

Рм .(pjXi

Цр (Z) P*(^)dG,

(8)

Согласно неравенству Юнга (см. [2]) справедливы неравенства:

Ы M *1+рм ] ы). (9)

Вектор-функции W(z) = (a1(z),...,an(z)),(z e G) , для которыхр e LM (G) , образуют

пространство LM(G),LM(G) = LMi(G)xLM^(G)x..xLM (G). Это пространство будет банаховым, если норму в нем определить равенством:

\W\M = max : j = l2- А (10)

Подпространством LM(G) является LM(G) = L0Mi(G)x..xLM (G).

В дальнейшем рассматриваются два пространство Орлича вектор-функций LM (G) и LN (G) .

В уравнении (5) важную роль играет линейный интегральный оператор (3) с ядро (Z - z)—, действующий на вектор-функции W (z) = (p1(z),...,pn (z))

покомпонентно: TW = (Ты1,...,Тып) .

При определенных ограничениях на N-функции N}( z, |u;. |) оператор T действует из

пространства LN(G) в пространство C(G) непрерывных на G функций.

Лемма 1. Пусть функции Nj,j = 1,2,..., n таковы, что ядро оператора T непрерывно в среднем

в пространствах L ,(G), т.е. р .((£ - z1)^1 - (Z - z2)~l) = 0 при^2^| ^ 0 в G . Тогда оператор T

Nj Nj

действует из LN (G) в C(G).

Действительно, из условий леммы следует, что || (Z - z1- (Z - z21| , ^ 0 при |z2-z1| ^ 0 ,

N j

а это влечет за собой указанное действие оператора T. Примером функции, удовлетворяющие неравенством Nj(z, \uj|) > ^^, где p > 2. Заметим, что функции Ttyj(z),^ j e LN (G) голоморфны

вне G и обращаются в нуль на бесконечности.

Усилением леммы 1 является следующая лемма.

(Z - z- (Z - z

Лемма 2. Пусть функции N , j = 1,2,..., n таковы, что р ,(--—---——) < 1

' ' ' k■ (z1 - z2)a J

для некоторого к и 0 < а < 1. Тогда оператор Т действует из Ьы (О) в пространство Са(О) Гельдера с показателем а .

лт , | к | |р р - 2 Для случая N. (2, |и;. |) ^ |и;.| , р > 2, это доказано в [1], причем а = -- .

В общем случае доказательство аналогично.

Лемма 3. Пусть функции М. и N. таковы, что ядро оператора Т непрерывно

в среднем в пространствах Ьы,(О) и к. (2) = || (; - 2) 1е Ь0м (О) . (11)

Тогда оператор Т действует из Ьы (О) в ЬМ(О) и вполне непрерывен.

Доказательство. Действие оператора Т проверяется непосредственно, так как при

__Я и и —

любомЯу 0иу еЬн(О). рм<(Я-) < Рм1 (-• У. I • к})-Рм.(Я• к.) ^

з ° з з

Если множество функции {у} ограничено по норме в Ьы (О), то для семейства {Ту} проверяется равномерная ограниченность и разностепенная непрерывность, т.е. компактность в С (О), а это влечет собой компактность в Ьм (О)

Перейдем к оператору суперпозиции Г Обозначим через Sм (в, г) шар центром в нуле в пространства Ьм (О) некоторого радиуса г.

Лемма 4. Пусть для каждого 3 = 1,2,..,п и Я >0существуют функции g(Я) е Ц(О) и Ь{Я) >0,к = 1,2,...,п, такие, что

N.(2, Я-1 Г(2, щ,..., ип) | <

g2) + ^ ЬЯ • мк (2, ^)

к'

к=1 г

(12)

Тогда оператор суперпозиции f действуетнепрерывно из Sм(в,г) в Ц'м(О) и ограничен на каждом

шаре Sм (в,Го) , где 0 -С Го -С г.

Действительно, действие оператора f проверяется интегрированием неравенства (12). Для Wе Sм (в, г) имеем:

РN] (Я-/..(щ(2),...,Оп(2)) < аЯ • Рмк < а(Я) ,где ¿Я =¡¡^(1;^ .

к=1 г к=1 О

Повторяя рассуждения [2, с. 198-199] можно показать, что из действия оператора f в (О) следует

его непрерывность и ограниченность на каждом шаре Sм (в,г0) , где 0 ^ г0 ^ г.

Теперь можно обратиться к исследованию разрешимости системы (2) или уравнения (5). Теорема 1. Пусть выполнены условия лемм 3 и 4. Пусть для каждого ; = 1.2.....п выполнено неравенство

С.=а+а?+±ь*ц\г\\NJ < г. (13)

к=1

Тогда для любой вектор-функции Ф такой, что Фе Sм(в,г) и ю. ^г-с. (14)

II \\мз

система (2) (уравнение (5)) имеет по крайней мере одно решение.

Доказательство. Для №е (6>,г) при любом / = 1.2,, и имеем

К + ^ }(2,^1(2),...,^п (2))\м] < И м +1^мз \1](2,^1(2),...,^п (2))|^ ^

^ (г-С.) + | |Г||^ ^ • (1 + РNJ (/. (2,®1(2),...,®п (2)))) < (г-С.) + С. = г.

Следовательно, ||Ф+Т^^||М < г0 < г. Это означает, что оператор Ф+Т^ переводит шар Sм (в,г0) в себя. Так как при выполнении условий лем 3 и 4 этот оператор вполне непрерывен, то по

принципу Шаудера он имеет по крайней мере одну неподвижную точку в SM(0,r0). Это доказывает

разрешимость системы (2) (уравнение (5)) в пространстве LM (G) .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В общем случае уравнение (5) может иметь несколько решений. Укажем дополнительно достаточное условие, обеспечивающе единственность решения.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть, кроме того, функции

fj(z, u1,..., un) удовлетворяют условию Липщица по каждой переменной uk, j,k = 1,2,..,n. Тогда

система (2) (уравнение (5)) имеет единственное решение.

Доказательство. Предположим, что система (2), т.е. уравнение (5) имет два решения W1 и W2

в LM (G). Имеем W1 - W2 = Т (f W1 - f W2). Введем обозначения:

fj (z,a1(2)(z),..Ы-1(zЫz),..ЫЩ') - fj(zp<2)(z),..ЫГ>(zz),...Ы?) = ( )

(1)f \ (2)t \ ajk(z) . p)(z) - P()(z) '

Тогда fj (z,v1(1)( z),...,P(nl)( z)) - fj (zp™(z),...p™(z)) = ±а]к (z)pV(z) - (15)

k=\

Следовательно, W1 - W2 = TA(W1 - W2), (16)

где A(z) = (ajk(z)) - квадратная матрица размера (n,n), элементы которой в силу условия Липщица

для fj(z,u1,..., un) ограничены в G . Функция W=W1 - W2 удовлетворяет уравнению W = TAW, она

непрерывна в G , согласно лемме 1, и голоморфна вне G , причем обращается в нуль на бесконечности. Кроме того, эта функция как решение дифференциального уравнения

= A(z)- W(z) (17)

о z

предствлена в виде (см. [4]): W(z) = eB(z) - P(z), (18), где B(z) = - — ITdGZ = (TA)(z) , (19),

ngz-z Z

а P(z) голоморфная в G вектор-функция.

Так как элементы матрицыАИ ограниченыв G ,то элементыматрицы B(z) непрерывны в

G , голоморфны вне G и обращаются в нуль на бесконечности.

Из (18) следует, что P(z) =е •W(z), то есть функция P(z) голоморфна на всей плоскости С

и P(~) = 0 . Но согласно теореме Лиувилля P(z)=0 . Поэтому из (18) следует, что W(z) = 0 , т.е. W1(z) = W2(z). Следовательно, решение системы (2) (уравнение (5)) единственное. Библиографический список:

1. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. - Москва : Наука, 1988.

2. Красносельский, М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. - Москва : Физматгиз, 1958.

3. Утепкалиев, С. У. О свойствах одного линейного интегрального оператора в комплексных пространствах Орлича / С. У. Утепкалиев // Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики. - Ленинград : Изд-во ЛГПИ имени А. И. Герцена, 1988.

4. Аскаров, А. А. Обобщенные аналитические векторы и задачи с наклонной производной в дробных пространствах специальность 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» : авторефеат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Аскаров А. А. , АН КазССР, Институн математики и механики. - Алма-Ата, 1985.

5. Михайлов, Л. Г. О некоторых нелинейных обобщенных системах Коши-Римана / Л. Г. Михайлов // ДАН. Тадж.ССР. - 1984. - Т. 27. - № 6.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.