Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных моделей Текст научной статьи по специальности «Физика»

8. Lee J. The triad-interaction representation of homogeneous turbulence // Journ. of Mathem. Phys. 1975. Vol. 16, № 7. P. 1359-1366.

9. Брюно М. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 255 с.

10. Хакен Г. Синергетика / Пер с англ. М.: Мир, 1980. 404 с.

11. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. Киев: Наук. думка, 1986. 369 с.

A. M. Balonihnicov, V. L. Gorohov

The Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

The One-Dimensional Equations of Small-Scale Turbulences

A method for approximation of the Navier-Stokes equations to equations system with reduction of the freedom degrees number is offered for practical calculation of the turbulent flows in different devices and Couette instrument in developed turbulence.

Aerospace image, turbulence model, turbulent flow, frontal currents, Haken's slaving principle

Статья поступила в редакцию 30 января 2003 г. УДК 621. 396.62

В. М. Кутузов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных моделей

Приводятся результаты исследования оценок фазочастотных спектров, полученных на основе использования авторегрессионных моделей. Показана их высокая информативность при решении задачи оценивания частот узкополосных и гармонических сигналов на фоне аддитивного шума. Получены соотношения для расчета авторегрессионных оценок фазочастотных спектров. Приведены результаты экспериментальных исследований на примере оценивания доп-леровских спектров в загоризонтных РЛС декаметрового диапазона.

Спектральное оценивание, авторегрессия, параметрические модели

Модельно-параметрические методы оценивания спектральной плотности мощности (СПМ) на основе авторегрессионных (АР) моделей широко применяются в различных приложениях для обработки данных во временной, в частотной и пространственной областях [1]. Они являются разумной альтернативой традиционным методам, основанным на преобразовании Фурье (ПФ) в тех случаях, когда на ограниченной выборке требуется

© В. М. Кутузов, 2003

обеспечить высокое разрешение при условии, что данные могут быть адекватно предста-вимы АР-моделью. Спектральная обработка на основе таких моделей может применяться и в задачах, когда данные зашумлены или искажены помехами, а от алгоритма обработки не требуется адекватное отображение СПМ в целом, в частности его помеховой составляющей. В подобных задачах критерием применимости, как правило, является обеспечение требуемых показателей качества (характеристики обнаружения, точности, статистического разрешения) [1].

В то же время комплексные АР-оценки спектра практически не используются на практике, поскольку считается, что оценки фазочастотного спектра (ФЧС), полученные на основе АР-моделей, не адекватны ФЧС анализируемого процесса [2]. По-видимому, этим объясняется крайне ограниченное число публикаций, посвященных исследованиям АР-оценок ФЧС [3]. В настоящей статье предпринята попытка определить информативность АР-оценок ФЧС и оценить возможность их использования в задачах обработки сигналов.

Основные соотношения. Рассмотрим стационарный центрированный процесс x(n), представленный дискретными отсчетами в соответствии с теоремой Котельникова. АР-оценка комплексного спектра Fap (/ю) процесса x(n) имеет вид [4]:

FAP (/о) = K Pk-, (1)

1+X ak exp(- /ko)

к=1

где Pk - мощность ошибки предсказания; ак - параметры АР-модели; K - порядок АР-модели; ю е [-п, п] - нормированная к шагу дискретизации данных частота. Если ввести вектор комплексных синусоид S к (/®) и вектор комплексных АР-параметров a к с размером (K +1), то АР-оценку СПМ (1) можно представить в векторной форме:

P

fAP (/ш) = „ hP , , (2)

ш

SK (/ш)aк

где SK () =

J® e2/® eK/®

ti i н т

; a к = |1, а\, а2,..., аА ; а символы и означают эр-

митово сопряжение и транспонирование векторов и матриц соответственно. Известно [4], что АР-модель в виде линейно-разностного уравнения

к

x(n)- Xakx(n - к) = 0; n = 1, 2, ..., N

к=1

может применяться как непосредственно к выборке {х(п)} (п = 1, 2, ..., N) анализируемого процесса х(п), так и к его автокорреляционной последовательности г (к), (к = 0, 1, 2, ..., N -1), полученной на основе этой выборки. Соответственно, изменяются и алго-

ритмы вычисления вектора параметров АР-модели a k , которые описаны, например в [4], и здесь не рассматриваются.

Определим АР-оценку ФЧС Фар (ю), как в [3]:

. . Im {FaP ( /ш)}

Фар (ш) = arctg _ ;лЛР (7 )}, (3)

Re {Fap (/)}

где Im(-) и Re() - мнимая и реальная части комплексного спектра (2) соответственно. Заметим, что Fар (/ю) может быть представлена в виде

fAP М = FAP (®)exp[M®)] (4)

(Здесь Fap (ю) = |Fap ()| = VFap (./0)) Fap (/о) - модуль АР-оценки спектра). При этом числитель Fap (/ю) - действительная величина, поэтому оценка ФЧС Фар (ю), представленная в виде (3), определяется только знаменателем Fap (/ю). Обозначим последний, как A(jai), тогда

, ч Im{A(/ш)} Im|SK (ш)aK i Фар (ш) = -arcts { ( . )} = -arctg j-f . (5)

Re {A ()} Re{SK (ш ) aK ]

Представим комплексные параметры АР-модели, как ак = ехр(/у к ), где \ак\ и у к - модуль и аргумент ак соответственно. Тогда

К

X \ак\^()

Фар (®) = -агс1§ -к=К-• (6)

1 + X Ы(к)

к=1

Другая форма представления Фар (ю) вытекает из разложения знаменателя АР-оценки спектра Л(]о>) на множители. Для этого выполним ¿-преобразование вида 2 = ехр(ую) и найдем корни полинома Л(г), решив характеристическое уравнение вида

Л{г) = 2-К ^ак2К-к = 0 (7)

к=0

при ао = 1. В соответствии с основной теоремой алгебры полином К-й степени с комплексными коэффициентами имеет К комплексных корней ¿к = ехр(уфк ), называемых полюсами АР-модели [4]. Отсюда следует, что (7) представимо в виде

K

K

zk

Л(г) = г~к п (* - ^к ) = п 1 -

к=1 к=1V

или при возвращении в (8) к прежним переменным

К к

Л(>)П{1-12к\ ехР[-J(ю-фк)]} = П Лк (>), к=1 к=1

(8)

(9)

где Лк М =1 - |2к| ехР[- ,/'(ю-Фк )]. Представим Лк (7®) в виде Лк (7ю) =

= Лк (ю) ехР[- № к (я)], где Лк (ю) = |Лк (7 ю )| и ек (ю) = агс% {1т [ Лк (7ю )]/[ Лк (7ю )]}. С учетом (9) оценка спектра (2) может быть представлена как

Рк

FAP (>) =

exp

K

j X 0k (ffl)

k=1

nAk (®)

k=1

причем для формы (4) справедливо:

fAP (ш ) =

P

к

UAk (ш)

k=1

к к

ФАР (ш) = S Ök (ш) = Z arct§ 1 1 k =1 1

(10)

zk|sin (®-9k )

к=1 к=1 1— I гк\ с°8 (®-Фк )'

Составляющие АР-оценки ФЧС 0к (ю), соответствующие отдельным полюсам г к, из которых суммируется результирующая АР-оценка ФЧС Фдр (ю) в (10), далее будем

называть парциальными оценками ФЧС.

Исследование свойств АР-оценок ФЧС начнем с простейшего случая использования модели первого порядка (К = 1). В качестве тестового сигнала будем использовать аддитивную смесь комплексной синусоиды определенной частоты ю о и переменной амплитуды и о и нормального дельта-коррелированного шума с нулевым средним и единичной

дисперсией (мощностью) аш = 1. В этом случае 21 = а^ и оба вида оценки ФЧС (6) и (10)

идентичны. Для расчета вектора АР-параметров а к воспользуемся известным алгоритмом Берга [4], в основе которого лежит устойчивый (минимально-фазовый) фильтр прямого и обратного линейных предсказаний. Это означает, что комплексные полюсы АР-модели лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости и < 1, причем

lim | = 1, где q = Ukl®ш - отношение сигнал/шум для k-го полюса [5].

0

41 > 42 > 43

Далее для удобства будем анализировать величину 9 др (ю) = -Ф др (ю). Такой переход логичен, если вспомнить, что фильтр предсказания ошибки - инверсный по отношению к оцениваемому спектру сигнала [6]. Это означает, что фильтр предсказания ошибки является выбеливающим по отношению к СПМ сигнала и имеет сопряженную фазоча-стотную характеристику. На рис. 1 представлены АР-оценки ФЧС, полученные при порядке модели К = 1 и различных значениях q. Для сравнения там же пунктиром показаны нормированные к мощности ошибки предсказания р АР-оценки СПМ ^др (ю) вида (10), полученные при тех же значениях отношения сигнал/шум. Истинному положению гармонического сигнала на частотной оси соответствует нулевая частота.

Как видно из графиков, переход оценки ФЧС через нуль точно соответствует положению максимума оценки СПМ и также определяется аргументом полюса аг§{г_/}. Это означает, что, оценивая момент перехода оценки ФЧС через нуль, можно получить те же точностные характеристики, что и у оценки СПМ. Из графиков видно, что с ростом q растет и крутизна оценки ФЧС в окрестностях перехода через нуль. В пределе (при q ^ да), когда оценка СПМ обращается в дельта-функцию в точке, соответствующей частоте гармонического сигнала, оценка ФЧС претерпевает разрыв. Эта взаимосвязь двух оценок побуждает рассмотреть поведение производной оценки ФЧС 9др (ю).

Воспользуемся формой записи 9 др (ю) вида (5) и после взятия производной и несложных преобразований получим

ю

41

Рис. 1

0AP (w ) = Fap (w ) [im' {A (jw )} Re {A (>)} - Im {A (jw )} Re' {A (jw )}

(11)

откуда очевидна непосредственная связь оценки СПМ и производной оценки ФЧС. Раскрыв выражение (11), получим

к к

0AP ( ю) = fAP ( ю) ЕЕ k {sin № - k ) ю] (bkcl - blck ) + cos [(/ - k ) ю] (bkbi + ckci )} k=1/=0

где bk, / = Re {ak}; ck, / =Im {ak}.

Если представить 9ap (ю) в виде (10), то производная АР-оценки ФЧС может быть записана как

0AP(»)=s<*(»)=i cos(ю-^{;*})-I2})

k=i k=l1 + \;k\ -2|-k\cos(®-ar§{-k})

Результаты сравнения оценки СПМ и производной оценки ФЧС при первом порядке АР-модели представлены на рис. 2. Сопоставлением графиков зависимостей двух оценок, полученных при различных q, иллюстрируется качественное совпадение формы спектральных оценок FAp (ю) и 9др (ю) при несколько большей остроте спектральных максимумов последней.

Воспользуемся следующими тригонометрическими рядами [7]:

1-a

2

1 - 2a cos х + a 1- a cos х

1 - 2a cos х + a

= 1 + 2 (a cos х + a2 cos 2 х +... + an cos nx +

= 1 + a cos х + a2 cos 2 х +... + an cos пх +...

...),

a2 < 1.

Тогда производную парциальной оценки ФЧС можно представить в виде

да

0к (ю) = X 1гк|П со»[п(ю-агБ{гк})] ,

п=1

откуда производная оценки ФЧС может быть представлена как

К да

0АР(ю) = XX 1гкГ ^[п(ю-агБ{гк})

к=1 п=1

(13)

а сама оценка ФЧС примет вид

k=1п=1

eAP (®) = XX „ sin[п(Ю-ar§{zk})

Выражение (13) можно рассматривать как гармонический ряд Фурье с коэффициентами или как преобразование Фурье некой четной функции f (n) = exp(jarg{zk}) . В качестве доказательства выполним обратное преобразование Фурье от 9k(ю), воспользовав шись выражением (12):

п ' ' I ю

eAp> FAP ± 41 > 42

0AP

FAP

0

Рис. 2

р-1 ( )} 1 П \zk\cos (ю-arg {zk})-| zk 12 (. v.

F {0k ( ю)} = — j ,2 ,-;—--T^Vexp(Jn(ü> d ю •

(14)

2n -n 1 + 1 zk|2 -2|zk|cos(ю-arg{zk})

где F-1 {•} - оператор обратного преобразования Фурье. Используем свойство преобразования Фурье при сдвиге функции по частоте и возникающей при этом четности парциальной оценки 9k (ю - arg {zk}) . Тогда интеграл в (14) приведет к выражению

F-1 {0k(®)} = ;k\ exp(jnarg{;k}) = 24•

Поскольку преобразование Фурье линейно, можно записать:

K , K , K

F-1 {0Ap (ш)} = Е F-1 (ek (ш)} = 2 Е l-kn exp(jnarg[ч}) = j E -П • (15) k =1 2 k=1 2 k=1

Справедливо также выражение

1K

f -1 {e ap (и)} = j e -П, (16)

2jGi k=1

полученное на основе свойства дифференцирования преобразования Фурье [7].

Будем считать 9Ap (ю) псевдооценкой СПМ, тогда (15) можно рассматривать как

псевдооценку автокорреляционной функции (АКФ) R (n). Заметим, что для первого порядка АР-модели обратное преобразование Фурье от нормированной АР-оценки СПМ Fap (®) вида Fap (ю) = 1 - -jexp {-jro}| 2, являющейся ближайшим аналогом производ-

ю), приводит к оценке АКФ: R (n)

ной парциальной оценки ФЧС 9Др (ю), приводит к оценке АКФ: Я(п) = г™!-^^ |, которая имеет тот же характер зависимости от п и отличается только амплитудным множителем.

На основании (15) и (16) можно составить систему уравнений, используя, например соотношение 2уюБ-1 {б(ю)} = Я(п), при п = 1, 2, ..., К , которая примет вид

Я (1) = 21 + 22 + .. + гк

Щ = г? + г22 +... + гК 1 (17)

Я (К) = гК + гК +... + гК

Легко заметить, что матрица, образующая правую часть системы уравнений (17), является матрицей Вандермонда [3] и аналогична матрице, образующейся при записи исходных уравнений метода Прони [4]. В общем виде подобная система нелинейных уравнений трудно разрешима относительно , однако использование подхода Прони, основанного на априорном представлении характеристического уравнения в виде (7), позволяет найти частное решение этой системы при двойной избыточности значений Я (п). Заме-

К 1 - гК

тим, что сумма столбцов в правой части (17) равна V гЩ =-—.

1 1 - ^

п=1 к

В завершение выполним прямое дискретное преобразование Фурье от Я (п) вида

(15):

46

F{R(И)} = 0др (ю) =

k=1 1_

1 1 N 1_\zk\ exP - j (ю-arg {zk}) N

1 - zk\ exP - j (ю — arg {zk})]

(18)

где N - дискретная длина выборки I (п), доступная для выполнения преобразования Фурье. Если положить N достаточно большим, числители в слагаемых можно принять близкими по модулю к 1. Тогда выражение (18) изменится и примет вид

К

0AP (®) = X

1

K

=X

1

k-1zk | exP [- j(Ю - arg {zk})] k=1 Ak ( j)

K

Напомним, что АР-оценка может быть записана как Fpp (jю) = П

=1 Ak (> )

, откуда оче-

видны связь и отличия двух спектральных оценок.

Экспериментальные исследования АР-оценок ФЧС. Для исследования свойств найденных оценок ФЧС воспользуемся реальными сигналами, полученными с помощью экспериментальной загоризонтной РЛС декаметрового диапазона волн, которая работала в когерентно-доплеровском режиме [8]. Задача обработки отраженных сигналов заключалась в получении оценок доплеровских спектров, позволяющих разрешать сигналы, отраженные движущимися судами и взволнованной морской поверхностью. На рис. 3 представлены зависимости F^p (f), 9др (f ) и 9Др (f), (f = ю/ 2п) при оценивании допле-

ровского спектра сигнала, состоящего из смеси трех узкополосных компонент, близких к синусоидальному виду, и нормального "белого" шума (резонансные брэгговские отражения от морской поверхности и отраженный от надводного корабля сигнал, полученные в натурных условиях в декаметровом диапазоне радиоволн).

Как видно из графиков, максимумы F^p (f) и 9Др (f) по-прежнему совпадают, что позволяет считать их равноточными в задаче измерения частотных параметров сигналов. Отметим, что оценка ФЧС 9 др (f), в отличие от парциальных ФЧС, не обязательно равна

нулю в точках f = arg {zk}/2п. Производная оценки ФЧС 9Др (f) имеет более острые

максимумы и, как следствие, более высокое рэлеевское разрешение, которое наглядно проявляется в раздельном наблюдении правых максимумов (брэгговская линия первого порядка отраженного морем сигнала и сигнал от надводного корабля). Оценка СПМ Fap (f) отображает эти максимумы слитно.

Повышение порядка АР-модели улучшает разрешение обеих оценок, однако по-прежнему 9Др (f) имеет более острые максимумы. С одной стороны, это обеспечивает предпосылки к более высокому разрешению в смысле критерия Рэлея, но, с другой - приво-

9

0

Рис. 3

k

дит к увеличению амплитуды "шумовых" максимумов, которые могут ошибочно приниматься за полезные сигналы, что иллюстрируется рис. 4, на котором наблюдаются два брэгговских максимума спектра морского волнения, слабые отражения вблизи нулевой частоты от береговой черты, поступающие по боковым лепесткам диаграммы направленности антенны, а также два сигнала от приближающегося 1 и удаляющегося 2 судов (крайние правый и левый максимумы соответственно). Можно говорить о более низкой устойчивости спектральной оценки на основе производной ФЧС 9др (f) к воздействию

аддитивного шума. Этот вывод подтверждается сравнением характеристик обнаружения обеих оценок, приведенных на рис. 5 в виде зависимостей вероятности правильного обнаружения D от отношения сигнал/шум на входе q при вероятности ложных тревог F = 10 [5], которые получены статистическим моделированием классической задачи обнаружения одиночного сигнала с неизвестными частотой и фазой на фоне нормального "белого" шума.

Особенностью спектральной оценки на основе производной ФЧС является наличие областей отрицательных значений, что не позволяет рассматривать ее как полноценный эквивалент АР-оценки СПМ. Однако свойство 9др (/) таково, что полезные сигналы могут отображаться только в области положительных значений, поэтому можно говорить о псевдооценке СПМ. В некоторых приложениях это может существенно сократить объем вычислений за счет исключения областей отрицательных значений 9др (/).

Еще одним полезным свойством АР-оценок ФЧС оказалась возможность обеспечения постоянного значения вероятности ложных тревог при обнаружении сигналов на фоне нормального "белого" шума при изменении интенсивности последнего. Это свойство становится актуальным при обнаружении сигналов на фоне нестационарных внешних шумовых помех естественного и искусственного происхождения.

Выполненные исследования показали, что АР-оценка ФЧС обладает достаточно высокой информативностью, а ее производная может использоваться как псевдооценка СПМ, обладающая сопоставимой точностью измерения частоты и повышенным рэлеев-ским разрешением. Наличие областей отрицательных значений может существенно сократить процедуру поиска локальных максимумов АР-оценки СПМ, что особенно важно при больших порядках модели и высоком отношении сигнал/шум. В то же время, АР-оценка ФЧС или ее производная обладают меньшей устойчивостью к воздействию шума, что сказывается на характеристиках обнаружения и ограничивает их применение в качестве самостоятельных рабочих статистик обнаружения.

Библиографический список

1. Кутузов В. М. Проблемы и перспективы применения параметрических методов обработки радиолокационной информации // Радиоэлектроника в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете. Сб. науч. тр. СПб., 1996. Вып. 2. С. 86-98.

2. Джейнс Э. Т. О логическом обосновании метода максимальной энтропии // ТИИЭР. 1982. Т. 70, № 9. С. 33-51.

3. Vartiainen E. M., Peiponen K.-E. Asakura T. Generalized noniterative maximum entropy procedure for phase retrieval problems in optical spectroscopy // Optics Communications. 1993. Vol. 104, № 1-3. Р. 149-156.

4. Марпл С. Л. мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

5. Кутузов В. М. Рабочие статистики методов максимальной энтропии в задаче обнаружения и оценивания параметров сигналов // Корабельное радиооборудование и автономные системы навигации: Сб. науч. тр. / ЛЭТИ. Л. 1990. С. 3-8. (Известия ЛЭТИ. Вып. 427).

6. Хайкин С., Карри Б. У., Кеслер С. Б. Спектральный анализ радиолокационных мешающих отражений методом максимальной энтропии // ТИИЭР. 1982. Т. 70, № 9. С. 51-62.

7. Корн Г. К. Корн Т. К. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 831 с.

8. Kutuzov V. M., Svetlitchny V. A., Rjabukov I. R. Estimation of Influence Sea Bottom on Doppler Spectra HF Radar in Coastal Zone // Remote Sensing for Marine and Coastal Environments: Procееding of Fifth International Conf. San Diego, USA, 5-7 October, 1998. Vol. 2. Ann Arbor, USA, MI: ERIM Int. Inc., 1998. P. 163-168.

V. M. Kutuzov

The Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных моделей

The results of the phase spectrum estimation research, obtained on base of autoregressive models use are given. Their high self-descriptiveness at decision of the problem of frequency evaluation for narrow-band and harmonic signals with additive noise is demonstrated. The relations for the calculation of autoregressive phase spectrum evaluation are found. The results of the experimental research on example of Doppler spectrum evaluation by over the horizont radar HF-band.

Spectrum estimation, autoregression, parametric models

Статья поступила в редакцию 27 февраля 2003 г.