Исследование на устойчивость одной системы с тремя параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:57

ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ ПАРАМЕТРАМИ

Е, Т. Софронов

В статье рассматривается система дифференциальных уравнений ¿1 = Ж1 (1 — х\ — Ъх2 — ахз),

X = х(1 — ахх — х2 — Ъхз), (1)

Хз = —х${к — ах — Ъх2 — хз),

где а,Ъ, к — положительные постоянные. Изучается вопрос устойчивости состояния равновесия с положительными координатами. Система уравнений (1) может быть математической моделью в экологии типа «жертвы — хищник».

Найдем состояние равновесия М(х^, х^х^) с положительными координатами из системы уравнений

х Ъх ах , ах х Ъх , ах± + Ъх2 + х = к.

Решая эту систему уравнений, получим

х* = ^(¿=1,2, 3), А = (а - 1 )(Ь - 1)(1 + а + 6),

а — Ъ — Ъ — а к — , а — Ъ — а — Ъ к — , А3 = (а — 1) (Ъ — 1) + (1 — аЪ)(к — 1). © 2007 Софронов Е. Т.

С помощью замены

хн = х* + уг (г = 1, 2,3) приведем систему уравнений (1) к виду

У1 = Ы+ х*(-У1 - Ъу2 - ау3), У2 = (У2 + х*(-ауг - у2 - Ъу3), Уз = (Уз + х*)(ау1 + Ъ^^

Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений представим так:

А3 + ^А2 + ^А + аз = О,

где

а1 = х* + х* - х*, а? = (1 - аЪ)х*х* + (а2 - 1 )х*х* + (Ъ2 - 1 )х*х*,

***

аз — —¿л х^ х^.

1. Пусть к = 1. Тогда

ж* = -- (г = 1, 2, 3), ах = х\, а^ = (а2 + Ъ2 — 1 — аЬ)жТ2.

1 + а + Ъ

Теорема 1. Пусть а + Ъ > 2, (а - 1)(1 - Ъ) >0. Тогда состояние равновесия М асимптотически устойчиво.

а > а >

а а - а аЪ а Ъ - х* > ,

выполнены все условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения. Следовательно, состояние равноМ

Теорема 2. Пусть выполнено одно из следующих условий:

1) а = 1,Ъ > 1,

2) а > 1,Ъ = 1, аЪ

М

Доказательство. В случаях 1 или 2 один из корней уравнения (3) равен нулю, А2, А3 имеют отрицательные действительные части. Кроме того, имеются состояния равновесия, определяемые из системы уравнений

х Ъх х х х ах ,

хх + х2 + Ъхз = 1, ах! + х2 + хз = 1.

М

В случае 3

А1 = —А2,з = ±@г = ±у ^(1 - аъ)г.

Для системы уравнений (2) применим преобразование

1 а- 1

Тогда получим систему уравнений

ж = У1 + У2 + Уз, У = ^У2 + Уз, г=~2р~У2'

х = Х\х — х2 + 2х ( у — ^

а—

у = —¡Зг+{а — 1)— у2) +

г = ву + 2(а — 1 )уг + х^(у, г).

х

М

Заметим, что если а + Ъ < 2, (а — 1)(1 — Ъ) ^^в (а — 1)(Ъ — 1) > О, М

2. Пусть к > 1. Докажем следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть аЪ(а + Ъ) — 2 (а — 1)(1 — Ъ) > 0 п выполнено одно нз следующих условий:

0<к-1< (а ~ 6) при а > 1, Ъ < 1, (4)

при а < 1, 6 > 1. (5)

Ъ — а М

тотически устойчиво.

Доказательство. Пусть а > 1, Ъ < 1. Тогда х* > 0, х* >0 при 1 - аЪ ^ 0. При выполнении условия (4) х* > 0. Если 1 - аЪ > 0,

х* > х* > х* >

х* >

0<*-1<(°-1)(1ГЬ), 1~аЬ>0.

- аЪ

а - Ъ> - аЪ х* >

к

ал =--1---—(а" + Ь" + аЬ — а — Ь — 1) >0,

аЪ

ибо

а2 - Ъ+ (Ъ - 1)(1 + а+Ъ) < а2 - Ъ,

а а - а аЪ а Ъ - х* х* х* - аЪ х* х* х* х*

а - х*х* х* - х* - Ъ х*х* х* - х* >

при аЪ(а + Ъ) -2 > 0, 1 - аЪ > 0.

Если 1 - аЪ ^ 0, то представим ^^ - аз в следующем виде:

а а - а аЪ а Ъ - х* х* х* х х* - х* а - х*

- аЪ х* х х* - х* - Ъ х* аЪ - х* .

х* - х* > х* - х* >

(а2 - 1)х% + (1 - аЪ)х* = а" ~аЬ + ^-±(1 - аЪ)(2а2 - 1 - 6) > 0.

аЪ

Пусть Ъ > 1, а < 1 и 1- аЪ ^ 0. Тогда из (5) следу ет, что а± > 0, так как

Ъ2 - а+(а - 1)(1 + а + Ъ) <Ъ2 - а.

Далее, ^^ - аз > 0 щи 1 - аЪ вытекает из выражения (6). Если - аЪ < а а - а >

х* - х* < х* - х* <

аЪ Ъ к

(1 - Ъ2)х* + (аЪ - 1)х* = -+ —— (аЪ - 1)(2 Ь2 -а- 1) < 0.

аЪ

Теорема доказана полностью.

Теорема 4. Пусть аЪ(а + Ъ) -2 < 0, а + Ъ >2, (а - 1)(1 - Ъ) > О и выполнены неравенства (4), (5). Тогда состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.

Доказательство. При выполнении условий теоремы можно показать, что х* > 0 и а! > 0. Пусть а > 1, Ъ<1, а + Ъ >2, 1- аЪ>0и а]а2 - аз представлено в виде (7). Покажем, что ^^ - аз > 0. Имеем

Х-\ — — 0, Хд — ~ ~ ^ 0,

а

Ъ

х*-г (а2 — 1)жд + —--( — 1 + аЪ)хх

а

к - 1

а - Ъ -

Ъ - а - х* - а аЪ - х* > ,

если

Ъ - а -

1

к - 1 А

аЪ

- а аЪ -

- аЪ

1

аЪ

к - 1 А

а - ъ

<.

Последнее неравенство имеет вид сд + с^к - 1) <0. Здесь

со =

- а а - Ъ 1+а+Ъ '

с

- аЪ а - а а Ъ - а -

А '

Отсюда следует, что со + сх(к - 1) < 0 при к - 1 >0. Следовательно, а]а2 - аз > 0.

Если а<1,Ъ>1,а + Ъ >2, 1- аЪ > 0, то можно показать,

х* > а >

а^ - аз > 0, если

х* х* - х* - аЪ х х* - х* - Ъ > .

Последнее неравенство представимо в виде

к

а - Ъ -

[¿0 + ^(к -1)] >0.

(8)

х

Здесь

(1 —Ь)(Ь — а) (Ь-1)(1-0Ь)[Ь(0+Ь)-Ь-1]

<1°~ 1 + а + Ь -Д- <0'

Отсюда следует неравенство (8). Теорема доказана.

Замечание. Если а + Ъ < 2, то аа — а3 < 0 при к — 1 < 0 и состояние равновесия М неустойчиво.

к — <

а — — Ъ > к — < а Ъ> М

и оно асимптотически устойчиво при выполнении одного из неравенств:

1) —к0 < к — 1 < 0 при а > 1, Ъ < 1,

2) —^ < к — 1 < 0 при а < 1, Ъ > 1.

кк

а]а2 — аз = Е(к — 1) = О

П^ . (а-т-Ь) _ . . (а-1)(1~6)

О < к0 < --, 0 < к! < ---^-. (9)

а— Ъ Ъ — а

Доказательство. Пусть 1 — аЪ < 0, а > 1, Ъ < 1. Если

(а-!)(1-6)<к-1<0, (10) Ъ — а

то х\ > 0. При выполнении этого неравенства хд > 0. Если х\ = 0, то а^ — а3 < 0. Поэтому существует ко > 0 такое, что

аа — аз > 0 при — к0 < к — 1 < 0.

Пусть теперь 1 — аЪ < 0, а < 1, Ъ > 1. Тогда х\ > 0, а хд >0 при

"■-;>"-»'<>-ко. ' (и,

а* — Ъ

Отсюда следует, что хд > 0. При хд = 0 имеем ^^ — а3 < 0, поэтому к

аа — аз > 0 пр и — ^ < к — 1 < 0.