Исследование механизмов релаксации намагниченности в мезоскопических парамагнетиках с помощью компьютерного моделирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012

Серия:Физика

Вып. 1 (19)

УДК 530.145+004.94

Исследование механизмов релаксации намагниченности в мезоскопических парамагнетиках с помощью компьютерного моделирования

А. Ю. Ощепков

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрена динамика намагниченности парамагнитного образца, содержащего ограниченное количество спинов Д, с помощью компьютерного моделирования уравнений движения для спиновых переменных в полуклассическом представлении. Проведено сравнение результатов моделирования с известной феноменологической теорией релаксации, показана адекватность созданной модели, намечены области ее дальнейшего применения.

Ключевые слова: полуклассическая теория парамагнитной релаксации, компьютерное моделирование.

Под парамагнетиком обычно понимают образец, содержащий частицы, обладающие орбитальным или спиновым моментом (электронным или ядерным) и соответствующим ему магнитным моментом, взаимодействие между которыми мало, так что справедливо приближенное представление о движении отдельной частицы, находящейся в окружении соседей. В полуклассической микроскопической теории релаксации воздействие окружения моделируется классическими магнитными и электрическими полями [1, 2]. Хаотизация ориентации магнитных моментов вследствие теплового движения приводит к установлению равновесного значения намагниченности в парамагнетике.

1.1. Цель работы

1. Уравнения движения для

векторов спиновой поляризации в парамагнетике

Предложено множество способов описания релаксационных процессов на основе рассмотрения микроскопических уравнений движения отдельных частиц. Рассмотрим для примера подход для спина 1/2, разработанный автором статьи и изложенный в диссертационной работе [3]. Как известно, единичный вектор спиновой поляризации для спина 1/2

m{t) = Sp(p(t) -а),

(1)

где а - матрицы Паули, p(t) - зависящая от времени матрица плотности [4], которая описывается уравнением [5]

m = ym х н.

Здесь y - гиромагнитное отношение,

H = H0 + h(t) -

(2)

(3)

магнитное поле, действующее на частицу. Постоянное магнитное поле

н0 = (0,0, н0)

формирует уровни энергии

(4)

Во многих практических приложениях, например для описания формы линии магнитного резонанса в макроскопических образцах, достаточно феноменологических уравнений Блоха. Эти уравнения дают простую экспоненциальную зависимость от времени для продольной составляющей суммарного магнитного момента, определяющего намагниченность.

(5)

(к - постоянная Планка). Состояние с минимальным уровнем энергии Е1 является основным (состояние 1), состояние Е - возбужденное (состояние 2). Н(г) в [3] представляет собой случайное магнитное поле, 5-коррелированное по времени (белый шум). Уравнение (2) играет

© Ощепков А.Ю., 2012

роль уравнения Ланжевена для случайной переменной т. Для функции распределения Ж(т, г) получается уравнение Фоккера - Планка, решение которого с помощью метода моментов позволяет найти релаксационное уравнение для намагниченности образца, отнесенной к одной частице:

М =| тЖ(т, г^т . (6)

Современные технологии позволяют манипулировать (управлять) небольшим количеством спинов и даже отдельными спинами. С такими задачами сталкиваются при реализации квантовых алгоритмов в квантовом компьютере. Двухуровневая система, являющаяся простейшим носителем информации, называется “кубит” [6]. Релаксационные процессы, называемые в теории квантовой информации декогеренцией (или декогерентизацией), приводят к переходу кубита из одного состояния в другое. Основная задача здесь состоит в стабилизации состояния кубита на время проведения вычислений. Для разработки и отладки алгоритмов стабилизации с использованием методов компьютерного моделирования в применяемой математической модели необходимо адекватно учесть процессы декогеренции, обусловленной окружением частицы. Методы, развитые для макроскопических образцов, в этом случае не работают. Отметим, что системы из малого числа частиц, в которых статистические закономерности не работают вследствие больших флуктуаций, принято называть мезоскопическими (промежуточными между микро- и макросистемами) [7].

Цель данной работы состоит в разработке микроскопических уравнений движения для вектора поляризации частиц со спином 1/2 в полу-классическом приближении. Исследование процессов релаксации в системе с помощью полученных уравнений частично имеет самостоятельный интерес, но в основном является проверкой адекватности построенной математической модели микроскопических движений.

1.2. Форма микроскопических уравнений движения для парамагнетика

Для спина 1/2 мультиполи состояния (спин-тензоры) пропорциональны сферическим компонентам вектора поляризации [4]. Спин-тензоры ранга выше 1 отсутствуют, поэтому все энергетические взаимодействия в полуклассиче-ском подходе моделируются взаимодействием оператора спина с магнитным полем. Таким образом, гамильтониан парамагнитного образца может быть записан в виде

1 N _

н = - т к/Ё (Но + Ь(к \г))5(к). (7)

2 к=1

Вместо выражения (6) намагниченность теперь должна быть определена по формуле

_ 1 N

м = — у т(к \ (8)

N{-1

где величины т(к) определяются по формуле (1) для к-го спина. Постоянное магнитное поле в (7) одинаково для всех частиц. Составляющую поля к(к\г) представим в виде

к(к)(г) = (г)+ккт),г). (9)

Здесь к(к)і(г) - стохастическое поле, моделирующее влияние окружения, в том числе соседних спинов. Данное поле вызывает равновероятные переходы между состояниями 1 и 2 и приводит к беспорядку в системе, т.е. к размагничиванию образца.

Составляющая (т, г) отвечает за разруше-

ние инверсных заселенностей в парамагнетике за счет спонтанного перехода из возбужденного состояния 2 в основное состояние 1. В полу-классической теории явление спонтанного излучения обычно описывается полем притяжения вектора спиновой поляризации к направлению постоянного поля

кг (т,г) = а(Н0 х т) . (10)

Наличие поля (10) в (7) приводит к появлению в уравнении (2) нелинейного слагаемого Ландау-Лифшица ат х (Я0 х т). Отметим, что модель Ландау-Лифшица была первоначально предложена для описания изменения со временем намагниченности однодоменного ферромагнетика из чисто феноменологических соображений. Однако в работе [8] показано, что модель является универсальной и “описывает поведение ансамбля двухуровневых систем любой природы, между которыми имеется некоторое определенное взаимодействие”.

Таким образом, уравнение движения вектора поляризации отдельного спина принимает вид

т(к) = т(к) х®о + т(к) х® ^ (г) - ^

-ат(к) х (т(к) хи0 ).

Здесь введены обозначения = уИ0,

®(к\crnd = ук(кКоы. В выбранной модели предполагается, что характер изменения случайного поля различен для каждого отдельного спина, причем среднее значение флуктуирующего поля определяется температурой решетки, а эффективная величина поля самоизлучения а от температуры не зависит и одинакова для всех частиц.

Для решения уравнений (11) и определения намагниченности по формуле (8) применяются методы компьютерного моделирования в среде МЛТЬЛБ+8іши1іпк.

В разделе 2 выбирается модель случайных воздействий Й(к^(г). Для этого проведено исследование влияния на квантовые переходы магнитных полей, вращающихся вокруг произвольно ориентированных осей с частотами, близкими или равными частоте ларморовой прецессии спина.

В разделе 3 исследуется процесс релаксации намагниченности в системе, содержащей до нескольких сотен частиц, с учетом выбранной модели случайных воздействий и эффекта спонтанного излучения в форме Ландау-Лифшица.

В разделе 4 обсуждаются полученные результаты, проводится сравнение экстраполяционной релаксационной кривой с одноэкспоненциальным законом релаксации, вытекающим из решения уравнений Блоха для продольной составляющей намагниченности макроскопического образца. Делается вывод об адекватности предложенной математической модели.

В заключении приводятся итоговые результаты исследования и определяются основные области дальнейшего применения разработанной модели.

2. Влияние случайных воздействий на релаксацию намагниченности

2.1. Роль частотного спектра

ортогонального вращающегося поля

В данной работе нас будет интересовать поведение только продольной (7-составляющей) намагниченности, т.е. изменение ориентации вектора поляризации по отношению к направлению поля Н. Известно, что с наибольшей вероятностью переходы вызываются магнитными полями, вращающимися в плоскости, перпендикулярной направлению поля н в направлении, определяемом знаком гиромагнитного отношения, с частотой ларморовой прецессии спина (частота резонанса) [5]. Однако поля, поляризованные по кругу, не лежащему в ортогональной плоскости, с частотой, отличной от резонансной, также могут привести к переходам, только с меньшей интенсивностью. В данном пункте исследуем влияние на интенсивность переходов ортогональных полей различной частоты, в следующем пункте - влияние неортогональных полей.

Для исследований необходимо решить дифференциальное векторное уравнение (2), в котором поле И (г) имеет вид

К (г) = (К сс^иг, -Иг 8т®г,0), (12)

где частота и может изменяться в пределах

« = {«mm ^®0 •

Для компьютерного моделирования поведения величины mz (t) идеально подходит пакет Simulink [9].

Spin Components

Рис. 1. Блок “SpinDynamic ”, реализующий решение векторного уравнения (2)

На рис. 1 показан фрагмент S-модели “SpinDynamic”, реализующий решение векторного уравнения (2). Матрица А стандартной ABCD-модели Simulink, обозначенной

“Dynamic”, описывающая взаимодействие вектора m со стационарным полем Я0, имеет вид

' 0 ®0 0N

A = -®0 0 0

1 0 0 0,

Блок “Spin&Variable Fields” реализует векторное произведение векторов, подаваемых на его вход. Вектор (12) подается на вход 1 Variable Fields.

Рис. 2. Зависимость mz (t) при kr = 0,005Я0.

1— ю = ю0, 2— т = 0,995ю0,3- ю = 0,990ю0

S-модель запускается из m-файла “model_spin_dyn.m”, в котором задаются все параметры задачи, время (Tstop) и шаг (DT) моделирования. Выход S-модели 1 “Spin

Components” возвращается в m-файл для обработки и построения графиков. Всюду в работе положено ю = 2ж (v0 = 1), т.е. время измеряется в периодах ларморовой прецессии. На рис. 2 приведен результат моделирования при Tstop=1000, DT=1/2000. На графиках показано изменение продольной составляющей вектора

поляризации от времени т2 (г) при Иг = 0,005Н0 для трех различных частот вращения ортогонального поля: и=и0 (график 1), и = 0,995и0 (график 2) и и = 0,990и0 (график 3). Из графиков видно, что в случае резонанса (график 1) спин переориентируется из состояния т = 1 в состояние т = -1 и обратно с периодом Тг = 2ж / /К = 200. Поперечные переменные тх и т при этом осциллируют с высокой частотой у0 (на графиках не показаны). Определим полное изменение продольной составляющей: Бщ = 1 - тгтт . При резонансе Бщ = 1 - (-1) = 2 . Отклонение частоты от резонансной существенно уменьшает величину Бщ и немного изменяет период колебаний.

Зависимость Бщ(и) будет иметь различный вид при разных амплитудах вращающегося поля К. Для установления роли этой амплитуды с помощью математической модели проведена протяжка по частоте при различных величинах К. Результаты показаны на рис.3. Значения отношений К / Н указаны на графиках. Анализ данных показывает, что для частот, удовлетворяющих условию

|и-и0|< 4иг (И=/К), (13)

изменение продольной составляющей составляет более 10%. Частоты, лежащие вне интервала, указанного в (13), не вызывают существенного изменения намагниченности, поэтому в наших задачах их можно не рассматривать.

динат угол 3 , как это показано на рис. 4.

Рис. 3. Зависимость Бтг(и) при трех значениях К / Н (указаны на графиках)

2.2. Динамика вектора спиновой

поляризации в неортогональных вращающихся полях

Рассмотрим теперь случай, когда ось г', вокруг которой происходит вращение поля К , составляет с осью г лабораторной системы коор-

Рис. 4. Неортогональное вращающееся поле Нг

Направление оси Х лабораторной системы координат выберем так, чтобы ось вращения лежала в плоскости Х2. Используя явный вид матрицы вращения, для поля к в лабораторной системе координат в этом случае получим выражение

( 0083 0 8Іп3Л( к 008юг Л

К(г) =

-к 8Іп юг

0

(14)

0 1 0 ,- 8Іп3 0 0083,

\ / ч /

= (к 0083 008 юг, -кг 8ІПЮҐ, к 8ІП3008ЮҐ).

Уравнения (2) примут конкретный вид:

т = ю„ т + ю 8Іпюгт -ю 8Іп3с08югт ;

х 0 у г г г у ‘

ту = -ю0 тх +юг 0083008югт2 +юг 8Іп3с08югтх; т =-ю 8Іпюгт -ю 0083008югт .

2 Г X Г у

(15)

Решение уравнений (15) для ортогонального поля (3 = 0) и выполнения условия резонанса ю= ю при начальных условиях

т(0) = (8Іп%,0,008%) известно [10, (2.18)]:

тх = 8Іп% 008 юог + 008% 8Іп юг 8Іпюг; т = - 8Іп% 8Іп юг + 008% 8Іп югг 008 юг; т2 = 008% 008 юг.

(16)

Отметим, что решение для т при % = 0 изображено графически на рис. 2 (график 1 ).

Для нахождения решения уравнений (15) в общем случае отметим, что решение (16) в предположении и П и содержит быстро изменяющуюся фазу Ф0 и медленную переменную Ф :

ф = о\г, Ф0 = и0; ФП и. (17)

В силу (17) будем искать решение уравнений (15) с помощью метода Крылова-Боголюбова-Митропольского [11] в сокращенной форме. Сразу предположим, что искомое решение имеет вид, аналогичный (16) с неизвестной медлен-

ной фазой Ф :

m = sinip0 cos rn0t + cosip0 sin Ф sin®0t;

m = - sinip0 sin m0t + cosip0 sin Ф cos®0t; (18)

m = cosip0 cos Ф.

Продифференцируем третье уравнение в системе (18) и подставим в (15). Для ортогонального поля при 3 = 0 в результате получим

-Ф cos Ф0 sin Ф = -®r cos Ф0 sin Ф , (19)

откуда имеем Ф = тг, Ф = wrt , т.е. сразу получаем решение (16).

При Зф 0 соотношение, аналогичное (19), может быть разрешено относительно Ф только для ср0 = 0 . Решение при этом имеет вид

, ( 2 31 1 т . 2 ,,АЧ

Ф = 1® cos — 11------ sin —sm2®0t . (20)

I 2) 2 ®0 2

Быстро осциллирующим слагаемым с малой амплитудой в (20) с течением времени можно пренебречь и записать результат

Q

Ф = ® cos2 3t, (21)

r 2

который означает, что переориентация спина в неортогональных полях происходит с частотой, зависящей от угла ориентации оси вращения поля.

Полученный результат легко проверить с помощью компьютерного моделирования. Для этого на вход 1 Variable Fields блока “SpinDy-namic” нужно подать вектор hr (t) из (14) и определить период переориентаций спина при различных значениях угла 3 . Интересно отметить, что проведенные численные исследования не обнаружили осцилляций частоты перехода, а подтвердили результат (21), причем для любых начальных условий, а не только при условии Фй= 0, которое было существенно использовано при проведении аналитических выкладок.

Полученный результат показывает, что неортогональные поля при частотах вращения, близких к резонансной, также вызывают переориентацию спина, однако частота переориентаций зависит от направления оси вращения. Для моделирования случайных воздействий важно, что наклон оси вращения возмущающего поля может быть промоделирован изменением эффективной амплитуды ортогонального поля в соответствии с (21).

Таким образом, для описания случайных полей a>(k\Ш1] в (11) достаточно рассматривать ортогональные поля, частота вращения которых лежит в интервале (13), а амплитуда в каждой точке k представляет собой случайную величину, удовлетворяющую определенному закону распределения.

3. Релаксация намагниченности при наличии диссипации

Для моделирования уравнений (11) в подсистему “8ртОуттк" 8-модели был добавлен блок, соответствующий слагаемому Ландау-Лифшица (рис. 5).

Рис. 5. Блок “БріпВупатіе ”, реализующий решение векторного уравнения (11)

S-модель программно запускается из m-файла “model_spin.m”, в котором задаются все параметры задачи и параметры моделирования. Для последних были установлены значения Tstop=4000, DT=1/8000. Выбор случайной амплитуды ортогонального поля, подаваемого на вход 1 Variable Fields, осуществлялся блоком Random Number библиотеки Simulink. Указанный блок возвращает случайную величину, распределенную по нормальному закону с заданным средним значением (‘Mean’) и дисперсией (‘Var’). Генератор случайных чисел управляется инициализатором ‘Initial seed’. При запуске модели с одинаковым инициализатором процесс будет повторяться.

Программа циклически запускает S-модель N раз, результат каждого запуска передается обратно в программу, которая суммирует данные, а по окончании цикла определяет компоненты средней намагниченности по формуле (8). Существенно, что при каждом k-м запуске значение переменной ‘Initial seed’ выбирается случайно, тем самым обеспечивается стохастич-ность воздействия для k-го спина.

На рис. 6 показан результат численного эксперимента для образца, содержащего N спинов при среднем значении амплитуд вращающихся случайных магнитных полей о\ /®0 = 0,005 и отсутствии спонтанного излучения (1- N= 10; 2 -N = 50; 3 - N = 300). Из графиков видно, что спустя 600-700 циклов прецессионного движения в образце устанавливается равновесное состояние со средней намагниченностью, близкой к нулю, с большими флуктуациями, величина которых уменьшается при возрастании количества частиц, как и должно быть для мезоскопических систем.

Рис. 6. Зависимость Мг (г) при а = 0 . ю /ю= 0,005, ю = 0,004ю .1- N=10;

2-N = 50;3-N = 300

На рис. 7 приведены результаты численных экспериментов при юг /ю0 = 0,001 для трех значений относительной интенсивности спонтанного излучения а .

Рис. 7. Зависимость Мг(г) при юг/ю0 = 0,001. 1- а= 0,0005 , 2- а = 0,001, 3 -а = 0,01. N=200

Рис. 8. Зависимость Мг(г) при юг/ю0 = 0,005.

1 -а= 0 . 2- а = 0,005 , 3 -а = 0,025 ,4 а = 0,05 , N=200

Видно, что при увеличении параметра а увеличивается среднее значение намагниченности, а флуктуационные процессы подавляются. Графики тех же зависимостей приведены на рис. 8 для и/и = 0,005 .

Сравнительный качественный анализ результатов, приведенных на рис. 7 и рис. 8, показывает, что равновесное значение намагниченности определяется не средней амплитудой возмущающих полей и интенсивностью процесса самоизлучения по отдельности, а их отношением. Это естественно, поскольку релаксационные процессы определяются игрой упорядочивающих сил (стремление системы к основному состоянию) и тепловых движений, вызывающих беспорядок [12]. Получение количественных оценок требует проведения дальнейших исследований.

4. Определение релаксационных параметров

Сравним полученные данные о протекании релаксационных процессов для образца с ограниченным количеством частиц с феноменологическими уравнениями, применяемыми для описания макроскопических систем. В теории парамагнитной релаксации успешно используются уравнения Блоха [1], описывающие экспоненциальную зависимость намагниченности образца от времени.

Попытки экстраполировать полученные релаксационные кривые, приведенные на рис. 7 и рис. 8, гладкой функцией с одним декрементом приводят к плохим результатам: отклонения графика от экстраполирующей зависимости в переходной области существенно превышают величины флуктуаций. Использование двухэкспоненциальных зависимостей приводит к минимизации ошибки.

Обработка графика 3 на рис. 8 по методу наименьших квадратов с применением блока динамической настройки параметров 81ти1шк дает следующий результат:

Мг (г) = 0,05 + 0,71е-/ 28 + 0,24е-/900. (22)

Таким образом, в мезоскопическом парамагнетике выделяется первоначальная фаза быстрого изменения намагниченности и последующий медленный переход к равновесию, очевидно соответствующий поведению макроскопических систем.

5. Заключение

Полученные результаты описания процессов релаксации в парамагнетиках с ограниченным количеством спинов показали, что при увеличе-

нии их числа в системе процесс релаксации протекает аналогично известным процессам для макроскопических образцов. Тем самым показана достоверность модели взаимодействия отдельного спина с окружением, выраженной уравнениями (11). Уравнения могут служить основой для разработки модели алгоритмов управления ориентацией спиновой поляризации в парамагнетике, в том числе для стабилизации состояний кубита, подверженного дестабилизирующему влиянию окружения.

Список литературы

1. Абрагам А. Ядерный магнетизм. М.:Иностр. лит., 1963. 552 с.

2. Александров И. В. Теория магнитной релаксации. Релаксация в жидкостях и твердых неметаллических парамагнетиках. М.: Наука, 1975. 400 с.

3. Ощепков А. Ю. Кинетика спиновых систем, взаимодействующих со стохастическим полем решетки // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1987. 182 с.

4. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. М.: Мир, 1983. 248 с.

5. Rabi I. I., Ramsey N. N., Shwinger J. Use of Rotating Coordinates in Magnetic Resonance Problems //Rev. Mod. Phys. 1954. Vol.26. Issue 2. P. 167.

6. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи физ. наук. 2005. Т. 175, № 1. С. 3-39.

7. Жуковский В. Ч., Кревчик В., Семенов М. Б., Тернов А. И. Квантовые эффекты в мезоскопических системах. Ч.1. Квантовое туннелирование с диссипацией. М. 2002. 108 с.

8. Скроцкий Г. В. Еще раз об уравнении Лан-дау-Лифшица // Успехи физических наук. 1984. Т. 144, № 1. С. 681-686.

9. Дэбни Дж. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

10. Лёше А. Ядерная индукция. М.: Иностр. лит., 1963. 684 с.

11. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 536 с.

12. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи. М.: Мир, 1985. 232 с.

Research of relaxation mechanisms of magnetization in mesoscopic paramagnets by means of computer simulation

A. Y. Oschepkov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The dynamics of the paramagnetic magnetization of a sample containing a limited amount of spin /, with the help of computer simulation of the equations of motion for the spin variables in the semi-classical representation are considered. A comparison of simulation results with the known phenomenological theory of relaxation is shown the adequacy of the model created, the area identified for its further use.

Keywords: semiclassical theory of paramagnetic relaxation, computer simulation.