CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
А.Козиев
ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ КАРЛЕМАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА
Пусть G - ограниченная область с границей Г и пусть /3(f) - гомеоморфизм границы Г на себя, изменяющий ориентацию. Обозначим через %\ верхнюю часть, а через /2 нижнюю часть границы Г области G. Гомеоморфизм (5(1) отображает каждую точку t е Х\ в некоторую точку г = Pit) е Xi и наоборот, причем fi'(i) Ф 0 всюду на Г . Пусть а(1) прямой или обратный сдвиг, удовлетворяющий условию Карлемана a(a(t)) = t, причем a'(t) Ф 0 на Г.
Рассмотрим систему уравнений первого порядка составного типа
^ = Re(A(z)w(z)) . ^ = B(z) + С(z)w(z) , (1)
ду oz
где A(z), B(z), C(z) - заданные комплекснозначные функции класса CV(G), u(z) - вещественная, w(z) комплекснозначная функция.
Задача А(а). Требуется найти решения u{z), w(z) системы (1) в области G, принадлежащие классу Cv (G) и удовлетворяющие краевым условиям
J(040 + ЕRe[bav(t)w(av(0)] = h0(t),t e Г
v=0
«ю(0“(0 + = КШ е 7! , (2)
у-0
где а00(У),60к,/70(У); а]11(/),Ьи.(/),И] (I) - заданные соответственно на контуре Г и на дуге кусочно-непрерывные по Гелъдеру функции, причем (0 - вещест-
венные.
Эта задача в случае, когда члены со сдвигом отсутствуют и коэффициенты краевой задачи (2) всюду непрерывны по Гельдеру, изучена А.Д. Джураевым [1], а в случае, когда члены со сдвигом присутствуют, и коэффициенты краевой задачи всюду непрерывны, изучена мною [2].
Всюду в дальнейшем предполагаем, что выполнены условия:
1) при Жх , А(0 =
й00 К
а\о К
*0,
2) при t <е fa, fy)v(0 * 0 > v = 0,V , a00(fij) = О, а10(///) = 1, 7 = 1,2. Обшее представление решения u(z), w(z) системы (1) имеет вид [1]:
u( z) = a>(x) + \\R(r , z)dGr + j*M0 (г, z)dr , (3)
®0) = — [^Г^Г + \м1(т,г)(р(т)ат+ + ^сксок(г) (4)
т* т-г 3 %
Здесь произвольная функция со(х), плотность и постоянная с0 должны удовлетворят условиям
(т)<р(т)Ыт+ \\щ(г)а02 +акс0к = 1,2,•••,#,
N
Г
где й'к(т),щ(г) - некоторые определенные функции, ак - известные постоянные числа. Ядра М0 (г, г), Мх (г, г) при т = г имеют особенности ниже первого порядка.
Устремляя в представлении (3), (4) г к точке t е Г, затем в полученной формуле для \и(?) заменяя I на ау(^),у = 1,2 , будем иметь:
к(<р)=£{кеа;ш«,(0]+кеь:ша,тт+гф¥г +
777 '} Т —
у=0
лг •т-ау (t)
N+1
где
<«)=\а” 'ej', **,(о=| а гел,
К ДО, te%2 1-«оо(0«ДЖОХ
'Or \vh v ^ /С 2 L oov
Т - некоторый впольне непрерывный оператор, h*(t) - известная функция, выражающаяся через провые части и коэффициенты краевых условий (2).
Оператор К в правой части (5) принадлежит к сингулярным интегральным оператором с конечной группой сдвигов [3]. Так как уравнение (5) эквивалентно поставленной задаче Л(а), То используя результаты Ю.И. Карловича [3], мы приходим к следующей теореме.
Теорема. Для того чтобы оператор К был нетеровым, необходимо и достаточно выполнение условия det.s(7) Ф 0, / еГ, где
G
s(t) =
«о(0 *о*(0 «і(0 *і(0
*л^(0] <[Ж0] <НЖ0)] *ХЖ0)]
«*[«(/?(/))] «хжо)] К[а{рт К[а{рт К[а{рт <\ырт кырш <wm.
Тогда задача А(а ) нетерова и ее индекс равен
X = —Ind det s(t) +1.
Институт математики АН Республики Таджикистан
Поступило 16.10.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа. - М.: Наука. - 1972 г., 224с.
2. Козиев А. - ДАН ТаджССР, 1979 г., т.22, №1, с.7-11.
3. Карлович Ю.И. - ДАН СССР, 1973 г., т.218, №1, с.272.
АДозиев
ТАДЦИЦИ МАСЪАЛАИ КАНОРЙ БО ЧОЙИВАЗКУНИИ КАРЛЕМАН БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ЯКУМИ НАМУДИ ТАРКИБЙ
Дар мак;ола нетерй будани масъалаи гузошта шуда исбот карда шуда, формулаи хдсобкунии индекси он бароварда шудааст.
A.Kozijev
EXAMINE TO BOUNDARY VALUE PROLEM WITH KARLEMAN DISPLACEMENT FOR SYSTEM EQUATIONS ONE - ORDER A COMPOSITE TYPE
To article prove that to boundary value problem with Karleman displacement for system equations one - order a composite type Njoter. Find formula index.
