Исследование клепаной перфорированной упругой панели с включениями из инородного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375 DOI: 10.31675/1607-1859-2020-22-4-126-139

Д. Д. ЯХЬЯЕВ,

Азербайджанский технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ КЛЕПАНОЙ ПЕРФОРИРОВАННОЙ УПРУГОЙ ПАНЕЛИ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ ИЗ ИНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА

Рассматривается задача теории упругости для бесконечной изотропной упругой пластины толщиной h, ослабленной периодической системой круговых отверстий. Круговые отверстия заполнены включениями из инородного упругого материала, спаянными вдоль обвода. К панели симметрично относительно поверхности приклепаны поперечные ребра жесткости из другого упругого материала. Упругая перфорированная панель подвергается однородному растягивающему напряжению (растяжение на бесконечности). Действие приклепанных подкрепляющих ребер в расчетной схеме моделируется неизвестными сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения точек крепления.

Ключевые слова: упругая перфорированная клепаная панель; инородные упругие включения; одноосное растяжение; сосредоточенные силы; поперечные ребра жесткости.

Для цитирования: Яхьяев Д.Д. Исследование клепаной перфорированной упругой панели с включениями из инородного материала // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2020. Т. 22. № 4. С. 126-139.

DOI: 10.31675/1607-1859-2020-22-4-126-139

J.D. YAKHYAEV, Azerbaijan Technical University

ELASTIC RIVETED PERFORATED PLATE WITH FOREIGN INCLUSIONS

The paper focuses on the problem of the elasticity theory for an infinite isotropic elastic plate weakened by circular perforation. The perforated holes are filled with inclusions made of elastic material and sealed along the edges. Transverse stiffening ribs made of another elastic material are riveted to the panel symmetrically to the surface. The elastic perforated plate is subjected to uniform tensile stress (tension at infinity). The action of riveted reinforcing strengthening ribs is modeled by unknown concentrated forces applied to anchor points.

Keywords: elastic perforated riveted plate; foreign elastic inclusions; uniaxial tension; concentrated forces; transversal rib.

For citation: Yakhyaev J.D. Issledovanie klepanoi perforirovannoi uprugoi paneli s vklyucheniyami iz inorodnogo materiala [Elastic riveted perforated plate with foreign inclusions]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universi-teta - Journal of Construction and Architecture. 2020. V. 22. No. 4. Pp. 126-139. DOI: 10.31675/1607-1859-2020-22-4-126-139

Введение

В промышленном и гражданском строительстве, транспортном машиностроении и других отраслях производства для уменьшения материалоемко-

© Яхьяев Д.Д., 2020

сти конструкций и изделий, повышения их прочности и жесткости, эксплуатационной надежности широко используют подкрепление пластины упругими элементами [1-8]. Пластины могут быть перфорированными. В строительстве широко используют перфорированные балки и тонкостенные профили листовых тонкостенных конструкций. Для практики важен случай, когда в отверстия клепаной панели впаяны упругие шайбы из другого материала. Этот случай очень важен, т. к. к нему могут быть сведены задачи расчета на прочность клепаной перфорированной панели с трубками, проходящими через отверстия в панели и скрепленными с ней.

Представляет научный интерес оценка взаимодействия инородных упругих включений в клепаной перфорированной панели, исследование влияния расположения включений, ребер жесткости и точек крепления на напряженно-деформированное состояние панели.

Постановка задачи

В отверстия клепаной панели впаяны упругие шайбы из материала, отличного от материала панели. Рассматривается бесконечная изотропная упругая пластина толщиной Н, ослабленная периодической системой круговых отверстий, имеющих радиус X. Пусть центры этих отверстий находятся в точках Рт = тю, (т = 0, ±1, ±2,...), ю = 2.

Круговые отверстия Ьт (т = 0, ±1, ±2,.) заполнены шайбами из инородного упругого материала, спаянными вдоль обвода. К панели симметрично относительно поверхности приклепаны поперечные ребра жесткости в точках г = ±тЬ ± туо (т = 2к - 1; к = 1, 2, ...; п = 1, 2,...) из другого упругого материала, площадь сечения которых А, модуль Юнга Выбор системы координат и обозначения поясняются на рис. 1. На бесконечности действует однородное растягивающее напряжение с™ =с0 (растяжение до бесконечности). Действие приклепанных подкрепляющих ребер в расчетной схеме заменяется неизвестными сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения точек крепления (рис. 1). Начало системы координат совмещаем с геометрическим центром отверстия Ьо в панели.

На основании симметрии граничных условий задачи и геометрии области В, занятой упругой средой, компоненты тензора напряжений в плоскости являются периодическими функциями с основным периодом ю.

При деформации пластины смежные точки контуров включений и плоскости будут иметь одинаковые перемещения, а усилия, действующие со стороны пластины на любую шайбу, будут равны по величине и противоположны по знаку усилиям, действующим на панель со стороны включения.

Так как решение для панели обладает свойством периодичности, достаточно рассмотреть условия сопряжения плоскости с включением лишь вдоль контура основного отверстия Ьо.

Комплексные потенциалы, описывающие напряженно-деформированное состояние включения, обозначим через Фъ(г) и ^ъ(г), а потенциалы, относящиеся к панели, - через Ф(г) и ¥(г).

Рассматриваемая задача сводится к отысканию двух пар функций Ф(г),

) и Фъ(г), ^ъ(г) комплексного переменного г = х + ¡у , аналитических в областях, занятых средой и шайбой и удовлетворяющих граничным условиям [9]: Ф(т) + Ф(т) - [тФ'(т) + ¥(т)]е2Ю =

= Фь (т) + Ф^Г) - [тФЬ (т) + (т)Ув, (1) -хФ(т) + Ф(т) - [тФ'(т) + ¥(т)]е2Ю =

= —{хьФЬ(Т) + Фь (т)-[тФЬ (т) + ^ (т)]е2'е |. (2) Нь

Рис. 1. Расчетная схема упругой клепаной перфорированной панели с инородными включениями

Условие (1) выражает, что силы, действующие с обеих сторон на элементы линии контакта, равны. Условие (2) выражает условие непрерывности перемещения на линии контакта. хъ, Цъ и х, ц - упругие постоянные материала шайбы и панели соответственно, т = Хег9 + тю (т = 0, ±1,±2,...).

Решение краевой задачи

Обозначим левую часть краевого условия (1) через 71(6) - 72(6) :

Ф(т) + ФСГ) - [тФ'(т) + ^(т)]е2ге = Л -¡/2 . (3)

Пусть на контуре Lo (т = Хе'е) функция / -/ разлагается в ряд Фурье. В силу симметрии ряд Фурье этой функции имеет вид

да

/ -/ = I А^е2*6 , 1т Ак = 0 .

к=-да

Комплексные потенциалы Ф0(г) и ¥0(г) аналитичны во внутренности круга |т| = X и могут быть представлены рядами [9]:

да да

Ф; (2) =1 «2к22к , ¥; (2) =1 С2к^2к . (4)

к=-да к=-да

На основании краевого условия (3) и соотношения в виде ряда Фурье для определения потенциалов Фь^) и имеем на контуре L0 следующее граничное условие:

Ф;(т) + Ф;(т) -[тФ;(т) + (Х)]е2ге = I А2кв2Ле . (5)

к=-да

Напомним, что коэффициенты ¿2к пока нам неизвестны. Подставив (4) и граничное условие (5) на контуре включения и применяя процедуру метода степенных рядов, находим:

«0 = А0 , а2к = А-2т ^ = 1, 2,...), (6)

а2к = А-2к

х2к

А-2к-2 А2к+2

X 2 к X 2 к

С2к =-(2к + (k = 1 2,.).

Потенциалы Фb(z) и ^b(z) позволяют, после некоторых преобразований, записать краевые условия на контуре Lo (т = Хе'е) для комплексных потенциалов Ф^) и ВД в следующем виде:

__да

Ф(т) + Ф(т) -[тФ'(т) + ¥(т)]е2ге = I А2кв2к1в , (7)

к=-да

2ге

Ф(т) - хФ(т) - [тФ'(т) + ¥(т)]е2е =

(8)

2 к=1 к=1

= -Н-

Для определения неизвестных пока величин ¿2к (Ь = 0,±1,...) рассмотрим решение для панели.

Комплексные потенциалы Ф(z) и для упругой панели находим в виде

Ф(2) = Фо(2) + Ф1(2) , ¥(2) = %(2) + ^1(2) . (9)

Представления для функций Фо^), и Фl(z), ¥1^) имеют вид

Ф0 (2) = 1- ,/ . , I' Ршп 4 2^(1

1 1

г - шЬ + ту0 г - шЬ - ту0

да

Т0( г ) =1 с0--^-

0 2 0 2л(1 + х)А

У' ^

1

1

2я(1 + х)к

У' ^

/ . т

г - тЬ + ту0 г - тЬ - ту0 Ьт - /пу0 тЬ + 7'пу0

(г - тЬ - ту0)2 (г - тЬ + гпу0)2

где Р тп - сосредоточенные силы, приложенные в точках г = тЬ + ту0, X = (3 - у)/(1 + V); V - коэффициент Пуассона материала пластины.

л 2к +2 (2к)/ \

X р( )(г)

Ф, (г) = а0 + У а2к+2-

0 У (2к +1)!

г) = /Р

Л 2к +2 (2к)/ \

X р( )(г)

,=0 2"+2 (2к +1)!

-У

к=0

а

Х2к+2^(2к+1)( г)

2к+2 "

(2к +1)!

где

Р<г) = 1^»-2£г V1 (^ ,

^ (г) = У

Р„

2 г 1

(г - Р )2 Р Р

(г 1 т) т т

Приведем теперь зависимости, которым должны удовлетворять коэффициенты представлений (9). Из условий симметрии напряженного состояния в плоскости относительно координатных осей с учетом формулы Колосова -Мусхелишвили следует, что

Ф(-г) = Ф(г), Ф(г) = Ф(г),

Т(-г) = Т(г), г) = Т(г).

Отсюда находим, что

1т а 2 к+2 = 0, 1тр2к+2 = 0, к = 1,2,... (10)

Можно убедиться, что приведенные представления определяют класс симметричных задач с периодическим распределением напряжений.

Из условия постоянства главного вектора всех сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в В, занятой средой, следует

%2 п л2

а = — Рт а .

0 24

Неизвестные функции Ф1(г), ^(г) и постоянные агк, Р2к и ^к должны быть определены из граничных условий (1), (3).

Для составления уравнений относительно коэффициентов агк, Р2к функций Ф1(г), ^¡(г) представим краевое условие (7) в следующем виде:

ФДт) + ФДт)-[тФ;(т) + ВД]е2г9 = У Л2кв2т+ /1(9) + //,*(0), (11)

к=-да

где

/1* (9) + / (9) = -Ф0(т) -Ф0(т) + [тФ0(т) + %(т)]е2г9.

(12)

да

да

Относительно функции /1* (0) + т/2* (0) будем считать, что она разлагается на контуре Lo в ряд Фурье.

Подставив в левую часть краевого условия (11) вместо Ф^-г), Ф^т), Ф! (т) и ¥1(2) их разложения в ряды Лорана в окрестности нулевой точки, а в правую часть (11) вместо /1* + т/2* ряд Фурье и сравнивая коэффициенты

Т0

при одинаковых степенях е , получим две бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов а2к , $2к ■

После некоторых преобразований приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно а2к :

а

2]+2 = Е А],ка2к + 2 + Ъ] ( = 0, 1, 2,---Х

(13)

к=0

2к+4

т О

Ъ = А'-Т Ьк +2 'Х А'

°0 = А2 Е ~2к +4 А-2к-2 , к=0 2

Ъ — А2 .+2 -

(2] +1) АО gJ^Х 2 2+2

к122 2

+2

2+4

» (2] + 2к + 3)^.+к+2^2к+22 а, Е (2] )!(2к + 3)!22]+2к+4 "

■2к-2 ,

(14)

А0= Ао + Мо, А2= А2 + М2, (к = + 1, ±2,...),

А2 к = А2к + М2к

1

Мо =-2Со -

1

М2 = -

1

л(1 + х)й

л(1 + 1)к

Е' р

/ у ти

Е' р

/ . т

2иУ0

(тЬ)2 + (ИУ0)2

X 81и3фх X Ф1 sin3ф1

Р1

Р1

Р1

М2к =

1

гс(1 + х)Н

Е' р

Е т

X2к 8т(2к + 1)ф (-2)(-3)... (-2к)Х2к sin(2k + 1)ф

2к+1

Р1

(2к - 1)!р2

2к+1

ХХ2к"2 ^^^^^^ - 1)ф (-2)(-3). ..(1 - 2к )Х2к2 ^^^^^^ + 1)ф!

2к-1

Р1

М-2к =

(2к - 2)!р2

2к+1

(к = 2,3,...)

1

-Е' р

/ , т

Х2к sin(2k + 1)ф1

2 к+1

Л(1 + Р2

р — Л (тЬ)2 + (иу0 )2 , Ф1 = аг^ ИУ° ■

тЬ

(к = 1,2,...),

X 1 тт2

gJ = 2ЕЕЗГ , к, = 1-^Х2,

т=1

т

ко — ,

2 24 '

А., к = (2] + 1)у, к Х2к+2 2

+2

х

У, ,к =

(2] + 2к + 2)! gJ+k+1 (22] + 2к + 4)! gJ+к+2 X2

(2 ] +1)! (2к +1) !22 ]+2к+2 (2 ] + 2)! (2к + 2) !22 ]+2к+4

£

4г+2

(2] + 2г + 1)!(2к + 2 +1)! gs+1+х gk^Х'

У (2 +1)!(2] + 1)!(2к + 1)!(2/')!22-/'+2к+4г+4

к

ь0,к = 0.

Ь],0 = 0.

Ь],к 22 ]+ 2к+4

1 gk+lX2 Г 2к2Х2Л 1 +--—

к1

а=1, 2,...), (к = 1, 2,...).

Постоянные Р2к определяются из следующих соотношений:

, 2 к+2

Ч2к+2

Р2 =

1

да п - л; + 2 У

•,2 к +2

к=0

(15)

р2 ]+4 = (2] + 3)а2 ]+2 +У

(2] + 2к + 3)!gJ+к+2Х2 ]+2к+2

а

2к+2

к=0 (2] + 2)!(2к +1)!22]+2к+4 Преобразуем граничное условие (8) к следующему виду:

- Л

■2]-2 .

Ф(т) - ХФ(т) - [тФ'(т) + Т(т)]е2г9 = Р(9) + ф* (9) + /ф (9),

где

Р (9) =

Нь

Л

(1 -Хь)

-У Л2ке2 к9-Хь У Л2ке

-2 к19

к=1

к=1

Ф*(9) + /ф2(9) = -хФ0(т) + Ф0(т) -[тФ0(т) + %(т)]е2г9 .

(16)

(17)

(18)

Поступая с функциями (17), (18) и с граничными условиями (16), как это было сделано соответственно с функциями (12) и краевым условием (11), получим для определения коэффициентов а2к бесконечную линейную алгебраическую систему

а

2]+2 = У Л],ка2к + 2 + Ь] (1 = 0 1, • -X

к=0

. 2 к+4

да g -Х^ -хЬ0 = Л2 - У ±~2к+4 Л2к-2 , к=0 2

(19)

(20)

+2

-ХЬÍ = Л2

2 ]+2

(2] + 1) Л gJ^±lX 2 2

к22J±2

£ (2] + 2к + 3)!gj+к+2Х2к+2]+4 а,

к=0

(2 ] )!(2к + 3)!22 ]+2к+4

-2к-2 ,

Л = - л (Х ь 1) Н + м;;

2Нь

Л ' = — Л + М'

Л2 к = Л2к + М 2 к ,

Нь

0 '

Нь

Л-2к = Х Ь ~ Л-2к + М-2к ,

1

да

2 2 k1 = 1 - (1 -х) — я2, k2 = — ,

i V М !2 2 24

-Xj k = (2j + 1)у л k Я2-'+2k+2,

Yo,o = 3S2Я -xX ' _,4i++4

i=1 2

2

= (2j + 2k + 2)! gj+k+i , (2j + 2k + 4)! gj+k+2 Я

Y j ,k

(2 j + 1)!(2k +1)!22j'+2k+2 (2 j + 2)!(2k + 2)!22j+2k+4

4i+2

_ (2 j + 2i + 1)!(2k + 2i +1)! S j+i+1 Sk +-+Л

XX С1,- , V , iМ^лп2 j+2k+4i+4 + j,k :

г=0 (2i +1)!(2j + 1)!(2k + 1)!(2i)!22j+2k+4i+4

/ ,0 = 0,

(1 -х)2 k2x2

bo,k = 0, bj ,o = 0 =

, Sj+1 Sk+1Я2 ^ n bilr =

1+-

k1

j ,k 22 j+2k+ 4

(/■ = 1, 2,...), (k = 1, 2,...). Величины M2 k определяются следующими соотношениями:

M0= M0 + C0 ,

M2 = M2 , M'2k = M2k (k = 1, 2,.), Я2 ^ sin 3ф1

M- 2 = M-2 - —X' F

1 ' 1 ,nn 3

Pl

Я2 sin(2k + 1)ф1

M- 2 k = M-2 k - —X' Fm

тп Р2 к+1 т,п р1

Обозначим решение системы (19), (20) через а* ■ Равенства

a2k+2 =aL2 (k = 0, 1, 2,.) (21)

определяют усилия взаимодействия между панелью и включением.

Запишем системы, определяющие коэффициенты а2к и а* в следую-

*

i

2 k

щем виде:

а—=X ja2k+2 + bj, (22)

2 j+2

k=0

да

*

а = X ja2k+2 + bj . (23)

2 j+2

k=0

Умножая систему (23) на - хць/х&ц и складывая с (22), с учетом равенств (21) получим

да

а

2 ]+ 2

( ХН ^ да ХНь

ХьН

= У

к=0

л Л

Л],к Л] ,к '' ХьН ''

а2к+2 + Ь] -ХНьЬ* . (24) ХьН

Чтобы исключить из (24) коэффициенты а2к+2, воспользуемся следующим приемом. Краевое условие (16) приведем к виду (11):

ФДт) + ФДт)-[тФ1(т) + Т1(т)]е2г9= У Л:*ке2 тк9 + (1 + х)ФДт). (25)

к=-да

Подставив теперь вместо левой части в (25) ее выражения из (11), а вместо функции Ф1(т) в правой части ее ряд Фурье и приравняв затем коэффици-

/9

енты при одинаковых степенях е в левой и правой частях соотношения (25), находим:

, _ 1+ Х

-4]+2

1 -Н/Нь

-а

2к+2 ,

Л-2] =

1 + х

"У Г]^ X 2]+2к+2а

2к +2

+

1

Л) =

1 -

1 + ХьН/Ньк=0 J, 1 + ХьН/Нь

Н(1 -Хь)

(26)

(М-2] - М_2]), (27)

2Нь

= М0 -М0 + (1 + х)«0 + (1+ Х)У Г0,кХ2к+2а2к+2 . (28)

к=0

Формулы (26) позволяют исключить из (24) коэффициенты а2к+2. В результате получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

относительно Л2к:

^2]+2

= У ^,^+1 + Т] (а = 0, 1,.),

к=0

й,= (2] + 1)Х2]+2к+2 Б],У.

(29)

(30)

,к =

1 -Н/Нь

1+ Х

У /,к У* ,к + О

ХьН

к

А, = Х

2 Ь ]+1

1 gk+1

],к у2 ]+2к+4

(Хь -1) 1

Г(Н/Нь).

П(Н/Нь ) = "

Хь 1 + (Х- 1)к2 X2 1 - 2к2 X2

1 - (1 - 2к2Х2)

Х-1 Н Хь -1

Т * = Т0 =

к0 = м 2 2-У

1 +

Нь ХьН

Х +1 Нь Х +1

. Т = (ТТ+к] VУ.

gk+2Х

2к+4 (

2 ' У ~2к+4

ХьН к=0 2 +4

М

2к-2 '

Нь

®Хь Н

-М'

2к-2

V

да

да

» _ Сд

2 4

(2/ +1) 21+2

22 /

+2

п^/нь) =

(1 + Нь/ ХьН) А (Хь -1) - (Х-1)

1 + (х-1)*2Я2 + (Хь -1)(1 -2к2х2) 2^ь

к =

(2/ + 1) g/.+1Х2/+2

222+2 (2/ +1) gl+1Я21

1 + (Х- 1)к2^2

1

1 -Хь

+2

+м.

22 /

^ь

+2

(1 - 2к2^2) 2хь |_1 + (Х- 1)к2Я 1 ^ 1 -Хь+ ^

-1

Мо -

(1 -2к2Х2)в + хь [1 + (Х- 1)к2^2]1 2е %ь

Шо +

2/+2 + ~М21+2 - "Е

(2/ + 2к + 3)!g/ +к+2^22+2к+4 Г

У =

к=о (2/)!(2к + 3)!222+2к+4 (1 )(1 -ХНь/ ХьН) 1 + Хь

М

■2к-2

.±1 ХьН*

М'

■2к-2

(1+Х)

К1 -Хь )

Хь

е = 1 -

2Нь

Напомним, что в полученные алгебраические системы через коэффициенты М2к , м2к входят неизвестные сосредоточенные силы Етп (т = 1, 2,...; п = 1, 2,...).

Определение величин сосредоточенных сил

Займемся определением сосредоточенных сил. Для определения величины Етп используем закон Гука. Согласно этому закону, искомая величина сосредоточенной силы Ет, действующей на каждую заклепку со стороны ребра жесткости, равна

= ^ Лити (т = 1, 2,...; п = 1, 2,...),

2 Уоп

(31)

где Лити - взаимное смещение заклепок, равное удлинению соответствующего участка ребра.

Для определения Лити необходимо найти взаимное смещение точек г = тЬ + /(иу0 -а0) и г = тЬ-/(иу0 -а0) в рассматриваемой задаче.

Используя полученные соотношения после выполнения элементарных, хотя и несколько громоздких выкладок, взаимное смещение заклепок Лити указанных точек найдем в виде

- л„(°) ^ л„а)

рг = +Л^р, г =

(32)

да

Ди(0) =-1-У' Р

Р,г 2*0 + х)нАу т

(Ро - т)2 Ь2 + а2

Х 1п-

(Р0 -т) Ь + [(г -п)у0 -а0] 2(г - п)У0 [(г - п)У0 - а0 ](2Р0 (Р0 - т)Ь2 + 0 [(г - п)У0 - 0 ])

7 7 Г -|2 \ 7 7

(Р0 -т) Ь +[(г-п)у0 -00] ) (Р0 -т) Ь + а

+т°(1 + Х)(гУ0 -00), 2н

(33)

Д-Р1,Г =1

Р Н

(Х - 1)(гУ0 - а0 )а0 + (Х +1)У

а

X2 к+2 8т(2к + 1)а

2к +2

к=0

(2к + 1)р2

2к+1

+

+(Х - 1)У а2к+2 Х2к+2 У ^ р2 ]+1+ 1)а -]=02 ] +1

-Ур2

к=0

Х2к+281й(2к + 1)а

+2 /">? 2 к+1 к=0 (2к + 1)р2 к=0

- У Р»+2Х2к+2 У р2J±1 + 1)а + /=02 ] +1

+

У (2к + 2)а2к+2Х2к+2 У

2к+2 V (2] + 2к + 2) - ^2]+1С;

г], к р2 ] ^т^] + 1)а

(34)

к=о г=о 2 J +1

Бесконечная алгебраическая система (31) с учетом (32), (34) принимает следующий вид:

г л да да

р =-^-уур

Рг 4*(1 + Х)мАгу0 m/ln/1 т

Х Щ-(Р - т)2 Ь2 + 002-- +

(Р - т)2Ь2 + [(г - п)у0 - 00 ]

+Х 1п"

(Р + т)2 Ь2 + а02

(Р + т)2Ь2 +[(г - п)у0 - 00 ]

+

2(г - п)у0 [(г - п)у0 - 00 ](2р(р - т)Ь2 + 00 [(г - п)у0 - 00 ]) ((р - т)2Ь2 + [(г - п)у0 - 00 [(р - т)2Ь2 + ]

2(г - п)у0 [(г - п)у0 - 00 ^2р(р + т)Ь2 + 00 [(г - п)у0 - 00 ]) р + т)2Ь2 + [(г - п)у0 - 00 [(р + т)2Ь2 + 002 ]

2(г + п)у0 [(г + п)у0 - 00 ] <(2р(р - т)Ь2 + 00 [(г + п)у0 - 00 ])>

(р - т)2Ь2 + [(г + п)у0 - 00 ] ^[(р - т)2Ь2 + 002 2(г + п)у0 [(г + п)у0 - 00 ] (2р(р + т)Ь2 + 00 [(г + п)у0 - 00 ])

(р + т)2Ь2 +[(г + п)у0 - 00 ] ) (р + т)2Ь2 + 00°

+ ЕхЛа0(1 +1)

2 уо г 4ц

«о (гУо - ао )(Х -1) + (Х +1) Е

X 2 к+28т(2к + 1)а

а2к +2 , ,, 2к+1 +

к=о (2к + 1)р

2

+(Х-1) Е«2к+2Х2к+2 ЕР2 7+1 +1)«-к=о у=о27+1

-£р»- 2 глл к+1)а-е02,♦ 2Х2к+2 ± ^ р2 "*«п(2 у+1)а +

;,_П (2к + 1)Р2 ;,_п ,-п 2 7 +1

-ЕЕ (2к + 2)а2к+2Х2 к+2 Е (2у + 2к + 2) Гу ,к р2 7+1 зВД/ + 1)а

;,-п ,-п 2 7 +1

(35)

+ Е V - ±

к=0 г =0 2 ] '

Таким образом, получены основные разрешающие уравнения задачи, позволяющие определить искомые коэффициенты а2к , Р2к, Л2к и величины сосредоточенных сил Гтп. Зная их, можно определить напряженно-деформированное состояние панели. Бесконечные алгебраические системы уравнений (13), (15), (19), (28) и система уравнений (35) оказались связанными между собой и должны решаться совместно.

Отметим предельные случаи:

а) материал включения и панели одинаков, т. е. ц = ць, х = Хь Из поставленного решения следует Ф1(г) = 0, ¥1(2) = 0;

б) абсолютно жесткие включения, т. е. ц/ць = 0. После некоторых преобразований можно показать, что система (29) совпадает с (19);

в) панель со свободными от усилия краями. В этом случае ць/ц = 0 и система (16) совпадает с (13).

Численные результаты и их анализ

Для определения искомых величин необходимо совместно решать линейные системы (29), (26), (28), (15), (35). Результирующая система будет замкнутой относительно входящих в нее неизвестных а2к , Р2к, Л2к, Ьтп.

Полученные системы решались численно. При этом бесконечные системы (26), (29) урезались до большого числа уравнений в зависимости от расстояния между отверстиями. Урезанные системы решались методом Гаусса с выбором главного элемента для разных значений порядка N в зависимости от радиуса отверстий.

После нахождения значений а2к, Р2к, Л2к, Ртп на основании приведенных выше формул и соотношений Колосова - Мусхелишвили [9] определялось напряженное состояние панели.

Были рассмотрены наряду с упругим включением и предельные случаи: абсолютно жесткое включение, отверстия ничем не заполнены. Для любого упругого включения картина напряженного состояния будет занимать промежуточное положение между этими двумя предельными случаями.

Выводы

Предложена эффективная методика решения задачи теории упругости для перфорированных панелей, подкрепленных большим числом поперечных

ребер жесткости, когда круговые отверстия панели заполнены шайбами из другого упругого материала. Исследовано влияние взаимного расположения включений, ребер жесткости и точек крепления на напряженно-деформированное состояние составной панели.

Степень снижения концентрации напряжений на контуре отверстий тем больше, чем выше жесткость включения и подкрепляющего элемента, а также чем ближе расположение точек крепления между собой. Наличие гибкого включения повышает концентрацию напряжений, тогда как жесткие включения уменьшают его.

Библиографический список

1. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Москва : Наука, 1985. 504 с.

2. Kravets V.S. Effect of breaks in riveted stringers on the elastic and limiting equilibrium of a cracked plate // Materials Science. 1999. V. 35. I. 3. P. 339-348.

3. Mir-Salim-zadeh M.V. Fracture of an isotropic medium strengthened with a regular system of stringers // Mechanics of Composite Materials. 2007. V. 43. I. 1. P. 41-50.

4. Мир-Салим-заде М.В. Рост когезионной трещины в стрингерной пластине // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2013. № 4. C. 16-22.

5. Мир-Салим-заде М.В. Периодическая контактная задача для стрингерной пластины // Тяжелое машиностроение. 2015. № 6. C. 35-39.

6. Mir-Salim-zadeh M.V. Contact problem for a stringer plate weakened by a periodic system of variable width slots // Structural Engineering and Mechanics. 2017. V. 62. № 6. P. 719-724.

7. Bedair O. Analysis and limit state design of stiffened plated and shells: A world view // Applied Mechanics Reviews. ASME. 2009. V. 62. 12. 020501 (16 p.).

8. Дударьков Ю.И., Лимонин М.В., Левченко Е.А. Некоторые особенности оценки несущей способности стрингерных панелей из ПКМ // Механика композиционных материалов и конструкций. 2019. Т. 25/ № 2. C. 192-206.

9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва : Наука, 1966. 707 с.

References

1. Parton V.Z., Morozov E.M. Mekhanika uprugoplasticheskogo razrusheniya [Elastoplastic fracture mechanics]. Moscow: Nauka, 1985. 504 p. (rus)

2. Kravets V.S. Effect of breaks in riveted stringers on the elastic and limiting equilibrium of a cracked plate. Materials Science. 1999. V. 35. Pp. 339-348.

3. Mir-Salim-zade M.V. Fracture of an isotropic medium strengthened with a regular system of stringers. Mechanics of Composite Materials. 2007. V. 43. Pp. 41-50.

4. Mir-Salim-zade M.V. Rost kogezionnoi treshchiny v stringernoi plastine [Cohesive crack growth in a stringer plate]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2013. No. 4. Pp. 16-22. (rus)

5. Mir-Salim-zade M.V. Periodicheskaya kontaktnaya zadacha dlya stringernoi plastiny [Periodic contact problem for stringer plate]. Tyazheloe mashinostroenie. 2015. No. 6. Pp. 35-39. (rus)

6. Mir-Salim-zade M.V. Contact problem for a stringer plate weakened by a periodic system of variable width slots. Structural Engineering and Mechanics. 2017. V. 62. Pp. 719-724.

7. Bedair O. Analysis and limit state design of stiffened plated and shells: A world view. Applied Mechanics Reviews. ASME. 2009. V. 62. 12. P. 020501.

8. Dudarkov Yu.I.1, Limonin M.V.1, Levchenko E.A. Nekotorye osobennosti otsenki nesushchei sposobnosti stringernykh panelei iz PKM [Bearing capacity of carbon fiber reinforced polymer stringer plates]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii. 2019. V. 25. No. 2. Pp. 192-206. (rus)

9. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti [Basic problems of mathematical theory of elasticity]. Moscow: Nauka, 1966. 707 p. (rus)

Сведения об авторе

Яхьяев Джошгун Дунямин оглу, аспирант, Азербайджанский технический университет, AZ1073, г. Баку, пр. Г. Джавида, 25, [email protected]

Author Details

Joshgun D. Yakhyaev, Research Assistant, Azerbaijan Technical University, 25, H. Javid Ave., Baku, Azerbaijan, [email protected]