Исследование напряженно-деформированного состояния упругой полосы при сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 7 2007

Таблица

Плотность материала, кг/м3 7800 7800 7800

Диаметр проволоки, м 0,006 0,0055 0,003

Диаметр пружины, м 0,26 0,065 0,065

Модуль упругости 1-го рода, Па 2Е+11 2Е+11 2Е+11

Первая частота мех. стерж., рад/с 183 2681 1460

Первая частота прибл. (X, = 1,44), рад/с 182,6 2677,7 1460,6

Разница, % 0,23 0,12 0,04

Величина коэффициента К2, обеспечивающего наименьшую разницу между приближенным значением низшей собственной частоты и значением, полученным с использование теории механики стержней [1, 2], была подобрана равной К2 = 1,44, т. е. выражение (2) имеет вид

Л - 144

Полученное приближенное выражение позволит конструкторам проектировать «пружинные просеиватели», построенные по схеме, изображенной на рис. 1, без применения сложных численных моделей с приемлемой, в конструкторских расчетах, точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов, В 2-х ч. Ч. 1. Статика. — М.: Высшая школа, 1987. — 320 с.

2. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. Для втузов. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. — 304 с.

3. А ц д р е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. — 392 с.

4. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман и др. — М.; Машгиз, 1959. — Т. 3. — 1120 с.

(3)

539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ ПРИ СЖАТИИ

Канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Г. МОРОЗОВ, канд. фаз.-мат. наук, ст. препод. Н. В. МИНАЕВА

Рассматривается поведение упругой полосы при всестороннем сжатии. На плоскости параметров, характеризуюгцш внешнее воздействие, найдена граница области, в пределах которой напряженно-деформированное состояние полосы будет близко к однородному.

The behavior of an elastic strip is considered at all-round compression. On a plane of the parameters characterizing the exposure, the area boundary is found where the intense-deformed condition of a strip should be close to the homogeneous.

Рассмотрим поведение упругой полосы как наиболее простого по форме элемента различных конструкций (например, резиновых амортизаторов). В условиях плоской деформации напряженно-деформированное состояние полосы из упругого несжимаемого (для упрощения выкладок) материала будет описываться следующей системой уравнений [1, 2]:

№ 7

2007

ох оу ох оу

Э и Эу ди _.Э и Э\\

_ + _ = 0; а,-ау= 4(7—; г = С(— + —). ах с/у ду оу дх

(1)

Пусть полоса находится под воздействием сжимающего усилия интенсивности р приложенного к двум противоположным сторонам при у = ± И ± Дх), а на сторонах при х = ОЬ х = I будем считать, что граничные условия заданы в перемещениях, т. е. граничные условия имеют следующий вид:

= 0 (2)

а.

СУ = — п. ■ Т = х

Р\~Рг1.

щ л= о; И I= ~—; л = ,

и= 0 ' 1л'=! ' 1.г=0 \.х-1

ч.у= цг =

4С

У

(3)

где (х) и д2= (х) — функции, описывающие верхнюю и нижнюю кромки сечения полосы в деформированном состоянии,

ПриДх) = 0 задача (1)—(2) допускает решение

0„ Р\~ р2 А" А

х; V

(4)

' ' 4(7 ' 4(7

т. е. граничные условия (3) мало отличаются от следующих граничных условий в напря жениях

а.

= 0.

= о = — я.: т =1,

Л' 1л- О т !л= / > Ь=/

Для того, чтобы выяснить при выполнении каких условий это решение имеет физический смысл, т.е. при достаточно малых/х) его можно принимать за приближенное решение задачи (1)-(3), как следует из [3,4], необходимо составить вспомогательную задачу относительно функций С, т ? которая в данном случае будет такой:

+

Эх Эу

Эх

Эу

= о;

Эх

+

Эу

Э(ы0+ £4) Э(у0+ С4)

~~-———— ,

Эх

Эу

Эх

(5)

= Рх-Рг,. 4(7

Рг~ Р\

■У У

Линеаризованная по задача, соответствующая задаче (5), как следует из [3,4] с учетом того, что (4) является решением задачи (1)—(3) приДх) = 0, будет такой:

эс, , эс2 = 0. ас,, эс

+

+

Эх Эу ' Эх Эу

№7

2007

дх ду дх

,

+

Эх Эх

ах

0; их,±Ь)= 0

у=±1,

ЭС4(0,7) эи1,у)

= 0.

(6)

(7)

(8)

'5 4 7 Эх Эх

Решение задачи (6) будем искать в виде, удовлетворяющем условию несжимаемости

(9)

ЭФ

ЭФ

ду ох

Из остальных уравнений получаем следующее дифференциальное уравнение

Э4Ф „ Э4Ф Э4Ф Л

+ 2—-—г+ —г= 0.

(Ю)

Эх4 дх2ду2 ду4

Решение уравнения (10) будем искать в виде

Ф(х,у) = у (у) со* ах. (II)

В результате подстановки (11) в (10) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

//К-2я2/' + а4/= 0. (12)

Общее решение (12) имеет вид

ф(у) — с{зЬау+ с2скау+ с^кау^- слускау . (13)

7С

При а- у граничные условия (8), как следует из (9), (11), будут удовлетворены. Из (6), (9),(И) и (13) получаем, что

С)2 = 2агО{сх скаул- сгчкау + с2ускау + слузкау)$\

вт ах:

= 2 аО[(асх + с^кау* (ас2 + съскву) + асгузкау + асАускау)со$ах\

к

(14)

Эх

= а (с{$кау + с2скау-\- съу$кау + с4ускау) со$ ах.

В результате подстановки (14) в граничные условия (7) получаем следующие уравнения относительно произвольных постоянных с :

с, с/ф + с2.уйр + с^ксЩ + 3 = 0 .

5

с, сАР - с25АР - с3 АсАр + с4А^лр = 0 ; (15)

с, о(1+ у>Ар+ с2а{\+ у)сАР+ с3[сАР+ (1+ у)Р*АР]+ + (1+ у)Р^Р]= 0; - с, а{ 1 + у).уАР + сга{ 1 + у )сАР + с3 [сАР + (1 + у )ряАр ]- |>Ар + (1 + у )рдАр ] = 0,

(16)

гдер = аА; у= Р\ = у2-у,.

2в

№ 7 2007

Из равенства нулю определителя системы уравнений (15) получаем, что

Обозначим наименьшую положительную величину из (17) через укр. Тогда график

А

1С '1 20

является границей области, в пределах которой решение задачи (4) и (1) приу(х) = 0 имеет физический смысл.

функции У2=Ткр-У| на плоскости параметров 72= как следует из (16).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И ш л и н с к и й А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. — Т.6. — №2. — 1954. —• С. 140—146.

2. Ершов Л.В.,Ивлев Д. Д. Об устойчивости полосы при сжатии //ДАН СССР; 1961. — Т. 138. — №5,-С. 1047—1049.

3. Колмогоров А. Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 542 с.

4. Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. — М.: Научная книга, 2006.-235 с.