Исследование концентрации напряжений в оболочке при локальном воздействии методом матриц перехода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расчет и конструирование

машин

УДК 539.3

Исследование концентрации напряжений в оболочке при локальном воздействии методом матриц перехода

Ю.И. Виноградов

При локальном воздействии в оболочках космических аппаратов возникает опасная концентрация напряжений. Использование универсальных численных методов конечных разностей или конечных элементов приводит к результатам с неконтролируемой погрешностью. В работе предложен аналитический метод исследования концентрации напряжений в оболочках. Дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек решаются аналитически по формулам в виде специальных функций Коши — Крылова, которые характеризуются отличительным свойством — удовлетворяют произвольным начальным условиям. На этом свойстве функций строится алгоритм приведения краевой задачи к начальной, алгоритм исследования концентрации напряжений в оболочке решением начальной задачи — на другом свойстве функций Коши — Крылова — возможности представлять решение мультипликативно. В качестве примера определены критические параметры цилиндрической оболочки, до значений которых счет на ЭВМустойчивый без дополнительных в таком случае необходимых вычислительных процедур ортогонализации и нормирования решений. В результате исследований установлено, что концентрация напряжений происходит в оболочке, главным образом, под площадкой нагружения, а значение максимальных напряжений существенно зависит от толщины оболочки.

Ключевые слова: оболочка, концентрация напряжений, краевая задача, начальная задача.

ВИНОГРАДОВ Юрий Иванович

(МГТУ им. Н.Э. Баумана)

VINOGRADOV Yuriy Ivanovich

(Moscow, Russian Federation, Bauman Moscow State Technical University)

Study of stress concentrations in a shell under local forces by the transition matrix method

Yu.I. Vinogradov

Spacecraft structures like shells connected by frames are inevitably loaded by local forces that may cause dangerous stress concentrations. Universal numeri-

Известия высших учебных ©аведений

cal techniques like finite difference and finite element methods provide results with unpredictable errors in these areas. In this paper, an analytical method for studying stress concentrations in shells is first proposed. Differential equations of the mechanics of shells are solved analytically in terms of Cauchy-Krylov special functions. The property of these functions to satisfy arbitrary initial conditions is used to construct an algorithm that reduces a boundary value problem to an initial problem. Another property of Cauchy-Krylov functions, that is, to represent a solution multiplicatively also forms the basis of this algorithm. By way of example, the critical parameters of a cylindrical shell, which determine the upper bound for stable calculations without orthogonalization and normalization of the solution, are computed. The results of studies will be useful when designing spacecrafts to decrease their weight.

Keywords: shell, stress concentration, boundary value problem, initial problem.

ТЭероятно, впервые алгоритм сведения краевой задачи к начальной, т. е. к задаче Коши, предлагается в книге [1]. Алгоритм строится на примере деформирования шар-нирно неподвижно опертой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением. Решение такой задачи известно. Исследуя решение и приводя его к решению начальной задачи, авторы приходят к выводу, что устойчивость счета методом Годунова при решении задачи как начальной можно обеспечить для ограниченных значений параметров цилиндрической оболочки. Также в работе [1] сделан вывод о неперспективности алгоритма решения краевой задачи, если ее можно свести к начальной. Более сложные задачи не рассматривались. С такими выводами согласиться нельзя.

В предлагаемой работе задача исследования концентрации напряжений решается приведением краевой задачи к начальной для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом [2].

Приведение краевой задачи к начальной. Допустим, что найдено решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения [3]

y (x ) = A(x )y(x) + f (x)

(1)

аналитически или численно в матричной форме

y(x)= K" (A(x))y(x0)+ y*xn0 (f(x)). (2)

Требуется краевую задачу привести к начальной.

Пусть краевые условия заданы, например, при х=0

^-лГН!^ ь2,...А!!т= ь{, (3)

при Х=1

У(1)п-к=!^ Ук+2,.,Уи\ 1т=!! Ьк+ь Ък+2,.,Ъп\|т= К

где п — порядок дифференциального уравнения (1).

Перепишем решение (2) в упрощенном виде у(х)=К(х)у0+у*.

Это же уравнение устанавливает связь между краями оболочки

y(l)=K(l)y(0)+y*

(4)

где у* определяется на интервале внешнего воздействия по поверхности оболочки.

Связь между краями оболочки (4) представим в другом виде:

y(l)k

y(l )n-k

K11 K12 K 21 K 22

y(0)k

y(0)n-k

+

yk

y

n—k

или

у(1)к=Кпу(0)к + К12у(0)п _ к + Ук; (5) у(1)п_к = К21У(0)к + К22У(0)п - к + УП-к.

Учитывая краевые условия (3), систему матричных уравнений (5) можно переписать следующим образом:

у(1)к = Кпь1+К12у(0)п_к + у к;

Ь2=К21Ь1 + К22У(0)п-к + У*-к.

Из второго матричного уравнения системы (5) определяем начальные условия у(0)п _ к для известных краевых условий

У(0)п-к = К-21 (ь2 - К21 Ьх - У- ),

которые вместе с заданными условиями У(0)п _к = Ь1 образуют необходимые начальные условия для заданной краевой задачи:

у(0) = ||у(0)ь у(0)„Лт.

Таким образом, решение краевой задачи приведено к решению соответствующей начальной задачи, т. е. задачи Коши

у(х)=К(х)у(0)+у*

с начальными условиями

(6)

Я0)=|\ъх, К- (Ъ2 - К21 Ъ - уп_к )[.

При исследовании концентрации напряжений решением на ЭВМ начальной задачи (6) значения элементов матрицы К(х) и элементов столбца у* определяются по одной из формул, приведенных в работе [3]. Начальные условия задачи Коши для других краевых условий легко определяются с помощью системы матричных уравнений (5).

Действительно, если у(0)к=Ъ1, у(1)к=Ъ2, то

у(0)=||Ъ1,К-1 (ъ2 - К11Ъ)||т; если у(0)п_к=Ъъ у(1)к=Ъ2, то

у(0) = К-1 (Ъ2 - К12Ъ1), Ъ т; (7)

если у(0)п—к=Ъъ у(1)п-к=Ъ2, то

у(0)= К-1 (ъ 2 - К22 Ъ), Ъ1

Мультипликативный метод исследования концентрации напряжений. Используя мультипликативное свойство матрицы функций Ко-ши—Крылова [4—6] или матрицы их значений, решение задачи Коши для исследования концентрации напряжений представим в удобном для вычислений виде.

Основной интервал (х0, хп) делим промежуточными точками х1, х2,..., хп_ 1 на интервалы (рис. 1). Величину этих интервалов выбираем из условия возможности осреднения на них элементов матрицы А(х) дифференциального уравнения (1) с переменными коэффициентами и элементов столбца внешнего воздействия/х).

Вычислительный алгоритм исследования концентрации напряжений на ЭВМ состоит в следующем. На интервале (х0,х0) где нет воздействия на оболочку, т.е. /х)=0 и, следовательно у*=0, величины, определяющие напря-

*

жения в точках х 1,х2,...,х0, вычисляются мультипликативно:

у (х 1)= Кхх1 у (0); у (х 2)= К;2 у (х 1)= К;2 К;1 у (0),...; у(х0) = Кх у(х,) = К::... КЦ Кхх; у(0).

(8)

На интервале (х0,х"п), где оболочка по поверхности нагружена, столбцы у( ) искомых величин, определяющих напряжения, также вычисляются последовательно мультипликативно:

у (х1)= КЧ Кх;... КЦ КЦ у (0)+

+К х.п К "г1... Кх! /1;

хп-1 хп - 2 х0 1

у(х2)=Кх Кх *...Кх2К у(°)+

+ККх*п-1... Кх1 /1 + Кх* Кх.п-1... Кх.2/2;

"л х* ^ 1 Г* , Г* Л Г, ^ 2 7

К

хп-1 хп-2

у(хп) = Кхп ... Кх.2 КХ1... Кх2 Кх1 у(0) +

^ 4 п ' хп-1 х* х0 х1 х0 ^ 4 '

+Кхп Кхп-1... Кх1 / + Кхп Кхп-1... Кх.2/,+...+

п - 1 п - 2 1 2

п

п* - 1

п -

п* - 2

+ Кхх" 1 /п-1 + /п . п- 1

(9)

т

Рис. 1. Деление основного интервала (х0 ,х )

на п частей с промежуточными точками х1,

хп1 и интервала

(х0 ,хп) локального нагружения на п частей с промежуточными

точками 1 ,

2 '

X

X

п-1

Известия высших учебных заведений

На интервале (х*п,хп), где/х)=0, последовательность мультипликативных вычислений следующая:

у(Хк ) = К1КХ! ... Кхх1 Кхх°... КЦ у(0)+ у ;

хп х п—1 х0 1 0

у(Хк+1) = КЦ+1 КХк К*} .... КХ** КХ0... у(0) + /;

к п п-1 0

у(хп ) = Кххп Кхп-1... Кх.п ... КХ1 Кхх

п п-1 п-2 п-1 0

х... КхХ1 У(0)+ у \

...х

(10)

где у * = К^ Кххг'... Кхх1 /х+..+К^ /— + /п.

п-1 п-2

п

х п — 1 "

Мультипликативные вычислительные процедуры для исследования напряжений в местах их концентрации решением задачи Коши можно переписать в удобном для программирования виде:

у (хх)= КЦ у (0), у (х2)= Кхх1 у (^);

у(х,) = Кх—— 1 у(х1),у(х0) = Кх° у(х,),

* * *

у (х*) = Кх* У(х'0) + у *х* = у (х*) + у *х*

где у х* = К^ К;,"-1...Кхх!/1, /1 = Тх/(тх)Ах 1;

0 п—1 п—2 0 1 1 1 1 1

у (х2 )= К' у (х*) + у 1 = у (х2) + у 1,

где у = у + Кх.п Кх.п—1... Кх2/

^ х0 ^ х0 хп—1 хп—2 х1 2

/2 =Т2/(Т2 )Ах2 ,

у(хп )= КЗ— у(хп—1) + у х0 = у(хп)+ у ,

*

где у = у + /п, /п = Т/(т„ )Дхв;

у (хк ) = К^ у (хп) + у * = у (хк)+ у \

у (х к+1 )= кх:+1 у (х к)+ у * = у (х к+1)+ у

у (х п )= Кх:_1 у (х п—1)+ у * = у (х п)+ у \ (11)

Очевидно, что вычислительный алгоритм решения задачи Коши сводится к перемноже-

нию и сложению матриц и просто реализуется на ЭВМ.

Нетрудно заметить, что определение искомых величин в каждой последующей точке основного интервала сводится к умножению слева полученного решения задачи Коши для предыдущей точки на матрицу значений функций Коши—Крылова, вычисленную на интервале между этой точкой и предыдущей, которые делят основной интервал, т.е. представляет собой рекуррентный и легко программируемый процесс.

Следует отметить, что предложенные вычисленные процедуры справедливы, если начальные условия для соответствующей краевой задачи сформированы на левом краю, т. е. известен столбец у(0), а направление вычислений совпадает с принятым положительным направлением оси .

Если соответствующие начальные условия формируются на правом краю, то вычислительные процедуры выглядят иначе из-за неперестановочности матриц: АВ ^ ВА.

Вычислительные эксперименты. Вычислительные эксперименты используются для определения параметров оболочек и площадок локального нагружения, при которых концентрации напряжений исследуются на ЭВМ с устойчивым счетом при учете восьми значащих цифр, т. е. без процедур ортогонализации и нормирования [7]. Иначе, вычислительные эксперименты позволяют определить критическую длину оболочки в зависимости от ее параметров, до величины которой счет остается устойчивым и эффективным по простоте реализации и затратам машинного времени.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку вследствие простоты изложения ее алгоритма.

Математическая модель механики деформирования цилиндрической оболочки строится при следующих допущениях: оболочка в окружном направлении замкнутая; внешняя нагрузка симметрична относительно начала окружной координаты ф; уравнения в частных производных методом Фурье разделения переменных

и = ^Ип С0з(пф), V =2vn 8ш(пф), Щ = ^^п СОз(пф)

п=1 п=1 п=1

приводятся к обыкновенным. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная при таких условиях, имеет вид

й 2ип 1-V 2 1+ V & йщ,

И? п +^ = ;

1+ V йип 1-V й2 V,,

-п—— +

п2

2 " ^ ' 2 ^2 " 'п ""п

йип 2

^ + -п + С '

'й2

п\ -пщ, = 0; (12)

\2

0,2

Щп + щп = 0

где ип, vn, wn — функциональные коэффициенты тригонометрических рядов разложений и,

2 к2

V и щ; с =-^ — малый параметр; Я и к — со-

12Я

ответственно радиус средней поверхности и толщина цилиндрической оболочки; ^ = х /Я — безразмерная координата вдоль оси .

Систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (12) приводим к матричной форме. Для этого каждое из уравнений разрешаем относительно старшей производной от ип, vn и щп. Добавляем к ним тождества и' п =

= и' п, V'п = V 'п, щп = щп, щ "п = Щ"п и щ'' п = щ'' п.

Формируем столбец г = | и,, и',, Vn, V ,, Щ» Щ ' Щ"п, Щ' " п|т и переписываем систему уравнений (12) в матричной форме

г' = В1. (13)

Здесь

1-V 2

1+ V

Ь12 =1; Ь21 =п 2; ь24 = п; Ь26 =-v;

1+ V

2п2

2п

Ь34 1 Ь42 1- V п; Ь43 1- V ; Ь45 V'

V п

Ь56 = 1 Ь67 = 1 Ь78 = 1 Ь82 = - ^ ' Ь83 =- ^ '

Ь85 =-

1

п + — |; Ь87 = 2п .

V С

Физические соотношения [6, 7] с учетом представления погонных усилий Тх, Я, и Мх в виде рядов Фурье

т1=2г1п со§(пФ)' я=втМ,

п=1 п=1

О = ^О— ^(—фХ М =2 Мы со8(пф)

принимают следующий вид: йи

т = В

'1п Я

+ V(nVn + Щ )

* _ Б

О— = Я3

я * _ В

\ = Я

(2 - V)—2 ^ -

1-V 1-V ^п

--пи +---

2 п 2 ^

2 йщ

+ (1- v)nc 2-—

М1п = ^

1й 2Щ 2

-^ - V— Щ

\

К2

т = В

2п = Я

йип \

^ + ^п + Щп ];

М2п =

х й щ

V-

п2 2 - П Щп

Ек Ек3 где В =-7; Б =-^; Е — модуль упру-

1-V2 12(1-V2) * 3 УУ

гости; =2О*п со§(пф)' я* —

п =1 п =1

приведенные по Кирхгофу соответственно перерезывающие и сдвигающие погонные усилия в оболочке.

Добавляя тождества ип = ип, Vп = Vп, щп = щп, Щ'п = Щ ' п, представляем физические соотношения в матричной форме

у = Сг.

(14)

__я

Здесь у =|и— ,v,^, тщ =тщ в;

- Я2 — * Я3 — * Я

М1— = М1— б ; О— =О*п б ; = в-

Ненулевые элементы матрицы С соответственно равны:

£11 = 1 Я 23 = 1 Я 35 = 1 &46 = 1 Я 52 = 1 Я 53 =

Я55 = ^ £61

1- V

п; я64

1- V

2 ' 064 2 22

£66 = (1- V )пс2;

£76 = (2- V)п ; £78 = -1; £85 = -^ ; £87 =

п

п

2

п

высших учебных заведений

При решении задач для каждого номера n гармоники определяются функциональные

коэффиЦиенты un , Vn , W , w*n , Ты , Smn , Öln > M1n

тригонометрических рядов искомых величин, характеризующих состояние сечения оболочки при £ = const. Параметры и M2n для сечения Ф = const определяются из соотношений

— dUn — du

T1n + V(nVn + Wn ); T2n = V^r + nVn + Wn •

Отсюда

T2n = vTin + (1" V2 )(nVn + )> T2 = 272n C0S(nф).

n

Аналогично

M2n = vMin + n2(v2 " 1)Wn, M2 = ^M2n cos(nф).

n

Тригонометрические ряды метода Фурье разделения переменных суммируются, начиная с n =1. Нулевой член n = 0 опущен, так как он соответствует осесимметричному нагружению оболочки. При этом математическая модель представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями шестого порядка. При матричной записи уравнений ненулевые

элементы матрицы В =

определяются из

матрицы В =

, если положить п=0, а из столбца г исключить уп = 0 и уп = 0. Тогда

¿12 = 1 Ь24 = —V; ¿34 = 1; ¿45 = 1; Ь56 =1;

Ь62 = —V/с2; ¿63 =-1/с2. Аналогично определяются ненулевые элементы матрицы £ =

£11 1; £23 1 £34 1;

£42 = 1; £43 = V; £56 = — 1; £65 = 1

Каноническая матричная форма дифференциальных уравнений — матричная форма системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, неизвестные которой характеризуют состояние сечения оболочки, необходимые для определения ее жесткости и прочности. Известно, что преобразование дифференциальных уравнений в перемещениях (13) к канонической матричной форме является трудоемкой творческой работой. Предлагаем переложить ее на ЭВМ.

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях (13) с правой частью /(х) и физические соотношения (14). Исключив из этих уравнений матрицу В и учитывая при этом, что дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты, получим

у = 0В0—1 у + 0/ (х).

Если обозначить 0В0—1 = А и 0/(х)=/(х), то приходим к уравнению (1). Расчетная схема задачи и полученные результаты представлены на рис. 2. По краям оболочка жестко заделана и локально нагружена давлением р по площадке, очерченной линиями главных кривизн. Площадка расположена посередине длины образующей. При этом начальные условия формируются на правом краю. Решение задачи Коши мультипликативным методом реализуется справа налево (см. рис. 2).

Чр

V. b

//2 b/R = 0,1

L

0,4 0

-0,4 -0,8 -1,2

RIh = 100

^— J 1/

Л

V

= 1,2 w

0

0,4

0,} б

1,2 §

a+/pt 0,4 0

-0,4 -0,8

R fh = 2 00 1 i

i ji

i 1 i \

-^кр' R=0 >9 i 1 i

0 0,2 0,4 0,6 0. б

8 §

0,2

0

-0,2 -0,3

Rlh = 3 00

lkp /^=0,86

0 0,2 0,4 0,6 0,1

г

Рис. 2. Расчетная схема: а — локально нагруженная оболочка (площадка воздействия очерчена линиями Ь главных кривизн); б—г — концентрация напряжений в оболочке вдоль образующей, проходящей через центр площадки;

---------граница устойчивости счета на ЭВМ;

— координата вдоль образующей с началом на левом краю

Изменение безразмерных максимальных напряжений а+ / р, которые возникают в оболочке вдоль ее нулевой образующей, проходящей через центр площадки нагружения, показано на рис. 2, б—г. Вертикальными линиями на

8

рис. 2, б— г показаны границы устойчивого счета. Критическая относительная длина Ь / Я оболочки с относительной толщиной Я / к =100, 200, 300 определялась при давлении р, действующем по квадратной в развертке площадке с относительным размером стороны Ь / Я = 0,1 Результаты расчета приведены ниже:

R /h ...

4р/ R

100 1,2

200 0,9

300 0,86

Очевидно, что с уменьшением толщины оболочки ее критическая длина уменьшается.

На рисунке 2 видно, что концентрация напряжений происходит в оболочке, главным образом, под площадкой нагружения, а значение максимальных напряжений существенно зависит от толщины оболочки.

Таким образом, предложен простейший метод приведения краевой задачи к начальной для исследования концентрации напряжений при проектировании тонкостенных и в весовом отношении совершенных конструкций, содержащих элементы в виде оболочек.

Аналитический метод позволяет получать результаты с контролируемой погрешностью.

Литература

[1] Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочеч-ных конструкций. Москва, Машиностроение, 1975. 375 с.

[2] Vinogradov Yu.I. A multiplicative method of solving boundary value problems of shell theory. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, issue 4, pp. 445—451.

[3] Vinogradov Yu.I. A method of solving linear ordinary differential equations. Dokl Ross Akad Nauk, 2006, no. 409(1), pp. 15-18.

[4] Vinogradov A.Yu., Vinogradov Yu.I. A method of transferring the boundary conditions of Cauchy-Krylov functions for stiff linear

ordinary differential equations. Dokl Ross Akad Nauk, 2000, no. 373(4), pp. 474-476.

[5] Vinogradov A.Yu, Vinogradov Yu.I. Cauchy-Krylov functions and algorithms for solving boundary value problems in mechanics of shells. Doklady Physics, 2000, vol. 45, issue 11, pp. 620-622.

[6] Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И., Гусев Ю.А., Клюев Ю.И. Метод решения двухточечной краевой задачи с использованием функций Коши-Крылова. Известия российской академии наук. Механика твердого тела, 2003, № 2, с. 150-157.

[7] Беляев А.В., Виноградов Ю.И. Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек. Инженерный вестник, 2013, № 7. URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/ 597785.html (дата обращения 20 октября 2013).

References

[1] Karmishin A.V, Liaskovets VA, Miachenkov V.I., Frolov A.N. Statika i dinamika tonkostennykh obolochechnykh konstruktsii [Statics and dynamics of thin-shell structures]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1975. 375 p.

[2] Vinogradov Yu.I. A multiplicative method of solving boundary value problems of shell theory. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, issue 4, pp. 445-451.

[3] Vinogradov Yu.I. A method of solving linear ordinary differential equations. Dokl Ross Akad Nauk, 2006, no. 409(1), pp. 15-18.

[4] Vinogradov A.Yu, Vinogradov Yu.I. A method of transferring the boundary conditions of Cauchy-Krylov functions for stiff linear ordinary differential equations. Dokl Ross Akad Nauk, 2000, no. 373(4), pp. 474-476.

[5] Vinogradov A.Yu, Vinogradov Yu.I. Cauchy-Krylov functions and algorithms for solving boundary value problems in mechanics of shells. Doklady Physics, 2000, vol. 45, issue 11, pp. 620-622.

[6] Vinogradov AIu., Vinogradov Iu.I., Gusev Iu.A., Kliuev Iu.I. Metod resheniia dvukhtochechnoi kraevoi zadachi s ispol'zovani-em funktsii Koshi-Krylova [Method for solving two-point boundary problem using Cauchy function-Krylov]. Izvestiia rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 2003, no. 2, pp. 150-157.

[7] Beliaev A.V., Vinogradov Iu.I. Modifikatsiia metoda Godunova resheniia kraevykh zadach teorii obolochek [Modification of Godunov's method for solving boundary value problems in the theory of shells]. Inzhenernyi vestnik [Engineering Gazette]. 2013, no. 7. Available at: http://engbul.bmstu.ru/ doc/597785.html (accessed 20 October 2013).

Статья поступила в редакцию 31.10.2013

Информация об авторе

ВИНОГРАДОВ Юрий Иванович (Москва) — доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Аэрокосмические системы». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).

Information about the author

VINOGRADOV Yuriy Ivanovich (Moscow) — Dr. Sc. (Phys. Math.), Professor of «Aerospace Systems» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, e-mail: [email protected]).