Исследование модели жизненного цикла изделия по параметрам их совокупности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 004

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ИЗДЕЛИЯ ПО ПАРАМЕТРАМ ИХ СОВОКУПНОСТИ

© 2008 г. С.А. Михайлова

Вероятностная модель жизненного цикла изделия определяет динамику состояния изделия. При ее идентификации для оценки параметров жизненного цикла изделия можно использовать агрегированную модель совокупности изделий, которая характеризуется усредненными параметрами, но при этом учитывает выход изделия из строя [1]. Сущность процесса выбывания изделия определяется тем, что при неизменности во времени свойств изделия в их совокупности проявляется эффект «селекции», который сводится к тому, что менее надежное (или более уязвимое) изделие выбывает из совокупности первым [2]. Наличие эффекта «селекции» приводит к искажению наблюдаемых характеристик уязвимости совокупности изделий по сравнению с исходными характеристиками для отдельного изделия, т.е. эффекты неоднородности изделий, определяя различие в шансах выбытия для изделий, сказываются на динамике всей совокупности.

Целью статьи является определение оценки параметра уязвимости изделия, который носит латентный эргодичный характер, что позволяет оценивать динамику модели жизненного цикла изделий по параметрам их совокупности.

Связь между индивидуальными и усредненными характеристиками выбывания изделия

Пусть каждое изделие из их совокупности находится в некотором состоянии, причем пребывание в нем носит вероятностный характер. Предполагается, что вероятность длительности Т пребывания каждого изделия в выделенном состоянии зависит от ряда параметров, которые имеют различные значения для разных изделий в совокупности. Некоторые среди них могут наблюдаться, остальные являются латентными параметрами, т.е. недоступными наблюдению. Пусть имеется лишь один латентный параметр г, а все остальные параметры доступны наблюдению и образуют вектор х. В этом случае плотность вероятности длительности Т запишем в виде F(t\z, х), придавая ей смысл условной вероятности. Степень неоднородности, изучаемой совокупности однотипных изделий, определяется долей изделий, характеризующихся конкретными значениями г в совокупности, и может быть описана функцией распределения параметра г -Ф(г). При вероятностной интерпретации величина Ф(г*) имеет смысл вероятности того, что произвольно взятое каждое изделие имеет значение параметра неоднородности, меньшее г*.

Наблюдаемая при обследованиях плотность распределения длительности пребывания изделия в состоянии 0(/, х) отличается от г, х), поскольку наблюдения осуществляется над изделиями, которым соответствуют различные значения параметра неоднородности г, а плотность О(/, х) является результатом усреднения (агрегирования) условной плотности г, х) по функции распределения Ф(г), т.е.

0(?, х) = | ^ (ф, х)ёФ{г) (1)

или

0(/, х) = | ^(ф, х)ф(г)сЬ , (2)

где ф(г) = йФ(г)!йг - плотность вероятности распределения параметра неоднородности (уязвимости).

При решении уравнения (1) необходимо учесть, что плотность вероятности длительности нахождения в состоянии О(/, х) неизвестна, но имеется выборка полученных значений Т = (/1,..., и,..., 4) длительностей пребывания в /-м состоянии N изделий. Таким образом, задача идентификации модели продолжительности события сводится к оценке по выборке Т неизвестных параметров условной плотности Е(? г, х) и функции распределения неоднородности Ф(г), удовлетворяющих уравнению (1).

Для того чтобы воспользоваться выражениями (1), определим условную плотность г, х), для чего установим связь между индивидуальными р и усредненными р характеристиками выбывания изделия. Причем учет индивидуальных различий в шансах выбытия изделия определяется случайной величиной г, статистически связанной со значениями выборки Т. Совместное распределение пары (Т, г) полностью описывает статистические свойства совокупности. Переменная г характеризует слабость или уязвимость изделия. Чем больше г, тем больше интенсивность р выбытия изделия в соответствующей группе. Таким образом, одна и та же совокупность изделия может описываться как функциями р (/) или £ (/), так и функциями р^) или (с распределением Ф(г)).

Это определяется степенью информированности исследователя и целей его исследований и означает, что свойство однородности совокупности изделия проявляется лишь на некотором агрегированном уровне ее описания.

Для получения связи между агрегированными и дезагрегированными функциями сохранения необходимо проинтегрировать соответствующие дезагреги-

рованные характеристики с функцией распределения Ф2 Так, если функция распределения Ф^) абсолютно непрерывна с плотностью ф(г), то для функции сохранения S(t) имеем

£^) = У S(t|z)ф(z) dz .

о

Сложнее выглядит связь между интенсивностями выбытия изделия р (t) и р(^ z) и определяется условным усреднением р (t) = У z)ф(z|t > ti )dz, что

о

означает усреднение условной интенсивности выбытия изделия по характеристикам ее уязвимости, сохранившихся до момента времени 4 Поскольку слабые и ненадежные изделия, соответствующие большим значениям z, выбывают первыми, то совокупность, состоящая из сохранившегося изделия, характеризуется значениями выбытия, более близкими к самым надежным элементам совокупности. Выбытие «слабых» устройств из совокупности приводит к изменению наклона регистрируемой кривой выбытия р (0, причем этот наклон оказывается меньше, чем у отдельных групп или у отдельных изделий. Поскольку наклон любой кривой определяет производную (скорость) в соответствующей точке, то наклон кривой выбытия равен скорости выбытия (сокращения) соответствующей группы. Это позволяет сделать вывод, что в неоднородных совокупностях процесс выбытия отдельных изделий происходит быстрее, чем это следует из наблюдений за общим их выбытием, т. е. если уязвимость z для каждого отдельно взятого изделия не меняется со временем, то средняя уязвимость убывает в результате процесса селекции. Для обоснования данного положения проведем анализ функции р(^ z) для пропорционального выбытия, представленной линейной зависимостью р(^ z) = 2р(^.

Для определения функции выбытия определим вероятность преодоления случайной величиной х уровня х0 П(х0) = Р(х>х0). Если Q(x) - функция распределения случайной величины X, то П(х0) = 1 - Q(x0).

Пусть функция распределения Q(x) абсолютно непрерывна, и обозначим через д(х) соответствующую плотность распределения случайной величины. Интенсивностью выбывания элемента с распределением д(х) назовем функцию р(х, х0), характеризующую совместную плотность вероятности параметра х при условии его выхода за заданный предел х0 и определяющуюся выражением (в соответствии с теоремой Байеса)

р(х, х0) = [д(х)д(х > х0 | х)]/[| д(х)д(х > х0 | x)dx],

0

где д(х > х0|х) представляет собой функцию - индикатор множества х > х0. В связи с чем

У д(х)д(х > х0 | х^х =д(х > х0 | х) | д(x)dx

0 х 0

и, следовательно,

р(х, х0) = д(х) /[ У д(х)ах].

х 0

При этом для П(х0) справедливо представление

П(х0) = ехр[- У р(х,х0)dx]. (3)

х 0

Пусть ф(z) - плотность распределения фактора уязвимости в начальный момент в неоднородной совокупности некоторых изделий. Обозначим через

t

А (0 = У интегральную интенсивность выбытия

0

для изделия из «стандартной» совокупности. Согласно формуле Байеса, для условной плотности распределения ф(2 Т>{) с учетом выражения (3) имеет место формула при условии р(^ z) = zр(t)

ф(2 T>t) = ф^)ехр[-2А(0]/ Уф(z)ехр[-zA(t)^

0

и соответственно оценка параметра уязвимости изделия z в виде математического ожидания

2 ^) = М(^)) =

= У 2ф(2) exp[-zA(t)]dz / У ф(2) ехр[-)]dz . 0 0 Дифференцирование М (2(0) по t дает

7 ехр[-А)]dz dz (t)/dt = - У 2 2р^)ф(2)7-—-—-+

0 У ф( 2 )ехр[-zA(t )]dz

0

7 У zр(t)ф(2)ехр[-zA(t)]dz + У )ф(2)ехр[--dz .

0 [ У ф( 2 )ехр[-zA(t)] dz ]2

0

После простых преобразований получаем

^ ^)/ dt = -Rt р(t), (4)

где Я1 = Е{(2 - 2(t))2 ^ > ti} - условный риск [3, 4]

оценки 2 латентного параметра уязвимости изделия 2, который является неотрицательной функцией времени t. Таким образом, производная по времени функции 2 (0 отрицательна и, следовательно, средняя уязвимость в совокупности 2(0 убывает со временем. Поскольку 2 (0 убывает, то из соотношения р (0 =

= 2 (0р(0 следует, что интенсивность выбытия р(0 растет быстрее, чем наблюдаемая интенсивность выбытия р (0, т.е. изделия в неоднородной совокупности выбывают быстрее, чем каждое изделие в однородной совокупности изделий с теми же характеристиками общего выбытия.

Усреднив левую и правую стороны выражения (4), получаем общее количество выбывших из совокупности изделий N - N1 изделий в результате эффекта селекции

ч ч

-У Я( = У р^ = N - Nг . (5)

0 0

Методика определения параметра уязвимости

Полученные выражения позволяют сформулировать алгоритм решения задачи идентификации модели длительности события на основании экспериментальных исследований характеристик совокупности изделий.

Для решения данной задачи

1. Решают интегральное уравнение (5), т. е. по выборке выбывших изделий N = (N-N1,..., Ж-Л^,..., №-Мт) на совокупности N за интервалы времени, образующих выборку Т = (/1,..., 1т) длительностей пребывания в г-м состоянии N изделий, определяют параметр уязвимости г, при заданном качестве его оценки на совокупности изделий в виде условного среднего риска Я.

2. По полученным решениям интегрального уравнения (5) составляют условную плотность Е(! г, х), которая описывает статистические свойства совокупности в виде пары (I, zi).

3. Определяют плотность вероятности распределения параметра неоднородности (уязвимости) как решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода (2) с ядром в виде условной плотности г, х) при заданной плотности вероятности пребывания изделия в заданном состоянии 0(1, х) по выборке Лпр = (М,..„ Лт) на совокупности N.

4. Полученное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода (2) определяет плотность вероятности распределения параметра неоднородности (уязвимости) 1-го изделия, что позволяет осуществить отбор изделия по критерию гг<г*.

В данной задаче распределение случайной величины г может быть как непрерывным, так и дискретным. В последнем случае значения величин г ассоциируют с принадлежностью изделий из совокупности к некоторой однородной группе, для которой характеристики выбытия соответствуют значению г. Если изучаемая группа изделий однородна и ей соответствует конкретное значение параметра г*, то распределение Ф(г) имеет вид ступенчатой функции, принимающей значение 0 при г<г* и 1 при г>г*, а совокупность определяется объединением соответствующих групп с различными характеристиками выбытия изделия. Так общая функция сохранения всей совокупности представляется в виде суммы

£(I) = ££(ф,)Р,, где Р, - начальные пропорции

г

изделия в группе, в которой выбытие изделия характеризуется величиной г. Чем больше Ф(г) отличается от ступенчатой функции, тем более неоднородна совокупность изделий.

Определение эффективности оценки уязвимости изделий

Скорость сходимости алгоритма оценивания результатов измерения определяется выбранной оценкой статистики экспериментальных данных, а также объемом данной статистики. Общий анализ асимптотических свойств квадратичного критерия оценки, проведенный в [3], показал, что используемый функ-

ционал риска

J (^ - г (x 0 ))2 p(x0 |z)dx0

относится к

классу критериев согласия интегральных статистик типа Крамера - фон Мизеса - Смирнова юи12 (д = 1, к = 2), локальные точные наклоны с(г) соответствующей оценки г (х 0) для которого равны

2п J (z - z (x0 ))2 dz (x0) [5]. При этом

относительная

асимптотическая эффективность оценки по Бахадуру ^/(Р, г) для обобщенного варианта статистики а\д, при д( 2 (х0)) = р(г), определяется отношением рисков оценки соответствующих выборок

eF/(ß, z) = lim

NT (a,ß, Z)

NV (a,ß, Z)

J (zv - z (x0 ))2 p(x0

J(zt -z(x0))2p(x0

z )dz 0

z)dz 0

= Яу (гу, г (х 0)) = (I) ЯТ (гТ, г (х0Т)) ^т (I),

где Лт(а, в, г), Лу(а, в, г) - минимальный объем выборки, необходимый для того, чтобы используемый критерий качества оценки г(х 0) уровня а, основанный соответственно на статистике {Ти}, {¥„}, имел в точке х мощность, не меньшую в.

Таким образом, при сравнении двух статистик {¥„} и {Ти} статистика, характеризующаяся большим значением скорости изменения оценки параметра уязвимости г(х 0), является эффективней, оценка которой сходится к своему истинному значению на меньшем объеме выборки.

Использование оптимального одношагового

алгоритма для оценки параметра уязвимости изделия

Решение общего уравнения Фредгольма требует составления его резольвенты, что не всегда может быть оправдано. Для оценки уязвимости изделия, можно выбрать более простой алгоритм оценивания, для чего представим интегральное уравнение Фред-гольма в дискретные моменты времени выражением

У*(Л) = £к, (N)2(ЛТ),

г=1

где у*^ - оценка выхода объекта, полученная по модели; к(М)>0 - оценка ядра интегрального уравнения на г-м временном интервале для N-го такта алгоритма (условная плотность распределения).

При этом решение данного уравнения для определения оценки г параметра уязвимости на N-м такте может быть представлено в виде

zI(Л) = 2(Ы- 1) + А^т + ^ (г = 1, 2,..., и), (6)

1 " 2 где г N = — X [ (N) - г] - эмпирический риск для N-1^

и,=1

такта алгоритма [6], А^ > 0 - длина шага алгоритма.

z

При гы = 0 из последнего выражения для выбранной оценки следует

¿к, (N)г,(Ы) - ¿к, (N)г,(Ж-1) = £к2(N) Д(Л/). (7) /=1 /=1 /=1 Величина ошибки предсказания ?>у(Щ для введенной оценки (6) с учетом выражения (7) равна

8у(^ = у(Л0-у*(Л0 =

= £ к, (N) ^(N-1)- Е к, (N) г,(Я)+ Е к,2 (N) Д^) = 0, . =1 . =1 . =1 т. е. ^й такт алгоритма, для которого величина ошибки предсказания Зу^ = 0 характеризуется риском Гм = 0.

В результате простейших преобразований выражение для оценки х(М) при rNФ 0 (Зу^ ^ 0) может быть преобразовано к виду

Зу^ = у'(Щ-у^ =

= Е к, (N) ^(N-1)- Е к, (N) г,(Я)+

, =1 , =1

+ Е к2 (N) Д(Я)+ Е к, (N) г(^ =

= A/(N)+A(N) X kf (N) = A(N)[y+ Xk? (N);

г=1 i=1

где

A/( N) A( N)

Дy/(N) = Xк, NzI(N-1) - X к, (N) + Xк, Nr(N) , =1 , =1 , =1 - длина шага измеренного выходного параметра исходного уравнения Фредгольма.

С учетом последнего выражения оптимальный одношаговый алгоритм для оценки параметра уязвимости изделия можно преобразовать к виду

^ = ^ 1) + , = ,, 2.....п).

у+Е к;( N)

,=1

При этом решение г^Ы) сводится к итерационному алгоритму, который относится к классу алгоритмов Язвинского в международной классификации [4]:

z,(N) = z(N - 1)+

У(N) -X kr (N)z, (N -1)

г =1

k, (N)

Y +X k,2( N)

г =1

(i = 1, 2,..., w).

(8)

В выражении (8) для произвольной начальной оценки г,(0), можно на каждом такте производить ее уточнение, поскольку, вычтя из искомого математического ожидания параметра уязвимости 1 его оценку (6), получаем

- гт = [ 2 - ZI(N - 1)] - Д(П)кт - г№

где по определению гм> 0, Д(N) > 0, к,(М) > 0, т. е. данный алгоритм характеризуется монотонной сходимостью к искомой оценке 1 параметра уязвимости.

Выводы

1. В неоднородных совокупностях процесс выбытия отдельных объектов происходит быстрее, чем это следует из наблюдений за общим их выбыванием.

2. Если уязвимость г для каждого отдельно взятого объекта не меняется со временем, то средняя уязвимость совокупности убывает в результате процесса селекции, т.е. за счет выбывания наиболее слабых объектов совокупности.

3. При оценке параметра уязвимости изделия сравнение двух статистик {¥„} и {Тп} статистика, характеризующаяся большей скоростью изменения оценки, является эффективней, оценка которой быстрее сходится к своему истинному значению на меньшем объеме выборки.

4. Сформулированная в работе методика позволяет оценивать параметр уязвимости изделия при синтезе модели жизненного цикла изделия.

5. Для определения параметра уязвимости в рамках предложенной методики можно использовать оптимальный одношаговый итерационный алгоритм Язвинского, который основан на определении пропорциональной ошибки предсказания, и характеризуется монотонной сходимостью к оценке математического ожидания параметра уязвимости г.

6. Условие остановки оптимального одношагово-го итерационного алгоритма определяется равенством нулю величины ошибки предсказания Зy(N) = 0, при котором риск оценки гК = 0.

Литература

1. Апарцин А.С., Караулова И.В., Маркова Е.В., Труфа-

нов В.В. Применение интегральных уравнений Вольтера для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики // Электричество. 2005. № 10. С. 69-75.

2. Михайлов А.А. Определение агрегированной модели

«селекции» совокупности объектов // Мат. в технике и технологиях ММТТ - 14: Сб. тр. Международ. науч. конф.: В 6 т. Т. 5. Секция 7, 8 / Смоленский филиал Моск. энергет. ин-та (техн. ун-та). Смоленск, 2001. С. 93 - 96.

3. Михайлов А.А. Основы теории построения алгоритмов

оценивания параметров по результатам измерения. Ростов н/Д., 2002.

4. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М., 1990.

5. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М., 1995.

6. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М., 1979.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

14 января 2008 г.

i =1 i=1

Y