ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЬ ТРЕТЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Makhkamov M. - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor - Tajik State Pedagogical University named after S. Aini. Phone: (+992) 935851055. E-mail: mahkamov_M51@mail. ru

УДК 517.956.2

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЬ ТРЕТЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Мелиев Н.Н.

Таджикский государственный педагогический университета имени С.Айни Рассмотрим

8 x, t) _ 8 2u(x,t) .> x e (0, L), t e (0,T), (1)

I , t )

8t2

8x2

непрерывной

и(х,0) = р(х), и(х,Т) = \(х), (3)

где <р(х) и \(х) непрерывные на [0,Ь] заданные функции.

Решим задачу (1) - (3) формально, методом разделения переменных (методом Фурье), п

2 l

Рк = —\ф( T)sin L о

(Т)2 -

Ит 2 L

d ' Wк = — Tjsin

L о

4

(L)2 -

d T

-коэффициенты Фурье функций р(х), \(X) соответственно. Из выражения для решения (4) следует, что если

™(тJ - i

рациональное

число, то решение в виде ряда, либо не существует, либо неединственное, так как существует

I-^--\

к е N такое, что

г./(ту -1

. Если

= о

Тл

тек \ 2

lj -

иррациональное число,

тогда решение вида (4) существует, но неустойчиво по отношению к исходными данными,

^ 1-^--\

так как

т

т V -

при к^ < может находиться близки ноль.

"ч Ь )

С другой стороне (см. [6, 7]), задача суммирование область Фурье не обладает свойством устойчивости к малым изменениям в метрике ¡2 коэффициентов Фурье, если уклонение суммы иметь значение в метрике С(0,L). Отсуда суммирования ряда (4), для любого фиксированного ? € \0, Т] не является устойчивым к малым изменениям исходным данным в

С(0,ц

(Ь2 (0, Ь) ). Поэтому задачи (1) - (2) является некорректно поставленной задачей. Мы ограничимся рассмотрением задачи (1)-(4) при случае, когда

т

Ш2 -

иррациональное число, и, что для точных краевых условий р(х), \(х) решение в виде ряда (4) существует.

Так как в (2) заменым р(х) и \(х) заданы их приближения р(х)

||р(х) — р(х)\\ь <6, \(х) — \(х)||ь <6, (5)

При этих случай, согласно [6, 7], построить класс прочный решений задачи (1) - (3). В качество приближать решение задачи (1)-(4) с приближенными исходными данными р(х), \(х) будем брать значения однопараметрического содружес

1

т

1

1

sin

1

Р( х ) ,щ( х ),х ,а ) = X г(к,а)

к = 1

Рк

(Т - г)

&Л2 -

- (6)

Щк згп

- Г -1

&л2 -

& )2 -1

где Рк, Щк - коэффициенты значение Фурье, р(X), щ(х) по методом в отрезке [0,Ь], а т(к, а ) стабилизирующие множители, определенные

Ч &) -1

У

для всех а > 0 и каждый к(к = 1,2,....).

По методу регуляризации [6] и определения 1 и 2 работе [7] надо доказать, что оператор Я(р(х),щ(х),х,г,а) вида (6) будет регуляризирующим для задачи (1) - (3) при подчиняющихся соответствующим условиям стабилизирующих мно

+ X \г(к,а) - 1\

к = п +1

Рк ( \ 2 Л |(Т - Ч&) - 1) { У

(Ч & Л2 -1) { У

+ X \г(к,а) - 1| к = 1

Щк ^ & Л2 -11 { У

sin Ч & Л2 -1) { У

с I I

+ X \г(к,а) - 1 к=п+1

у к ягп

-Г -1

г

Г&к л2 -

+ X

к = п +1

У к & гп

Т-' ("г) - 1

{ У

&:к

2

- 1

ШТ-1

Поскольку для любо

/Т - 'М!&- ^

{ тЩ-1 '

Рк

и

4

- К&)2 -1

4

&)2 -1

-Щк

принадлежат ¡1 (следует что из существования решения в виде ряда (4) ), для всякого 8 > 0 найдется такое N(',8 ) , будет выпол

X к = п + 1 /■ Рк sin { (Т - 1&)2 -11 У

sir (Ч & )2 -1]

для любых п > N(8,') .

+ X

к = п + 1

У-'к &гп

Т^т2

8 3

со

1

2ИП

1

СО&

х

sгn

+

+

ьгп

згп

sгn

sгn

1

п

У

I I

+ ^ \г(к,а) — 1\ к = 1

. 4 сь г—1 ] V )

т№ Г—1 ] V )

Е

3

дл

,+ 3 Е.

|ЛЛ| < З^2+ V ¡(ал) )-

По свойству 6), 7) последов ательности \г(к,а)} для каждого фиксированного / € [0,Т] ряды со(а, {) и ¡(а,1) являются убывающими функциями от а сходящимися |лте| < е.

Итак, доказано следующей теоремы .

Теорема . Если последовательности \г(к,а)} удовлетворяют условиям 1)-6), то определенный с их помощью оператор Щ~(х)\(х),х,1,а) вида (6) является регуляризирующим алгоритмом для задача (1)-(3).

Для более детального анализа характера третий краевой задач для волнового уравнения необходимо проведение численных расчётов. В качестве примеров для численных расчётов выбираем пример задачи (1)-(2), используя выраженные (4) и (6). Результаты расчёта зависимости решения от возмущения краевых данных приведены на рисунке 1, где

2 2 2 т(к,а) = ехр(—а к ) , ь=1, т=0.5, р(х) = х , \(х) = х

х 10'

первой краевой задач

0.5

-0.5

-1

первой — — — второй

х 10 второй краевой задач 1 I ! ! ) !

0.5

■ -0.5

0 20 40 60 координата ----

80

100

0 0.2 0.4 0.6 координата времени

0.8 1 -------t

х 10

первой краевой задач

'••4. ■ -

второй краевой задач

х 10

0.5 - и^

100

50 ■ и^

0.5

времени

50

функция---и^ 0 0 координата---t функция----и^ 0 0

Рис.1 . Зависимости решения от возмущения третей краевых данных.

Ясно что из рисунков 1, при уменьшении значения погрешности 5 решения обеих модельных краевых задач в окрестности границ х = 0 и х = Ь , начинают резко меняться, то есть эти задачи имеют стабильное решения. Из рисунков следует, что решение третей краевых задач для волнового уравнения, также является стабильное РА.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана // -М.: Наука. -1978. -206с.

2. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. 2-е изд. Т.1-1У. /В.И. Смирнов // -М.: Гос.изд. технико-теоретической литературы. -1949. -673 с. 1951. -804 с. -1974. -656 с.

3. Волынский, Б.А. Модели для решения краевых задач / Б.А. Волынский, В.Е. Бухман // - Москва: Гос. изд. Физ.-мат литер. -1960. - 452 с.

4. Найденов, А.И. Трансформация спектра электрических сигналов в длинных линях с переменными

1

0

0

X

1

1

0

0

1

параметрами / А.И. Найденов, Э.А. Фомин // Радиотехника. -1968. -Т.23. №1. -С. 1-6.

5. Воробьёва Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. -2000. -Т.41. -№ 3. -С.531-540.

6. Тихонов А.Н.Методы решения некорректных задач. -3-е изд. /А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин // -М.: Наука. -1986. -288с.

7. Джураев Х.Ш. Регуляризация граничных задач для гиперболического уравнения. / Х.Ш. Джураев // Математические заметки. -2013. -выпуск 2, №1. -С. 202-209.

8. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. / И.П. Макаров // -М.: Просвещение. -1968. -308с.

9. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. /А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин // -М.: Наука. -1981. -544 с.

10. Джураев Х.Ш., Мелиев Н.Н. Исследование математическое моделей первой краевой задачи для волнового уравнения теплопроводности // Вестник педагогического университета (Естественных наук). ТГПУ им. С.Айни. -2019. -№1-2. -С.П5-П8.

11. Джураев Х.Ш., Джураева Г.Х., Мелиев Н.Н. О регуляризации краевых задач для гиперболического уравнения // Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук» под общей редакцией профессора Т.Н. Можаровой. -Орел: ОГУ им. И.С.Тургенева. -2020. -с.223-227.

12. Джураев Х.Ш., Мелиев Н.Н. Исследование математической модели первой краевой задачи для волнового уравнения методом регуляризации // Международный научный журнал «Молодой учёный». -2021. -№14(356). -С.1-6.

13. Джураев, Х.Ш. Явления переноса энергии и массы в конденсированных средах: математическое моделирование, оптимизация, практические приложения. [Монография] / Х.Ш. Джураев // - Душанбе: ЭР-граф. -2021. -236 с.

14. Джураев. Х.Ш. О регуляризации задачи распространения волн в анизотропной неоднородной среде. / Х.Ш. Джураев // Докл. АН РТ. -2010. -Т.53. -№2. -С.104-109.

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЬ ТРЕТЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В работе исследована обратное задачи теплопроводности с помощью третей краевую задачу для волнового уравнения теплопереноса. В момент t = T известна начальной распределения теплового сигнала, и определена скоростей распространение тепла при t=0.

Ключевые слова: линия, сопротивление, головоломка, тепло, электромагнит, граничный режим, модель, волна, температура.

RESEARCH MATHEMATICAL MODEL OF THE THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION OF HEAT CONDUCTIVITY

The paper investigates the inverse problem o f heat conduction using the third boundary value problem for the wave equation of heat transfer. At the moment, the initial distribution of the heat signal is known, and the velocities of heat propagation at t = 0 are determined.

Keywords: line, resistance, puzzle, heat, electromagnet, boundary mode, model, wave, temperature.

Сведения об автор:

Мелиев Нуралй Норбоевич - Таджикский государственный педагогический университета имени Садриддин Айни, старший преподаватель кафедры информационной и коммуникационной технологии Адрес:734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 121. Тел: (+992) 917969901. E-mail: meliev [email protected]

About the author:

Meliev Nurali Norboevich - Tajik State Pedagogical Universitynamed after Sadriddin Aini, senior teacher of the Department of Information and Communication Technology Mathematics. Address: 734003, Republic of Tajikistan, Dushanbe, 12 Rudaki Ave. 121. Phone: (+992) 917969901 E-mail: [email protected]

НА^ШИ ЗАБОНИ АНГЛИСЙ ДАР ЗАБОНИ БАРНОМАСОЗИИ КОМПЮТЕРЙ

Холмуродов Р.М., Мирсарварзода Ф.М.

Академияи идоракунии давлатии назди Президенити Цум^урии Тоцикистон