CC BY
43
УДК 368.3.068
Таньков Г.В., Селиванов В.Ф. , Махотин А.А.
Пензенский государственный университет
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТОРЦЕВЫХ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
В СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ РЭС
Аннотация. В статье показана актуальность исследования моделей стержневых конструкций для повышения надежности РЭС. Предложена дискретная модель процесса распространения импульса смещения в упругом стержне постоянного сечения при торцевом ударе. Проведены численные эксперименты с использованием предложенной модели. Полученные результаты показывают, что модель качественно правильно отражает динамику физических процессов, происходящих в упругом стержне при ударных воздействиях.
Ключевые слова: дискретная модель, импульса смещения, упругий стержень, торцевой удар.
Введение
В качестве силовых элементов конструкций радиоэлектронных средств (РЭС) широко применяются стержневые конструкции в виде отдельных стержней (кронштейны, валы) и в виде более сложных устройств (рамы, каркасы). В процессе эксплуатации РЭС на подвижных носителях могут возникать вибрации стержневых конструкций, которые в случае появления резонансов могут оказывать существенное влияние на функционирование электронного средства (ЭС) в целом.
Расчет колебаний таких систем в общем случае представляет собой сложную задачу, поскольку картина распространения волн упругих деформаций в телах конечных размеров (стержни, оболочки), как правило, весьма сложна и построение решения в виде суммы прямой и отраженных волн становятся невыполнимой задачей [1].
Применение методов математического моделирования дает возможность проводить исследования физических процессов, протекающих в конструкциях и их элементах, и определять на этапе проектирования их динамические характеристики, которые, в свою очередь, являются основой для прогнозирования поведения изделия в заданных условиях эксплуатации.
При этом важна не только разработка расчетных моделей, но и разработка эффективных алгоритмов исследования моделей [2].
Для решения задач исследования динамики стержневых конструкций РЭС эффективно использование численных методов, ориентированных на применение ЭВМ. При исследовании механических процессов алгоритмический вид модели можно получить из неалгоритмических описаний, то есть из дифференциальных уравнений, осуществляя формальный переход от дифференциальных уравнений к разностным.
Разработка дискретной модели распространения импульса смещения в упругом стержне
Стержневые конструкции могут совершать различные колебания. Рассмотрим задачу о продольных колебаниях упругого стержня постоянного поперечного сечения. Положим, что правый конец стержня длины l закреплен, а левый свободен и на левый конец в момент t=0 действует кратковременный удар, создающий импульс сжатия. Продольные колебания, возникающие при этом в стержне, описываются волновым уравнением (1)
д2и ^ дх2
д2и
= рэП' (1)
где u (х,^-смещение текущего сечения стержня вдоль его оси х; Е - модуль Юнга; р - плотность материала.
Полагая
с — I-
как скорость распространения продольных волн в стержне, получим
д2и
дх2
д2и dt2 '
(2)
В соответствии с методом конечных разностей заменим сплошной стержень совокупностью дискретных элементов с шагом разбиения по оси х, равным hx. Массу каждого дискретного элемента сосредоточим в его центре-узле, лежащем на оси х; силы взаимодействия между дискретными элементами заменяем упругими связями между узлами. Получим геометрическую дискретную модель стержня, состоящую из n узлов, соединенных упругими связями[18-22].
Заменив производную в левой части (2) её разностным аналогом, получим
^2 0^х+1 2их + их_^)
д2и
(3)
dt2 ’
где ич - смещение текущего узла вдоль оси х. Учитывая, что вторая производная от перемеще-
ния по времени есть ускорение а узла, запишем (3) в виде d —
д2и
и, заменив производные по
времени разностным аналогом, получим
(4)
= ux(t + т) - 2ux(t) + ux(t - т),
где T - шаг дискретизации по времени.
Преобразуем (4) к виду явного разностного уравнения
т2 а + 2 ux(t) — ux(t + т)
= ux(t- т), (5)
которое, будучи дополнено граничными и начальными условиями, образует явную разностную схему, которая в сочетании с геометрической моделью дает расчетную модель стержня, достаточно просто реализуемую на ЭВМ.
Но степень достоверности информации, полученной на дискретных моделях, должна быть подтверждена материалами исследования моделей после их разработки и построения алгоритмов [3].
В данной работе приведены результаты таких исследований для моделей стержневых конструкций, проведенных с помощью вычислительных экспериментов, в которых использованы, так называемые, тестовые задачи, то есть такие, для которых можно получить аналитическое решение.
Получив для таких задач численное решение по разработанной модели можно оценить степень точности результата сравнением численного и аналитического решения.
2 Проведение вычислительных экспериментов
В вычислительных экспериментах исследовались процессы отражения упругих деформаций от торцов стержня при возникновении в нём нормальных колебаний от действия различных динамических нагрузок - мгновенный ударный импульс, прямоугольный и полусинусоидальный импульсы, гармоническое воздействие. Проведено решение ряда тестовых задач, для которых известны аналитические решения.
Задача 1. Рассматривался процесс распространения по стержню импульса смещений от действия
мгновенного ударного импульса. Правый крайний узел модели (рис.1,а) закреплен Ых— 0; в
левый крайний узел (свободный конец стержня) в момент t = 0 (рис. 1,б) задавалось единичное
смещение и Ых—0 = 1,
( t - -)
до закреплённого конца It — I ,
V 4/
соответствующее действию мгновенного ударного импульса. Дойдя импульс смещения отражается с изменением знака смещения
(рис. 1,б) и возвращается к левому свободному концу
( t —-)
It — I, при отражении
2 (t — т)-
от которого знак
импульса не меняется (рис. 1,б). Дойдя до закрепленного правого конца it — ~h импульс снова отразится с изменением знака смещений (рис. 1,б) и возвращается к свободному концу (t — 2 7Г) с тем знаком, с каким началось его движение в момент t — 0 (рис. 1,,), то есть
картина полностью повториться.
Полученная в численном решении картина процесса полностью соответствует картине нормальных колебаний сплошного стержня, полученной в механике аналитическим путем [4].
Задача 2. В левый свободный узел модели задавались смещения, соответствующие действию прямоугольного ударного импульса (рис.2,б) и полусинусоидального импульса (рис.3,б) в момент
t — 0. Длительность импульса в общих случаях выбиралась равной 15 мкс. На графиках рис.2 и рис.3 показаны картины распространения импульсов конечной длины, особенности взаимодействия
2
л
падающего и отраженного импульсов на торцах стержня (в моменты времени
Зтт „
—, t = 2 7Г)
t = ~,t =
4
и моменты смены "знака" импульсов. Это численное решение также подтверждается аналитической картиной процесса механики сплошных сред [4].
3
NJ I Ч
Рисунок 2 - Отражение границ стержня прямоугольного импульса
4
Задача 3. Рассматривалось действие на свободный край модели (рис.4,б), синусоидального импульса длительностью 30 мкс (фактически короткая бегущая гармоническая волна). Из механики известно [4], что в этом случае при отражении от закрепленного конца стержня волна смещений отражается с поворотом фазы на п; в случае же свободного конца стержня волна смещения отражается без изменения фазы. Эта аналитическая картина так же соответствует результатам численного решения, представленного на графиках рис. 4.
Задача 4. Рассматривалась задача получения в модели стержня стоячей волны. Из механики известно [4], что если при распространении и отражении
волны не происходит их затухания, то обе волны - падающая и отраженная -будут иметь одинаковую амплитуду, но фазы обеих волн в какой либо точке будут, вообще говоря, различны.
Эта картина получается и при численном решении на дискретной модели стержня. На рис. 5,а показана графическая картина распределения амплитуд смещений вдоль дискретной модели стержня, когда правый граничный узел закреплен, а в свободный левый граничный узел задается гармоническое колебание с частотой третьей гармоники и амплитудой 1 мкм (рис.5,б).
5
Рисунок 5 - Сложение падающей и отражающей волн
Из рис.5,а видно, что в модели установилась стоячая волна смещений, когда на обоих концах модели получились узлы смещений, а по длине модели укладывается целое число полуволн. Но в этом случае амплитуда ближайшей к левому концу стержня пучности должна быть значительно большей по отношению к заданной амплитуде смещений левого конца стержня [4]. Это подтверждается в расчетах: седьмой узел модели (пучность) имеет амплитуду колебаний 8 мкм (в масштабе графика рис.5,в). Узел, где синусоида проходит через нуль (пятнадцатый узел модели, рис.5,а) имеет в численном решении амплитуду смещения, близкую к нулю (рис.5,г).
Выводы
Проведенные исследования дискретной модели стержневой конструкции показывают, что модель качественно правильно отражает динамику физических процессов, происходящих в упругом стержне при ударных воздействиях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны.-Л.: Судостроение, 1972.-376с.
2. Тартаковский А.М. Математическое моделирование в конструировании РЭС: Монография
Пенза: Изд-во Пенз.гос.техн.ун-та, 1995.-112с.
3. Абрайтис Л.Б. Автоматизация проектирования ЭВМ / Л.Б. Абрайтис, Р.И. Шейнаускас, В.А. Жилевичюс; Под ред. Л.Б. Абрайтиса.-М.: Сов. радио, 1978.-272с.
4. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Физматгиз, 1962.-770с.
5. Рындин Д.А. Система генерации тестового сигнала для исследования динамических характеристик элементов конструкций РЭС / Рындин Д.А., Таньков Г.В., Затылкин А.В. // Цифровые модели в проектировании и производстве РЭС : межвуз. сб. науч. тр. / под ред. проф. Н. К. Юркова. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. - Вып. 17. - 290 с.
6. Затылкин, А.В. Управление исследованиями моделей радиотехнических устройств на этапе
проектирования / А. В. Затылкин, А. Г. Леонов, Н. К. Юрков // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии: научно-технический журнал - Астрахань: Издательский дом «Астрахан-
ский университет», 2012. - № 1(17). - С. 138-142.
7. Ольхов, Д. В. Система обработки экспериментальной информации в проектных исследованиях радиотехнических устройств / Д. В. Ольхов, А. В. Затылкин, Н.К. Юрков // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. № 5. - С. 94-99.
8. Затылкин, А.В. Моделирование изгибных колебаний в стержневых конструкциях РЭС / А.В. За-
тылкин, Г.В. Таньков, // Надежность и качество: Труды международного симпозиума / Под ред.
Н.К. Юркова - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2006, с. 320-323.
9. Држевецкий А.Л., Григорьев А.В. Автоматизированная система оптического допускового контроля печатных плат и фотошаблонов. — «Метрология» (прил. к ж. «Измерительная техника»), 1995, вып. 4, C. 11-18.
10. Затылкин, А.В. Управление исследованиями моделей радиотехнических устройств на этапе
проектирования / А. В. Затылкин, А. Г. Леонов, Н. К. Юрков // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии: научно-технический журнал - Астрахань: Издательский дом «Астрахан-
ский университет», 2012. - № 1(17). - С. 138-142.
11. Юрков, Н.К. Измерение параметров трехэлементных нерезонансных двухполюсников на фиксированной частоте/Н.К.Юрков, М.В.Клюев, Е.В. Исаев //Измерительная техника, 2012, № 11, с. 2932
12. Затылкин, А. В. Система обработки экспериментальной информации в проектных исследованиях радиотехнических устройств / Д. В. Ольхов, А. В. Затылкин, Н.К. Юрков // Известия ЮФУ.
Технические науки. - 2012. № 5. - С. 94-99.
13. Затылкин, А.В. Алгоритм проведения проектных исследований радиотехнических устройств опытно-теоретическим методом / А.В. Затылкин, И.И. Кочегаров, Н.К. Юрков // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. Том 1 / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2012. - С. 365-366.
6
14. Григорьев А.В., Држевецкий А.Л., Граб И.Д. Уровни предпочтений в системе распознавания электронно-дифракционных картин. — Надежность и качество: Труды международного симпозиума. Том 1 / Под ред. Н.К. Юркова - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2010, С. 396-399.
15. Затылкин, А.В. Автоматизированная многоканальная виброиспытательная установка /
А. В. Затылкин, А.В. Лысенко, Д.А. Голушко, Д.А. Рындин, Н.К. Юрков // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс : Периодическое научное издание - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2012. Спецвыуск - С. 63-67 С.
16. Юрков, Н.К. Синтез автоматизированной системы оценивания качества пилотирования на авиационном тренажере/Н.К.Юрков, А.И.Годунов, Ю.Г. Квятковский //Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 58-64
17. Затылкин, А.В. Программная система оценки теплового режима конструкций РЭС /
А. В. Затылкин, И. И. Кочегаров, С. В. Крылов, // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс: Периодическое научное издание - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2012. №4 - С. 125-130 С.
18. Информационные технологии проектирования РЭС. Единое информационное пространство предприятия : учеб. пособие / В. Б. Алмаметов, В. Я. Баннов, И. И. Кочегаров. - Пенза : Изд-во
ПГУ, 2013. - 108 с.
19. И. И. Кочегаров, В. В. Стюхин, Н. А. Сидорин «Использование метода перебора при расчете
показателей надежности систем» Цифровые модели в проектировании и производстве РЭС : межвуз.
сб. науч. тр.- Вып. 17., Пенза : Изд-во ПГУ, 2012 С.175-179
20. Баннов В.Я., Кочегаров И.И., Трусов В.А. «Информационная поддержка этапов жизненного
цикла изделий» // Цифровые модели в проектировании и производстве РЭС: тр. ун-та. Межвуз. сб. научн. тр./ под ред.профессора Юркова Н.К.. - Пенза: Изд. Пенз. гос. ун-та, 2009. Вып. 14. -
264с., С.227-232
21. Кочегаров И.И., Таньков Г.В., Селиванов В.Ф. «Исследование влияния размещения радиоэлементов на механические характеристики печатной платы» // НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО. Труды междуна-
родного симпозиума В 2-х томах. Том 1. /Под ред. Н.К. Юркова.—Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007- С. 128-130 .
22. Кочегаров И.И. Информационные технологии проектирования РЭС: учебное пособие/ И.И. Ко-чегаров.-Пенза: Изд. Пенз гос. ун-та, 2007.-96 с.
7
