CC BY
98
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 681.518.3
Г.Г. Пархоменко
ИССЛЕДОВАНИЕ МОМЕНТОВ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ВИБРАЦИОННЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ МАССОВОГО РАСХОДА
Статья посвящена исследованию деформации упругого вибрационного преобразователя массового расхода в виде изогнутой U-образной трубки под действием сил Кориолиса. На основе полученного уравнения моментов выведена функция преобразования массового расхода во временной интервал между одинаковыми фазами колебаний элементов трубки с коэффициентом преобразования, выражающим жесткость этих элементов через упругие постоянные и геометрические размеры трубки.
Кориолисов расходомер, вибрационный преобразователь, массовый расходомер, U-образная трубка
G.G. Parkhomenko TORQUE ANALYSIS ACTING ON THE VIBRATION TRANSDUCER OF MASS FLOW RATE
The article deals with elastic deformation in the vibrating mass flow transducer having a U-shaped pipe form impacted by Coriolis forces. Based on torque equation, the author has determined the function for converting mass flow rate into the time interval between identical phases of oscillation in the tube parts where the conversion ratio demonstrates the stiffness properties of the components.
Coriolis mass flow meter, vibration transducer, mass flow, U-shaped pipe
В последние десятилетия было положено начало широкому распространению кориолисовых расходомеров. Успешная эксплуатация кориолисового расходомера с двумя U-образными трубками, выпущенного фирмой Micro Мotion Inc., показала его привлекательные свойства, такие как простота конструкции, высокая точность и независимость показаний от температуры и давления измеряемой среды. Однако некоторые недостатки двухтрубной конструкции, такие как наличие разветвления потока и высокая жесткость трубок, делали ее пригодной для измерений расхода только незагрязненных жидкостей, а измерения массового расхода газов и неньютоновых жидкостей оставались за границами области её применения.
Вибрационные преобразователи массового расхода с одной U-образной трубкой не имеют основного недостатка двухтрубных преобразователей - прогрессирующей погрешности измерения массового расхода из-за нарушений симметрии разветвленного потока в трубках вследствие их загрязнений. Для создания новых конструкций кориолисовых расходомеров необходимо создание теоретической модели, описывающей законы движения его элементов, функцию преобразования массового расхода в параметры движения этих элементов, причины образования погрешностей измерения массового расхода и пути их минимизации.
Целью настоящей работы является получение математического выражения функции преобразования массового расхода в один из параметров движения однотрубного вибрационного преобразователя расхода.
Исследуемый вибрационный преобразователь массового расхода представляет собой U-образную трубку, жестко заделанную в основание свободными концами входного и выходного участков в виде консоли. Трубка приводится в колебательное движение с частотой ш вокруг оси А-А, проходящей вблизи жесткой заделки свободных концов. Вибросмещение по вертикали от среднего положения каждого консольного участка на расстоянии L от оси А-А может быть представлено в виде
x(t) = Аь sin Ot, (1)
где AL - амплитуда вибросмещения.
Схематическое устройство вибрационного преобразователя массового расхода в виде и-образной трубы показано на рис. 1.
Рис. 1. Деформация вибрационного кориолисового преобразователя массового расхода
под действием сил Кориолиса
Направление вектора силы инерции Кориолиса противоположно направлению вращательного движения, если вектор относительной скорости направлен от центра вращения, и совпадает с направлением вращательного движения, если вектор относительной скорости направлен к центру вращения. Таким образом, на консольный участок 1 трубки на расстоянии Ь1 от оси А-А действует равнодействующая сил Кориолиса Гк1, направленная против направления движения трубки, а на консольный участок 2 на расстоянии Ь2 от оси А-А действует равнодействующая сил Кориолиса Гк2, направленная противоположно. Обе равнодействующие направлены перпендикулярно осям консольных участков. Действие противоположно направленных сил Гк1 и Гк2 вызывает взаимное смещение Ах консольных участков 1 и 2, которое можно рассматривать как угол закручивания 9 вокруг оси О-О[1][2]. Рассматривая закручивание И-образной трубки вокруг оси симметрии О-О, можно выразить действие внешних сил и вызванных сил противодействия в виде суммы моментов сил [3]. Если при этом ограничиться рассмотрением фазы колебаний ом = пп, когда угол изгиба ё консольных участков под действием вынуждающей силы равен нулю, то задача значительно упрощается тем, что деформация трубки вызывается только действием сил Кориолиса.
Определим равнодействующие сил Кориолиса Гк1 и Гк2, действующие на консольные участки. Ускорение Кориолиса элементарной массы газа, совершающей сложное движение в колеблющейся трубке, определяется как удвоенное векторное произведение относительной скорости движения у, элементарной массы и угловой скорости вращательного движения трубки и в соответствии с формулой
ас = 2у г ХО. (2)
Так как угол между векторами относительной и угловой скоростей равен 90°, то синус это угла равен единице, и сила инерции Кориолиса, действующая на элементарную массу М, определяется по формуле
Гс = -2М • у, О. (3)
Для получения зависимости сил Кориолиса от массового расхода в трубке введем следующие определения:
1. Элементарная масса М газа, заключенного между стенками трубки и ограниченного
наименьшей длиной йЬ, определяется как произведение распределенной массы газа на наименьшую
длину внутреннего объёма трубки, что выражается формулой
М = dM-dL, (4)
где dM - распределенная масса газа, кг/м; dL - длина наименьшего участка.
2. Массовый расход газа в трубке Qm определяется как произведение распределенной массы газа на относительную скорость, что выражается формулой
Qm = dM'Vr . (5)
Последовательно подставляя (4) и (5) в (3), получим зависимость силы Кориолиса от массового расхода газа, угловой скорости вращательного движения и наименьшей длины элементарного участка:
Fc = -2dM - dL-vr - O = -2Qm - O - dL. (6)
Сумму сил Кориолиса, действующих на массу газа, распределенную в консольном участке длиной L, определим, интегрируя выражение (6) от 0 до L:
L
£ Fc = -2\ Qm OL = -2Qm a(L - 0) = -2Q„OL. (7)
0
Для перехода от угловой скорости вращательного движения Q к угловой частоте колебаний трубки воспользуемся известной зависимостью угловой скорости от линейной скорости vL на расстоянии L от центра вращения консольного участка трубки:
v,
O = L • (8)
Используя определение длины дуги l = SL и теорему [5]
,. sin а .
lim------= 1,
а^-0 а
для упрощения дальнейших выкладок примем следующие равенства:
8 = • 8 = = Al ;
2 = sin 2 = L ~ 2L ’
8 = Al;
L
l = L8 = Al ; (9)
где S - угол максимального отклонения консольного участка при его колебаниях.
Из формулы (9) следует, что мгновенное значение линейной скорости vL движения консольного участка на расстоянии L от центра колебаний по дуге, отсекаемой хордой длиной А,, при малых значениях угла изгиба трубки S приближенно равно скорости вибрации на расстоянии L от центра колебаний, или первой производной от вибросмещения (1):
vL = ALacosat, (10)
Подставляя (10) в (8), получим формулу для определения приближенной зависимости угловой скорости Q вращательного движения консольного участка от скорости вибрации на расстоянии L от оси колебаний:
~ А, а
O. = L cosat. (11)
Зависимость (11) тем точнее, чем меньше угол изгиба S консольного участка. Подставляя (11) в (7), получим зависимость суммы мгновенных значений сил Кориолиса от массового расхода Qm, амплитуды колебаний АL на расстоянии L от оси А-А, угловой частоты а и фазы at колебаний:
£ Fc(t) = 2Qm ^^cosof j- L = 2QmALacosat. (12)
Заменим интегральную сумму сил Кориолиса EFC, действующих на консольный участок, ее равнодействующей Fk, приложенной к центру консольного участка на расстоянии L/2 от оси А-А. Примем также, учитывая, что в фазе колебаний at = nn модуль Icos nnl = 1, следующее выражение для модуля равнодействующей сил Кориолиса:
|Fk| = 2Qm®AL - (13)
Прибегнем к переносу точек приложения равнодействующих сил Кориолиса на расстояние L от оси колебаний, уменьшив соответственно их модуль в 2 раза:
К2| =Чг = QmaAL • (14)
На рис. 2 представлена схема действия сил и моментов кручения на П-образную трубку в фазе колебаний юґ = пп. Сплошной линией обозначено положение И-образной трубки, деформированной от действия сил Кориолиса, в фазе юґ = пп, а пунктирной линией - положение трубки в этой же фазе при отсутствии деформаций от сил Кориолиса.
о
Рис. 2. Схема действия сил и моментов кручения на 11-образную трубку в фазе колебаний ом = пп при наличии расхода газа
На консольные участки 1 и 2 действуют равнодействующие сил Кориолиса Гк] и ^к2, направленные взаимно противоположно и перпендикулярно к осям участков. Действие сил Гк1 и ¥к2 вызывает упругие прогибы X] и х2 участков во взаимно противоположные стороны от плоскости трубки при
отсутствии деформаций, показанной пунктирной линией. Силам Гк1 и ¥к2 противодействуют силы
упругости Гупр] и Гупр2 изгибаемых участков. Взаимное смещение участков трубки 1 и 2 по дугам окружностей с радиусами Ь1 и Ь2 вызывает упругое скручивание каждого из них на угол в, так как они жестко связаны центральным участком 3. Под действием упругой деформации кручения в участках 1 и 2 возникают моменты кручения Мкр1 иМкр2, направленные против действия сил Гк1 и ¥к2. Участки 31 и 32 также закручиваются и на их концах на расстояниях Г] и г2 от центральной оси О-О возникают моменты кручения Мкр31 и Мкр32, направленные также противоположно силам Гк1 и Гк2. Образование углов скручивания а/2 участков 31 и 32 поясняется на рис. 3.
N
Рис. 3. Образование угла скручивания а центрального участка 3
Отрезки qq’ и рр’ при отсутствии сил Кориолиса совпадают с нормалью NN, а при скручивании трубы силами Кориолиса относительно оси О-О отклоняются от нормали NN каждый на угол а/2. Составим уравнение моментов, действующих относительно оси О-О [3]:
ЕТ„ = ЕГ . + ЕМ .,
к упрі крі ’
где ТТШ - сумма вращающих моментов, создаваемых силами Кориолиса; ТТупрЛ - сумма моментов, создаваемых силой упругой деформации при изгибе трубки; ТМкрА - сумма моментов кручения, вызванных упругим скручиванием входного 1, выходного 2 и центрального 3 участков трубки.
Используя формулу (14), найдем сумму вращающих моментов, создаваемых силами Гк1 и Кк2:
£Тк = К |Г1 + К2 |Г2 = вш®АЬГ1 + вш®ЛЬГ1 , (16)
где г], г2 - расстояния от осей входного 1 и выходного 2 участков соответственно до центральной оси О-О.
При условии соблюдения симметрии И-образной трубки относительно оси О-О соблюдается равенство г1 = г2 = г и сумма вращающих моментов ЪТк может быть выражена в упрощенном виде:
£Тк = вш^ЛВ Г + вш®ЛВ Г = 2йш^АВ Г . (17)
При соблюдении условия Ь1 = Ь2 = Ь коэффициенты жесткости при изгибе участков также равны, то есть соблюдается равенство к1 = к2 = к, и сумма моментов ЪТупр,• также выражается в упрощенном виде:
Ах Ах
£Тупр1 = Рупр1Г1 + РупрГ2 = к1 — ■ Г1 + к2 — ■ Г2 = кАхГ . (18)
Сумма моментов кручения ТМкрА, вызванных упругим скручиванием входного 1, выходного 2 и центрального 3 участков трубки, равна [4]
а а
кр^ = С1в + с2@ + с31~ + С32 ~2, (19)
где в - угол закручивания участков 1 и 2; а - угол закручивания участка 3; С], С27 Сз1, С32 - коэффициенты жесткости при кручении участков 1, 2, 31 и 32 соответственно.
При соблюдении условий симметрии Ь1 = Ь2 = Ь и г1 = г2 = г соблюдаются также равенства к1 = к2 = к и с31 = с32 = с3 , поэтому формула (18) может быть представлена в упрощенном виде:
Ш р = 2с в + с3а. (20)
Подстановка (17), (18) и (20) в (15) приводит к уравнению моментов, выраженных через коэффициенты жесткости деформируемых участков трубы:
2вшгюЬ = кАхг + 2св + с3а. (21)
Решая уравнение моментов (21) относительно вш, получим выражение
кАхг + 2св + с3а вш = 2гоА1 ■ (22)
Для упрощения дальнейших расчетов примем следующие равенства [5]:
в = 8Ш в = —— . (23)
2г
а . а Ах
— = 81П — =-----.
2 2 21
Ах
а = —. (24)
Ь
Подстановкой (23) и (24) в (22) заменим угловые параметры линейными. В результате получим функцию преобразования массового расхода вш во взаимное смещение Ах консольных участков 1 и 2:
сАх Ах с с3
кАхг +----------------+ с3 — кг +-1--
в =-------------Г---------— = Ах------Г----—. (25)
ш 2гаЛь 2гоАь
Перейдем от функции преобразования (25) к функции преобразования массового расхода в интервал времени А? между одинаковыми фазами колебаний консольных участков 1 и 2. Для этого выразим смещение Ах как произведение мгновенного значения виброскорости консольных участков 1 и 2 на расстоянии Ь от оси Л-Л в фазе колебаний ом = пп на интервал времени А?:
Ах = АгаАь |со8пп\ = АгаАь, (26)
Подставив (26) в (25), получим функцию преобразования массового расхода в интервал времени А? с коэффициентом преобразования, выражающим жесткость трубки при совместном воздействии на неё сил Кориолиса:
7 с С3
кг + ~ + Т Аt ( с с Л
вш =А?0ЛЬ—„ Г ,-= ~ (к + ~Г + “Т I. (27)
2гоЛь 2
г гЬ
Выразим коэффициенты жесткости к, с и с3 через упругие постоянные. Изгибная жесткость к трубки определяется по формуле [4]:
к =
3EJx
L3
, кг/с2
(28)
где Е - модуль Юнга; Ь - длина участков 1 и 2; 1х - осевой момент инерции сечения трубки, опреде ляемый по формуле
- Ипп )
4
■, м
(29)
где Rout - радиус наружной поверхности стенки трубки; Rinn - радиус внутренней поверхности стенки трубки.
Коэффициенты жесткости кручения трубки с и сЗ определяется по формулам:
GJp 2 2
с =------, кг-м /с (30)
L
GJ
P 2/2
, кг-м /с
r
(31)
где G - модуль упругости при сдвиге; ]р - полярный момент инерции сечения трубки, определяемый по формуле
п(Кш - ) м4
Jp =
2
, м.
(З2)
Подстановка (28), (30) и (31) в (27) дает функцию преобразования массового расхода 0,т в интервал времени Аґ с коэффициентом преобразования, выраженным через упругие постоянные Е, G и моменты инерции сечения трубки:
Q = — Qm 2
3EJ GJp GJp 1 At Г3EJ 2GJp 1
- + -
- + -
v L3 Lr2 Lr2 ,
2
L
- + -
(ЗЗ)
Учитывая, что на основании (29) и (32) осевой момент инерции сечения трубки равен половине полярного момента сечения, т.е. ]х = /р/2, выполним приведение моментов инерции сечения трубки к полярному моменту сечения:
А? (3Е/„ 2в1в Л А? (3Е1В 2в1в Л
Qm 2
L
- + -
2
2 L3
- + -
Lr2
Выразим модуль упругости сдвига G через модуль Юнга и коэффициент Пуассона [4]:
а = ■ Е
(З4)
(З5)
2(1+м)
Подстановка (35) в формулу (34) позволяет выразить коэффициент преобразования при А? через известные для данного материала коэффициент Пуассона и модуль Юнга:
А? (3Е1„ 2Е Л А? (3Е1„ Е3„ Л
Qm 4
- +
2L3 Lr2 2(1 + ^)
Вынесем за скобку общий множитель 3EJP/2L3:
4
- + -
(
Qm = At
m
1 + -
2L
2L3 Lr2 (l + ^)
13EJ„
4L
(Зб)
(37)
3г 2 (1+ Я),
Подставив (32) в (37), получим окончательное выражение функции преобразования массового расхода вш в интервал времени А? с коэффициентом преобразования, выраженным через известные упругие постоянные материала Е, ц и геометрические размеры трубки Ь и Яош ,
?4 - И4
вш = А? -1 + ■ ~~"г;и,?3-----------------------------------^. (38)
. fi + 2L2 1 _ 3En(R‘0ut - Rnn)
v 3r2 (l + ^) J 8L3 ‘
Определим размерность коэффициента преобразования при At:
1 +
м
м
м
= (н • м 2 • м) = ,
-2 -2 -2 -2
■ м • м) = кг • м • с • м • м = кг • с
Таким образом, результате исследования моментов сил, действующих на вибрационный преобразователь массового расхода в виде И-образной трубки при движении газа, получена функция преобразования массового расхода Цт в интервал времени Аґ между одинаковыми фазами колебаний
с3 =
её консольных участков. Коэффициент преобразования при At является коэффициентом жесткости U-образной трубки при ее деформации вокруг центральной оси симметрии О-О, выраженным в (кг-с-2).
Полученная функция преобразования позволяет рассчитывать диапазон измерения массового расходомера в зависимости от геометрических размеров и упругих постоянных вибрационного преобразователя, а также влияние температурных изменений этих величин на его показания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tests of various configurations of Coriolis mass flowmeters / Pradeep Gupta, K. Shrinivasan, S.V. Prabhu // Elsevier. ScienceDirect. Measurement. 2006. №39. С. 296-307.
2. Performance evaluation of an indigenously designed copper (U) tube Coriolis mass flow sensors / Satish C. Sharma, Pravin P.Patil*, Major Ashish Vasudev, S.C. Jain // Elsevier. ScienceDirect. Measurement. №43. 2010. С. 1165-1172.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. 10-е изд. М.: Высш. шк., 1986. 416 с.
4. Беляев Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. М.: Наука, 1965. 856 с.
5. Рыбкин Н.А. Прямолинейная тригонометрия / Н.А. Рыбкин. М.: Учпедгиз, 1933. 104 с.
Пархоменко Геннадий Григорьевич - Gennadiy G. Parkhomenko -
аспирант кафедры Postgraduate,
«Информационно-измерительная техника» Department of Information Engineering
Самарского государственного and Instrumentation,
технического университета Samara State Technical University
Статья поступила в редакцию 04.10.2011, принята к опубликованию 02.03.2012
