CC BY
25
Проведенные исследования позволили выявить факторы, оказывающие существенное влияние на показатели качества канатной катанки. Регрессионные зависимости показателей качества канатной катанки от исследуемых факторов позволят прогнозировать получение показателей качества, соответствующих стандартам, с помощью варьирования значений технологических факторов и свойств исходной заготовки в определенных диапазонах.
Использование регрессионных зависимостей показателей качества канатной катанки, произведенной на стане 170 ОАО «ММК», от химического состава стали, способа выплавки, а также от факторов технологического процесса производства катанки, позволит управлять качеством продукции и снизить количество несоответствующей продукции.
Библиографический список
1. Румянцев М.И., Ручинская H.A.Статистические методы для обработки и анализа числовой информации, контроля и управления качеством: Учеб. пособие. Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ им. Г.И. Носова», 2008. 173 с.
2. Шубин И.Г., Румянцев М.И., Торопицина У.А., [и др.]. Конструирование характеристик влияния химического состава стали на показатели качества высокоуглеродистой канатной катанки // Производство проката. 2009. № 3. С. 12-16.
3. Халифан JI.JL. Статистика 6. Статистический анализ данных. М.: Издательство «Бином», 2007. 508 с.
4. Минько A.A.. Статистический анализ в MS EXSEL. М. Издательский дом «Вильяме», 2004. 448 с.
УДК 621.7.014.016.3:519.217 Д.В. Константинов, А.Г. Корчунов
ФГБОУВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова»
ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОПРОХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ХОЛОДНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДОМ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ
Долговечность и эксплуатационные характеристики металлических изделий, которые предназначены для использования, например, в качестве деталей машин, напрямую зависят от их физико-механических свойств, полученных при предшествующей обработке давлением. Подав-
ляющее большинство процессов производства металлических изделий являются многопроходными операциями (Например, волочение, сортовая прокатка и т.д.), при реализации которых общий конечный результат, словно мозаика, складывается из отдельных промежуточных проходов. Сам собой появляется вопрос более детального рассмотрения взаимосвязи конечного результата всего процесса в целом и отдельно взятого «межпроходного» состояния. Ведь те или иные производственные факторы вкладывают свою «лепту» в формирование свойств заготовки после прохождения каждого калибра, волоки или другого промежуточного прохода. Спектр же данных факторов довольно велик: от технических показателей заготовки до технологических параметров процесса и обору-
Если же представить многопроходный процесс ОМД в более «укрупненном» виде, то у любого технолога возникнет вопрос «Как предыдущий проход влияет на ход операции при осуществлении прохода, следующего за ним?». То есть появляется вполне резонный вопрос о том, как, например, состояние в волоке на Ж-ом проходе влияет на состояние процесса в волоке на этапе N+1.
Однако подавляющее большинство ныне действующих методик иногда могут предоставить исключительно аналитическую модель происходящих взаимосвязей, тем самым не давая им количественной оценки или приводя ее с солидным числом различного рода допущений.
Данные затруднения приводят к тому, что в ряде случаев современные теории иногда не в силах в полной мере описать природу ряда явлений, имеющих место в производственной практике. Наглядно это демонстрируется на примере волочения заготовок крупного сечения.
Таким образом, актуальной задачей на данный момент является прогнозирование качества изготавливаемых изделий с точки зрения именно количественной оценки межпроходной наследственности.
Использование термина «наследственность» непременно обязывает к обозначению носителя наследственной информации, совокупность которой передавалась бы от «прохода-родителя» к «проходу-потомку». В первом приближении в качестве данного гена предполагается использовать напряженно-деформированное состояние, создаваемое в заготовке при обработке давлением. Данный выбор был сделан, во многом благодаря тому, что позволяет в большей мере оценить совокупное влияние подавляющего числа технологических и производственных факторов.
Характеристика процесса технологической наследственности посредством описания НДС в заготовке, например при волочении, может стать критерием, учитывающим такие параметры как:
1. Геометрия волоки (в частности, степень обжатия, длина калибрующей зоны, угол раскрытия волоки, длина контакта),
2. Особенности поверхности заготовки и условия контактного трения (шероховатость, технологическая роль смазки и подсмазочного покрытия),
3. Температурно-скоростные условия деформации,
4. Неметаллические включения,
5. Структурные характеристики материала.
Сразу бросается в глаза тот факт, что многие выделенные выше факторы при реализации и формализованной оценке в условиях реального производства имеют вероятностный, а многие даже и стохастический характер. Тем не менее, все они в той или иной степени оказывают влияние на передаваемый из прохода в проход «ген».
Отсюда следует предположение, что в данном случае мы имеем дело не со строго детерминированной системой. То есть к процессу ОМД следует подходить с точки зрения феноменологической вероятностной модели [1, 3]. Вероятностная феноменологическая модель дает информацию, отличающуюся от той, которую дает классическая механика при заданных начальных условиях. Например, в классической механике рассчитывается эволюция состояния какой-либо системы при заданных параметрах: ее схеме, связях, усилиях и начальных условиях. Задаваемая информация детерминированная, и последовательные состояния также определяются детерминировано. Параметры этой модели известны заранее, и оказывается, что некоторые безразмерные отношения этих параметров играют главенствующую роль в определении движения. Таким образом, необходимо следовать определенной программе, которая приводит к модели, описывающей известные состояния, через которые пройдет система. Исходные данные необходимы для определения параметров, усилий, связей и т. п., но не нужны для обоснования самой модели.
Ситуация существенно иная в случае феноменологической вероятностной модели. Во-первых, необходимо выбрать общую форму модели. Изначально неизвестно, какая форма модели окажется подходящей. Целесообразно лишь выбрать для проверки те семейства моделей, которые обладают общими чертами, присущими явлению. Желательно, чтобы модель достаточно полно охватывала явление. Во-вторых, нам необходимо оценить параметры модели. В-третьих, эти модели позволяют вычислять вероятности определенных событий, средние некоторых величин, поведение выборочных функций и т. п. Например, можно вычислить вероятность отказа элемента в заданный момент времени или до него, среднее время жизни и его дисперсию, вероятность того, что требуемое число запасных частей в конкретный момент времени не превысит некоторое число и т. п. Таким образом, модель предоставляет всю информацию в категориях вероятностей или величин, позволяющих приходить к
некоторым вероятностным суждениям. Для обоснования самой модели и оценки ее параметров используются экспериментальные данные. Следовательно, информация, даваемая феноменологическими вероятностными моделями, сильно отличается от информации, которую предоставляет классическая механика.
С этой целью и предполагается использование математического
Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей» [1, 4]. В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях.
Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.
Марковской цепью называется следующая вероятностная модель:
1. В каждый момент времени модель может находиться в одном из п состояний: {Ж,...,^}. Иногда одно из состояний определено как начальное.
2. Для каждой пары состояний 5"г и Sj определены вероятности перехода ру из состояния 5"г в состояние Бу, такие что:
IX = 1- (1)
>1
Замечание: некоторые из чисел могут равняться нулю. По сути, это будет означать, что переход из состояния Б, в состояние Sj невозможен.
Марковскую цепь можно задать ориентированным графом. Вершины графа будут соответствовать состояниям цепи. Обычно, для простоты, вершины обозначают как соответствующие им состояния. Если число ру > 0. то проводим в графе ребро от вершины 5"г к вершине и приписываем данному ребру число Ру. Если Ру = 0, то ребро от вершины 5"г к вершине не проводим. Полученный граф, называется графом переходов марковской цепи. Пример графа переходов марковской цепи приведен на рис. 1.
1,2 1/2
Рис. 1. Граф переходов марковской цепи
Также марковскую цепь можно задать с помощью матрицы размером пхп, в которой на месте (I, /) стоит число ру. Полученная матрица называется матрицей переходов марковской цепи.
Граф переходов марковской цепи удобен для визуального представления работы марковской цепи. Матрица переходов удобна для проведения различных вычислении, связанных с марковской цепью. С позиции поставленной задачи именно количественной оценки процесса ОМД, имеющего вероятностную составляющую, данный метод приемлем.
Марковская цепь моделирует вероятностный процесс, который разворачивается в дискретном времени. Дискретность времени означает, что оно течет по тактам: существует первый момент времени, второй мо-
В первый момент времени система находится в начальном состоянии. Далее за каждый такт система переходит из текущего состояния в следующее. При этом следующее состояние определяется случайным образом в соответствии с вероятностями перехода. Этот аспект также позволяет прийти к выводу о возможности применения математического аппарата, разработанного A.A. Марковым, в рамках теории многопро-
Отдельно хотелось бы уделить внимание свойствам матрицы переходов марковской цепи. Для их рассмотрения приведем упрощенный (для демонстрации смоделированная ситуация сделана даже довольно примитивной) пример. Предположим, что из статистических наблюдений мы сделали следующий вывод. Если в первом проходе захват смазки будет приемлемым, то вероятность того, что в следующем проходе он останется прежним, будет равна а вероятность того, что в следующем прохо-
2
де захват будет неудовлетворительным также составит J_. Если же захват ' ' 2 технологической смазки в первом проходе будет не обеспечивать достаточный коэффициент трения, то вероятность того, что в следующем про-
ходе захват будет приемлемым, составит }_, и вероятность того, что за' 3 хвата по-прежнему не будет равна ^.
" 3
Обозначим 51 - состояние удовлетворительного захвата смазки и 52 - состояние неприемлемого захвата.
Марковская модель для данной марковской цепи имеет граф пере-
1/2 Iа 2 3
Рис. 2. Марковская цепь изменения захвата смазки Матрица переходов для данной марковской следующая:
1 п
2 2
1 2
3 3,
Марковская цепь в данном случае явным образом описывает, как изменяется система за один такт (проход).
Конечно сразу возникает вопрос: а можем ли мы узнать какие изменения произойдут за два (или вообще за п) перехода? Например, если мы знаем, что в первом проходе смазка захватывается успешно, то с какой вероятностью данный захват сохранится через 2 прохода (или через п проходов)? Другими словами, может ли марковская цепь дать пролонгированный прогноз, а не только на один такт времени, проход или операцию?
Давайте попробуем развернуть рассмотренную цепь по проходам. Тогда граф 3 тактов работы марковской цепи будет выглядеть подобным (рис. 3) образом.
Проход1
Проход 2
Проход 3
Рис. 3. 3 такта работы марковской цепи
Через 51 (?) обозначим состояние приемлемого захвата технологической смазки в момент времени /, через 52(?) обозначим состояние недостаточного захвата в момент времени 1;.
Предположим, мы в начальный (нулевой) момент времени мы находимся в состоянии 5*1(0). В состояние 51(2) мы можем попасть двумя путями:
1. 51(0) —> 51(1) —»51(2).
2. 51(0) —> 52(1) —► 51(2).
Первый вариант описывается тем, что одновременно происходят
1) Захват смазки был приемлемым и в следующем проходе он со-
2) Захват был приемлемым и в следующем проходе он сохранился.
Хочу отметить, что когда мы говорим "одновременно" мы не имеем в виду такты работы модели, т.к. первое случилось на первом такте, а второе - на втором. Я имею в виду, что в итоге случилось и первое, и второе событие.
Вероятность каждого из этих событий равна }_, поэтому вероят-
2 '
ность того, что оба эти события произошли одновременно равна !*!=!.
2 2 4
Второй вариант описывается тем, что одновременно произойти два
1) Захват был приемлемым в одном проходе, а на следующем - недостаточным.
2) В первом проходе захват смазки был недостаточным, а в сле-
Вероятность первого события равна 1, вероятность второго собы-
2
тия равна 1, поэтому вероятность того, что оба эти события произошли 3
одновременно, равна 1*1=1-2 3 6
51(2) являются несовместными, т.е. происходит или первый вариант, или второй, но не оба сразу. И других вариантов попадания из 51(0) в 51(2) нет. Поэтому, вероятность перехода из 51(0) в 51(2) равна:
1*1+1*1=1+1=1. 2 2 2 3 4 6 12
Аналогичным образом можно найти что:
1. Вероятность перехода из 51 (0) в 52(2) равна:
1 Л 1,2 1 2 7 _*__|__*_=__|__=_
2 2 2 3 4 6 12'
2. Вероятность перехода из 52(0) в 51(2) равна:
1*1 + 1*1 = 1 + 1 = 1
3 2 + 3 3 6 + 9 18'
3. Вероятность перехода из 52(0) в 52(2) равна: 1,1 2.2 1 4 11
3 2 3 3 6 9 18'
В результате, мы получили вероятности переходов, которые полностью описывают смену погоды за два такта работы нашей модели. Не трудно видеть, что произведенные вычисления в точности соответствуют возведению матрицы переходов марковской цепи в квадрат. Несложно проверить:
(1 О 2 ( 1 *1 + 2 1 1 •1+ 2 2^ Г 5 7
2 2 2 2 3 2 2 3 12 12
1 2 1 •1+ 2 1* 1 1 2 1* 2 7 11
чЗ Зу уЗ 3 3 3 3 Зу ч18 18,
Аналогичным образом можно доказать, что переходы которые происходят в марковской цепи за п тактов времени соответствует возведению матрицы переходов марковской цепи в степень п. Данное свойство дает еще один аргумент в пользу того, почему умножение матриц устроено именно так, как устроено. Также стоит отметить данная операция умножения позволяет применять теорию матриц для марковских цепей, что, в свою очередь, очень сильно может упростить числовые расчеты.
Конечно, повторюсь, данный пример носит исключительно показательный характер, однако при корреляции схожей модели с зависимостями теории пластичности появляется возможность прогнозирования результата многопроходного процесса с довольно высокой степенью точности. Более того, использование статистических оценок позволяет максимально приблизить теоретические результаты к реальной произ-
Стоит отдельно поговорить и об математическом определении марковского процесса (свойстве «марковости» того или иного процесса). Пусть {X, / > 0} - дискретный случайный процесс с пространством
состояний ={0Д,2,...| [1]. Этот случайный процесс выбран из соображений удобства дальнейшего изложения. Рассмотрим величины
0<Ц <„А <1п и р{х,п =К\Х^ =кп_1,..Хч ^^гдеку = 1,
..., п, могут быть любыми неотрицательными целыми числами. Если для всех таких чисел выполняется равенство
р[х, =к„\Х, = к„ ,,...Х=к\ = р{х = к„\Х, =£„,} (2)
I тп п I п—1' ^ II I тп п I п—1 I 4 '
то выбранный процесс называется марковским процессом. Данное равенство определяет свойство марковости.
Выражение (2) описывает то отличительное свойство, что будущее значение зависит только от известного прошлого значения и не зависит от всех предыдущих значений. Например, в классической механике детерминистические модели обладают таким же свойством: будущее состояние системы зависит только от ее состояния в данный момент време-
То есть, иначе говоря, будущее напрямую не связано с прошлым. Будущее связано только с настоящим, а лишь потом опосредованно через него и с прошлым. Данная логическая связь довольно органично вписывается в концепцию наследственности в многопроходных процессах ОМД.
Таким образом [2, 5], если известны статистические вероятности результатов эксперимента, то, применяя простые правила условной веро-
р{х,п=кп\х,п1=кп_1,...х,1=к1} =
Р{х, = кп I= кп_х}XР{х^ = кп_х IХ^ =к^2}х...хр{хк=к1)
Таким образом, если известны условные вероятности, то можно найти все совместные распределения.
При этом дальнейшее моделирование полностью сводится к первоначальному формированию используемой матрицы вероятностей переходных состояний. На фоне обширности и перспективности рассматриваемой темы проекция теории цепей Маркова в процессах ОМД на данный момент изложена лишь на начальной стадии. Путем варьирования и преобразования устоявшихся и подробно описанных в литературе [2] моделей, основанных на данном принципе, в первом приближении становится отчетливо понятно, что данный метод может быть внедрен в процессы обработки металлов давлением, в которых имеет место статистически вероятностная оценка производственных и технологических фак-
Подытоживая все вышесказанное, можно прийти к выводу, что использование математического аппарата марковских цепей в многопроходных процессах позволяет произвести количественную оценку доли влияния выделенных для наблюдения технологических факторов на ход процесса обработки в целом. Развитие данного метода в рамках теории ОМД способствует получению широкого спектра методик, прогнозирующих эксплуатационные свойства конечного изделия. Несомненно, подобное применение цепей Маркова вносит солидный вклад в аналитическое решение оптимизационных задач в инженерном проектировании
Работа проведена в рамках реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием российского высшего учебного заведения (договор 13.G25.31.0061), программы стратегического развития университета на 2012 — 2016 гг. (конкурсная поддержка Минобразования РФ программ стратегического развития ГОУ ВПО), а также гранта в форме субсидии на поддержку
Библиографический список
1. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений // Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 344 с, ил. ISBN 5-03-001000-9.
3. В.Н. Ашихмин, М. Г. Бояршинов Введение в математическое моделирование. Учеб. пособие / Под ред. П. В. Трусова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 336 с.
4. Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М.: Физматгиз, 1977. 176 с.
5. Андреев В.Н., Иоффе А.Я. Эти замечательные цепи. М.: Знание, 1987. 176 с.
6. Weisstein, Eric W. Markov process (англ.)// Wolfram MathWorld.
7. http://www.statsoft.ru/home/portal/taskboards/mark.htm.
8. http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theorv/processes-automata/markov-
2008.
9. http://www.mamsu.ru/.
10. Романовский И.В. Дискретный анализ: Учеб. пособие для студентов. 3-е изд. СПб: Невский Диалект; БХВ Петербург, 2003.
11. Taxa, Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е изд.— М. : Издательский дом «Вильяме», 2001.
12. Беляев А., Гаврилов М., Масальских А., Медвинский М. Марковские процессы. 2004.
13. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука,
1970.
14. Кордонский X. Б. Приложение теории вероятностей в инженерном деле. M.; JI.: Госфизматиздат, 1963.
Наука, 1973.Р
16. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.— М. : Мир, 1985.
17. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М. : Сов. радио, 1964.
УДК 621.778
О.С. Железков, С.А. Малаканов, И.Ш. Мухаметзянов, В.В. Карпец
ФГБОУВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЛЮЩЕНИЯ ПРОВОЛОКИ ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ИЗГОТОВЛЕНИЯ ПРУЖИННЫХ ШАЙБ*
С современных конструкциях рельсовых скреплений полотна железных дорог широко применяются путевые пружинные шайбы по ГОСТ 19115-91 под болты с номинальным диаметром резьбы 22, 24, 27 мм. При производстве пружинных шайб используется проволока из стали марок 40С2А, 65Г и др. трапециевидного сечения 8, 9, 10.
В условиях ОАО «ММК-МЕТИЗ» проволока трапециевидного сечения изготавливается на однократных волочильных станах барабанного
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.В37.21.1135
