CC BY
20
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения :Материалы науч.-практ. конф. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С. 58.
2. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Сер. механика. 1965. №2. С. 113 - 119.
3. Биргер. И.А. Теория пластического течения при неизотремическом нагружении // Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение. 1964. №1. С. 193.
4. Шевченко Ю.А. Термопластичность при переменных нагружениях., Киев :Наукова думка, 1970.
5. Маркушин А.Г. Об алгоритме учета истории нагружения в задаче истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения :Материалы науч.-практ. конф. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С. 56.
УДК 539.3
В. А. Крысько, Л. Ф. Вахлаева, Т. В. Вахлаева
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ И БИФУРКАЦИЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ВДОЛЬ СТОРОНЫ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
За исходные уравнения приняты уравнения Маргера-Власова-Муштари:
d2w dw
- + Е— = —
1
dtz
d2w
дх1
dx4 d2wd2F дх2 dy2
dt
d2F dy2
+ 2-
12 P,
dx
дх2ду2
„ d2w d2F d2w
•2—-+ —T
дхду дхду ду
d2F
а"» 2 O W
д7
d4F
дх2ду2
,254F 1 , v + X —r = —L{w,w\ dyA 2
d2w d2F
d2w d2F
где L(w,F)=" " ^ \ -2
V ; ^ 7 ~ 7 дхду дхду ду2 дх2
Рассматриваются колебания при е = 1 квадратной пластинки из изотропного материала (v = 0.3), у которой часть границы, а именно {О < х < 0.5,7 = l}> защемлена, а оставшийся контур - шарнирно-оперт под действием продольной нагрузки Рх = Р0 sin coi. Из вариационных принципов в точке разрыва получены условия согласования [1]:
дхду
Алгоритм построен следующим образом: уравнения в частных производных сводятся с помощью метода конечных разностей повышенного порядка точности 0(/г4) к системе линейных алгебраических уравнений относительно функции Б, которая на каждом шаге по времени решается методом верхней релаксации, и системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно прогиба которая решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Начальные условия выбираются следующим образом: методом установления решается задача при заданных краевых условиях под действием малой поперечной нагрузки и £ =70 (коэффициент при М> в уравнениях Маргера-Власова-Муштари). Величина нагрузки д выбирается такой, чтобы значение прогиба в центре было меньше 0.001. Полученное поле прогибов
(/',_/' = 1 ,п) принимается за начальное состояние при / =0:
4=0 = "и (и = !'")> ^г1'=о =
Рассматриваются сложные колебания и бифуркации с позиции качественной теории дифференциальных уравнений. Для этого строятся обобщенные трехмерные фазовые и обобщенные трехмерные модальные фазовые портреты, сечения Пуанкаре, зависимости Также строятся аналогичные интегральные характеристики. С помощью быстрого преобразования Фурье строится график зависимости Л (со) и спектр мощности. Для выявления пространственного хаоса предложено некоторое обобщение показателей Ляпунова.
Исследование всего вышеперечисленного комплекса позволяет описать сценарий появления ряда бифуркаций, появление двухмерных и трехмерных торов и проанализировать весь сценарий динамического поведения пластинки в зависимости от управляющего параметра Р0. Показано, что возможны случаи последовательного разрушения и восстановления двухмерных и трехмерных торов. Получен сценарий перехода системы в состояние хаоса, как пространственного, так и временного.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек прямоугольных в плане с разными вдоль стороны граничными условиями // Изв. вузов. Сер. строительство и архитектура. 1984. № 4. С. 21 - 25.
