ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ РЕОЛОГИИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ СТЕРЖНЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Научная статья

УДК 539.3;512.624.3

doi: 10.18522/1026-2237-2023-3-4-12

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ РЕОЛОГИИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Александр Ованесович Ватульян1, Анастасия Андреевна Варченко218, Виктор Олегович Юров3

1:2,3Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1aovatulyan@sfedu. ru 2aner@sfedu.ru в 3vyurov@sfedu. ru

Аннотация. Рассмотрены задачи об определении переменных реологических свойств функционально-градиентных балок по некоторой дополнительной информации о смещениях. Колебания кон-сольно закрепленной неоднородной вязкоупругой балки изучены в рамках двух моделей - Эйлера-Бернулли и Тимошенко. Колебания вызываются сосредоточенным на конце балки моментом, осциллирующим во времени. В рамках концепции комплексных модулей получены операторные соотношения, связывающие заданные и искомые функции. Восстановлены функции, отражающие законы изменения длительного и мгновенного модулей. Приведены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению функций различных типов.

Ключевые слова: обратные задачи, реологические свойства, изгибные колебания, модель Эйлера -Бернулли, модель Тимошенко, неоднородность, вязкоупругость, комплексный модуль, идентификация

Благодарности: исследование выполнено при частичной поддержке гранта Российского научного фонда № 22-11-00265, https://rscf.ru/project/22-11-00265/, в Южном федеральном университете.

Для цитирования: Ватульян А.О., Варченко А.А., Юров В.О. Исследование коэффициентных обратных задач с учетом реологии для функционально -градиентных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 3. С. 4-12.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

© Ватульян А.О., Варченко А.А., Юров В.О., 2023

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

Original article

INVESTIGATION OF COEFFICIENT INVERSE PROBLEMS TAKING INTO ACCOUNT RHEOLOGY FOR FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL

Alexander O. Vatulyan1, Anastasiya A. Varchenko2B, Viktor O. Yurov3

12■ 3Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia 1aovatulyan@sfedu. ru 2aner@sfedu.ru я 3yurov@sfedu. ru

Abstract. The problems of determining the variable rheological properties of functionally gradient beams from some additional information about displacements are considered. Vibrations of a cantilevered inhomoge-neous viscoelastic beam are studied in the framework of two models - Euler-Bernoulli and Timoshenko. The oscillations are caused by a moment concentrated at the end of the beam, oscillating in time. Within the framework of the concept of complex modules, operator relations linking the given and desired functions are obtained. Functions reflecting the laws of change of long-term and instantaneous modules have been restored. The results of computational experiments on the restoration offunctions of various types are presented.

Keywords: inverse problems, rheological properties, bending vibrations, Euler-Bernoulli model, the Timo-shenko model, inhomogeneity, viscoelasticity, complex module, identification

Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 22-11-00265, https://rscf.ru/project/22-11-00265/, at the Southern Federal University.

For citation: Vatulyan A.O., Varchenko A.A., Yurov V.O. Investigation of Coefficient Inverse Problems Taking into Account Rheology for Functionally Graded Material. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(3):4-12. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Функционально-градиентные материалы (ФГМ) имеют переменные свойства в зависимости от координат. Использование ФГМ при производстве изделий становится все более распространенным благодаря преимуществам, которые они имеют по сравнению с кусочно-однородными материалами. Это включает снижение вероятности появления трещин и расслоений, а также экономное использование материала при создании конструкций с заданными прочностными характеристиками [1, 2]. Производство неоднородных материалов с переменными свойствами является сложным технологическим процессом, требующим оценки переменных свойств для правильного расчета деформативности и прочности. Знание законов изменения свойств материала позволяет проводить более точные расчеты на прочность, устойчивость и колебания [3-5].

В настоящей работе рассмотрены два подхода при формулировке обратных задач по реконструкции неоднородных свойств балки из полимеркомпозитного материала в рамках концепции комплексных модулей [6]. В первом из них реконструкция происходит по заданной информации о деформировании балки в некотором наборе точек [7]. Во втором в обратной задаче задается информация об амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) угла поворота концевого сечения балки в некотором диапазоне частот [5, 8].

Получено решение обратной задачи первого типа для моделей Эйлера - Бернулли [6] и Тимошенко [6, 9, 10] для различных видов функций, описывающих изменение комплексного модуля.

Для решения обратной задачи второго типа на основе операторного метода Ньютона построен итерационный процесс уточнения искомых функций, причем начальные приближения

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

выбраны в виде линейных функций. На каждом шаге операторное уравнение Фредгольма 1 -го рода с непрерывным комплексным ядром для определения поправок [8] решается при помощи модифицированного метода регуляризации А.Н. Тихонова [7]. Восстановлены функции, отражающие законы изменения длительного и мгновенного модулей. Для модели Тимошенко поставлена обратная задача во второй постановке, на основе метода линеаризации сформированы две краевые задачи и из условия разрешимости получено операторное уравнение Фред-гольма 1 -го рода с непрерывным комплексным ядром, которое решается на основе метода А.Н. Тихонова. С помощью этого подхода построен итерационный процесс, представлены результаты вычислительных экспериментов.

Постановка и решение обратных задач первого типа

Рассмотрим задачу об изгибных колебаниях консольно закрепленной неоднородной вязко-упругой балки длины L. Будем считать, что левый конец балки защемлен, а на правом действует момент М, осциллирующий с некоторой частотой [6, 11].

Для описания колебаний в первой постановке используем модель Эйлера - Бернулли. Уравнение установившихся колебаний в безразмерном виде и соответствующие граничные условия имеют вид

(G(x, k)w''(x, k))'' — k4w(x, k) = 0, (1)

w(x,k)lx=o = 0,w'(x,k)lx=o = 0, G(x,k)w''(x,k)lx=i = 1,(G(x,k)w''(x,k)) lx=i = 0, (2) где G(x,k) = (irk2g(x) + h(x))/(1 + irk2) — комплексный модуль для неоднородной среды, сформированный на базе модели стандартного вязкоупругого тела [12]; h(x), д(х) - безразмерные функции, которые отражают законы изменения длительного и мгновенного модулей в зависимости от координаты х и удовлетворяют неравенству д(х) > h(x) > 0. Здесь и далее т - безразмерное время релаксации; k - частотный параметр.

Сформулируем постановку обратной задачи в рамках самого простого подхода: будем считать, что известно смещение в наборе точек. Из уравнения (1), интегрируя дважды и учитывая граничные условия (2), получим следующее представление:

G(x,k) = (k4f*wtf,k)(x — 0dÇ + 1)/w"(x,k). (3)

По формуле (3) можно явным образом найти комплексный модуль, однако при этом необходимо осуществлять двукратное дифференцирование функции w(x, k), что является некорректной задачей, и при нахождении производных используем сплайн-аппроксимацию 5-го порядка [2].

В рамках модели Тимошенко безразмерная система уравнений установившихся колебаний с учетом касательных напряжений имеет вид [6]

— (G(x, к)(в'(х, k)) )' + smG(x, k){w'(x, k) + 9(x, k)) — 9(x, k)k4m-1 = 0,

/ V (4)

sm (G(x, k)(w'(x, k) + в(х, k))) + k4w(x, k) = 0,

где s, m - безразмерные параметры модели [6].

Соответствующие граничные условия:

w(x,k)lx=o = 0,в(х,к)1х=о = 0, (5)

[G(x,k)(9(x,k) + w'(x,k))]lx=1 = 0 , [G(x,k)9'(x,k)]lx=1 = —1.

Сформулируем постановку обратной задачи в рамках первого подхода для модели Тимошенко. По известным функциям w(x, k), 6(x, k), заданным в наборе точек х^, требуется восстановить функцию G(x, k). Из второго уравнения системы (4) получаем выражение для нахождения функции G (х, к)

G(x,k) = (l + (sm)-1k4 £ w(Ç, к) dç)/(w'(x, к) + в(х, к)). (6)

Соответствующие производные находятся при помощи сплайн-аппроксимации. Проведем серию вычислительных экспериментов для модели 1 на основе (3). Сначала сформируем входную информацию для обратной задачи для фиксированного значения к. Из решения прямой задачи с заданной дважды непрерывно дифференцируемой функцией G (х, к) методом пристрелки на входе находим w(xj, к), с помощью сплайн-аппроксимации - w''(x, к) и далее по формуле (4) строим искомую функцию G (х, к).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

В качестве тестового примера при нахождении функции G (х, к) введем следующие законы длительного и мгновенного модуля и значения параметров:

д(х) = 1,5 + х3, h(x) = 1 + х2, т = 0,01, к = 1. (7)

На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов. Сплошной линией изображены исходные Re(G(x, к)) и Im(G(x, к)), а пунктиром - восстановленные.

1,6

1,4

1,2

// //

1й-■- -1-

0,2

0,4

0,6

0,8

0,0060 0,0055 0,0050 0,0045 0,0040 0,0035

1

1 / 1

\ \ \ 1 1 1 1

Л 1 1 1 /

\

\ 1 /

// I/

\ /t

0 0,2 0,4 0,6

х

0,8

Рис. 1. Re(G(x,k)) / Fig. 1. Re(G(x,k))

Рис. 2. Im(G(x, к)) / Fig. 2. Im(G(x, к))

Результаты вычислительных экспериментов показывают, что Яе(С(х,к)) восстанавливается лучше, чем 1т(С(х, к)).

Для построения восстановленной функции комплексного модуля в рамках модели 2 из решения прямой задачи с заданной дважды непрерывно дифференцируемой функцией С (х, к) методом пристрелки находим к) и в(х^, к) для фиксированного значения к. При помощи сплайн-аппроксимации строим функции w(x,k),в(x,k) на отрезке [0, 1], выбирая шаг в зависимости от количества используемых точек, после чего находим ж'(х, к).

Вычислительный эксперимент проведем для тех же функций и параметров (7). На рис. 3, 4 представлены результаты расчетов для модели Тимошенко.

2 ' 1,81,6, 1,4, 1,2.

/

-•- -

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

х

х

Рис. 3. Re(G(x,k)) / Fig. 3. Re(G(x,k))

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

х

Рис. 4. Im(G(x, к)) / Fig 4. Im(G(x, к))

х

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

Постановка и решение обратных задач второго типа

Модель Эйлера - Бернулли. Представленные выше решения задач первого типа являются модельными. Гораздо более реалистичны такие постановки, где дополнительная информация снимается с торца балки. Сформулируем обратную задачу во второй постановке: по известной комплексной функции угла поворота w' (1, к) = ф(к) восстановить две вещественные функции, характеризующие изменение длительного и мгновенного модулей g(x),h(x). Заметим, что обратные задачи в такой постановке являются существенно нелинейными, при их решении требуется формировать итерационные процессы, основанные на методе линеаризации.

Отметим, что в [8] приведено решение задачи об определении неоднородных реологических свойств балки Эйлера - Бернулли на основе акустического метода и анализа АЧХ. Авторами рассматривается вязкоупругая балка при различных способах нагружения. Построен итерационный процесс, основанный на решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода при помощи метода регуляризации А.Н. Тихонова [3, 4]. Приведены примеры определения реологических свойств для различных законов изменения комплексного модуля по длине стержня для различных граничных условий. В настоящей работе представлен способ решения обратных задач для моделей Эйлера - Бернулли и Тимошенко при другом типе задаваемой дополнительной информации на торце балки. Изложим основные моменты решения сформулированных нелинейных некорректных обратных задач.

Пусть известно некоторое начальное приближение G0 (х, к). Для осуществления линеаризации в окрестности начального приближения представим функции, входящие в краевую задачу (1), (2), в виде

G(x, к) = G0(x, к) + sG1(x, к), w(x, к) = wo(x, к) + sw1(x, к), д(х, к) = go(x, к) + ед1(х, к), h(x, к) = ho(x, к) + h1w1(x, к), где £ - формальный малый параметр. Подставим эти разложения в краевую задачу (1), (2) и сформулируем операторные соотношения при одинаковых степенях £

£°:(Gow0')' ' — k4w0 = 0, (8)

™olx=o = O,w0lx=o = 0,

(Go< )lx=i = 1,(Gow0')'lx=i = O,

E1: (GlW'0')'' + (G0w1 ')'' — k4w1 = 0, (9)

Wil*=o = 0,w1lx=o = 0,

(G1WO' + Gow1')lx=1 = 0, (G1WO' + Gow1 ')'lx=1 = 0.

Домножая уравнения (8) и (9) на w1 и Wo соответственно и интегрируя на отрезке [0,1] их разность, в результате имеем следующее соотношение:

f1((Gow0')' 'w1 — (G1WO' )' 'wo — (Gow1 ' )' 'wo)dx = 0.

Интегрируя дважды по частям, получим

1 2 fo G1(x,k)wo' (x,k)dx = —w1(1,k).

Учитывая, что ф(к) = w'(1,k) является заданной функцией, получим для поправки интегральное уравнение Фредгольма 1 -го рода с непрерывным комплекснозначным ядром

f1(G1(x,k)(wo'(x,k))2 dx = — (<p(k) — wo(1,k)). (10)

Задача решения уравнения (10) является некорректной. Используя модифицированный метод Тихонова, определим поправку G1 (х, к).

Разделяя вещественную и мнимую части подынтегрального выражения (10) (G1(wo')2), получим систему интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с непрерывными ядрами

f1((h1(x)Z1(k) + 91(x)Z2(k)) (w2(x, к) — W22(x, к)) — -2W1(x,k)W2(x,k)(g1(x) — h1(x)]z3(k))dx = —Re((p(k) — w'o(1,k)),

f1 (Ых) — h1(x))z3(k) (w2(x,k) — W2(x,k)) + (11)

+2W,

1(x,k)W2(x,k){W1(x,k)W2(x,k)))dx = —im((p(k) — w'o(1,k)),

V

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

где W1(x,k) = Re(w0(x,k)"), W2(x,k) = Im(w0(x,k)") и введены обозначения z1(k) =

l,Z2(k) =

т2к4

l> zs(.k) =

тк2

1+т2к*' 24 у 1+т2к*' 34 у 1+т2к4'

Решение системы (11) представляет собой некорректную задачу [3, 4]. Регуляризованное решение строится с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова и находятся функции первого приближения.

Для оценки точности приближения введем в рассмотрение функционал невязки

Ф = ¡*у(к)-ы'0(1,к)12(1к. (12)

На основе приведенных выше соотношений построен итерационный процесс для уточнения функций начального и следующего приближений. Процесс останавливался либо по числу итераций, либо при достижении порогового значения функционала (1 2).

Проведен ряд вычислительных экспериментов для стержня из вязкоупругого материала в случае различных законов изменения длительного и мгновенного модулей. Для краевой задачи (1), (2) были выбраны следующие функции длительного и мгновенного модулей: д(х) = 1,5 + 0,1х3, к(х) = 1 + 0,1х2, время релаксации т = 0,01.

По рассчитанным АЧХ частотный диапазон выбран в области между 1 и 2 резонансами: [к1; к2] = [2,5; 3,5]. Из условия минимума функционала (12) найдены значения начальных приближений в классе постоянных: д0 = 1,54, к0 = 1,04. Для достижения порогового значения точности 10-4 для функционала (12) потребовалось 10 итераций. Значение параметра регуляризации на последнем шаге итерации: а = 10-13.

На рис. 5 изображены результаты реконструкции функций - слева, д(^) - справа:

- 2-я итерация; • точная функция.

4-я итерация;

7-я итерация;

10-я итерация и

1,10

1,08

1,06

1,04

1,02

1,00

/ ■if

/ /у if /7 if

-----^ // // — if — if

/ А //

УУ -»- у -■-

1,60

1,58 -

1,56

1,54

1,52 -

1,50

г M i 1 /

/ Л ( ■ 4

ff //

yy- /V.-•f.- ■

■ ■ ■

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

х

0 0,2 0,4 0,6 0,S

Рис. 5. Реконструкция функций h(x) и д(х) (модель Эйлера - Бернулли). Слева - h(x), справа - д (х) / Fig. 5. Reconstraction of function h(x) and g(x) (Euler-Bernoulli). On the left is the function h(x),

on the right is the function g (x)

Модель Тимошенко. Сформулируем обратную задачу во второй постановке для модели Тимошенко: по известной функции угла поворота торцевого сечения 6(1, к) восстановить функции длительного и мгновенного модулей д(х), к(х).

Пусть известно некоторое начальное приближение С0 (х, к). Для осуществления линеаризации и определения поправок представим функции в виде

х

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

G(x, k) = G0(x, k) + eG1(x, k), w(x, k) = w0(x, k) + ew1(x, k),

g(x, к) = go(x, k) + eg^x, к), в(х, к) = во(х, к) + ев1(х, к),

h(x, к) = h0(x, к) + eh1(x, к).

Подставив функции в систему (4), (5) и собрав слагаемые при одинаковых степенях е, получим следующие краевые задачи:

-(Сов'о )' + smGo(w0 + 9о)-^=0, (13)

sm(Go(w0 + 9°)) + k4w0(x) = 0, w0^=0 = 0,90lx=0 = 0 G0(w0 + 90)lx=1 = 0 G0d0lx=1 = —1,

k4

e1: -(Gi60 + С0в1)' + sm(Gi(w0 + e0)+G0(w1 + в^)-^ = 0, (14)

sm(G0(w[ + в1) + G1(w!) + в0))' + k4w1 = 0 , w1lx=0 = 0 61^=0 = 0

(G1(w' + e0)+G0(w[ + e1))lx=1 = 0, (С1в' + С0в1)'1х=1 = 0.

Домножим первые уравнения (13) и (14) на 91 и 80 соответственно, а вторые уравнения в (13) и (14) - на w1 и W0, проинтегрируем их разность на отрезке [0,1] и, вычитая из первого уравнения второе, получим интегральное уравнение

/01 G1(x, к)(902(х, к) + sm(02(x, к) + w^2(x, k)))dx = -(в0(1, к) - 9(1, к)). (15)

Учитывая, что ф(к) = 9(1, к), сформулируем комплекснозначное операторное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным комплексным ядром. Из уравнения (15) определяются функции первого приближения. Обозначим

2 2

90 (х, к) + sm(90(x, к) + w0(x, к)) = Р(х, к).

Отметим, что если положить s = 0, то из (15) следует уравнение (10). Таким образом, из уравнения (15), разделяя вещественную и мнимую части подынтегрального выражения, получим систему вещественных интегральных уравнений с непрерывными ядрами

7о ((h1(x)z1(k) + g1(x)z2(k))Re(P(x,k)) - (д^х) - h(x))) z3(k) Im(P(x,k))dx =

= -Re(60(1,k) - <p(k)), ¡¿((M*) - h1(x))z3(k)Re(P(x,k)) + (Z2(k)g1(x) + h1(x)z1(k))Im(P(x,k)))dx =

= -1т(во(1,к)- <p(k)).

Решение этой системы представляет собой некорректную задачу [7]. Регуляризованное решение строится с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова и находятся функции первого приближения. Начальное приближение построено из условия минимума функционала невязки

Ф = ¿2l<p(k)-90(1,k)l2dk. (16)

Проведен ряд вычислительных экспериментов для стержня из вязкоупругого материала для модели Тимошенко для различных законов изменения длительного и мгновенного модулей. Ниже приведены результаты вычислительных экспериментов для функций, указанных при описании модели Эйлера - Бернулли.

Из условия минимума функционала (16) найдены значения начальных приближений: до = 1,53, h0 = 1,03. Построен итерационный процесс для уточнения функций начальных приближений. Процесс останавливался при достижении порогового значения 10-4 функционала (16). По рассчитанным АЧХ частотный диапазон выбран следующим образом: [к1;к2] = [2,0; 2,6]. Потребовалось 10 итераций, значение параметра регуляризации на последнем шаге: а = 10-12.

На рис. 6 представлены результаты реконструкции функций /i(<f) - слева, д(^) - справа: - 2-я итерация; • • • - 4-я итерация; - 7-я итерация; ••••*• - 10 итерация и -- точная функция.

Рис. 6. Реконструкция функций h(x) и д(х) (модель Тимошенко). Слева - h(x), справа д(х)

/ Fig. 6. Reconstraction of function h(x) and g(x) (Timoshenko model). On the left is the function h(x),

on the right is the function g (x)

Заключение

В работе получено решение обратной задачи первого типа в рамках двух моделей (модели Эйлера - Бернулли и модели Тимошенко) для различных (возрастающие, убывающие, немонотонные) функций, описывающих изменение вдоль осевой координаты мгновенного и длительного модулей упругости.

Для модели Эйлера - Бернулли приведено решение задачи об определении неоднородных реологических свойств балки на основе анализа АЧХ и построения итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача с известным комплексным модулем и ком-плекснозначное операторное уравнение Фредгольма 1-го рода с непрерывным ядром. Начальное приближение выбрано среди постоянных из условия минимума функционала невязки. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Построено решение обратной задачи во второй постановке для модели Тимошенко. Построен итерационный процесс на основе метода линеаризации, получено интегральное уравнение Фредгольма 1 -го рода с непрерывным комплекснозначным ядром, регуляризованное решение которого строится с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова. Приведены результаты восстановления функций мгновенного и длительного модулей.

Список источников

1. Неустроева Н.В., Лазарев Н.П., Задача сопряжения для упругих балок Бернулли - Эйлера и Тимошенко // Сиб. электр. матем. известия. 2016. Т. 13. С. 26-37.

2. Ватульян А.О., Плотников Д.К. Обратные коэффициентные задачи в механике // Вестн. ПНИПУ. Механика. 2019. № 3. С. 37-47.

3. Ватульян А.О., Беляк О.А., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и некорректные задачи. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2011. 232 с.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 285 с.

5. Богачев И.В., Ватульян А.О. Обратные коэффициентные задачи для диссипативных операторов и идентификация свойств вязкоупругих материалов // Владикавк. матем. журн. 2012. № 3. С. 31-44.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

6. Ватульян А.О., Варченко А.А. Исследование колебаний балки из функционально-градиентного материала с учетом затухания // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2021. № 4. С. 10-18.

7. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019. 272 с.

8. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестн. ДГТУ. 2010. Т. 10, № 7. С. 1016-1023.

9. Timoshenko S.P. On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section // Philosophical Magazine. 1921. 744 p.

10. Ватульян А.О., Гущина К.В. О реконструкции характеристик включения на основе модели Тимошенко // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2018. № 2. С. 16-22.

11. Аитбаева А.А., Ахтямов А.М. Идентификация закрепленности и нагруженности одного из концов балки Эйлера - Бернулли по собственным частотам ее колебаний // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, № 1 (69). С. 3-10.

12. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 228 c.

References

1. Neustroeva N.V., Lazarev N.P. The conjugation problem for elastic beams of Bernoulli-Euler and Timoshenko. Sib. elektr. matem. izvestiya = Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016;13:26-37. (In Russ.).

2. Vatulyan A.O., Plotnikov D.K. Inverse coefficient problems in mechanics. Vestn. PNIPU. Mekhanika = PNRPUMechanics Bulletin. 2019;(3):37-47. (In Russ.).

3. Vatulyan A.O., Belyak O.A., Sukhov D.Yu., Yavruyan O.V. Inverse and incorrect tasks. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2011. 232 p. (In Russ.).

4. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Methods of solving ill-posed problems. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ.; 1979. 285 p. (In Russ.).

5. Bogachev I.V., Vatulyan A.O. Inverse coefficient problems for dissipative operators and identification of properties of viscoelastic materials. Vladikavk. matem. zhurn. = Vladikavkaz Mathematical Journal. 2012;(3):31-44. (In Russ.).

6. Vatulyan A.O., Varchenko A.A. Investigation of beam vibrations from a functionally gradient material taking into account attenuation. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2021;(4):10-18. (In Russ.).

7. Vatulyan A.O. Coefficient inverse problems of mechanics. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2019. 272 p. (In Russ.).

8. Anikina T.A., Bogachev I.V., Vatulyan A.O. On the determination of inhomogeneous rheological properties of beams. Vestnikof DSTU. 2010;10(7):1016-1023. (In Russ.).

9. Timoshenko S.P. On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section. Philosophical Magazine. 1921:744.

10. Vatulyan A.O., Gushchina K.V. On reconstruction of inclusion characteristics based on the Timoshenko model. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2018;(2):16-22. (In Russ.).

11. Aitbayeva A.A., Akhtyamov A.M. Identification of the tightness and loading of one of the ends of the Eu-ler-Bernoulli beam by its natural frequencies of oscillations. Sib. zhurn. industr. matematiki = Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2017;20(1):3-10. (In Russ.).

12. Christensen R. Introduction to the theory of viscoelasticity. Moscow: Mir Publ.; 1974. 228 p. (In Russ.).

Информация об авторах

А.О. Ватульян - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

A.А. Варченко - магистр, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

B.О. Юров - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the authors

АЮ. Vatulyan - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.

A.A. Varchenko - Master, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.

V.O. Yurov - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Senior Lecturer of the Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.

Статья поступила в редакцию 25.04.2023; одобрена после рецензирования 24.05.2023; принята к публикации 20.06.2023. The article was submitted 25.04.2023; approved after reviewing 24.05.2023; accepted for publication 20.06.2023.