Исследование моделей и механизмов управления проектами с учетом топологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.72

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И МЕХАНИЗМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ С УЧЕТОМ ТОПОЛОГИИ В.И. Алферов

В статье рассматриваются задачи исследования моделей и механизмов управления проектами с учетом топологии графа перемещения ресурсов

Ключевые слова: взаимосвязь, модель, ресурсы, топология

В задачах распределения ресурсов по комплексу работ предполагается, что они находятся в некоторой зависимости между собой. Эти зависимости обычно отображаются в виде сетевого графика. Существуют два способа изображения работ в сетевом графике. В первом способе работы изображаются в виде вершин сети, а зависимости между работами - в виде дуг сети. Во втором способе вершины сети соответствуют событиям сети, то есть моментам завершения одной или нескольких работ, а дуги - работам сети. При этом для отображения всех требуемых взаимосвязей иногда приходится вводить дуги специального вида - фиктивные работы или работы нулевой продолжительности, не требующих ресурсов.

Как правило, в задачах ресурсного планирования на сетях операции удобно рассматривать в виде «вершина-работа».

Для реализации комплекса работ требуются ресурсы одного или нескольких видов. Отметим, что если ресурсы неразличимы в условиях конкретной задачи по их влиянию на скорость выполнения работы, то они называются ресурсами одного вида [1, 6]. Понятно, что каждый вид ресурса участвует в выполнении какого-то набора операций, которые можно объединить в классы. Таким образом, операции одного класса выполняются ресурсами одного вида.

Рассмотрим процесс выполнения комплекса операций. После выполнения одной операции ресурсы перемещаются на другие операции своего класса (образуют поток по множеству операций). Совершенно очевидно, что перемещение ресурсов с одной операции на другую недопустимо по тем или иным причинам (отсутствие транспортных средств, высокая стоимость или невозможность перемещения данного вида ресурсов и т. д.). В связи с этим возникает необходимость определения графа перемещения ресурсов (граф ПР). Он состоит из к компонент (по числу классов операций). Вершины графа соответствуют операциям, от вершины 1 идет дуга к вершине ^ если возможно перемещение ресурсов от 1-й на ]-ю операцию. Кроме того, каждой дуге (1, ]) ставят в соответствие параметр пере-

Алферов Виктор Иванович - ВГАСУ, докторант, тел. (473) 276-40-07

мещение ресурсов от 1-й операции на ]-ю.

На рис. 2 показан граф перемещения ресурсов (будем писать в дальнейшем граф ПР) для сети рис. 1. Он состоит из двух компонент, так как в комплекс входят работы двух классов.

Рис. 1. Сетевая модель

Отметим, что сеть рис. 1 является сопряженной, т. е. операциям комплекса соответствуют вершины сети, а дуги отражают зависимости между операциями. Такое изображение более удобно, так как в графе ПР вершины также соответствуют операциям. К первому классу относятся операции А^ А2, А6, А7, ко второму - А3, А4, А5. Числа в скобках равны потоку ресурсов по соответствующей дуге.

В квадратах х1, х2 каждой компоненты графа ПР пишется количество ресурсов ^, ^, предназначенных для выполнения операций соответствующего класса (N1 = N = 6 на рис. 2).

Фиктивные вершины хь х2 могут соответствовать некоторым пунктам, в которых находятся ресурсы. В свою очередь, z1, z2 могут соответство-

вать пунктам, в которые нужно собрать ресурсы после выполнения комплекса. Определив некоторый поток ресурсов по графу ПР, можно найти момент окончания каждой операции и, следовательно, время выполнения всего комплекса. Фронтом операций в момент і называется множество F(i) операций, которые выполняются или могут выполняться в этот момент. Основная группа алгоритмов для решения задач распределения ресурсов основана на последовательном получении решения путем распределения ресурсов по операциям фронта. Для этого определяется некоторое правило (пли несколько правил), позволяющее в любой момент времени принимать решение о распределении ресурсов по операциям фронта. В дальнейшем будем называть момент перераспределения ресурсов конфликтной ситуацией. Процесс разрешения конфликтных ситуаций удобно изображать графически в виде дерева. Вместо таких правил можно определять некоторую функцию (функция предпочтения) и выбирать распределение ресурсов, при котором эта функция принимает минимальное (максимальное) значение. Приведем два простых правила [6,

3], которые часто применяются в алгоритмах такого типа.

Правило 1. В первую очередь выполняются операции с. меньшим полным резервом времени (резерв времени определяется при условии достаточного количества ресурсов).

Правило 2. В первую очередь выполняются операции с меньшей длительностью.

Если для получения решения используются эвристические правила (взятые из интуитивных соображений или на основании опыта), то целесообразно испробовать различные правила (или системы правил), выбирая затем наилучшее решение.

Отметим, что большинство правил эквивалентно заданию некоторой функции предпочтения. Например, распределение ресурсов, полученное по правилу 1, минимизирует функцию

Еи ((),

()

где F(t) - множество номеров операций фронта, Ат*© - полный резерв і-й операции в момент 1, и^)

- количество ресурсов расходуемых в і-й операции.

Распределение, полученное по правилу 2, минимизирует функцию

Е иі(т ,

і^її ()

где т* - время выполнения операции и т.д.

В некоторых случаях удобно в качестве функции предпочтения взять нижнюю границу времени выполнения комплекса при выбранном распределении ресурсов по операциям фронта. При этом если мы уже получили какое-либо решение, а значение функции предпочтения на остальных вершинах дерева решений больше или равно времени выполнения комплекса для полученного решения, то, очевидно, полученное решение оптимально.

Рассмотрим на примере определение моментов окончания операций при заданном потоке ресурсов.

Пример 1. Примем, что параметр перемещения ресурсов с операции на операцию равно нулю. Кроме того, примем, что не разрешается снимать ресурсы с операции, пока она не закончена (отказ от этих предположений несущественно меняет методику расчета). Пусть скорость выполнения операции прямо пропорциональна количеству ресурсов, т. е. примем Wi = 1 = 1 7 (рис. 1, рис.

2).

Определение моментов окончания операций производится последовательным просчетом сети. Пусть А , Д2, А,3 - операции, непосредственно предшествующие операции А1; ^ ^ - мо-

менты окончания этих операций. Тогда 1,° = тах((1, ) - возможный момент начала 1-й

г ,2 гз

операции. Далее, пусть А, , А, , А6 - операции, с

которых перемещаются ресурсы на операцию А1;

(14 , (15 , (¿6 - моменты окончания этих операций

(соответственно моменты прихода ресурсов на 1-ю операцию, если времена перемещения равны нулю).

На рис. 2 показан некоторый поток ресурсов по графу ПР. Будем обозначать множество операций, непосредственно предшествующих операции А1, а Р1 - множество операций, с которых перемещаются ресурсы на операцию А1.

1) Операция Аь Ох = 0,. Рх = 0, и^) = 4,

1

= — = 3. и1

2) Операция А2. О2 = 0, Р2 = {Ах}. Применяя предыдущую формулу, получа-

ем

3

= 3 +-

12 — 6

3

- = 5

3) Операция А3. О3 = {Лі}, Р3 = 0,

¿з = ¿і' = 3:

из(1) = 2, ¿1 = $ + ^3 = 6

4) Операция Л4. О4 = {Аь Л2}, Р4 = 0,

¿4 = шах^1, ¿2 )= 4 = 5,

ию = 2, ¿4 = ¿40 + =13,

5) Операция Л5. = {Л2}, Р5 = 0,

¿5 = ¿2 = 5,

и5(1) = 2, ¿1 = ¿50 + ^ = 8 .

6) Операция Аб. Об = {Аз, А4}, Рб = {Аі},

/6 = шах^3, ) = 13 ,

10, Ґ < 3 і 0 ^6

ибф = , ¿1 = ¿60 +-£■ = 17 ,

|3, г > 3 3

7) Операция A7. Q7 = {A4, A5}, P7 = {A2, Аб}, t0 = max (¿4, 4 ) = 13,

in. w7 - 3Azi

Имеем t7 = t7 + At +—7--------1 = 17 ,

7 7 1 6

Моменты окончания операции указаны в скобках на рис. 1. Время выполнения комплекса

T = max t) = 17 .

i

Теперь появляется возможность улучшить решение, изменив поток ресурсов (ресурсы с операций, имеющих большие резервы, перебрасываются на критические или близкие к ним операции). Уменьшим, например, потоки ресурсов через вершины А3, А5 графа ПР на единицу и увеличим поток через вершину А4 на две единицы (рис. 3). При этом время выполнения комплекса уменьшилось до Т= 14 (рис. 4). ’

О

*1

Ах

Рис. 3

А, [9]

ем

Действительно, последовательно определя-

1 W1 12 1 1 W2 — 2 • ti

t1 =—=— = 3, t2 = t1 +—-----------L = 5

u1 4

3

1 1 w3 „ 6 „

4 = 4 + -^ = 3 + - = 9

U3 1

t4 = max(t11; t2)+ w4 = 5 +— = 9

t1 = t2 + — = 5 + - = 11 u5

t6 = max lt3; t

(t1; 4)+^ = 9+12 = 13

U6 3

t1 = t1 + (7 - ¡6 +

w7 — 3 • 2

4

= 14,5

Иногда решение задачи должно удовлетворять дополнительному условию: количество ресурсов на операции не меняется в процессе ее выполнения. Такое условие позволяет упростить процедуру.

Действительно, в этом случае время выполнения операции определяется но формуле

т = -

<u);

где и - поток ресурсов, входящий в соответствующую вершину.

Теперь достаточно дополнить сетевой график недостающими дугами, по которым проходит ненулевой поток, и применить обычные алгоритмы определения критического пути.

Добавляя в сетевой график рис. 1 дуги (А1, А2) и (А6, А7), получаем сеть (рис. 5), просчитывая которую обычным способом, определяем Т = 21. Увеличение времени выполнения комплекса по сравнению с предыдущим случаем (Т = 17) вызвано запрещением изменения количества ресурсов в процессе выполнения операции. Определим критический путь в случае потока ресурсов, изображенного на рис. 5.

А,16]

Сетевой график с поздними моментами окончания операций приведен на рис. 6.

А,|91

Рис. 6

Можно предложить также другой способ определения времени выполнения комплекса в случае запрещения изменять количество ресурсов на операции в процессе ее выполнения.

W

4

Рассмотрим зависимость у^) (рис. 7), начиная с момента возможного начала операции т (в момент т мы могли бы начать операцию, если бы имелось достаточное количество ресурсов). Если начать операцию в момент ^, то она будет выполняться со скоростью У| и момент окончания

ж,

(г = +—-. Естественно определить момент нача-

V'

ла операции так, чтобы момент окончания был минимальным, т. е. момент окончания определяется по формуле

tj = min

J

ti +:

= t. + -

J0

Для примера рис. 7 имеем в случае Wj = 36. tj = min (36,15,13,14 V7,19V2,)= 13. v

vg 8 v3=7

V2=6

V1=3

V0=l

t

т=0 ^=3 ^=7 ^=9 ^=13 14=15

Рис. 7

При таком способе определения ^ добавочные дуги следует проводить в сети только от тех операций, ресурсы с которых перемещаются на 1-ю операцию в моменты времени не позднее ( '0 .

Ресурсы, приходящие позже, не принимают участия в выполнении операции и сразу перемещаются на следующие операции. Заметим, что этот способ определения моментов окончания операций можно рассматривать как простейший алгоритм оптимизации распределения ресурсов. Рассмотрим, например, поток рис. 3. Для операции А2 имеем

12

12

t2 = mini 0 +------; 3 +------1 = 6

2 3

то есть более выгодно выполнять операцию А2 двумя единицами ресурсов, не ожидая прихода третьей. Более того, эту третью единицу можно направить теперь на операцию А6 уменьшив время ее выполнения до т6 = 3. Такое преобразование потока ресурсов уменьшает время выполнения комплекса в нашем примере с 17 до 15.

После введения основных понятий и определения графа ПР мы в состоянии четко поставить задачу оптимального распределения ресурсов.

Задана сетевая модель комплекса из п операций, в которую входит:

1) сетевой график;

2) граф ПР;

3) матрица ||цц||, где Цц - параметр перемещения ресурсов с 1-й операции на ]-ю;

4) зависимость у1 = у1(и1) скорости выпол-

нения 1-ой операции от количества ресурсов соответствующего вида (предполагаем, что у1 - неубывающие функции и1);

5) количество ресурсов и ]-го вида

(' = 1, к) где к - число классов операций.

Требуется определить поток ресурсов по графу ПР, оптимизирующий некоторый параметр. В качестве такого параметра можно принять время выполнения комплекса, упущенную выгоду, стоимость и т.д.

Описанная модель охватывает довольно большой круг практических задач. Отметим лишь, что ее частными случаями являются такие известные задачи, как «задача коммивояжера», задача определения оптимального порядка обработки деталей на стайках и др.

Как правило, строительная организация одновременно ведет строительство некоторого комплекса объектов, расположенных на некотором удалении от места постоянного базирования машин, механизмов и трудовых ресурсов, транспортировка которых к фронту работ может потребовать значительных различного рода затрат. В настоящих исследованиях рассмотрим затраты в виде стоимости и времени. Совершенно очевидно, что затраты на перемещение ресурсов могут быть значительны и поэтому требуют их учета. Таким образом, рассмотрим модели и механизмы устранения узкого места на затраты перемещения ресурсов.

С целью устранения или снижения влияния узкого места на перемещение ресурсов иногда целесообразнее передислоцировать их базирование ближе к фронту работ. При возведении нескольких объектов, расположенных друг от друга «близко» друг к другу и «далеко» от места постоянного базирования ресурсов можно переместить на время работ на этих объектах «ближе» к объектам. Таким образом, приведем некоторую терминологию, используемую в дальнейших исследованиях. Сгруппированные объекты, на которые ресурсы перемещаются для выполнения работ с временного места базирования, назовем классом, а это место - центром класса. Место постоянного базирования ресурсов назовем центром, а объекты, на которые ресурсы перемещаются для выполнения работ из центра - центральным классом.

В настоящих исследованиях примем, что работу выполняет только одна единица ресурса (бригада). Причем следует отметить, что при рассмотрении механизма классификации объектов строительства для одного ресурса понятия объект и работа эквивалентны.

Для классификации объектов строительства будем использовать параметр перемещения ресурсов между объектами. В качестве такого параметра примем стоимость единичного перемещения одной единицы ресурса, а критерием качества разбиения - минимизацию стоимости комплекса работ.

Таким образом, задача классификации объектов строительства заключается в разбиении мно-

w

жества N = {1, 2, n} объектов и центров N0 = {1, 2, n0} на подмножества

Nk = {1, 2, nk}, где k е H = {1, 2, h} - множество классов (рис. 8), с учетом множества возможных параметров перемещения ресурса между объектами Mjj = {j j ..., №jp}, и/ > 0, i, j е N u No, где p - число возможных параметров перемещений между объектами. Следует отметить, что множест-h

во N = U Nk . Совершенно очевидно, что целесо-

k=1

образнее использовать м. = min мр.

p

Пусть комплекс работ выполняет одна бригада, то есть u = 1. Понятно, что при постоянном количестве ресурсов каждая работа имеет известную продолжительность т1 на объекте i и может быть определена по формуле

, i є N

Рис. 8

Если под параметром перемещения ресурсов принять стоимость одного перемещения одной единицы ресурса, то стоимость перемещения ресурсов из центра в рамках центрального класса можно определить по формуле:

coi = (Ии + Ию) • Ti, i е Но. (1)

Заметим, что параметр и01 перемещения из начального пункта в пункт i, где выполняется работа i в общем случае не равно параметру Ию возвращения в начальный пункт. Дело в том, что Им может включать показатели на подготовительные работы, подбор инструмента и т.д., а Ию может включать показатели на подготовку техники и инструмента к отъезду.

Стоимость центра класса можно определить по формуле:

Ck = Ckc + ckv • Tk, k е H, (2)

ckC - стоимость постройки и ликвидации k-го центра класса, ckC > 0; ckv - стоимость эксплуатации k-го центра класса в единицу времени, ckv > 0; Tk -продолжительность эксплуатации k-го центра класса, Tk > 0;

Сравнивая правые части равенств (1) и (2) получим предельные границы центрального класса (^0i + Ию) • Ti < ckc + ckv • t¡,

(W>i + Ию - ckv) • Ti < ckc, (3)

или (2^0i - ckv) • Ti < ckc, при Ии = Ию.

Если система состоит только из одного объекта (рис. 9), то справедливость неравенства (3) показывает принадлежность объекта центральному

классу.

Ноі

0 1---------------------------( I

Центр Объект

Рис. 9

Рассмотрим систему, состоящую из двух объектов рис. 10.

• 1

Ми

(5)

Tj Tj

Рис. 10

Пусть два объекта принадлежат одному классу. Определим местонахождение центра класса, для чего нужно найти такое его положение, при котором стоимость класса была бы минимальной, то есть

14+4 • (т +т.) + 2мы • т + M ^min

[Mik + Mj = Mj, M.k + Mu =Mji

1, j е Nk, k е H (4) Пусть ftij = ftji, тогда выражение (4) можно представить в виде

\4+4 • (т + ) + 2Mk • (т - )+2м. •^ min [M. = Mj - Mki

M = 0 T>Tj [Mk =Mj, T<T Таким образом, мы получили, что положение центра класса будет совпадать с положением объекта, на котором продолжительность работ будет наибольшей.

В случае если система состоит из одного класса и двух объектов, то ее стоимость класса определяется выражением

S(1) = Ckc + Ckv • (Ti + Tj) + 2 ^ij • min (Ti, Tj). (6) Стоимость системы двух классов и двух объектов

S(2) = Ckc + Ckv • Ti + Ckc + Ckv • Tj = 2CkC + Ckv • (Ti + Tj).

(7)

Если выражение (6) меньше выражения (7), то объекты принадлежать одному классу, то есть

S(1) < S(2)

CkC + Ckv • (Ti + Tj) + 2 ^ij • min (Ti, Tj) < 2CkC + Ckv • (Ti + Tj),

2 ^¡j • min (Ti, Tj) < CkC. (8)

Таким образом, неравенство (8) показывается условие возможной принадлежности к одному классу, откуда следует, что для системы, в которой стоимость образования центра равна нулю, все объекты принадлежат разным классам, то есть число классов равно числу объектов.

Определим положение центра класса для

множества N объектов. Для этого нужно найти такое расположение центра класса, при котором стоимость класса была бы минимальной, то есть

4+4 • Ет + 2 Еи •т ^min,

ге^к ге^к . (9)

Мкг +Мк,' , ^ ' е ^к,

Очевидно, что при линейной зависимости параметра перемещения ресурса положение центра всегда будет на объекте с наибольшей продолжительностью.

Пусть имеется комплекс из п + 1 работ, то есть комплекс, состоящий из п объектов и одного центра, работы на которых выполняет одна единица ресурса. Этот комплекс объектов необходимо разделить на И + 1 классов, для чего пронумеруем объекты и классы в порядке их выполнения, причем индекс центра класса равен нулю.

Построим функционал качества разбиения, который представим в виде суммы двух функционалов, один из которых является убывающей функцией числа классов 11(И), характеризующий внутриклассовый разброс объектов, и другой - возрастающей функцией числа классов 12(И).

к пк

Б(к) = 1Х (к) +12 (к) = ЕЕ 2^кТг +

к=0г=1 (10)

к Пк к-1

+ к • + с1 •ЕЕТ + ЕМк,к+1 +Мк0

к=1 г=1 к=0

Используя (3) и (8) получим предельные границы классов. Вероятно, что некоторые объекты будут принадлежать сразу нескольким классам. Для отнесения «спорного» объекта к тому или иному классу сравним долю затрат, несущий объект в стоимости каждого класса.

к = •Т + 2^кг Т =

кеН

Г V , - п 1 е N (11)

. 1ск + 2и.,, если Зк = 0

= а^тш<! к

к уи-ы, если У к Ф 0

Классификацию объектов строительства можно представить в виде некоторого алгоритма.

Шаг 1. Попарно сравниваем по формуле (3) или (7) и приходим к заключению о возможной принадлежности объектов одному классу.

Шаг 2. Выделяет объекты, которые не являются исполняемыми с других центров и для них по формуле (11) распределяем общие для них объекты.

Шаг. 3. Используя функционал качества разбиения, окончательно разделяем множество объектов на классы.

Приведенный алгоритм справедлив и для случая некоторого числа центров, то есть И0 > 1.

Литература

1. Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий С.Е., Тейман А.И., Чернышев В.Н. Сетевые модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1967. - 144 с.

2. Алферов, В.И. Разработка графиков движения бригад по объектам строительства. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, Г. Д. Юшин // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета, Том 5, № 1, 2009 - с. 30 - 35.

3. Алферов, В.И. Прикладные задачи управления строительными проектами. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, Н.В. Хо-рохордина, В.Н. Шипилов В.Н. // Воронеж: «Центрально

- Черноземное книжное издательство», 2008. - 765 с.

4. Алферов, В.И. Управление проектами в дорожном строительстве. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка // Воронеж: «Научная книга», 2009 -с. 340.

5. Баркалов, С.А. Системный анализ и его приложения. [Текст] / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, В.И. Новосельцев - Воронеж «Научная книга» 2008. - 439 с.

6. Алферов, В.И. Очередность выполнения работ на основе симметричной транспортной схемы. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, А.Е. Кравцов // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета, Том 5, № 2, 2009 - с. 99 - 103.

7. Алферов, В.И. Управление проектами в дорожном строительстве] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка // Воронеж: «Научная книга», 2009 - с. 340.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

RESEARCH OF MODELS AND MECHANISMS OF MANAGEMENT PROJECTS IN VIEW OF TOPOLOGY V.I. Alfyorov

In clause research problems of models and mechanisms of management by projects in view of topology the column of moving of resources are considered

Key words: interrelation, model, resources, topology