Исследование магнитного поля простых синхронных реактивных двигателей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М КИРОВА

Том 172

1967

ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

ПРОСТЫХ СИНХРОННЫХ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

А. Н. АИФЕРТ, Е. В. КОНОНЕНКО

(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и общей

электротехники)

При расчетах синхронных реактивных двигателей (СРД) простой явнополюсной конструкции для определения коэффициентов формы поля к^ ,и обычно пользуются упрощенными формулами или кривыми, заимствованными из теории синхронных явнополюсных машин [1, 2]. Поэтому в последнее время появился ряд работ, в которых делается попытка уточнить расчет магнитного поля в воздушном зазоре СРД.

В статье [3] коэффициенты формы поля получены моделированием магнитного поля на электропроводной бумаге, и произведено исследование влияния высоты полюса на поле в зазоре. При моделировании поля потенциал статора принимался постоянным, и коэффициенты определялись, исходя из проводимости воздушного зазора, что, естественно, снизило точность полученных результатов.

Аналитический метод расчета дан в статье [4] для синусоидального распределения намагничивающей силы вдоль поверхности расточки статора решением уравнения Лапласа (1) для векторного потенциала

«<ы)_=0 (1)

с'х" ду~

Однако при этом сделано упрощающее допущение, что вдоль линий х = а и х = т — а (рис. 1) в воздушном зазоре нормальная составляющая напряженности магнитного поля (Ну) постоянна. Это существенно повлияло на точность полученных результатов.

В [5] расчет производится для упрощенной конфигурации воздушного зазора., рассматривая поле отдельно под полюсом и в междуполюсном пространстве.

Во всех этих работах определяются лишь коэффициенты формы поля. Однако знания этих коэффициентов недостаточно для расчета СРД, так как, кроме первой гармоники индукции, необходимо знать полный магнитный поток и максимальное значение индукции в воздушном зазоре. Исходя из этого, нами была предложена система коэффициентов, полностью характеризующих магнитное поле в воздушном зазоре СРД, и эти коэффициенты определены на основании упрощенной картины поля [6] и моделированием магнитного поля на электроинтеграторе [7].

Все эти методы имеют существенные недостатки: приближенное построение картины поля, большая работа по обработке полученной кривой ноля и т. д. Кроме этого, необходимо отметить, что во всех перечисленных работах коэффициенты к^, kq определялись только для

первой гармонической кривой поля. Поэтому окончательно нами выбран аналитический метод решения уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала (2) в заданной области распределения магнитного поля при известных граничных условиях.

д2\] (х,у) . <Я1(х,у)

дх-

<Эу2

0.

(2)

Суть метода состоит в том, что область воздушного зазора СРД (рис. 1) разбивается на две прямоугольные части, для каждой из которых решение уравнения (2) находится методом Г. А. Гринберга [8], а затем, используя условия непрерывности функции на общей границе,

-¿Г

а

й к Ь

8

Рис. 1. Область воздушного зазора простого синхронного двига/теля.

находится решение всей задачи. Такой метод используется в прикладной механике и применительно к электрическим машинам был использован Л. Э. Домбуром для исследования магнитного поля якоря индукторной машины (9]. Так как метод исследования является общим, мы изложим лишь некоторые особенности и окончательные результаты, не останавливаясь на промежуточных выкладках, изложенных в литературе [8, 9]. В работе сделаны общепринятые допущения [6].

1. Поперечное поле

Граничные условия для области рис. 1 в случае поперечного поля: Прямоугольник I

и,(х -8) = и

БГП

, Б*

зт — х.

т

и, (0, у) = и, (т, у) = о, 0

(3)

(х,0) —^ (х) — | Г2(х) 0

0<х<а а<х<т — а т — а<х<т,

где 5 — порядковый номер гармоник м. д. с. статора. Прямоугольник II

и2 (а, у) =и2 (т - а, у) = и2 (х, Ь) =0,

и2 (х,0)=Г2(х).

Условия сопряжения на общей границе

и, (х,0)=и2 (х,0),

flJi(x,y) I <ЯМх,У)

ду I у - О дУ

y^O

где

а<х<т — а.

Решение первой краевой задачи для уравнения (2) при граничных условиях (3) и (4) методом Гринберга дает следующие выражения для функции в прямоугольниках I и II:

Ь\ (х,у)

sh^(y + S)

, П1Г

ch— у

X J

Hdns — , пit ^ nit

ch—о ch — 8

sin — X

х

sh~(y-h) U2(x,y) = 2 Аь-w-sin "1Г"(Х ~

k-! ch^h D

(6)

(7)

где

й = | и5Ш ПРИ П = Б |0 при п ф ъ Из условий сопряжения (5) получим два уравнения:

(8)

lns

n = 1

ch —В

X

. П7Г

sin-X

X

v Л «i. kit . . kit

~ 2 Akth—h-sin — k=l

(x — a), (9)

oo oo . .

Л nit . nit «r^ KIT K7C . . /1ЛЧ

V An — sin — x - 2 Ak ь" sin V (X ~ a) ' (10)

n=I k=l

где

а<х<т — a.

После преобразований [9], эти уравнения можно привести к виду

А °° Ь

Anth^S= - yAkth^h-dkn, (11)

X i П^ л и

ch — о k=i

X

1 00

А kit nit х /1ПЧ

А«ь~ = * кп' {12)

П = 1

где

2bsin ~ ík — n j cos ~ (к — п) dKn^---—-

7t(kx— nb)

2bsin (к + n —) cos ^r- (к + n)

* nit , kit

inf(k + nT

it(kx 4- nb) t b

b тс . nit __ 1<'

- eos-^ (к — n) при---

x ¿ * b

при— ф — , (13)

Подставляя уравнение (12) в (11), получим бесконечную систему уравнений для определения коэффициентов

оо ос г ^ ^

Ад = —2 mAm2lTth^h'cthT*'S'dkn-dkrn -

lns

ш =1

k-1

и П7Г *

sh— о

(14)

Нормальная составляющая напряженности магнитного поля на поверхности расточки статора определится из уравнения

Нуп = —

<?Шх,у) ду

Ап

•о-ц ch^-B

dnsth—-о \ —

У

пя

sin — X . т х

(15)

Уравнение (15) дает окончательное решение задачи в виде гармоник (п — порядок гармоники) напряженности, причем, как показали исследования, решение имеет место только для нечетных значений пик.

2. Продольное поле В случае продольного поля условия сопряжения и граничные условия для прямоугольника II останутся прежними (4) и (5), а граничные условия для прямоугольника I имеют вид

lV(Xi — о)

гт STU

и Sm COS — X

¿Ul (х,у)

дх

_ ¿U|(x,y) |

ох

О

О

X = Т

О < х < а

(16)

U1(x10) = f1(x) - ¡ f2(x) а < х <

О х-а<

< х < т

Таким образом, в этом случае для прямоугольника I решается вторая краевая задача. Выражение для функции в прямоугольнике II останется без изменения, то есть дается уравнением (7), а решение уравнения (2) при граничных условиях (16) дает следующее уравнение для прямоугольника I:

Ui(x,y)=

5!

(

А,

V

sh^y + o)

, nit Л ch —о т

и ПТГ

ch—у

-С I ПТС

ch — о

(17)

Проведя те же преобразования, что и в случае поперечного поля, получим бесконечную систему уравнений для определения коэффициентов Ап, отличающуюся от (14) только значениями коэффициентов dKn, которые в этом случае будут иметь вид:

2bsin^- I k — n —I sin ~-(к — п)

dkn =

2

(kx-nb)

2b sin+ n) тг(кт + nb)

b . /, V

dkn="— sin —(k-n)

при

П тс

T

+

kii T

при — — —

кт: b

Нормальная составляющая напряженности магнитного поля на поверхности расточки статора определится уравнением

¿И, (х,у) ду

2/ АП A IU А /1П\

——-dnsthTo^_cosTx. (19)

n~i \ ch—-о

Как показали исследования, решение имеет место только при нечетных значениях п и четных значениях к.

Расчет коэффициентов, характеризующих магнитное поле в воздушном зазоре

Для того, чтобы рассчитать параметры и учесть влияние высших гармонических поля на работу СРД, коэффициенты формы поля определяются как для основной, так и для высших гармонических поля следующим образом.

Коэффициенты формы поля

_ Badn _ НувЮ

Kdn — -Q- — -TI- « (¿ü)

°ad riymax

где Нуп<ч> определяется уравнением (19);

Baqn Нуп(я)

К--— — _—__(2\)

Daq °ymax

где Hyn(Q) определяется уравнением (15).

Полагая в уравнениях (14) и (15) h = 0, то есть, считая воздушный -зазор равномерным, найдем максимальное значение напряженности магнитного поля

Hymax-^cth^8. (22)

Для определения коэффициентов ad, aq, кф(ь кфЧ [6] необходимо •определить потоки первых гармонических (CDdi, Фсл), полные магнитные потоки (ÍDd, Фа), a также максимальные значения индукции (Bmd, Bmq), которые определяются из соотношений [10].

Фей = V Tl Badl = IT111X0 HY'(d)' (23)

ФЧ1 = VTlBa4' = (24)

Od = Odi ± ±.:.±Odn - 4 т1[А° íHyi(d) ± УНУЗ(Й) + -+ ^"Hyn(d)

(25)

(ну1(ч) ± Ну8(ч) + ...± i-Hyn(4)j ,

(26)

где 1 — расчетная длина пакета статора.

'ФЧ=ФЧ1 ± Фч8 + ...± ФЧп

Bmd = ^o 2 V при х = 0, (27)

п= 1,3..' оо

Bmq = ц0 у Нуп№ при х = а. (28)

п= 1,3..

Получим следующие выражения для расчета коэффициентов магнитного поля.

Расчетные коэффициенты полюсной дуги:

^ = -7?^— =-Е---^--(29)

Втс1

7Г

У НуП((1) (при х = 0)

_ уп

п 1,3..

2

т-3-' ,30>

2 Н,„«>(ПР" х-а)

11=1,3,.

Коэффициенты, характеризующие первые гармонические потоков»

Ф, (ну1(я)±|ну8(я)±..,±±Нуп^ -Кфч"" Ф^~~" Ну1(ч) - * (32)

Расчеты вышеперечисленных коэффициентов были произведены на электронной цифровой вычислительной машине М-20 при 5=1 для следующих значений параметров, а = 0,2; 0,4 0,5; 0,6; ОД 6 = 0,001 т; 0,003 т; 0,005 т; 0,01 т; 0,02 т, 11 = 0,02 т; 0,04 т; 0,07 т; 0,1 т; 0,2 т; 0,3 т; 0,4 т; 0,5 т. Исследования показали, что при решении бесконечных систем-уравнений (14) достаточно ограничиться числом уравнений п = 15, так как при дальнейшем увеличении п значение гармоник напряженности практически не изменяются.

Как показали расчеты, коэффициенты формы поля по продольной; оси (кд) при значениях Ь>0,04 т изменяются весьма незначительно, в то время как аналогичные коэффициенты по поперечной оси (ка) при А<0,2 т принимают различные значения с изменением И. Как видно из рис. 2, коэффициенты ка изменяются более резко при уменьшении а и увеличении воздушного зазора. Таким образом, для значений Ь<0,2 т коэффициенты ка необходимо рассчитывать для каждого значения высоты полюса. При значениях Ь>0,2 т эти коэффициенты практически остаются постоянными, и при расчетах можно пользоваться кривыми,, рассчитанными для значения И = 0,2 т.

Значения коэффициентов к^ ка, а^, аа, кгЬ(1, кЛа при И = 0,2 т представлены на рис. 3, 4 и 5 в зависимости от полюсного перекрытия и для различных значений воздушного зазора.

Анализ гармонического состава напряженности магнитного поля в воздушном зазоре СРД показывает, что наиболее резко выражена третья, а при некоторых соотношениях параметров пятая и седьмая гармонические составляющие. На рис. 6 представлен гармонический состав для случая а = 0,5; 6=0,01 т; Ь —0,2 т. Такой резко выраженный состав гармоник говорит о необходимости учитывать их влияние на работу СРД, поэтому на рис. 7, 8 показаны зависимости коэффициентов формы [поля к(1п> kqn для высших гармонических кривой поля от полюсного перекрытия при 6=0,01 т и Ь = 0,2 т. При определении этих коэффициентов расчет проводился для значений а через каждые 0,05 т.

0,5-Т

Рис. 2. Зависимость коэффициентов Кч от высоты

полюса.

^ис. 3. Зависимость коэффициентов к а , Кдот полюсного перекрытия при 0,2т.

¿/.С*

0.6

0.8

к?9

Рис. 4. Зависимость коэффициентов а а , ач от полюсного перекрытия при 11=0,2т

Рис. 5. Зависимость коэффициентов Кф(1 , КфЧ от полюсного перекрытия при 11=0,2т.

а Продоломое поле

¿С Яояереиное поле

Рис. 6. Гармонический состав кривой поля по продольной и поперечной осям при а—0,5; 6=0,01т; 11=0,2т.

Рис. 8. Зависимость коэффициентов к qn от 'Полюсного перекрытия

при h=0,2x; ô=0f01t.

Выводы

1. Коэффициенты, характеризующие магнитное поле в воздушном зазоре простых СРД, определены точным аналитическим методом решения уравнения Лапласа в области распределения магнитного поля.

2. Решение получено непосредственно в виде гармоник напряженности, что является большим преимуществом данного метода.

3. Высота полюса оказывает существенное влияние на поле по поперечной оси при значениях Ь<0,2 т.

4. Резко выраженный гармонический состав кривой псля говорит о необходимости учета влияния высших гармонических при расчете рабочих характеристик СРД.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. П. Ермолин. Электрические машины малой мощности. Высшая школа, 1962.

2. М. П. Костей к о, Б. Е. Коник. Определение основной и третьей гар моник поля якоря и поля полюсов явнополюсной синхронной машины. «Электричество», № 3, 1951.

3. И. М. Постников, В. В. Р а л л е. К расчету трехфазных синхронных реактивных двигателей. Сб. «Исследование электромагнитных процессов электромеханических систем», Киев, 1965.

4. А. Т u g u 1 е а, С. F 1 u е г a s и. Magnetic field, reactances and torque of reluctance synchronous machines. «Rev. roumaine sei. t'chn. Ser electrotechn. et energ.», .10, № 3, 1965.

5. L. Cesnak. Nahradná magnetická vadivost synchróneho stroja s kruhovymï ebrysmi vzduchovej medzery. Electrotechnicky obzor, 46, № 3, 1957.

6. E. В. Ko но h енк o, A. H. Айферт. О расчете магнитных полей синхронных реактивных машин. Изв. ТПИ, т. 145, 3 966.

7. Е. В. Кононенко, А. Н. Айферт. Магнитное поле в воздушном зазоре синхронных реактивных машин. Труды третьей Всесоюзной конференции по бесконтактным электрическим машинам, I, Рига, 1966.

8. Г. А. Грияберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. Изд. АН СССР, 1948.

9. JI. Э. Д о м б у р. Магнитное поле реакции якоря индукторной машины. Сб. «Магштное поле в электрических машинах», Рига, 1965.

10. М. П К о с т е н к о, JI. М. Пиотровский. Электрические машины, часть II, ГЭИ, 1965.