CC BY
31
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука
№110
РАДИОФИЗИКА
УДК 537.874
ИССЛЕДОВАНИЕ КРОССПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛОЕ КВАЗИ 3Б ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
А.С. РУДКОВСКИЙ, Е.С. ЯРОВОЙ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Рассматривается задача о рассеянии поля тонким слоем на периодической квази 3Б-структуре. Особенностью рассматриваемой задачи являются произвольное направление волнового вектора падающего поля и связанные с этим кросс-поляризационные эффекты.
Введение
Неослабевающий интерес к исследованию поляризационных эффектов при взаимодействии электромагнитного излучения с периодическими 3Б-структурами обусловлен широтой спектра задач, содержащих такого рода взаимодействия. Это и задачи радиолокационного мониторинга окружающей среды, и проблемы разработки новых базовых элементов для оптических компьютеров - фотонных кристаллов.
В настоящее время развивается несколько подходов к решению этой задачи: метод композиции операторов рассеяния Ватсона (техника Т-матрицы) [1], метод инвариантного погружения [2] и метод трансфер-матриц [3]. В настоящей работе развивается подход на основе метода инвариантного погружения. При этом одним из наиболее перспективных, на наш взгляд, является метод погружения. Он позволяет свести краевую задачу для уравнения Гельмгольца к решению начальной задачи (задаче Коши) для уравнения погружения.
Идея метода заключается в том, что рассматривается множество задач, отличающихся друг от друга значениями каких-либо параметров. Решения этих задач образуют некоторое множество, которое мы будем называть пространством решений. Каждая точка в этом пространстве есть решение какой-либо задачи. Одна из точек есть решение искомой задачи.
Полагается, что в этом пространстве найдется еще одна точка, соответствующая решению известной простой задачи. Конечно, эта более простая задача соответствует другому значению параметра. Изменяя этот параметр, мы перемещаемся в пространстве решений из начальной точки (известное решение) в конечную точку (искомое решение). Меняющийся параметр называется параметром погружения.
При построении уравнения погружения исследуемая структура представляется в виде набора большого числа элементарных слоев, разделенных между собой виртуальными зазорами. Поэтому при использовании этого метода на первое место выдвигается задача моделирования процесса рассеяния плоской электромагнитной волны (ЭМВ) на тонком слое.
Такая задача была решена для случая 2Б-периодической структуры [4,5]. Следует отметить, что увеличение размерности задачи, т.е. переход к описанию 3Б-структур порождает проблемы, связанные с векторным характером электромагнитного поля. Если в случае 2Б-структур собственный поляризационный базис известен, он образован волнами горизонтальной и вертикальной поляризаций [6], то в случае 3Б-структур этот вопрос остается открытым
- возникающие кроссполяризационные эффекты изучены недостаточно.
В нашей работе мы рассмотрим промежуточный случай, когда при рассеянии на 2Б-структуре необходимо учитывать все 3 компоненты напряженности электромагнитного поля, т.е. случай произвольной ориентации волнового вектора падающей на структуру ЭМВ. В этом случае задача является трехмерной и исследуемую систему можно определить как квазиЗБ-структуру.
1. Постановка задачи
Рассмотрим плоский слой толщины А2, лежащий в плоскости ХОУ и представляющий собой бесконечную последовательность диэлектрических брусьев шириной ё с периодом Л по оси ОХ, ориентированных вдоль оси ОУ. На такую структуру падает плоская ЭМВ с волно-
вым вектором к = (чтх, чту, кг), где кг = у к - чту - чтх . Она может быть описана с помощью
4 (X, у, 2) = Етв^е, (1)
f mx? 1 my ’ z / ’ ^ z V 1 my 1 mx
соотношения:
JqmP„~ikzz
где Чт = (Чах , Чау ) И Р = (Х У)
Будем считать, что слой достаточно тонкий (Д2-мало), так что применимо борновское приближение.
Будем исходить из стандартного уравнения, записанного в форме, удобной для дальнейшего преобразования:
,2 Т7 _ 1Л\
та1та1Е- к Е = к [е- 1] Е . (2)
2. Взаимодействие волны с элементарным слоем: прошедшие и отраженные поля
Вычислим изменение поля при прохождении им элементарного слоя. Для этого перепишем (2) в виде интегрального уравнения:
Е(г ) = Е0 (г ) + \сСг'Г(г, г ')[(е(г') - 1]к2 Е п (г') , (3)
ДЙ
где Г - тензорная функция Грина; ДЙ - часть пространства, занимаемая элементарным слоем;
а Е0 (г ) - общее решение однородного уравнения (2), удовлетворяющее краевым условиям
v0
задачи для элементарного слоя; E (г) и E0(r) - поля вне элементарного слоя; а En (r) - поле внутри брусьев элементарного слоя, определяющееся по формуле:
г» (?)={^ при ; £АЙ', (4)
[ E0 (Г) при r £ DW
где DW - часть пространства элементарного слоя DW, характеризуемого e(r) = е, а A = diag{\,\,\l е}.
Рассмотрим отдельно второе слагаемое из правой части уравнения (3). Оно отвечает за описание дополнительных источников ЭМВ, возникающих при взаимодействии элементарного слоя с падающим полем. Выберем систему координат так, что z=0 на нижней границе тонкого слоя. Тогда, учитывая малость Dz, множитель exp(-ikzz), появляющийся в подынтегральной части (3) при учете (\), можно приближенно заменить единицей.
В этом случае выражение для дополнительных источников можно записать в виде:
£ (е- \)k 0 П, (x)AE,/ ,-”v) , (5)
где П1 (х) = в(х - х') -0(х - х"); 0(х) - обобщенная функция Хевисайда, а точки х' и х" - координаты начала и конца 1-го бруска.
Теперь перейдем в (5) в смешанное (Ч, г) - представление для поля:
——
Е ± (Ч, г) = Ц Схёу ехр(-/'Чх) ехр(-/'Чу) Е ± (х, у, г) (6)
Знак «+» соответствует плоским волнам, распространяющимся в направлении оси 0х, знак «-» соответствует волнам противоположного направления, Ч - проекция волнового вектора к на границу переходного слоя. Тогда для источника получим:
(е- 1)к 02
2р
-^(Чоу - Чу ) Ет Е
еХР(хі (Чтх - Чх Ю - ЄХР(* , (Чтх - Чх )0
і=-¥ (Чтх Ях)і
Преобразуем это выражение с помощью формулы Пуассона:
2р ^ . 2р
Е ехР(-і(ч -т)М) = — Е^(ч -т- і—) .
г¥ Л Л
(7)
(8)
Тогда будем иметь:
(е - 1)к02 | $(Чау - Чу ) Ет з!пс(с2 (Чтх - Чх )) ехР(/ С (Чтх - Чх )) Е #(Чх - Чтх - ^ Г) , (9)
где ё - ширина бруса.
С учетом проведенных преобразований конечно-разностное уравнение для падающего поля в (Ч, г) - представлении можно записать в виде:
7 +
а
Е(4,2 + ^) = Е(4,г)ехр(ік2&) + Г+ (Ч,+0)^0 (е -1)Лд(4°у -Чу)х
X А Ет 8ШС(Л (Чтх - Чх ))еХР(іа (Чтх - Чх )) Е 5(Чх - Чтх - ^ І)А
І=-¥
(10)
Л\ а тх ± х ;; а \ ,-44.4 тх ± х уу / а v^х ± тх к
2 Л
Знак «+» у Г означает, что мы выбираем волны, распространяющиеся в направлении оси
02, и кг = ^к2 - Чтх2 - Ч2пу . При рассмотрении уравнений для Е~ (Ч, г) мы выбираем Г1 - и к. =
к - а - ч .
I ^ тх ^ ту
Учитывая, что интерференционные эффекты при рассеянии волны на периодической структуре приводят к дискретизации углового спектра рассеянного поля, так что различные проекции волновых векторов, отраженных волн на плоскость ХОУ отличаются на целое число
векторов обратной решетки (в нашем случае 24), можно показать, что матрица тензорной
Л
функции Грина принимает вид:
( к2 - (Чтх + П 2р)2
Л
, 2р
- Чту (Чтх + )
- (Чтх + П 2р)к2 (П)
Л
2р
2р
- Чту (Чтх + П—) - (Чтх + П~)кг (п)
- Чтукг (П)
2 / 2р ч 2
Чту + (Чтх + )
к2 - ЧІу - Чтукг (П)
(11)
где кг(п) = Л к 2 - ЧІ
Ґ 2р 2
" (Чтх + П -Т)
Л
Разложим ехр(/к2Дг) в ряд в уравнении (10), учитывая Дх—0, т.е. оставляем члены линейные по Дх. Получаем конечно-разностное уравнение следующего вида:
7 + /
7 + /
і
АЕ+(Ч,г) = [Е+ (д,г)і^г + Г+(д,+0)£0 (г-1)л^(Чоу -Чу)АЕтх х япсСа (Чт - дх ))ехР(Д (Чтх - дх)) Е <%* - Чт - '2р І)]Аг
(12)
Л
2
Л
В данном выражение 8-функция определяет только направление, в котором существует поле. Это направление определяется из формулы:
2ж
Чх = Чох +— (т + І) •
Л
Решение уравнения (11) будем искать в виде:
-7 +
2т
Е + (4, г) = Е Еп,т (4, гШЧх - Чтх -— П)^(4у - Чоу ).
И )«
С учетом (13) и (14) уравнение (12) принимает вид: А Е+(Ч г) =
е; ,к + Г • (Ч,+0) ^2^4-А Е*т, 51п(аР<П=т))ехр(-, т(и - т)
т(п - т)
Л
Л
Аг
(13)
(14)
(15)
Здесь мы ввели переобозначение п=ш+].
До сих пор мы рассматривали случай падения одной ЭМВ. Теперь рассмотрим случай падения суперпозиции плоских волн, образующей дискретный угловой спектр, подобный спектру рассеянного поля. Тогда приращение поля, прошедшего через слой, можно представить как:
—>• 7 +
А ЕП(4,г) =
е; ¡кг + г+(Ч,+о)
к2(е- 1)ё
Л —»
Е[ А Ет 81ПС('
іт(п - т)
Л Л
Аналогично можно записать для изменения отраженного поля:
—»
-А ЕП(Ч, г) =
) ехр(-і
.ті (п - т)
Л
)]
Г--1 Г ткг2(г- 1)і^ га ® . ,іт(п - т) .ті (п - т)
Е„ гкг + Iі (ч,-0)^-Е [А Ет §тс(—^ехр(- —^)]
Аг (16)
Аг (17)
л т т л л
Мы можем расширить задачу, полагая, что на элементарный слой падают поля сверху и снизу. Чтобы учесть это, представим Ет в виде: Ет = Ет + Ет В этом случае разность полей, распространяющаяся в направление оси 02, может быть представлена в следующем виде:
-> +
А Еп (4, г) =
7 +
Е ґ Е++ Е г Е~
пт т пт т
Аг
Здесь
Л+/ - (\\к2(£- 1)і А ® ■ Ґіт(п - т) .ті (п - т)
Гпт = Iа (Ч,+0)^----------АЕт япс(—^-----^)ехр(-/^^---
Л
Л
Л
(18)
(19)
^ ■; А + / - п\кг(г- 1)і а ® ■ іт(п - т) .ті (п - т)
¡пт = ¿пт^кг + Г + (Ч,+0) , А Ет 81ПС(-------^--------^ЄХр(-/ —^
Л т Л Л
Для Е~- уравнения получаются аналогично.
Уравнение (18) записано для векторного поля. Удобнее переписать его в поляризационном базисе. В качестве этого рассмотрим базис горизонтально и вертикально поляризованных волн. Для этого рассмотрим сначала падение горизонтально поляризованной волны, т. е. вектор
Е одновременно перпендикулярен оси 02 и волновому вектору к = (чП1х , Чту ,\ к - Ч ту - Чтх ) -Из перпендикулярности Е оси 02 следует, что Ег = 0. Из перпендикулярности Е вектору к получаем уравнение: Ех • чтх + Еу • чту = 0 . С учетом того, что ч тх и Чту ортогональны,
получаем: Ех = Чту и Еу = Чтх - В результате: Е = (Ч ту ,-Чтх ,0) -
т
т
После взаимодействия с элементарным слоем 2Б-периодической поверхности волновой вектор ЭМВ принимает вид:
- 2т
к = (Ч тх + п~ , Ч
Л
ту
к2
Ч
ту
2т
(Чтх + п --)2) .
Л
(20)
Изменение вектора Е при взаимодействии с элементарным слоем 2Б-периодической поверхности описывается с помощью умножения на тензорную функцию Г рина.
Поэтому после взаимодействия с элементарным слоем 2Б-периодической поверхности вектор Е принимает вид:
Е =
2т
2р
Чту(к -п — (Чтх + п—))
Л
Л
м 2 2 2т ч
- (к ч + Ч п—)
V і тх 1 ту л^
2т 11 2 2 / & 2т \ 2 - Чтуп~^к - Чту - (Чтх + п * ~)
(21)
Следует отметить появление ненулевой компоненты Ег. Это говорит о появлении в векторе Е составляющей с вертикальной поляризацией. Поэтому для адекватного описания процесса рассеяния падающей электромагнитной волны на элементарном слое 2Б-периодической структуры необходимо учитывать вертикальную и горизонтальную составляющие в одном уравнении. Для этого уравнение (18) представим в виде:
А
Ґ ® Л Е+
^п И
Е+
V п у у
Е
ГИИ
пт
_ vh
Е
т И
Е -
V т V У
+Е
ИИ
пт
vh
пт
У Иу
'т И
Е+
V т V У
Аг
(22)
ГЛ > нн
Здесь гпт и 1пт - отвечают за то, что после взаимодействия горизонтально поляризованной
^ ^ ^ Ну у Ну
волны с периодической структурой поляризация останется горизонтальной; гпт и 1пт - отвечают за то, что после взаимодействия горизонтально поляризованной волны с периодической
^ ^ уН иУН ^
структурой поляризация станет вертикальной; гпт и 1пт - отвечают за то, что после взаимодействия вертикально поляризованной волны с периодической структурой поляризация станет
УУ > уу *-»
горизонтальной; гпт и 1пт - отвечают за то, что после взаимодействия вертикально поляризованной волны с периодической структурой поляризация останется вертикальной.
3. Вычисление элементов блочной матрицы в случае горизонтальной поляризации
За амплитуду поля, выходящего из слоя с горизонтальной поляризацией, в матрице
ГИИ
пт
-.„уИ
Иу
отвечают элементы: гт и г^У. Для их вычисления следует представить тензорную
функцию Г рина в виде основной и кроссовой компонент. Основная компонента будет отвечать за то, что после взаимодействия горизонтально поляризованной ЭМВ с периодической структурой поляризация останется горизонтальной, а кроссовая компонента будет отвечать за смену поляризации после взаимодействия горизонтально поляризованной ЭМВ с периодической структурой. Иными словами требуется, чтобы выполнялись следующие соотношения:
(23)
(24)
(25)
Г • Е = Еи
Ги®у •Е = ЕИ®у
ЕИ + ЕИ®У
Е
2
І
г
т
т
г
Г + Г® =Г (26)
В уравнениях (23) и (24) компоненты Ек и Еь®у неизвестны. Поэтому, прежде чем решать
уравнения, их следует найти. Под Ек понимается истинно горизонтальная поляризация. Следовательно, этот вектор должен быть одновременно перпендикулярен волновому вектору и направлению оси 02. Из условия поперечности поля получаем, что Ек лежит в плоскости,
перпендикулярной вектору к , и вектор Е лежит в этой плоскости. Тогда к является нормалью к искомой плоскости. Более того, можно выбрать начало координат так, что искомая плоскость проходит через точку М=(0,0,0). Тогда можем записать уравнение плоскости:
(Утх + ПХ + Яту • У + Л\к2
.. Ц - (я + п—)2 • г = 0. (27)
1ту ^ V !шу \1тх ^ ^ ^ ’
Из перпендикулярности направлению оси 02 и факта того, что начало вектора лежит в точке М=(0,0,0), следует, что Ек лежит в плоскости Х0У так, что 2=0.
Так как Ек лежит одновременно в плоскостях (27) и 2=0, то из этого следует, что он нахо-
дится на их пересечении, которым является прямая:
2т
(а + п ) • х + а • у = 0 .
тх 1ту ^
(28)
Тогда можем найти значение вектора Ек, спроектировав исходный вектор Е на прямую, задаваемую в (28). В результате получим:
Ек =
2Р , 2 і 2 2 4Р 2
а п—(а + к — п —-— а
У Л тх ^2 *ту
2 \/ 2р
— Чту )(Чтх + )
/ 2р 2 2
(Чтх + П~^) + Чту
2 2р , 2 у 2 2 4р 2 \
1туП-^ (Чтх + к — П — Чту )
/ 2р 2 2
(Чтх + П~^) + Чту
(29)
Далее, используя соотношение (25), определим значение вектора Ей®:
Чтук 2 — -
2 тт 2 тт 2 р ^
а п — (а + п —)(2ч (а + п —) + к2)
1 ту к V 1 тх * ' V і тх V і тх * ' '
Л
Л
Л
2р 2 2
—(а к2 +-
^ і тх
(атх + ^) + а
Л
2т 2т
а2 п — (2а (а + п—) + к2)
ту Л тх тх а ' '
ту
2р
Л
2т 2 2
(а тх + п^) + Чту
— а п/к2 — а2 — (а + п *2р)2"
ту Л V ту тх Л
(30)
0
V У
На основе этих результатов предположим, что матрица Гй имеет следующую структуру:
( Г
Г =
Г
(31)
В соответствии с этой структурой и соотношением (23) находим вид Г :
г
rh =
_ . 2 1 2 2 4Р 2 •.
n2p(qmx + k - n — - qmy)
L((q„
2ft 2 2 \
+ П ) + qmy)
2p n
+ n— 0
Л
■qmL о
qmx
оо
(32)
Далее на основе соотношений (28) и (32) можно найти вид Гй®у.
Аналогичные уравнения могут быть получены для случая вертикальной поляризации.
Заключение
В работе рассмотрена задача о рассеянии поля тонким (элементарным) слоем периодической 2Б-структуры. Эта задача лежит в основе построения уравнений погружения для коэффициентов прозрачности и отражения исследуемой структуры. Особенностью рассматриваемой постановки задачи является произвольность ориентации волнового вектора падающего поля и соответственно напряженности векторного поля. Т.е. рассматривается задача о взаимодействии 3Б-поля с 2Б-структурой (квази3Б случай).
Для случая векторных полей получены вспомогательные уравнения, позволяющие использовать технику построения уравнений погружения в приближении скалярного поля. Фактически подход основывается на расширении обычных матриц до блочных, т. е. матричные элементы коэффициентов прозрачности и отражения заменяются при таком подходе на матрицы 2x2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гольдбергер Н., Ватсон К. Теория столкновений, М.: Мир, 1967.
2. Bellman R., Wing G.M. An introduction to invariant imbedding, Wiley-Interscience, New York, 1975.
3. Barnes C., Pendry J.B., Proc. R. Soc. Lond. A 435, 185, 1975.
4. Барабаненков Ю.Н, Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника, 1999. Т. 44. №6. С. 659.
5. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization // Progress in Electromagnetic Research, PIER 24, 1999, pp. 39-75.
6. Кузнецов В.Л., Мухай А.Н. Математическое моделирование поверхности с глубоким рельефом как поляризационно-анизотропной цели// Научный вестник МГТУ ГА, серия Физика и математика, № 42, 2001. С.51-62.
CROSS POLARIZED EFFECTS INVESTIGATION DURING ELECTROMAGNETIC WAVE SCATTERING ON ELEMENTARY LAYER OF QUASI 3D PERIODIC STRUCTURE
Rudkovskiy A.S., Yarovoy E.S.
The problem of field scattering by a thin elementary layer a periodic quasi 3D to structure is considered. A cross polarized effects bound up with arbitrary direction of wave vector of incident field are a characteristic property of considered problem.
Сведения об авторах
Рудковский Антон Сергеевич, студент 5 курса МГТУ ГА факультета прикладной математики и вычислительной техники.
Яровой Евгений Сергеевич, студент 5 курса МГТУ ГА факультета прикладной математики и вычислительной техники.
о
о
о
q
