Научная статья на тему 'Исследование конвективной теплопередачи в аппарате с механической мешалкой'

Исследование конвективной теплопередачи в аппарате с механической мешалкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
166
46
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АППАРАТ / МЕШАЛКА / ПЕРЕМЕШИВАНИЕ / ЖИДКОСТЬ / ЦИРКУЛЯЦИЯ / ТЕПЛОПЕРЕДАЧА / DEVICE / MIXER / MIXING / LIQUID / CIRCULATION / HEAT TRANSFER

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Газизуллин Назым Абдуллович

С помощью итерационной процедуры на основе алгоритма SIMPLE проведено численное моделирование конвективного теплообмена в аппарате с механической мешалкой. Результаты расчетов представлены в виде линий тока вторичной циркуляции жидкости и изотерм.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

RESEARCH OF THE CONVECTIVE HEAT TRANSFER IN THE DEVICE WITH MECHANICAL MIXER

By means of iterative procedure on the basis of SIMPLE algorithm the numerical modeling of convective heat exchange in the device with a mechanical mixer is carried out. Results of calculations are presented in the form of current of secondary circulation of liquid and isotherms lines.

Текст научной работы на тему «Исследование конвективной теплопередачи в аппарате с механической мешалкой»

УДК 532.517.2

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В АППАРАТЕ С МЕХАНИЧЕСКОЙ МЕШАЛКОЙ

© 2013 Н А. Газизуллин Казанский национальный исследовательский технологический университет Поступила в редакцию 09.03.2013

С помощью итерационной процедуры на основе алгоритма SIMPLE проведено численное моделирование конвективного теплообмена в аппарате с механической мешалкой. Результаты расчетов представлены в виде линий тока вторичной циркуляции жидкости и изотерм.

Ключевые слова: аппарат, мешалка, перемешивание, жидкость, циркуляция, теплопередача

Аппараты с мешалками широко используются в ряде отраслей промышленности при проведении различных технологических процес-сов[1-3]. Перемешивание в жидких средах оказывает влияние на теплообменные и массооб-менные процессы, а также на результаты химических процессов. Исследование теплообмена в аппаратах с мешалками представляет интерес как для выявления теоретических закономерностей, описывающих изменение температурного поля по объему аппарата, так и в связи с широким спектром технологического применения этих аппаратов. В настоящей работе проведено численное моделирование конвективного теплообмена в аппарате с лопастной мешалкой в условиях ламинарного режима течения вязкой жидкости.

Исходными уравнениями, описывающими неизотермическое течение жидкости в аппарате, будут соответственно уравнения Навье-Стокса, энергии и неразрывности в виде [4]:

pdV + p(v • V)v = F - Vp + |V2

v

dT

dt

+ v • VT = aV 2T,

V- v = 0.

(1) (2)

(3)

Fr = р(ю2 r + 2rov)

р^ю г +

^=-2Рюи, ^ =

где ю - угловая скорость вращения вала и мешалки.

Свободную поверхность жидкости будем предполагать поверхностью вращения, на которой введем в рассмотрение локальный базис из вектора нормали

*={-! -}

и двух векторов в касательной плоскости

X! ={1;0; §}, т2 = {0;1;0},

где к - высота свободной поверхности жидкости над мешалкой.

Граничные условия на свободной поверхности включают в себя кинематическое и динамическое условия. Кинематическое условие

дк дк

— = -u--+ w

dt дг

(4)

Течение жидкости будем рассматривать в подвижной цилиндрической системе координат r, ф ,z, связанной с вращающейся мешалкой. Проекции вектора скорости обозначим соответственно u, v, w. Проекции объемной силы в подвижной системе координат содержат ускорение Кориолиса и центробежное ускорение, а также ускорение силы тяжести и имеют вид:

Газизуллин Назым Абдуллович, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: gnazym@gmail.com

свидетельствует о том, что скорость движения свободной поверхности в направлении нормали должна совпадать с нормальной составляющей скорости движения жидкости [5]. Динамическое условие представляет собой условие баланса сил, действующих на поверхности жидкости [6]. Можно предполагать, что силы поверхностного натяжения незначительны, так как радиус кривизны поверхности жидкости в аппарате достаточно велик. Тогда динамическое условие будет иметь вид

п • P = -р0п • Е,

(5)

„ т ( ,(диу л

Рг + Р0 -2Ргг^; + (РГГ + Р0)| —I = 0,

(Ргг - Рг )дТ + дг

1 -I—

дг

Р. = 0,

дк

р — р — = 0,

Рфг .Ргф дг

(6) (7)

(8)

* * г *

t =ъМ, г =—, ф =ф,

где Р - тензор напряжений; Е - единичный тензор; р0 - атмосферное давление.

Проекции динамического условия (5) на направления базисных векторов представляют соотношения

г =<

V

V =

г — Н — Ь

к

Р =

при г < Н + Ь при г > Н + Ь

Р — Ро

лпё' р(ппё)2'

Т — Т 0 =Т Т

Т —Т

где Ргг, Ргг, Ргг, Р^Рпр - компоненты тензора напряжений.

Граничные условия для составляющих скорости на твердых стенках заключаются в отсутствии относительного движения жидкости и твердой поверхности. Тогда на дне и боковой стенке аппарата

и = 0, V = —юг, w = 0, а на поверхности вала и мешалки соответственно и = 0, V = 0, w = 0.

На оси вращения потока под мешалкой примем

дw

и = 0, V = 0, — = 0.

дг

Будем предполагать процесс теплообмена в аппарате установившимся. Пусть цилиндрическая стенка аппарата оборудована наружными нагревательными элементами, поддерживающими постоянную температуру Т1. Тогда на боковой стенке аппарата будет справедливо граничное условие Т=Т1. На свободной поверхности жидкости примем Т=Т0, где Т0 - температура окружающей среды. На поверхности вала и мешалки, а также на дне аппарата примем адиабатическое условие ЭТ/Эп=0.

Поскольку форма свободной поверхности жидкости неизвестна и должна быть найдена в результате расчетов, то перейдем от физической области течения к расчетной области с известными границами. Для этого физическую область поделим на две подобласти, нижнюю и верхнюю, горизонтальным сечением, проведенным через верхнюю поверхность мешалки. Введем безразмерные координаты и функции

где п - число оборотов мешалки в единицу времени; Н - высота расположения мешалки над дном аппарата; Ь - высота лопасти, а в качестве характерной длины и характерной скорости потока выбраны соответственно диаметр мешалки ё и окружная скорость конца лопасти ппё. Свободной поверхности жидкости при этом будет

* 1

соответствовать значение г =1.

После преобразования координат уравнение неразрывности (3) сохранит форму

V-V = 0,

в которой проекции вектора скорости в расчетной области и, V, Ж определяются как

и = уи *, V = уу~, Ж = w* — и * г * ,

дг

где т=1 для нижней подобласти и у=к* для верхней подобласти; к =к/ё, а и , V , w - компоненты вектора скорости в безразмерной физической области, определяемой преобразованием

* г * * г

г = —, ф =ф, г =-

а а

В расчетной области уравнение (1) в проекциях на оси координат может быть записано в виде обобщенного уравнения переноса

дФ +1 УФ)= ё^^гаёФ) + Б,

дг у

(9)

где Г=1/(лЯе) - коэффициент диффузии; Ке=рпё2/^ - центробежное число Рейнольдса; 8 -член типа источника, соответствующий искомой функции Ф. Уравнение (2) в безразмерной форме также приводится к виду (9), где Г=1/(лЯеРг); Рг=^/(ра); - число Прандтля; а - коэффициент температуропроводности.

Численное моделирование течения и теплопередачи проведем методом контрольных объемов [7]. Поделим расчетную область на контрольные объемы (ячейки) так, чтобы каждая узловая точка находилась в отдельной ячейке. Размещение всех узловых функций в одних и тех

г

*

*

2

же точках приводит к рассогласованию полей скорости и давления, поэтому выберем разнесенную шахматную сетку [8], в которой точки, где вычисляются компоненты скорости, смещены на полшага в соответствующих направлениях относительно основных точек, в которых вычисляется давление. Проинтегрируем уравнение (9) по контрольному объему и временному интервалу Д£. В результате с учетом уравнения неразрывности получим дискретный разностный аналог, который связывает значения искомой функции Ф в узловой точке Р с ее значениями в центрах Е, Ж, N Т, В соседних ячеек в форме

ар Фр = аЕ Ф е + аш Фш + ан Ф

N + азФ 5 +

+ аг Фг + Фв + AV

SP +

Ф

0 А

At

(10)

Vo - V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(k)

2 - т] )5h(k),

(11)

корректирует ее по высоте. Окончательно с учетом поправки 5й® скорректированные значения формы свободной поверхности могут быть найдены как

h*(k) = h

*(k)

+

5h(k).

Дискретные уравнения (10) решались методом прогонки в радиальном направлении. В качестве критерия сходимости рассматривалась сумма модулей невязок по всем ячейкам для уравнений (10). Расчеты проводились с точностью до 10-6. В расчетах принималось

Ho = D;

d / D = 0,5; d / D = 0,05;

Здесь SP - узловое значение источникового члена; Ф0 - значение Ф в момент времени t; А V -объем ячейки.

Расчет поля течения проводился на основе алгоритма SIMPLE [7], в котором используется дискретизация уравнений по методу контрольных объемов на сетках с расположением узлов в шахматном порядке. Граничные условия на свободной поверхности (7), (8) и (4) использовались соответственно при расчете радиальной, тангенциальной и осевой компонент скорости из уравнений (10). Форма свободной поверхности жидкости, соответствующая рассчитанному полю течения, определялась из условия (6) с использованием кинематического условия (4) в конце каждой итерации. При этом в качестве начальных " 1 *(0)

значений hi J принималось значение, соответствующее положению невозмущенной поверхности жидкости. Очевидно, что рассчитанные при

j **(k)

этом значения hi могут не удовлетворять условию постоянства объема жидкости в аппарате. Отметим, что достаточно учитывать объем жидкости над мешалкой. Таким образом, возникает необходимость введения некоторой поправки 5h(k) к величине h,**k). Эта поправка находилась из соотношения

Ь / а = 0,2; Н / Н0 = 0,3;

где Б - диаметр аппарата; Н0 - высота невозмущенной поверхности жидкости над дном аппарата; - диаметр вала.

На рис. 1 представлены результаты расчетов в меридиональной плоскости аппарата линий тока радиально-осевой циркуляции. Мешалка создает потоки жидкости, которые вызывают циркуляцию жидкости по объему аппарата. Окружная циркуляция, называемая также первичной, связана с вращением массы жидкости вокруг оси вращения мешалки. Существенную роль в перемешивании играет вторичная ради-ально-осевая циркуляция, которая накладывается на основную окружную циркуляцию и связана с насосным действием мешалки. Наблюдается два потока радиально-осевой циркуляции, способствующих перемешиванию жидкости и расположенных соответственно сверху и снизу от мешалки.

где Я - радиус аппарата; г - радиус вала; г - индекс нумерации узлов расчетной сетки в радиальном направлении; ¥0 - объем жидкости над мешалкой с невозмущенной свободной поверхностью; V® - объем жидкости над мешалкой на к-ой итерации, который вычислялся на каждой итерации путем численного интегрирования по значениям И,**(-к). Следует отметить, что в соответствии с формулой (11) поправка 5й(к) не влияет на форму свободной поверхности, а лишь

Рис. 1. Радиально-осевая циркуляция в аппарате при Re=150; Pr=2

p

На рис. 2-3 представлены результаты расчетов изотерм Q=const в горизонтальном сечении аппарата над мешалкой на расстоянии 0,15 Н0. При относительно небольших значениях числа Рейнольдса конвективный перенос теплоты в направлении от боковой стенки в центральную часть аппарата незначителен и формирование температурного поля определяется в основном теплопроводностью (рис. 2).

Рис. 2. Картина изотерм в аппарате при Яе=50; Рг=2

Увеличение числа Рейнольдса сопровождается интенсификацией радиально-тангенци-альных потоков. Роль конвекции в переносе теплоты возрастает. Особенно заметна тенденция к усилению конвективного переноса теплоты в тангенциальном направлении. Нагретые массы жидкости увлекаются быстро движущимися потоками, способствуя перемешиванию и постепенному выравниванию температур (рис. 3).

Рис. 3. Картина изотерм в аппарате при Re=200; Pr=2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Стренк, Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. - Л.: Химия, 1975. 384 с.

2. Брагинский, Л.Н. Перемешивание в жидких средах / Л.Н Брагинский, В.И. Бегачев, В.М. Барабаш. - Л.: Химия, 1984. 336 с.

3. Манусов, Е.Б. Расчет реакторов объемного типа /

E.Б. Манусов, Е.А. Буянов. - М.: Машиностроение, 1978. 112 с.

4. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. 736 с.

5. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / МА. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1977. 408 с.

6. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2003. 732 с.

7. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энерго-атомиздат, 1984. 152 с.

8. Harlow, F.N. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface /

F.N. Harlow, J.E. Welch // Phys. Fluids. 1965. V. 8, No. 12. P. 2182-2189.

RESEARCH OF THE CONVECTIVE HEAT TRANSFER IN THE DEVICE WITH MECHANICAL MIXER

© 2013 N.A. Gazizullin Kazan National Research Technological University

By means of iterative procedure on the basis of SIMPLE algorithm the numerical modeling of convective heat exchange in the device with a mechanical mixer is carried out. Results of calculations are presented in the form of current of secondary circulation of liquid and isotherms lines.

Key words: device, mixer, mixing, liquid, circulation, heat transfer

Nazym Gazizullin, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: gnazym @gmail. com

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.